第1章 预备知识 单元质量测评-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（北师大版）

数学 必修 第一册(北师) 第一章　单元质量测评 　时间：120分钟　　满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B＝(　　) A．{－1，0} B．{2，3} C．{－3，－1，0} D．{－1，0，2} 答案：A 解析：因为A＝{x|－<x<}，B＝{－3，－1，0，2，3}，且注意到1<<2，从而A∩B＝{－1，0}．故选A. 2．(新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x，则(　　) A．p和q都是真命题 B．綈p和q都是真命题 C．p和綈q都是真命题 D．綈p和綈q都是真命题 答案：B 解析：对于p，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题，綈p是真命题．对于q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，綈q是假命题．综上，綈p和q都是真命题．故选B. 3．已知a<0，－1<b<0，则(　　) A．－a<ab<0 B．－a>ab>0 C．a>ab>ab2 D．ab>a>ab2 答案：B 解析：∵a<0，－1<b<0，∴ab>0，a<ab2<0，故A，C，D都不正确．故选B. 4．已知集合M＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，P＝{x|(x＋1)(4－x)>0，x∈Z}，则M∩P＝(　　) A．{x|－1<x≤3，x∈Z} B．{x|0<x≤3，x∈Z} C．{x|－1≤x≤0，x∈Z} D．{x|－1≤x<0，x∈Z} 答案：A 解析：由题意，得M＝{x|－1≤x≤3}，P＝{x|－1<x<4，x∈Z}，∴M∩P＝{x|－1<x≤3，x∈Z}． 5．河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高10x元(1≤x≤10，x∈Z)，则被租出的客房会减少15x套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为(　　) A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 答案：C 解析：依题意，每天有(500－15x)间客房被租出，该连锁酒店每天租赁客房的收入为(500－15x)(200＋10x)＝－150x2＋2000x＋100000.因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，所以－150x2＋2000x＋100000>106600，即3x2－40x＋132<0，解得6<x<.因为1≤x≤10且x∈Z，所以x＝7，即该连锁酒店每间客房每天的租价应定为270元．故选C. 6．已知△ABC的边长为a，b，c，定义它的等腰判别式为D＝max{a－b，b－c，c－a}＋min{a－b，b－c，c－a}，则“D＝0”是“△ABC为等腰三角形”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：①充分性：若△ABC不为等腰三角形，不妨设a<b<c，则max{a－b，b－c，c－a}＝c－a，min{a－b，b－c，c－a}＝a－b或b－c，所以D＝c－b或b－a，故D≠0.所以若D＝0，则△ABC为等腰三角形． ②必要性：若△ABC为等腰三角形，不妨设a＝b， 则D＝max{0，b－c，c－b}＋min{0，b－c，c－b} ＝ 所以“D＝0”是“△ABC为等腰三角形”的充要条件． 7．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－2，1)，则不等式ax2＋(a＋b)x＋c－a<0的解集为(　　) A．{x|x<－，或x>} B．{x|－3<x<1} C．{x|－1<x<3} D．{x|x<－3，或x>1} 答案：D 解析：由已知得方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为x1＝－2，x2＝1，且a<0，∴＝1，＝－2.∴不等式ax2＋(a＋b)x＋c－a<0可化为x2＋x＋－1>0，即x2＋2x－3>0，解得x<－3或x>1. 8．设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为(　　) A．2 B．4 C. D．3 答案：B 解析：＝＝＝2≥2×2＝4，当且仅当xy＝3，x＋2y＝5，即x＝3，y＝1或x＝2，y＝时，等号成立．故所求的最小值为4. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知全集U＝R，集合M＝{x|>0}，集合N＝{x|0<x<1}，则下列结论正确的是(　　) A．M∩N＝N B．M∩(∁UN)≠∅ C．M∪N＝U D．M⊆∁UN 答案：AB 解析：由题意知M＝{x|x<1}，N＝{x|0<x<1}，所以M∩N＝N.又∁UN＝{x|x≤0或x≥1}，所以M∩(∁UN)＝{x|x≤0}≠∅，M∪N＝{x|x<1}≠U，M不包含于∁UN.故选AB. 10．设a>1，b>1，且ab－(a＋b)＝1，则下列说法正确的是(　　) A．a＋b有最小值2(＋1) B．a＋b有最大值(＋1)2 C．ab有最大值3＋2 D．ab有最小值3＋2 答案：AD 解析：由题意得ab≤，故有(a＋b)2－4(a＋b)－4≥0，解得a＋b≥2＋2或a＋b≤－2＋2(舍去)，即a＋b≥2＋2(当且仅当a＝b＝＋1时取等号)，A正确；因为a＋b≥2，所以－(a＋b)≤－2，ab－(a＋b)≤ab－2，又因为ab－(a＋b)＝1，所以1≤ab－2⇒2≤ab－2＋1，2≤(－1)2⇒－1≥⇒≥＋1⇒ab≥3＋2(当且仅当a＝b＝＋1时取等号)，则ab有最小值3＋2，D正确．故选AD. 11．若关于x的一元二次方程(x－2)(x－3)＝m有实数根x1，x2，且x1<x2，则下列结论正确的是(　　) A．当m＝0时，x1＝2，x2＝3 B．m>－ C．当m>0时，2<x1<x2<3 D．二次函数y＝(x－x1)(x－x2)＋m的图象与x轴交点的坐标为(2，0)和(3，0) 答案：ABD 解析：∵m＝0时，方程为(x－2)(x－3)＝0，∴x1＝2，x2＝3，故A正确；设y＝(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6＝－，∴y的最小值为－，∵一元二次方程(x－2)(x－3)＝m有实数根x1，x2，且x1<x2，∴m>－，故B正确；∵m>0时，y＝(x－2)(x－3)>0，函数y＝(x－2)(x－3)－m与x轴交于(x1，0)，(x2，0)，∴x1<2<3<x2，故C错误；∵y＝(x－x1)(x－x2)＋m＝(x－2)(x－3)－m＋m＝(x－2)(x－3)，∴二次函数y＝(x－x1)(x－x2)＋m的图象与x轴交于点(2，0)，(3，0)，故D正确．