第一章 预备知识知识归纳与题型突破（14知识点+18题型）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（北师大版2019必修第一册）

第一章 预备知识知识归纳与题型突破（14知识点+18题型） 1、 元素与集合的相关概念 1.集合的基本概念 （1）集合:一般地,一定范围内某些　确定的　、　不同的　对象的全体组成一个集合,通常用大写拉丁字母来表示集合. （2）元素:集合中的　每一个对象　称为该集合的元素,简称元.通常用小写拉丁字母表示. （3）集合相等:如果两个集合所含的元素　完全相同　,那么称这两个集合相等. （4）集合中元素的特性:确定性、互异性和无序性. 特性 含义 确定性 集合的元素必须是确定的.因此,不能确定的对象不能组成集合,即给定一个集合,任何对象是不是这个集合的元素,应该可以明确地判断出来 互异性 对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的.因此,集合中的任意两个元素必须都是不同的对象,相同的对象归入同一个集合时只能算作集合中的一个元素 无序性 集合中的元素可以任意排列 2. 常见的数集及符号表示 数集 自然数集 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 3. 元素与集合的关系 1.属于:如果a是集合A的元素,那么就记作　a∈A　,读作“a属于A”. 2.不属于:如果a不是集合A的元素,那么就记作　a∉A　或　a⋷A　,读作“a不属于A”. 4. 列举法 将集合的元素　一一列举出来　,并置于花括号“{　}”内,用这种方法表示集合,元素之间要用逗号分隔,但列举时与元素的次序　无关　. 4. 描述法 将集合的　所有元素　都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成{x｜p(x)}的形式.{x｜p(x)}中　x　为集合的代表元素,　p(x)　指元素x具有的性质. 5. Venn图 为了直观地表示集合,常画一条　封闭　的曲线,用它的内部来表示一个集合,称为Venn图. 7. 集合的分类 按照集合中元素的个数分类 (1)有限集:含有　有限　个元素的集合称为有限集; (2)无限集:含有　无限　个元素的集合称为无限集; (3)空集:把　不含任何　元素的集合称为空集,记作⌀. 2、 集合的基本关系和基本运算 1. 集合的基本关系 子集 真子集 概念 如果集合A的　任意一个　元素都是集合B的元素(若a∈A,则a∈B),那么集合A称为集合B的子集,记作　A⊆B　或　B⊇A　,读作“集合A　包含于　集合B”或“集合B包含集合A” 如果　A⊆B　,并且　A≠B　,那么集合A称为集合B的真子集,记为　A⫋B　或　B⫌A　,读作“　A真包含于B　”或“　B真包含A　” 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集,即　A⊆A　; (2)对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么　A⊆C　; (3)规定⌀⊆A,即空集是任何集合的子集 (1)若A⫋B且B⫋C,则A　⫋　C; (2)若A⊆B且A≠B,则A　⫋　B; (3)空集是任何非空集合的真子集 1. 集合的基本运算 （1）.全集 ①概念:如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的　所有元素　,那么就称这个集合为全集; ②记法:通常记作　U　. （2）补集 文字语言 设A⊆S,由S中不属于集合A的　所有元素　组成的集合称为S的子集A的补集,记作　∁SA　(读作“A在S中的补集”) 符号语言 ∁SA＝　{x｜x∈S,且x∉A}　 图形语言 （3）交集 文字语言 由所有属于集合A　且　属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的交集,记作　A∩B　(读作“　A交B　”) 符号语言 A∩B＝　{x｜x∈A,且x∈B}　 图形语言 运算性质 A∩B＝　B∩A　,A∩A＝　A　,A∩⌀＝⌀∩A＝　⌀　,A∩∁UA＝⌀,A∩B⊆A,A∩B⊆B,A⊆B⇔A∩B＝A （4）并集 文字语言 由所有属于集合A　或者　属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的并集,记作　A∪B　(读作“　A并B　”) 符号语言 A∪B＝　{x｜x∈A,或x∈B}　 图形语言 运算性质 A∪B＝　B∪A　,A∪A＝　A　,A∪⌀＝⌀∪A＝　A　,A∪∁UA＝U,A⊆A∪B,B⊆A∪B,A⊆B⇔A∪B＝B 3、 有限集合的子集真子集个数 对于集合A的子集我们有如下结论： 集合A A的所有子集 子集个数 真子集个数 非空真子集个数 ∅, 1 0 ∅,,, 3 2 ∅,,,,, ,, 7 6 猜想：A= 总结为有限集A中有n个元素，则集合A的子集有2n个，则集合A的非空子集有2n－1个， 集合A的真子集有2n－1个.集合A的非空真子集有2n－2个 4、 命题及基本概念 （1）命题的定义:可　判断真假　的陈述句叫作命题. （2）命题的条件和结论:数学中,许多命题可表示为“如果p,那么q”或“若p,则q”的形式,其中　p　叫作命题的条件,　q　叫作命题的结论. （3）命题的分类:判断为真的命题叫作真命题,判断为假的命题叫作假命题 五、充分条件、必要条件、充要条件 （1）定义 如果命题“若，则”为真(记作)，则是的充分条件；同时是的必要条件. （2）从逻辑关系上看 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； ②若p⇒q，且qp，则p是q的充分不必要条件； ③若pq且q⇒p，则p是q的必要不充分条件； ④若p⇔q，则p是q的充要条件； ⑤若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件． 六、全称量词及全称命题、存在量词及特称命题 1、全称量词及全称命题 （1）全称量词：短语含有“所有、一切、任意、全部、每一个等”在逻辑中通常叫做全称量词．并用符号“”表示. （2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．表示为：“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”． 2、存在量词及特称命题 （1）存在量词：短语含有“存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等”在逻辑中通常叫做存在量词。 （2）含有存在量词的命题，叫做特称命题．表示为“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”． 七：命题的否定及含量词命题的否定 （1） 命题的否定：命题的条件不变，只否定命题的结论； （2）量词命题的否定：先否定量词，再否定结论；全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． 全称量词命题的否定为，. 存在量词命题的否定为. （3）“或”的否定为：“非且非”；“且”的否定为：“非或非”． 八：集合关系看充分必要条件 设集合. （1） 若是的充分条件()，是的必要条件⇔则 （2）若，则是的必要条件，是的充分条件则⇔ （3）若是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且 ⇔则 （4）若是的必要不充分条件，是p的充分不必要条件，即且 ⇔则 （5）若与互为充要条件⇔则 注：关于数集间的充分必要条件满足：“小范围大范围”. 九．等式与不等式 1、不等式关系与不等式 （1）不等式的概念：用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式． （2）常见文字语言与符号语言的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 2、实数大小比较的依据 实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大，所以实数可以比较大小，如下表所示： 文字语言 符号语言 如果，那么是正数； 如果，那么等于零； 如果，那么是负数． 反之亦然 ； ； 3、等式的性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加、减性 可逆 4 可乘性 同向 5 可除性 同向 4、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 10. 基本不等式 1、基本不等式 （1）定理：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立． （2）推论：如果，，那么，当且仅当时，等号成立． 【说明】叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 上述定理与推论中的不等式通常称为基本不等式． 2、最值定理 （1）最值定理：已知都是正数， ①若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为． ②若xy＝p(积p为定值)，则当x=y时，和x＋y有最小值，且这个值为2． 最值定理简记为：积定和最小，和定积最大． （2）在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等． ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三相等：含变数的各项均相等，取得最值． 3、基本不等式的变式与拓展 （1）基本不等式链 或． 当且仅当时等号成立． 其中，为的调和平均值，为的平方平均值 （2）基本不等式的拓展 ①三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． ②元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． 十一、 一元二次不等式 1、三个“二次”的关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集． 