第1章 3.2 第2课时 基本不等式与最大(小)值-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（北师大版）

数学 必修 第一册(北师) 第2课时　 基本不等式与最大(小)值 (教师独具内容) 课程标准：1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的最值问题． 教学重点：运用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 教学难点：基本不等式条件的创设． 知识点　基本不等式与最大(小)值 当x，y均为正数时，下面的命题均成立： (1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得最大值．(简记：和定积有最大值) (2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值2．(简记：积定和有最小值) 利用基本不等式的解题技巧与易错点 (1)利用基本不等式求最值常用构造定值的技巧 ①加项变换； ②拆项变换； ③统一换元； ④平方后再用基本不等式． (2)易错点 ①易忘“正”，忽略了各项均为正实数； ②忽略忘记“定”，用基本不等式时，和或积为定值； ③忽略忘记“等”，用基本不等式要验证等号是否可以取到； ④忽略忘记“同”，多次使用基本不等式时，等号成立的条件应相同． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若ab＝2，则a＋b的最小值为2.(　　) (2)当x>1时，因为x＋≥2，所以x＋的最小值是2.(　　) (3)x＋的最小值为2.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知p，q∈R，pq＝100，则p2＋q2的最小值是________． (2)已知＋＝1(x>0，y>0)，则xy的最小值是________． (3)若a，b∈R＋，且a＋b＝2，则＋的最小值为________． 答案：(1)200　(2)60　(3)2 题型一　利用基本不等式求函数的最值 　(1)求函数y＝＋x(x>3)的最小值． [解]　∵y＝＋x＝＋(x－3)＋3， 又x>3，∴x－3>0，>0， ∴y≥2＋3＝5. 当且仅当＝x－3，即x＝4时，y有最小值5. (2)已知0<x<，求y＝x(1－3x)的最大值． [解]　∵0<x<，∴1－3x>0， y＝x(1－3x)＝·3x·(1－3x) ≤＝. 当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，取等号． ∴当x＝时，函数取得最大值. (3)已知x＞－1，求y＝的最小值． [解]　∵x>－1，∴x＋1＞0，y＝ ＝＝x＋1＋＋1 ≥2＋1， 当且仅当x＋1＝，即x＝－1时，函数y的最小值为2＋1. 【感悟提升】　利用基本不等式求函数的最值 (1)利用基本不等式求函数最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件． (2)等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法． 【跟踪训练】 1．(1)若x<，则函数y＝4x－2＋的最大值为________． 答案：1 解析：∵x<，∴5－4x>0.∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．故函数y＝4x－2＋的最大值为1. (2)若x>1，则函数y＝的最小值为________． 答案：4 解析：∵x>1，∴x－1>0.∴y＝＝＝x＋1＋＝x－1＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝x－1，即x＝2时，等号成立，故当x＝2时，函数y＝的最小值为4. 题型二　利用基本不等式求代数式的最值 　(1)已知x>0，y>0且＋＝1，求x＋y的最小值． [解]　∵x>0，y>0，＋＝1， ∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16， 当且仅当＝，又＋＝1， 即x＝4，y＝12时取等号． 故当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16. (2)已知正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，求xy的最小值． [解]　∵2x＋y＋6＝xy， ∴y＝，x＞1， xy＝＝ ＝ ＝2＝2 ≥2×＝18. 当且仅当x－1＝， 即x＝3时，等号成立． 即xy的最小值为18. (3)已知实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，求x＋y的最大值． [解]　因为1＝x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－， 所以(x＋y)2≤， 即x＋y≤，当且仅当x＝y＞0且x2＋y2＋xy＝1， 即x＝y＝时，等号成立．故x＋y的最大值为. [结论探究]　若本例(1)中的条件不变，如何求xy的最小值？ 解：＋＝≥＝ ＝， 又因为＋＝1， 所以≤1，≥6，xy≥36， 当且仅当y＝9x，即x＝2，y＝18时，等号成立． 所以xy的最小值为36. 