专题06 拓展：分式不等式、高次不等式、绝对值不等式的七大题型（高效培优专项训练）数学北师大版2019必修第一册

专题06 拓展:分式不等式、高次不等式、绝对值不等式的七大题型 题型一：解分式不等式 2 题型二：高次不等式的解法 4 题型三：公式法解绝对值不等式 5 题型四：平方法解绝对值不等式 6 题型五：去绝对值法解绝对值不等式 7 题型六：绝对值性质法解绝对值不等式 8 题型七：零点分段讨论法 8 【知识点综述】 1. 分式不等式的解法 解分式不等式的实质就是讲分式不等式转化为整式不等式. 设A、B均为含x的多项式 （1） （2） （3） （4） 【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母. 二、高次不等式的解法 如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下： 1.标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式； 2.分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正； 3.求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注） 4.穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，（奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧） 5.得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间； 若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间 三、绝对值不等式的解法 1.绝对值的代数意义 正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 2.绝对值的几何意义 一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 3.两个数的差的绝对值的几何意义 表示在数轴上，数和数之间的距离． 4.绝对值不等式的解集 （1）的解集是，如图1． （2）的解集是，如图2． （3）． （4）或 可简记为：大于找两边，小于找中间. 5.绝对值不等式的性质 (1); (2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|. 题型一：解分式不等式 分式不等式往往化除为乘，转化为整式不等式求其解集,在转化时要注意分母不能为0这一隐含条件. 1．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 3.不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 4.不等式的解是__________． 5.解下列分式不等式： (1)≤1； (2)<0； (3) 6. 解关于的不等式. 题型二：高次不等式的解法 (1)对于高次不等式一般用穿针引线法求解； (2)对于高次不等式与分式不等式综合的问题，往往先将分式不等式转化为整式不等式，再利用穿针引线法求解. 7.不等式的解集为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 8.不等式的解集为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 9.解不等式（x+2）（x-1）9（x+1）12（x-3）≥0. 10.解下列分式不等式： （1）;（2）;   （3）; （4）． 题型三：公式法解绝对值不等式 若一个绝对值不等式一边为含绝对值的代数式，另一边为正数，则一般可以类比以下绝对值不等式套用公式求解： (1)． (2)或. 上述规律可简记为：大于找两边，小于找中间. 11.不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 12.不等式的解集是___________ 13.解下列不等式： （1）； （2）； （3）； 14．已知，设集合，． (1)求集合A和集合B； (2)求，求实数m的取值范围． 题型四：平方法解绝对值不等式 对于绝对值不等式（其中A,B为含未知数的代数式），一般利用平方法求解， 即转化为求解. 15.不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 16.不等式的解集为 ； 17.解下列不等式： (1); (2). 题型五：去绝对值法解绝对值不等式 对于形如|A|>B或|A|<B的不等式（其中A，B）中都含有未知数，常利用绝对值的意义对A与0的大小分类讨论，从而脱去绝对值，转化为不含绝对值的不等式求解. 此外，这类不等式其解集具有规律性，最终也可总结成如下公式，利用公式法简解: . 18．解关于x的不等式：； 19.解不等式： (1)； (2). 题型六：绝对值性质法解绝对值不等式 对于不少于2个绝对值的不等式，有时可利用以下性质能转化为不含绝对值的不等式： ， 从而去掉了绝对值，转化为常见的不等式求解. 20．不等式|x－5|＋|x＋3|≥1的解集是(　　) A.[－5，7] 　 B.[－4，6] C.(－∞，－5]∪[7，＋∞) 　 D.(－∞，＋∞) 21．（2025·上海·三模）不等式的解集为 ． 22．（24-25高三上·上海·期中）若对于任意的实数，恒成立，则实数的取值范围为 . 23．（24-25高三上·上海·阶段练习）存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围为 . 