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 2、解一元二次不等式的一般步骤 （1）判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值； （2）求根：计算判别式，求出相应方程的实数根； ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解． （3）标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时）， 并画出开口向上的抛物线示意图； （4）写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集． 口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间 3、含参一元二次不等式的讨论依据 （1）对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论； （2）当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论； （3）当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集． 4、一元高次不等式的解法 如果将分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下： （1）标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式； （2）分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正； （3）求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注）； （4）穿线：从数轴右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，穿线时要遵循“奇穿偶回”的原则（即经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧），简称“击过偶不过”； （5）写解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间；若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间． 十二、分式不等式的解法 分式不等式的解法 （1） （2） （3） （4） 十三、绝对值不等式解法 绝对值不等式的解法 （1） （2）； ； （3） 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解 14. 不等式恒成立问题 1．一元二次不等式恒成立问题 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足. （5）)对于ax2＋bx＋c>0不等式恒成立时，最高次数的系数含参要考虑为零情况。 2．区间恒成立问题. 函数在某区间恒成立时，若能够分离参数成k<f(x)或k>f(x)形式．则可以转化为函数值域求解． 设f(x)的最大值为M，最小值为m. (1)k<f(x)恒成立⇔k<m，k≤f(x)恒成立⇔k≤m. (2)k>f(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M. 题型一　集合的概念及应用 例题：1.下列说法中正确的是（    ） A．与定点等距离的点不能组成集合 B．由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为5 C．一个集合中有三个元素，其中是的三边长，则不可能是等腰三角形 D．高中学生中的游泳能手能组成集合 【答案】C 【分析】根据集合中的元素的互异性、确定性等性质对选项逐一判断即可得出结论. 【详解】对于A，与定点等距离的点是线段的垂直平分线上的所有点，满足集合中元素的性质，能构成集合，即A错误； 对于B，因为集合中的元素具有互异性，因此由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为4，可知B错误； 对于C，由集合中的元素具有互异性可知，各不相同，所以不可能是等腰三角形，即C正确； 对于D，高中学生中的游泳能手不具有确定性，不能组成集合，即D错误. 故选：C 例题2．给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据，，，，，这几个常用数集的含义判断即可. 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 对于⑥，因为，所以⑥错误. 故选：A. 巩固训练 1．(多选题)下列各组对象能组成集合的是（    ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．函数图象上所有的点 【答案】ACD 【分析】根据集合中元素的确定性逐项判断即可得解. 【详解】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性；而选项B中，“难题”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合． 故选：ACD 2．下列关系中正确的个数为（    ） ①，②，③，④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】由数与数域的关系判断出正确个数，求出答案. 【详解】对于①，，①错误； 对于②，，②正确； 对于③，，③错误； 对于④，，④错误， 故正确的个数为1个. 故选：A 题型二　元素与集合关系求参数 例题1．已知集合，且，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C．0 D． 【答案】B 【分析】分别令，，解出的值，并根据集合中元素的互异性排除不合题意的值. 【详解】若，则，则根据集合中元素的互异性知不符合题意，舍去； 若，解得或， 若，则根据集合中元素的互异性知不符合题意，舍去； 若，则，符合题意. 故选：B. 例题2．已知一个三角形的三边长为一个集合的3个元素，该三角形一定不可能是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】根据集合元素的互异性可以得出答案 【详解】因为三角形的三边长为一个集合的3个元素，根据集合元素的互异性，三角形的三条边长互不相等，所以一定不可能是等腰三角形. 故选：D. 巩固训练 1．已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 【答案】B 【分析】由题意可得或，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案. 【详解】因为且， 所以或， ①若，此时，不满足元素的互异性； ②若，解得或3， 当时不满足元素的互异性，当时，符合题意. 综上所述，. 故选：B 2．已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系求出值，然后代入检验即得. 【详解】因，，故有：或， 由解得：或，由解得：， 又因时，，与集合元素互异性矛盾，故舍去，而时，符合题意. 故选：D. 题型三　集合相等求参数 例题1．已知实数集合，若， 则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据得到，或，，然后解方程，再根据集合中元素的互异性得到，，最后计算即可. 【详解】当，时，，或任意，（舍去）； 当，时，，，不成立， 所以，，. 故选：A. 例题2．集合，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合相等可知方程有相等实根2，即可由根与系数关系求解. 【详解】因为集合， 所以方程有相等实根2， 根据根与系数的关系可知，， 所以， 故选：B 【点睛】本题主要考查了根据集合的元素求参数，一元二次方程，属于容易题. 巩固训练 1．设为非零实数,m=+++，则的所有值组成的集合为 【答案】 【分析】分别根据的正负，分类讨论，即可求解的值，得到答案. 【详解】因为为非零实数， 所以时，+++； 当中有一个小于0时，不妨设， 此时+++； 当中有两个小于0时，不妨设， 此时+++； 当中有三个小于0时，此时+++， 所以的所有值组成的集合为 【点睛】本题主要考查了集合的运算与集合的表示，其中解答中分别根据的正负，分类讨论，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．含有三个实数的集合既可表示成又可表示成， . 【答案】1 【分析】根据两个集合的相等关系，可求得的值，即可得解. 【详解】由题意可知，两个集合相等，， 由所以只能是，即，所以， 由集合互异性可知，则，解得，符合题意， 所以， 故答案为：1. 【点睛】本题考查了集合相等的应用，由集合互异性和相等求参数，属于基础题. 3．已知集合只有一个元素，则实数的值为（   ） A．1或0 B．0 C．1 D．1或2 【答案】A 【分析】讨论，当时，方程是一次方程，当时，二次方程只有一个解，，即可求. 【详解】若集合只有一个元素，则方程只有一个解， 当时，方程可化为，满足题意， 当时，方程只有一个解，则，解得， 所以或. 故选：. 4．（1）设集合，，，则中元素的个数为 ． （2）设，集合，则 ． （3）若集合中只有一个元素，则 ． 【答案】 5 0或 【分析】（1）根据给定条件计算出所有的值，再借助集合中元素的性质即可作答. （2）由已知可得，所以，则，进而求得，可求结论. （3）分析当与两种情况进行讨论即可求解. 【详解】（1）因集合，， 当时，的值有：6，7，8，9， 当时，的值有：7，8，9，10， 于是得，所以中元素的个数为5. （2）由题意，可得，所以，则， 所以，所以. （3）当时，有，解得，满足条件； 当时，仅有一根，故，解得， 综上，或. 故答案为：①；②；③或 题型四　集合的表示方法 例题1．．集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先解不等式组，再用列举法表示即可. 【详解】由，解得， 所以. 故选：C 例题2．