【感悟提升】　利用基本不等式求代数式的最值 (1)利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值． (2)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，解答技巧都是恰当变形，合理拆分项或配凑因式． 【跟踪训练】 2．(1)已知正数x，y满足x＋2y＝1，求＋的最小值． 解：∵x，y均为正数，且x＋2y＝1， ∴＋＝(x＋2y)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当＝，即当x＝－1，y＝1－时等号成立． ∴＋的最小值为3＋2. (2)已知x>0，y>0，且满足＋＝1，求xy的最大值． 解：∵＋＝1， ∴1＝＋≥2＝·. ∴≤，当且仅当＝＝， 即x＝，y＝2时等号成立． ∴xy≤3，即xy的最大值为3. 题型三　利用基本不等式解决实际问题 　某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y1＝18－，B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2＝(注：利润与投资金额单位：万元)． (1)该公司已有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中，其中x万元资金投入A产品，试把A，B两种产品利润总和y表示为x的函数，并写出x的取值范围； (2)在(1)的条件下，试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？ [解]　(1)其中x万元资金投入A产品，则剩余的(100－x)万元资金投入B产品，利润总和y＝18－＋＝38－－(x∈[0，100])． (2)∵y＝40－－，x∈[0，100]， ∴由基本不等式，得y≤40－2＝28，当且仅当＝时，即x＝20时，等号成立． 答：分别用20万元和80万元资金投资A，B两种金融产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为28万元． 【感悟提升】　利用基本不等式解决实际问题应遵循的三点 (1)解应用题时，一定要注意变量的实际意义，从而指明函数的定义域． (2)一般利用均值不等式求解最值问题时，通常要指出取得最值时的条件，即“等号”成立的条件． (3)在求函数最值时，除应用基本不等式外，有时会出现基本不等式取不到等号的情况，此时要利用其他方法求解． 【跟踪训练】 3．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？ 解：设水池底面一边的长度为x m， 则另一边的长度为 m. 又设水池总造价为y元，根据题意，得y＝150×＋120×＝240000＋720×≥240000＋720×2＝297600(元)， 当且仅当x＝，即x＝40时，y取得最小值297600. 所以水池底面为正方形且边长为40 m时总造价最低，最低总造价为297600元． 1．若正数a，b满足ab＝2，则(a＋1)(b＋2)的最小值为(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 答案：C 解析：正数a，b满足ab＝2，则(a＋1)(b＋2)＝ab＋2a＋b＋2＝4＋2a＋b≥4＋2＝8，当且仅当b＝2a＝2时取等号，所以当a＝1，b＝2时，(a＋1)(b＋2)取得最小值8. 2．当x>时，函数y＝x＋的最小值是(　　) A．4 B. C. D. 答案：B 解析：因为x>，所以x－>0，所以y＝x＋＝＋＋≥2＋＝4＋＝，当且仅当x－＝，即x＝时取等号．故选B. 3.(多选)如图所示，4个长为a，宽为b的长方形，拼成一个正方形ABCD，中间围成一个小正方形A1B1C1D1，则以下说法中正确的是(　　) A．(a＋b)2≥4ab B．当a＝b时，A1，B1，C1，D1四点重合 C．(a－b)2≤4ab D．(a＋b)2>(a－b)2 答案：ABD 解析：由题意，知a>0，b>0，对于A，(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≥2ab＋2ab＝4ab，A正确；对于B，当a＝b时，4个长方形为4个正方形，此时A1，B1，C1，D1四点重合，B正确；C显然错误；对于D，∵ab>0，∴4ab>0，∴a2＋b2＋2ab>a2＋b2－2ab，即(a＋b)2>(a－b)2，D正确．故选ABD. 4．若x≠0，则y＝2－3x2－的最大值是________，取得最大值时x的值是________． 答案：－10　± 解析：y＝2－3≤2－3·2＝2－3×4＝－10，当且仅当x2＝，即x＝±时取等号． 5．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：万元)与营运年数x的函数关系为y＝－10(x－6)2＋110(x∈N＋)，求每辆客车营运多少年，可使其运营的年平均利润最大． 解：因为＝＝－10＋120≤－20＋120＝20，当且仅当x＝，即x＝5时，等号成立，所以每辆客车营运5年，可使其运营的年平均利润最大． 课后课时精练 一、选择题 1．当x＞0时，＋4x的最小值为(　　) A．4 B．8 C．8 D．16 答案：C 解析：∵x＞0，∴＞0，4x＞0.＋4x≥2＝8，当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8，∴当x＞0时，＋4x的最小值为8. 2．若x＜0，则x＋－2有(　　) A．最大值为0 B．最小值为0 C．最大值为－4 D．最小值为－4 答案：C 解析：∵x＜0，∴－x＞0.