题型七：零点分段讨论法 对于不少于两个绝对值的不等式，可先求出使各绝对值等于0的x的值（简称为零点），再针对这些零点将x的范围分割成若干部分，通过分类讨论去掉绝对值，转化为不含绝对值的不等式求解. 24．不等式的解集为_________. 25．不等式的解集为______． 26．（24-25高一·上海·课堂例题）已知函数． (1)求该函数的最小值； (2)解不等式． 27．（24-25高一上·上海·期中）已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若的解集为R，求a的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 拓展:分式不等式、高次不等式、绝对值不等式的七大题型 题型一：解分式不等式 2 题型二：高次不等式的解法 4 题型三：公式法解绝对值不等式 6 题型四：平方法解绝对值不等式 7 题型五：去绝对值法解绝对值不等式 8 题型六：绝对值性质法解绝对值不等式 9 题型七：零点分段讨论法 10 【知识点综述】 1. 分式不等式的解法 解分式不等式的实质就是讲分式不等式转化为整式不等式. 设A、B均为含x的多项式 （1） （2） （3） （4） 【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母. 二、高次不等式的解法 如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下： 1.标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式； 2.分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正； 3.求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注） 4.穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，（奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧） 5.得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间； 若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间 三、绝对值不等式的解法 1.绝对值的代数意义 正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 2.绝对值的几何意义 一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 3.两个数的差的绝对值的几何意义 表示在数轴上，数和数之间的距离． 4.绝对值不等式的解集 （1）的解集是，如图1． （2）的解集是，如图2． （3）． （4）或 可简记为：大于找两边，小于找中间. 5.绝对值不等式的性质 (1); (2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|. 题型一：解分式不等式 分式不等式往往化除为乘，转化为整式不等式求其解集,在转化时要注意分母不能为0这一隐含条件. 1．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】原不等式可化为，解得．故选：D． 2．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，解得：或， ∴不等式的解集为，故选：D. 3.不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以且， 所以且，所以且， 所以不等式的解集为，故选：C 4.不等式的解是__________． 【答案】 【解析】不等式等价于或解得 5.解下列分式不等式： (1)≤1； (2)<0； (3) 【解析】（1）∵≤1，∴－1≤0，∴≤0，即≥0. 此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0，解得x<或x≥4. ∴原不等式的解集为 {或} （2）由<0得>0，此不等式等价于 (x－1)>0， 解得x<－或x>1， ∴原不等式的解集为或}. (3)通分整理，原不等式化为：， 它等价于，解得或且， ∴原不等式的解集为或}. 6. 解关于的不等式. 【解析】原不等式可化为） (1)当，即或时，不等式的解集为； (2)当，即或时，不等式的解集为； (3)当，即时，不等式的解集为. 题型二：高次不等式的解法 (1)对于高次不等式一般用穿针引线法求解； (2)对于高次不等式与分式不等式综合的问题，往往先将分式不等式转化为整式不等式，再利用穿针引线法求解. 7.不等式的解集为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【解析】不等式，化为：， 由穿根法可知：不等式的解集为：或.故选：A. 8.不等式的解集为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【解析】不等式，化为：， 由穿根法可知：不等式的解集为：或.故选：A. 9.解不等式（x+2）（x-1）9（x+1）12（x-3）≥0. 【解析】根据不等式标根 所以原不等式的解为. 故答案为：. 10.