对集合用描述法来表示，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的集合的公共属性及各选项中集合表示的数的特征判断即得. 【详解】集合是不超过5的正整数的倒数形成的集合， 对于AB，集合AB中的有负数，AB不是； 对于C，集合中没有，C不是； 对于D，满足对集合的描述，D是. 故选：D 巩固训练 1．下列集合中有无数个元素的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出各个选项的元素个数即可得出答案. 【详解】对于A，因为，，则，，故A 错误； 对于B，因为，，则， 所以，故B错误； 对于C，，，所以，故C错误； 对于D，有无数个元素.故D正确. 故选：D. 2．下列命题中正确的（    ） ①与表示同一个集合； ②由组成的集合可表示为或； ③方程的所有解的集合可表示为； ④集合可以用列举法表示． A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上语句都不对 【答案】C 【分析】根据集合的定义和表示方法分别进行判断． 【详解】①{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误； ②符合集合中元素的无序性，正确； ③不符合集合中元素的互异性，错误； ④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示，错． 故选：C 3．下列四个命题中正确的是（   ） A．由所确定的实数集合为 B．同时满足的整数解的集合为 C．集合可以化简为 D．中含有三个元素 【答案】BC 【分析】利用绝对值的意义，去绝对值符号，即可判定A；解不等式得到x的取值范围，用列举法表示出整数解的集合即可判定B；由，，，用列举法可判定C；用试根的方式找出满足条件的元素可判断D. 【详解】解：对于选项A， 当都是正数时，原式 当都是负数时，原式 当两正一负时，原式 当两负一正时，原式故A错误； 对于选项B，由，得， 所以符合条件的整数解的集合为，故B正确； 对于选项C，由，，， 可以得到符合条件的数对有，，，故C正确； 对于选项D，当时，；当时， 当时，；当时，； 当时，；当时，， 所以集合A含有四个元素2，1，0，，故D错误. 故选：BC. 题型五　集合基本关系的判断 例题1．下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系分析判断. 【详解】对于①：因为0是的元素，所以，故①正确； 对于②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以，故②正确； 对于③：因为集合的元素为0，1，集合的元素为， 两个集合的元素全不相同，所以之间不存在包含关系，故③错误； 对于④：因为集合的元素为，集合的元素为， 两个集合的元素不一定相同，所以不一定相等，故④错误； 综上所述：正确的个数为2. 故选：B. 例题2．已知是正数，是正整数，是实数，那么之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合间的关系得到结果； 【详解】集合的关系如图：    故选：B. 巩固训练 1．集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断的关系可得结论. 【详解】任取，则，， 所以，所以， 任取，则，， 所以，所以， 所以， 任取，则，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以， 故选：C. 2．有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（    ） A．①③ B．②④⑤ C．③④ D．①②⑤⑥ 【答案】C 【分析】根据集合元素的无序性判断①；根据子集的定义判断②；根据集合及空集的定义判断③④⑤；利用元素与集合的关系判断⑥． 【详解】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确； 对②：因为集合，故正确，即②正确； 对③：空集是一个集合，而集合是以空集为元素的一个集合，因此不正确； 对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确； 对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确； 对⑥：显然成立，因此⑥正确． 综上，本题不正确的有③④，于是本题选项为C． 故选：C． 3．已知集合，，，则下列的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将集合化为与相同的形式，即可判断集合间的关系. 【详解】由， 而为奇数，为整数，又， 所以 故选：B. 题型六　集合基本关系求参数 例题1．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合，根据求出实数的取值范围. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 例题2．已知a，，集合，，若，则的可能取值为（    ） A．1 B．4 C．6 D．7 【答案】CD 【分析】利用相等集合的概念及集合元素的性质即可得出结论. 【详解】，，， 或，解得或或， 当，时，，，符合题意，， 当，时，，不符合集合元素的互异性，故舍去， 当，时，，，符合题意， 故选：CD. 巩固训练 1．已知集合，集合.若集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的包含关系求解即可. 【详解】集合，集合， 若集合，则. 故选：A. 2．已知，，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式求出集合A，进而根据集合的包含关系即可求解． 【详解】因为，且， 若，则， 故选：D 3．已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，结合图象列不等式即可求解. 【详解】因为， 所以, 所以由数轴得. 即的取值范围为. 故选：D.    题型七　子集、真子集个数的求法 例题1．集合的真子集的个数是（    ） A．4 B．3 C．8 D．7 【答案】D 【分析】求出集合，再求其真子集的个数. 【详解】由题可得：，所以集合的真子集个数为； 故选：D 例题2．满足集合为的子集且的集合的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．15 【答案】C 【分析】根据子集的概念得到答案. 【详解】因为集合， 则集合可以为,，，，，，， 共8个， 故选：C 巩固训练 1．已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据真子集的定义，推断出集合含有4个元素，即不等式的解集中有且仅有4个整数解，由此进行分类讨论，列式算出实数的取值范围． 【详解】若集合有15个真子集，则中含有4个元素， 结合，可知，即，且区间,中含有4个整数， ①当时，,的区间长度，此时,中不可能含有4个整数； ②当时，,,，其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意； ③当时，,的区间长度大于3， 若,的区间长度，即． 若是整数，则区间,中含有4个整数，根据，可知，， 此时,,，其中含有5、6、7、8共4个整数，符合题意． 若不是整数，则区间,中含有5、6、7、8这4个整数，则必须且，解得； 若时，,,，其中含有5、6、7、8、9共5个整数，不符合题意； 当时，,的区间长度，此时,中只能含有6、7、8、9这4个整数， 故，即，结合可得． 综上所述，或或，即实数的取值范围是,,． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：由真子集的个数可得，且区间,中含有4个整数，结合区间长度，即可对讨论求解. 2．设集合，则集合的真子集个数为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】C 【分析】根据集合对元素的要求，求得集合，即得其真子集个数. 【详解】由且可知，可以取，则可取， 即，故集合的真子集个数为. 故选：C. 3．已知集合，且，则（    ） A．8或20 B．8或-20 C．或20 D．或 【答案】A 【分析】根据互异性得到，分中只有1个元素和有2个元素两种情况，结合根的判别式和韦达定理得到答案. 【详解】由题意得， 若中只有1个元素，则，且，解得， 当时，，此时， 当时，，此时， 若中有2个元素，则，则， 所以为方程的两根，故， 解得，满足，故， 所以或20. 故选：A 4．满足集合为的真子集且的集合的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【分析】根据集合的包含关系，列举出集合所有可能的情况即可. 【详解】因为集合， 则集合可以为，，，，，，共7个， 故选：B 题型八　集合的基本运算 例题1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据并集的定义即可求解. 【详解】由于，所以， 故选：B 例题2．设全集，集合，，则 ． 【答案】 【分析】由全集，可得，然后根据集合混合运算的法则即可求解． 【详解】，， ， ， ， 故答案为：． 例题3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用补集的概念进行求解. 【详解】. 故选：C 例题4．设U为全集，下面三个命题中为真命题的是（    ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 【答案】ABD 【分析】利用集合间的基本关系及交并补的概念与运算计算即可. 【详解】对于A，若，则成立，即A正确； 对于B，若，则成立，即B正确； 对于C，不妨设，有，但不成立，即C错误； 对于D，若，则集合A、集合B中均没有元素，即D正确. 故选：ABD 巩固训练 1．若集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】由，可得， 故选：A 2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合的补集与交集的运算可求结果. 