故选ABD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．集合A＝{1，2，3，5}，当x∈A时，若x－1∉A，x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为________． 答案：1 解析：当x＝1时，x－1＝0∉A，x＋1＝2∈A； 当x＝2时，x－1＝1∈A，x＋1＝3∈A； 当x＝3时，x－1＝2∈A，x＋1＝4∉A； 当x＝5时，x－1＝4∉A，x＋1＝6∉A； 综上可知，A中只有一个孤立元素5. 13．由命题“∃x∈R，x2＋2x＋m＝0”是假命题，求得实数m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a＝________． 答案：1 解析：因为命题“∃x∈R，x2＋2x＋m＝0”是假命题，所以其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m≠0”是真命题，等价于方程x2＋2x＋m＝0无实根，所以Δ＝4－4m<0，解得m>1，又因为m的取值范围是(a，＋∞)，所以实数a＝1. 14．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg·L－1)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则经过________h后池水中该药品的浓度达到最大． 答案：2 解析：C＝＝.因为t>0，所以t＋≥2＝4.所以C＝≤＝5，即当t＝2时，C取得最大值． 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x≤m－1或x≥m＋1}． (1)当m＝0时，求A∩B； (2)若p：－1<x<3，q：x≤m－1或x≥m＋1，且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 解：(1)当m＝0时，B＝{x|x≤－1或x≥1}， 又A＝{x|－1<x<3}， 所以A∩B＝{x|1≤x<3}． (2)因为p：－1<x<3，q：x≤m－1或x≥m＋1. q是p的必要不充分条件，所以m－1≥3或m＋1≤－1，所以m≤－2或m≥4. 16．(本小题满分15分)已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1，或x>b}． (1)求a； (2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0. 解：(1)因为不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1，或x>b}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根， 由根与系数的关系，得 解得a＝1，b＝2. (2)由(1)，知不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0为x2－(2＋c)x＋2c<0， 即(x－2)(x－c)<0. ①当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2<x<c}； ②当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|c<x<2}； ③当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为∅. 综上可知，当c>2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|2<x<c}； 当c<2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|c<x<2}； 当c＝2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为∅. 17．(本小题满分15分)已知关于x的不等式(m2＋4m－5)x2－4(m－1)x＋3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围． 解：①当m2＋4m－5＝0，即m＝1或m＝－5时，显然m＝1符合条件，m＝－5不符合条件； ②当m2＋4m－5≠0时，由二次函数对一切实数x恒为正数， 得 解得1<m<19. 综合①②，得实数m的取值范围为1≤m<19. 18．(本小题满分17分)已知正实数a，b满足a＋b＝1，求＋的最小值． 解：＋＝a2＋b2＋＋＋4＝(a2＋b2)＋4＝[(a＋b)2－2ab]·＋4＝(1－2ab)＋4， 由a＋b＝1，得ab≤＝， 所以1－2ab≥1－＝， 且≥16， 所以＋≥×(1＋16)＋4＝， 所以＋的最小值为. 19．(本小题满分17分)按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为h1和h2，则他对这两种交易的综合满意度为. 现假设甲生产A，B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A，B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A，B的单价分别为mA元和mB元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙． (1)求h甲和h乙关于mA，mB的表达式；当mA＝mB时，求证：h甲＝h乙； (2)设mA＝mB，当mA，mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？ (3)记(2)中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取mA，mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立？说明理由． 解：设mA＝x，mB＝y. (1)证明：甲买进产品A的满意度： h1甲＝； 甲卖出产品B的满意度：h2甲＝； 甲买进产品A和卖出产品B的综合满意度： h甲＝； 同理，乙卖出产品A和买进产品B的综合满意度：h乙＝. 当x＝y时， h甲＝＝ ＝， h乙＝＝ ＝， 故h甲＝h乙． (2)当x＝y时， 由(1)知h甲＝h乙＝， 因为＝≤，当且仅当y＝10时，等号成立．当y＝10时，x＝6. 因此，当mA＝6，mB＝10时，甲、乙两人的综合满意度均最大，且最大的综合满意度为. (3)由(2)知h0＝. 因为h甲h乙＝ ＝≤， 所以，当h甲≥，h乙≥时，有h甲＝h乙＝. 因此，不能取到mA，mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立． 1 学科网（北京）股份有限公司 $