解下列分式不等式： （1）;（2）;   （3）; （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【解析】（1），所以， 所以， 即，解得， 故原不等式的解集为； （2），所以 等价于， 解得或或， 故原不等式的解集为 （3），所以， 等价于， 解得或， 故原不等式的解集为； （4），所以，即， 即,因为恒成立， 所以原不等式等价于， 即，解得或， 故原不等式的解集为 题型三：公式法解绝对值不等式 若一个绝对值不等式一边为含绝对值的代数式，另一边为正数，则一般可以类比以下绝对值不等式套用公式求解： (1)． (2)或. 上述规律可简记为：大于找两边，小于找中间. 11.不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不等式.故选：D. 12.不等式的解集是___________ 【答案】 【解析】不等式可化为， ∴，或； 解之得：或， 即不等式的解集是. 13.解下列不等式： （1）； （2）； （3）； 【解析】（1）由题意，，解得， 所以原不等式的解集为． （2）由题意，或，解得或， 所以原不等式的解集为． （3）由题意，，解得， 所以原不等式的解集为． 14．已知，设集合，． (1)求集合A和集合B； (2)求，求实数m的取值范围． 【解析】(1)，， 或， 或， 或. (2),, 或，且， 或. 题型四：平方法解绝对值不等式 对于绝对值不等式（其中A,B为含未知数的代数式），一般利用平方法求解， 即转化为求解. 15.不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两边平方后可求不等式的解. 【解析】因为，故，故，故， 故选：D. 16.不等式的解集为 ； 【答案】 【分析】利用同时平方法求解绝对值不等式即可. 【解析】左右两侧同时平方得， 所以，故， 化简得，解得. 17.解下列不等式： (1); (2). 【解析】（1）两边平方得， 解得，故解集为. （2）由不等式，可得， 即，即， 解得，即原不等式的解集为. 题型五：去绝对值法解绝对值不等式 对于形如|A|>B或|A|<B的不等式（其中A，B）中都含有未知数，常利用绝对值的意义对A与0的大小分类讨论，从而脱去绝对值，转化为不含绝对值的不等式求解. 此外，这类不等式其解集具有规律性，最终也可总结成如下公式，利用公式法简解: . 18．解关于x的不等式：； 【解析】解法一：由题意，当时，原不等式可化为，解得； 当时，原不等式可化为，解得， 所以不等式的解集为. 解法二：原不等式等价于， 解得， 所以原不等式的解集为. 19.解不等式： (1)； (2). 【分析】（1）利用绝对值不等式的解法求解即可； （2）法一：分和两种情况求解即可.（2）利用绝对值不等式的解法求解即可. 【解析】（1）原不等式等价于， 由可得或，解的或； 由可得，解的. 综上所述，原不等式的解为，或. （2）解法一：当，即时，不等式可化为， 解得，∴不存在满足条件的. 当，即时，不等式可化为，解的，∴， 综上所述，原不等式的解为， 解法二：原不等式可化为或， 即或，即 ∴原不等式的解为. 题型六：绝对值性质法解绝对值不等式 对于不少于2个绝对值的不等式，有时可利用以下性质能转化为不含绝对值的不等式： ， 从而去掉了绝对值，转化为常见的不等式求解. 20．不等式|x－5|＋|x＋3|≥1的解集是(　　) A.[－5，7] 　 B.[－4，6] C.(－∞，－5]∪[7，＋∞) 　 D.(－∞，＋∞) 【答案】D 【解析】|x－5|＋|x＋3|≥|(x－5)－(x＋3)|＝8>1⇒原不等式的解集为R，故选D. 21．（2025·上海·三模）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据绝对值三角不等式及题干可得，等式成立需要同号，列不等式求解即可得解. 【解析】因为，又， 所以，则. 22．（24-25高三上·上海·期中）若对于任意的实数，恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据绝对值三角不等式求得的最小值，由此列不等式来求得的取值范围. 【解析】， 当且仅当时等号成立， 所以，解得 23．（24-25高三上·上海·阶段练习）存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，将问题转化为，代入计算，即可得到结果. 【解析】由题意可得 又， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以， 即实数的取值范围为. 题型七：零点分段讨论法 对于不少于两个绝对值的不等式，可先求出使各绝对值等于0的x的值（简称为零点），再针对这些零点将x的范围分割成若干部分，通过分类讨论去掉绝对值，转化为不含绝对值的不等式求解. 24．不等式的解集为_________. 【答案】 【解析】，化为： 或或 解得：或或. 不等式的解集为： 25．不等式的解集为______． 【解析】当时，，解得， 当时，，解得 当时，，解得， 综合得不等式的解集为 26．（24-25高一·上海·课堂例题）已知函数． (1)求该函数的最小值； (2)解不等式． 【分析】（1）根据绝对值三角不等式求函数的最小值； （2）分，和三种情况求解不等式. 【解析】（1）， 当且仅当取等号，所以． （2）当时，，解得，所以． 当时，，无解． 当时，，解得，所以． 综上，或． 不等式解集为 27．（24-25高一上·上海·期中）已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若的解集为R，求a的取值范围． 【分析】（1）分类讨论去绝对值，列式求解即可； （2）分析可知，由绝对值不等式可得，进而可得结果. 【解析】（1）原不等式可化为或或，解得， 所以不等式的解集为． （2）由已知可得， 因为，当且仅当时，等号成立， 则，即，即或，解得或 所以a的取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$