【详解】根据题意，得． 故选：C. 3．设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交并补的运算逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为，， 所以，所以，所以A错误， 对于B，因为，所以或， 因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以， 所以或，所以C错误， 对于D，因为，所以， 因为，所以，所以D正确. 故选：D 4．已知集合，或. (1)若全集，求、； (2)若全集，求. 【答案】(1)或，或； (2) 【分析】（1）（2）利用并集、补集、交集的定义直接求解即可. 【详解】（1）集合，或，则或， 或，所以或. （2）由或，得， 所以. 题型八　集合的基本运算求参数 例题1．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合，再依据已知条件和即可得解. 【详解】解得或，故， 又，， 所以. 故选：A. 例题2．已知集合，若中只有1个元素，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求集合，再根据题意确定的取值范围. 【详解】，得，且，所以， 因为，且中只有1个元素， 所以. 故选：B 例题3．设集合，. (1)若且，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据且，列不等式组求的取值范围； （2）分和两种情形进行讨论，根据，列不等式组求的取值范围. 【详解】（1）因为，且，所以，解得，， 综上所述，的取值范围为. （2）由题意，需分为和两种情形进行讨论： 当时，，解得，，满足题意； 当时，因为，所以，解得，或无解； 综上所述，的取值范围为. 巩固训练 1．设全集，集合，若，则实数 ． 【答案】－3 【分析】由题意确定，进而求得，解得并判断是否满足集合即可. 【详解】因为，故，即，故，解得或； 当时，，满足条件； 当时，，不满足条件； 故. 故答案为： 2．设集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合集合的交集的运算，即可求解. 【详解】由集合，，因为，则满足. 故选：D. 3．已知集合，集合. (1)若，求； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合并集的定义进行求解即可； （2）根据集合交集的性质分类讨论求解即可. 【详解】（1）， 因为，所以， 因此； （2）因为，所以， 若，则，可得 ； 若，因此有，无解， 所以实数的取值范围为. 题型九　集合新定义题 例题1．某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（    ） A．27 B．23 C．25 D．29 【答案】A 【分析】借助韦恩图处理集合运算的容斥问题. 【详解】作出韦恩图，如图所示， 可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞，1人只喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人，同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人， 同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为. 故选：A. 例题2．若是一个非空集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：（1）；（2）对于的任意子集，当且时，有；（3）对于的任意子集当且时，有，则称是集合的一个“——集合类”例如：是集合的一个“——集合类”.已知，则所有含的“——集合数”的个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】确定中一定含有，再就选择的集合为单元素集合或双元素集合即可得答案. 【详解】的子集有， 由题意知中一定含有， 则中可以含有的其他元素从剩余的5个集合中选取； 若仅选单元素集合，则中选择1个或2个或3个均满足要求， 此时有——集合个， 若仅选一个二元子集，则，可在中或不在中均可， 故此时有——集合2个， 同理，若仅选一个二元子集时有——集合2个， 若仅选一个二元子集，则均在中， 此时有——集合1个，， 故所有含的“—集合类”的个数为， 故选：D. 巩固训练 1．定义集合运算：.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，从而可得或，或，再根据新定义得，再代入验证即可得答案. 【详解】因为，所以或 所以或，或 所以或，， 代入验证得点在该直线上， 故. 故选：D. 2．已知，，，记，用表示有限集合的元素个数. (1)若，，分别指出和时，集合的情况（直接写出结论）； (2)若，，求的最大值； (3)若，，则对于任意的A，是否都存在，使得？说明理由. 【答案】(1) (2)10 (3)不一定存在，理由见解析 【分析】（1）由已知得，其中，当时，相差3；由此可求得，当时，同理可得； （2）若，，，当时，则相差5，所以，A中至多有5个元素，所以也至多有5个元素，求出得出结果； （3）举反例和，根据题意检验即可说明. 【详解】（1）若，则，其中， 否则，， 若，当时，，， 所以，则，相差3， 因为，， 所以； 当时，，，， 所以， 因为，， 所以不存在； （2）若，，， 当时，，，，，，， 所以，，所以不存在； 所以A中至多有5个元素； 当时，，，，， 所以，则，相差5，所以； ， 所以，，. 因为中至多有5个元素，所以，也至多有5个元素， 所以的最大值为10. （3）不一定存在，理由如下： 例如， 则，，，，， 则，相差不可能1，2，3，4，5，6， 这与矛盾，故不都存在； 例如，不妨令， 则，满足. 【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，并把定义进行转化为已知的知识点或结论，方便解题. 题型十　充分条件、必要条件、充要条件的判断 例题1．已知x，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】通过特例，结合充分必要条件的判定方法即可判断. 【详解】，而 同样，而，所以充分性、必要性都不成立. 故选：D 例题2．已知集合，则是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【分析】若求出的取值，当时判断是否正确，判断时，是否可能为. 【详解】若，则且， 所以或，故当时有， 而时，不一定是， 故是的充分而不必要条件. 故选：A. 巩固训练 1．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】应用特殊值法结合既不充分也不必要条件定义判断即可. 【详解】当时，,所以是的不充分条件； 当时，,所以是的不必要条件. 故选：D. 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先将等式变形化简，再分析推出关系可得. 【详解】， 又，即， 但，如时满足，但. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3．已知，，则是的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充要也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式表示的范围大小得出和的包含关系，即可得出结论. 【详解】易知集合是集合的真子集， 即可得，所以是的充分而不必要条件. 故选：A 题型十一　充分条件、必要条件的探究 例题1．“或”的一个必要不充分条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据包含关系确定答案. 【详解】因为或是或的真子集， 所以“或”是“或”的必要不充分条件，其他选项均不合要求． 故选：A 例题2．若，则的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】选项是的充分不必要条件，则选项的范围是的子集，以此判断选项是否满足条件. 【详解】依题意可知选项是的充分不必要条件，则选项的范围是的子集， 对于选项A，不是的子集，故A不满足； 对于选项B，不是的子集，故B不满足； 对于选项C，不是的子集，故C不满足； 对于选项D，不是的子集，故D满足. 故选：D 巩固训练 1．下列是“不等式成立”的必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先化简不等式，进而根据集合间的关系求解. 【详解】由可得， 设，则其必要不充分条件对应集合，则有是的真子集， 则BD选项符合． 故选：BD． 2．“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】设，选项对应的集合为， 因为选项是“”的一个充分不必要条件，所以是的真子集，B,C符合题意， 故选：BC 题型十二　充分条件、必要条件求参数的范围 例题1．已知条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，可得由可以推出，但由推不出，从而列式算出实数的取值范围. 【详解】因为是的充分不必要条件， 所以由“”可推出“”，且由“”不能推出“”， 所以，可得. 故选：C. 例题2．设p：，q：，若q是p的必要条件，则a的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用必要条件的定义求解即得. 【详解】由q是p的必要条件，得， 所以. 故选：A 巩固训练 1．设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】依题意可得（等号不同时成立），求出的范围，再检验端点值是否符合题意. 【详解】因为，， 若是的充分不必要条件，则（等号不同时成立），解得， 当时，满足是的充分不必要条件； 当时，满足是的充分不必要条件； 综上可得实数的取值范围为． 故选：A． 2．已知，，其中，若“”是“”的充分而不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】由充分条件和必要条件的定义可得⫋，由此可得或，解不等式即可求出答案. 【详解】 由题意得⫋. 所以或， 解得， 即实数m的取值范围是. 题型十三　全称量词命题和存在量词命题的判断和求参 例题1．下列命题中，含有存在量词的是（    ） A．存在一个直角三角形三边长均为整数 B．所有偶函数图象关于y轴对称 C．任何梯形都不是平行四边形 D．任意两个等边三角形都相似 【答案】A 【分析】根据存在量词的含义判断即可. 【详解】“存在”、“有一些”、“某些”等等，这些叫做存在量词. 故选：A. 例题2．下列命题中，假命题的个数是（    ） （1）； （2）； （3），方程恰有一解； （4）两个无理数的和一定是无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合全称量词命题、存在量词命题的真假判断逐一判断各个命题即得. 【详解】对于（1），取，，（1）错误； 对于（2），取，，（2）正确； 对于（3），当时，方程有无穷多个解，（3）错误； 对于（4），都是无理数，而是有理数，（4）错误， 所以假命题的个数是3. 故选：C 例题3．已知命题“”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据命题是真命题的意思求解即可. 【详解】因为命题“”为真命题， 所以命题“”为真命题， 所以时，. 因为， 所以当时，，此时. 所以时，，即实数的取值范围是. 故选：C. 巩固训练 1．下列命题既是存在量词命题又是真命题的是（    ） A． B． C．至少存在两个质数的平方是偶数 D．存在一个直角三角形的三个内角成等差数列 【答案】BD 【分析】运用含有量词的命题的概念，结合特值法可解. 【详解】“”不是存在量词命题，A错误. ，故B正确. 因为只有质数2的平方为偶数，所以不存在两个质数的平方是偶数，C错误. 内角为的直角三角形的三个内角成等差数列，D正确. 故选：BD. 2．已知命题“”是假命题， 则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出当命题“”是真命题时的范围，取其补集可得所求结论. 【详解】由题意得， 若“”是真命题， 即当时，恒成立， 则，其中， 由，可得，所以 所以命题“”是假命题， 则的取值范围为． 故选：D. 3．若“”，“”均为真命题，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据带量词命题的真假，结合二次函数的图象，得出参数满足的条件，求解即得. 【详解】因“”为真命题，则得，解得． 又“”为真命题，则得，解得． 综上，则得． 故答案为：. 题型十四　全称量词命题和存在量词命题的否定 例题1．命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用特称量词的否定形式确定答案即可. 【详解】“，”的否定为：. ，， 故选：A 例题2．命题的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全称命题的否定得出选项. 【详解】的否定为：. 故选：C. 巩固训练 1．设命题，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可． 【详解】因为全称命题的否定是特称命题， 所以：设命题，则. 故选：C 2．已知命题，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可求解. 【详解】解：命题，， ：，. 故选：D. 题型十五　不等式及应用 例题1．下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】选项A、C、D可有反例推导错误；选项B利用不等式性质推导可得. 【详解】选项A：当时，，故A错误； 选项B：因，，所以，得，故B正确； 选项C：当时，满足，，但，故C错误； 选项D：当时，满足，，但，故D错误， 故选：B 例题2．已知， 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的取值范围，求出的取值范围. 【详解】由题意得，所以． 故选：B. 巩固训练 1．已知a，b为非零实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对ABD举反例即可判断，对C利用作差法即可判断. 【详解】对A，当时，不等式不成立，所以A不正确； 对B，当时，满足，但，所以B不正确； 对C，因为，因为，且，可得，所以，所以C正确； 对D，举例，则，则，所以D不正确. 故选：C. 2．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质计算可得. 【详解】由题意可知，, 所以. 故选：D. 3．下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BCD 【分析】利用不等式的性质一一判定选项即可. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，可知，不等式两侧同乘以，有，故B正确； 对于C，利用作差法知， 由，，知， 即，故C正确； 对于D，由，知，由不等式同向可加性的性质知D正确. 故选：BCD 题型十六　基本不等式及应用 例题1．已知，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据题意结合基本不等式运算求解，注意基本不等式的成立的条件. 【详解】因为，则， 可得，即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为4. 故选：A. 例题2．若，则的最小值为（    ） A．9 B．18 C．24 D．27 【答案】A 【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得最小值. 【详解】根据题意可得； 当且仅当，即时，等号成立； 此时的最小值为9. 故选：A. 例题3．已知正数，满足，则下列选项正确的是（ ） A．的最小值是2 B．的最小值是1 C．的最小值是4 D．的最大值是 【答案】AD 【分析】A选项利用“1”代换求最值；B选项直接运用基本不等式；C选项先把式子变形，再运用基本不等式；D选项直接运用基本不等式. 【详解】A. ，当且仅当，即时等号成立，故选项A正确. B. ，当且仅当时等号成立，故选项B错误. C. ，当且仅当时等号成立，故选项C错误. D.因为，所以，当且仅当时等号成立，故选项D正确. 故选：AD 巩固训练 1．已知，且，则的最小值为（    ） A．45 B．42 C．40 D．38 【答案】A 【分析】利用基本不等式“1”的妙用，即可求解. 【详解】由题意得， 当且仅当，即时，等号成立． 故选：A 2．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断． 【详解】对于A，因为，，且， 所以，即，当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B，根据A可知，，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当时等号成立，故C正确． 对于D，要证明，只需要证明，由于，则只需要证明，只需证明， 由于，当且仅当时等号成立，此时，故等号不能取到，故，即，故D正确. 故选：BCD 3．解答下列各题. (1)若，求的最大值. (2)若正数，满足，求的最小值. 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）将变形为，利用基本不等式计算可得结果； （2）根据基本不等式中“1”的应用代入计算可得结果. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当时，即时取等号. 故的最大值为. （2），且， 所以， 即的最小值为， 当且仅当，即，时取等号 题型十七　一元二次不等式解法 例题1．不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】因式分解，求出不等式解集. 【详解】，解得， 故不等式的解集为. 故选：A 例题2．若不等式的解集是，则实数a、b的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】借助解集是可得，计算即可得解. 【详解】由不等式的解集是，故， 且， 即，. 故选：D. 例题3．已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【答案】AB 【分析】一元二次不等式的解集可判断AB：用表示代入可判断CD. 【详解】不等式的解集为， 所以是的两个根，且，故A正确； 对于B，所以， 可得， 所以， 所以不等式的解集是，故B正确； 对于C，因为，， 可得，故C错误； 对于D，因为， 即解，解得，故D错误. 故选：AB. 巩固训练 1．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】由一元二次不等式求解即可． 【详解】由，得， 则不等式的解集为：， 故选：D 2．已知不等式，则下列说法正确的是（    ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式的解集为，则 C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为， 【答案】ABD 【分析】对于A解一元二次不等式即可判断，对于BC根据不等式的解集可知对应一元二次方程的根，由根与系数的关系求解即可判断，对于D，根据根与系数的关系及绝对值不等式即可判断. 【详解】对于A，时，不等式，即，即，解得，所以不等式的解集为，A正确； 对于B，若不等式的解集为，则二次函数的图象开口向下，即， 且方程的两根为，故，所以，B正确； 对于C，若不等式的解集为，则二次函数的图象开口向下，即， 且方程的两根为，故，C错误； 对于D，若不等式的解集为，则二次函数的图象开口向下，即， 且方程的两根为，故， 所以， 当且仅当时，等号成立，D正确. 故选：ABD. 题型十八　含参一元二次不等式解法及恒成立 例题1．若不等式对所有实数恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和两种情况讨论，时，结合二次函数图象得到的取值范围. 【详解】时，原不等式化为，解得，不对所有的恒成立，不符合题意； 时，原不等式为一元二次不等式，要对所有实数恒成立， 则二次函数的图象开口向下且与轴无交点， 从而，解得， 所以，的取值范围为， 故选：B. 例题2．设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对参数进行分类讨论得到一元二次不等式的解集后求解即可. 【详解】对于，当时，变为， 此时解得， 当时，解得， 当时，解得， 当时，此时解集为空集， 当时，解得， 综上讨论，并未在任何情况出现， 故不可能是原不等式解集，故B正确. 故选：B 巩固训练 1．不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况，结合二次函数的性质分析讨论即可得解. 【详解】当，即时，恒成立， 当时，因为对恒成立， 所以，解得， 综上，， 即实数a的取值范围为. 故选：C 2．已知函数． (1)当时，求关于x的不等式的解集； (2)求关于x的不等式的解集． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据二次不等式的解法即得； （2）根据判别式，即可结合分类讨论求解. 【详解】（1）当时，得， 由于， 故的解集为； （2）由可得， 当时，解得， 此时不等式的解集为， 当时，解得或， 的两个实数根为， 此时不等式的解集为， 综上：或，不等式的解集为，，此时不等式的解集为， 3．已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据基本不等式求得不等式左边的最小值，建立不等式，解出即可. 【详解】因为且，则 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 因为不等式恒成立，则，解得， 所以实数m的取值范围为. 故答案为：. 4．（1）若关于的不等式的解集为R，求的取值范围； （2）解关于的不等式． 【答案】（1）；（2）答案见解析 【分析】（1）通过讨论的系数，即可求解. （2）因式分解，通过讨论根的个数及大小即可求解. 【详解】当，不等式为恒成立，符合题意； 当时，由题意可得：，即， 解得：， 综上可知：的取值范围是 （2）由, 整理得 ， 当时，得，解集为； 当时，得，解集为； 当时，，得或，解集为； 当时，，得，解集为； 当时，，得或，解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 5．已知函数 (1)若的解集为，求的取值范围； (2)当时，解不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，求得，得到，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意，化简不等式为，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 因为的解集为，可得，解得， 所以，则， 因为，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的取值范围为. （2）解：由且，即， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式，此时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 预备知识知识归纳与题型突破（14知识点+18题型） 1、 元素与集合的相关概念 1.集合的基本概念 （1）集合:一般地,一定范围内某些　确定的　、　不同的　对象的全体组成一个集合,通常用大写拉丁字母来表示集合. （2）元素:集合中的　每一个对象　称为该集合的元素,简称元.通常用小写拉丁字母表示. （3）集合相等:如果两个集合所含的元素　完全相同　,那么称这两个集合相等. （4）集合中元素的特性:确定性、互异性和无序性. 特性 含义 确定性 集合的元素必须是确定的.因此,不能确定的对象不能组成集合,即给定一个集合,任何对象是不是这个集合的元素,应该可以明确地判断出来 互异性 对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的.因此,集合中的任意两个元素必须都是不同的对象,相同的对象归入同一个集合时只能算作集合中的一个元素 无序性 集合中的元素可以任意排列 2. 常见的数集及符号表示 数集 自然数集 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 3. 元素与集合的关系 1.属于:如果a是集合A的元素,那么就记作　a∈A　,读作“a属于A”. 2.不属于:如果a不是集合A的元素,那么就记作　a∉A　或　a⋷A　,读作“a不属于A”. 4. 列举法 将集合的元素　一一列举出来　,并置于花括号“{　}”内,用这种方法表示集合,元素之间要用逗号分隔,但列举时与元素的次序　无关　. 4. 描述法 将集合的　所有元素　都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成{x｜p(x)}的形式.{x｜p(x)}中　x　为集合的代表元素,　p(x)　指元素x具有的性质. 5. Venn图 为了直观地表示集合,常画一条　封闭　的曲线,用它的内部来表示一个集合,称为Venn图. 7. 集合的分类 按照集合中元素的个数分类 (1)有限集:含有　有限　个元素的集合称为有限集; (2)无限集:含有　无限　个元素的集合称为无限集; (3)空集:把　不含任何　元素的集合称为空集,记作⌀. 2、 集合的基本关系和基本运算 1. 集合的基本关系 子集 真子集 概念 如果集合A的　任意一个　元素都是集合B的元素(若a∈A,则a∈B),那么集合A称为集合B的子集,记作　A⊆B　或　B⊇A　,读作“集合A　包含于　集合B”或“集合B包含集合A” 如果　A⊆B　,并且　A≠B　,那么集合A称为集合B的真子集,记为　A⫋B　或　B⫌A　,读作“　A真包含于B　”或“　B真包含A　” 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集,即　A⊆A　; (2)对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么　A⊆C　; (3)规定⌀⊆A,即空集是任何集合的子集 (1)若A⫋B且B⫋C,则A　⫋　C; (2)若A⊆B且A≠B,则A　⫋　B; (3)空集是任何非空集合的真子集 1. 集合的基本运算 （1）.全集 ①概念:如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的　所有元素　,那么就称这个集合为全集; ②记法:通常记作　U　. （2）补集 文字语言 设A⊆S,由S中不属于集合A的　所有元素　组成的集合称为S的子集A的补集,记作　∁SA　(读作“A在S中的补集”) 符号语言 ∁SA＝　{x｜x∈S,且x∉A}　 图形语言 （3）交集 文字语言 由所有属于集合A　且　属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的交集,记作　A∩B　(读作“　A交B　”) 符号语言 A∩B＝　{x｜x∈A,且x∈B}　 图形语言 运算性质 A∩B＝　B∩A　,A∩A＝　A　,A∩⌀＝⌀∩A＝　⌀　,A∩∁UA＝⌀,A∩B⊆A,A∩B⊆B,A⊆B⇔A∩B＝A （4）并集 文字语言 由所有属于集合A　或者　属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的并集,记作　A∪B　(读作“　A并B　”) 符号语言 A∪B＝　{x｜x∈A,或x∈B}　 图形语言 运算性质 A∪B＝　B∪A　,A∪A＝　A　,A∪⌀＝⌀∪A＝　A　,A∪∁UA＝U,A⊆A∪B,B⊆A∪B,A⊆B⇔A∪B＝B 3、 有限集合的子集真子集个数 对于集合A的子集我们有如下结论： 集合A A的所有子集 子集个数 真子集个数 非空真子集个数 ∅, 1 0 ∅,,, 3 2 ∅,,,,, ,, 7 6 猜想：A= 总结为有限集A中有n个元素，则集合A的子集有2n个，则集合A的非空子集有2n－1个， 集合A的真子集有2n－1个.集合A的非空真子集有2n－2个 4、 命题及基本概念 （1）命题的定义:可　判断真假　的陈述句叫作命题. （2）命题的条件和结论:数学中,许多命题可表示为“如果p,那么q”或“若p,则q”的形式,其中　p　叫作命题的条件,　q　叫作命题的结论. （3）命题的分类:判断为真的命题叫作真命题,判断为假的命题叫作假命题 五、充分条件、必要条件、充要条件 （1）定义 如果命题“若，则”为真(记作)，则是的充分条件；同时是的必要条件. （2）从逻辑关系上看 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； ②若p⇒q，且qp，则p是q的充分不必要条件； ③若pq且q⇒p，则p是q的必要不充分条件； ④若p⇔q，则p是q的充要条件； ⑤若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件． 六、全称量词及全称命题、存在量词及特称命题 1、全称量词及全称命题 （1）全称量词：短语含有“所有、一切、任意、全部、每一个等”在逻辑中通常叫做全称量词．并用符号“”表示. （2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．表示为：“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”． 2、存在量词及特称命题 （1）存在量词：短语含有“存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等”在逻辑中通常叫做存在量词。 （2）含有存在量词的命题，叫做特称命题．表示为“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”． 七：命题的否定及含量词命题的否定 （1） 命题的否定：命题的条件不变，只否定命题的结论； （2）量词命题的否定：先否定量词，再否定结论；全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． 全称量词命题的否定为，. 存在量词命题的否定为. （3）“或”的否定为：“非且非”；“且”的否定为：“非或非”． 八：集合关系看充分必要条件 设集合. （1） 若是的充分条件()，是的必要条件⇔则 （2）若，则是的必要条件，是的充分条件则⇔ （3）若是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且 ⇔则 （4）若是的必要不充分条件，是p的充分不必要条件，即且 ⇔则 （5）若与互为充要条件⇔则 注：关于数集间的充分必要条件满足：“小范围大范围”. 九．等式与不等式 1、不等式关系与不等式 （1）不等式的概念：用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式． （2）常见文字语言与符号语言的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 2、实数大小比较的依据 实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大，所以实数可以比较大小，如下表所示： 文字语言 符号语言 如果，那么是正数； 如果，那么等于零； 如果，那么是负数． 反之亦然 ； ； 3、等式的性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加、减性 可逆 4 可乘性 同向 5 可除性 同向 4、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 10. 基本不等式 1、基本不等式 （1）定理：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立． （2）推论：如果，，那么，当且仅当时，等号成立． 【说明】叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 上述定理与推论中的不等式通常称为基本不等式． 2、最值定理 （1）最值定理：已知都是正数， ①若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为． ②若xy＝p(积p为定值)，则当x=y时，和x＋y有最小值，且这个值为2． 最值定理简记为：积定和最小，和定积最大． （2）在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等． ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三相等：含变数的各项均相等，取得最值． 3、基本不等式的变式与拓展 （1）基本不等式链 或． 当且仅当时等号成立． 其中，为的调和平均值，为的平方平均值 （2）基本不等式的拓展 ①三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． ②元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． 十一、 一元二次不等式 1、三个“二次”的关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集． 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 2、解一元二次不等式的一般步骤 （1）判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值； （2）求根：计算判别式，求出相应方程的实数根； ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解． （3）标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时）， 并画出开口向上的抛物线示意图； （4）写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集． 口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间 3、含参一元二次不等式的讨论依据 （1）对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论； （2）当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论； （3）当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集． 4、一元高次不等式的解法 如果将分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下： （1）标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式； （2）分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正； （3）求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注）； （4）穿线：从数轴右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，穿线时要遵循“奇穿偶回”的原则（即经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧），简称“击过偶不过”； （5）写解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间；若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间． 十二、分式不等式的解法 分式不等式的解法 （1） （2） （3） （4） 十三、绝对值不等式解法 绝对值不等式的解法 （1） （2）； ； （3） 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解 14. 不等式恒成立问题 1．一元二次不等式恒成立问题 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足. （5）)对于ax2＋bx＋c>0不等式恒成立时，最高次数的系数含参要考虑为零情况。 2．区间恒成立问题. 函数在某区间恒成立时，若能够分离参数成k<f(x)或k>f(x)形式．则可以转化为函数值域求解． 设f(x)的最大值为M，最小值为m. (1)k<f(x)恒成立⇔k<m，k≤f(x)恒成立⇔k≤m. (2)k>f(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M. 题型一　集合的概念及应用 例题1．下列说法中正确的是（    ） A．与定点等距离的点不能组成集合 B．由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为5 C．一个集合中有三个元素，其中是的三边长，则不可能是等腰三角形 D．高中学生中的游泳能手能组成集合 例题2．给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．2 C．3 D．5 巩固训练 1．(多选题)下列各组对象能组成集合的是（    ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．函数图象上所有的点 2．下列关系中正确的个数为（    ） ①，②，③，④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二　元素与集合关系求参数 例题1．已知集合，且，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C．0 D． 例题2．已知一个三角形的三边长为一个集合的3个元素，该三角形一定不可能是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 巩固训练 1．已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 2．已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 题型三　集合相等求参数 例题1．已知实数集合，若， 则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 例题2．集合，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 巩固训练 1．设为非零实数,m=+++，则的所有值组成的集合为 2．含有三个实数的集合既可表示成又可表示成， . 3．已知集合只有一个元素，则实数的值为（   ） A．1或0 B．0 C．1 D．1或2 4．（1）设集合，，，则中元素的个数为 ． （2）设，集合，则 ． （3）若集合中只有一个元素，则 ． 题型四　集合的表示方法 例题1．集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 例题2．对集合用描述法来表示，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．下列集合中有无数个元素的是（    ） A． B． C． D． 2．下列命题中正确的（    ） ①与表示同一个集合； ②由组成的集合可表示为或； ③方程的所有解的集合可表示为； ④集合可以用列举法表示． A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上语句都不对 3．下列四个命题中正确的是（   ） A．由所确定的实数集合为 B．同时满足的整数解的集合为 C．集合可以化简为 D．中含有三个元素 题型五　集合基本关系的判断 例题1．下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例题2．已知是正数，是正整数，是实数，那么之间的关系是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 2．有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（    ） A．①③ B．②④⑤ C．③④ D．①②⑤⑥ 3．已知集合，，，则下列的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 题型六　集合基本关系求参数 例题1．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．已知a，，集合，，若，则的可能取值为（    ） A．1 B．4 C．6 D．7 巩固训练 1．已知集合，集合.若集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型七　子集、真子集个数的求法 例题1．集合的真子集的个数是（    ） A．4 B．3 C．8 D．7 例题2．满足集合为的子集且的集合的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．15 巩固训练 1．已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．设集合，则集合的真子集个数为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 3．已知集合，且，则（    ） A．8或20 B．8或-20 C．或20 D．或 4．满足集合为的真子集且的集合的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．15 题型八　集合的基本运算 例题1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 例题2．设全集，集合，，则 ． 例题3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 例题4设U为全集，下面三个命题中为真命题的是（    ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 巩固训练 1．若集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知集合，或. (1)若全集，求、； (2)若全集，求. 题型八　集合的基本运算求参数 例题1．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．已知集合，若中只有1个元素，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题3．设集合，. (1)若且，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 巩固训练 1．设全集，集合，若，则实数 ． 2．设集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，集合. (1)若，求； (2)若，求实数a的取值范围. 题型九　集合新定义题 例题1．某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（    ） A．27 B．23 C．25 D．29 例题2．若是一个非空集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：（1）；（2）对于的任意子集，当且时，有；（3）对于的任意子集当且时，有，则称是集合的一个“——集合类”例如：是集合的一个“——集合类”.已知，则所有含的“——集合数”的个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 巩固训练 1．定义集合运算：.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，记，用表示有限集合的元素个数. (1)若，，分别指出和时，集合的情况（直接写出结论）； (2)若，，求的最大值； (3)若，，则对于任意的A，是否都存在，使得？说明理由. 题型十　充分条件、必要条件、充要条件的判断 例题1．已知x，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例题2．已知集合，则是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 巩固训练 1．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，，则是的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充要也不必要条件 题型十一　充分条件、必要条件的探究 例题1．“或”的一个必要不充分条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 例题2．若，则的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．下列是“不等式成立”的必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 2．“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 题型十二　充分条件、必要条件求参数的范围 例题1．已知条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例题2．设p：，q：，若q是p的必要条件，则a的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 巩固训练 1．设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 2．已知，，其中，若“”是“”的充分而不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 题型十三　全称量词命题和存在量词命题的判断和求参 例题1．下列命题中，含有存在量词的是（    ） A．存在一个直角三角形三边长均为整数 B．所有偶函数图象关于y轴对称 C．任何梯形都不是平行四边形 D．任意两个等边三角形都相似 例题2．下列命题中，假命题的个数是（    ） （1）； （2）； （3），方程恰有一解； （4）两个无理数的和一定是无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例题3．已知命题“”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．下列命题既是存在量词命题又是真命题的是（    ） A． B． C．至少存在两个质数的平方是偶数 D．存在一个直角三角形的三个内角成等差数列 2．已知命题“”是假命题， 则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．若“”，“”均为真命题，则的取值范围为 ． 题型十四　全称量词命题和存在量词命题的否定 例题1．命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 例题2．命题的否定是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．设命题，则为（   ） A． B． C． D． 2．已知命题，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 题型十五　不等式及应用 例题1．下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 例题2．已知， 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．已知a，b为非零实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 题型十六　基本不等式及应用 例题1．已知，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 例题2．若，则的最小值为（    ） A．9 B．18 C．24 D．27 例题3．已知正数，满足，则下列选项正确的是（ ） A．的最小值是2 B．的最小值是1 C．的最小值是4 D．的最大值是 巩固训练 1．已知，且，则的最小值为（    ） A．45 B．42 C．40 D．38 2．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 3．解答下列各题. (1)若，求的最大值. (2)若正数，满足，求的最小值. 题型十七　一元二次不等式解法 例题1．不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 例题2．若不等式的解集是，则实数a、b的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 例题3．已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 巩固训练 1．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 2．已知不等式，则下列说法正确的是（    ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式的解集为，则 C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为， 题型十八　含参一元二次不等式解法及恒成立 例题1．若不等式对所有实数恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例题2．设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 2．已知函数． (1)当时，求关于x的不等式的解集； (2)求关于x的不等式的解集． 3．已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数m的取值范围为 . 4．（1）若关于的不等式的解集为R，求的取值范围； （2）解关于的不等式． 5．已知函数 (1)若的解集为，求的取值范围； (2)当时，解不等式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$