∴x＋－2＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝－，即x＝－1时取等号． 3．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　) A．3 B．4 C. D. 答案：B 解析：解法一：∵x＋2y＋2xy＝8，∴y＝>0，∴0<x<8，∴x＋2y＝x＋2·＝(x＋1)＋－2≥2－2＝4，当且仅当x＋1＝，即x＝2，y＝1时取等号． 解法二：由x＋2y＋2xy＝8得(x＋1)(2y＋1)＝9，∴x＋2y＝x＋1＋2y＋1－2≥2－2＝4，当且仅当x＋1＝2y＋1，即x＝2，y＝1时，等号成立． 4．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为(　　) A．0 B. C．2 D. 答案：C 解析：＝＝＋－3≥2－3＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，因此z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，所以x＋2y－z＝4y－2y2＝－2(y－1)2＋2≤2. 5．(多选)设a>0，b>0，且a＋2b＝4，则下列结论正确的是(　　) A.＋的最小值为 B.＋的最小值为2 C.＋的最小值为 D.＋>1 答案：BCD 解析：因为a>0，b>0，且a＋2b＝4，所以＋＝(a＋2b)＝≥＝，当且仅当＝，即a＝4－4，b＝4－2时，“＝”成立，所以A不正确；＋＝(a＋2b)＝≥＝2，当且仅当＝，即a＝2，b＝1时，“＝”成立，所以B正确；＋＝(a＋2b)＝≥＝，当且仅当＝，即a＝b＝时，“＝”成立，所以C正确；＋≥2＝2＝2，当且仅当＝，即a＝b＝时，“＝”成立，而2＝2＝>1，所以D正确．故选BCD. 二、填空题 6．已知正实数a，b满足ab＝4，则a＋2b的最小值是______． 答案：4 解析：正实数a，b满足ab＝4，由基本不等式得a＋2b≥2＝4，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝时，等号成立． 7．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N＋)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大． 答案：5 解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，且x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时，等号成立，此时年平均利润最大． 8.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________ m. 答案：20 解析：如图，由题意可得△ADE∽△ABC.设矩形的另一边长为y，则＝，即y＝40－x，∴xy≤＝400，当且仅当x＝y时等号成立，则x＝40－x，即x＝20，故矩形面积最大时x的值为20. 三、解答题 9．(1)已知a，b∈R，ab>0，求的最小值； (2)求函数y＝的最大值； (3)求函数y＝(x＞－1)的最小值． 解：(1)解法一：因为ab>0， 所以＝＋＋≥2＋＝4ab＋≥4， 当且仅当即a2＝，b2＝时前后两个等号同时成立，所以的最小值为4. 解法二：因为ab>0， 所以≥＝4ab＋ ≥2＝4， 当且仅当即a2＝，b2＝时前后两个等号同时成立， 所以的最小值为4. (2)令t＝(t≥)， 则y＝＝≤＝， 当且仅当t＝2，即x＝±时，取得等号． 故函数的最大值为. (3)由题意知，函数y＝＝2(x＋1)＋＋1.因为x＞－1，所以x＋1＞0，所以y＝2(x＋1)＋＋1≥2＋1＝4＋1，当且仅当x＋1＝，即x＝－1时，等号成立．故函数的最小值为4＋1. 10．某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，其使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次．某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元．若使每个同学游8次，每人最少应交多少元钱？ 解：设买x张游泳卡，总开支为y元，则每批去x名同学，共需去批，总开支又分为：①买卡所需费用240x，②包车所需费用×40. ∴y＝240x＋×40(0<x≤48，x∈Z)． ∴y＝240≥240×2＝3840， 当且仅当x＝，即x＝8时取等号． 故每人最少应交＝80(元)． 11．已知a，b，x，y＞0，x，y为变量，a，b为常数，且a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b. 解：因为x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2， 当且仅当＝时取等号． 所以(＋)2＝18， 即a＋b＋2＝18，① 又a＋b＝10，② 由①②可得或 12．某产品原来的成本为1000元/件，售价为1200元/件，年销售量为1万件，由于市场饱和，顾客要求提高，公司计划投入资金进行产品升级．据市场调查，若投入x万元，每件产品的成本将降低元，在售价不变的情况下，年销售量将减少万件，按上述方式进行产品升级和销售，扣除产品升级资金后的纯利润记为y(单位：万元)．(纯利润＝每件的利润×年销售量－投入的成本) (1)求y的表达式； (2)求y的最大值，以及y取得最大值时x的值． 解：(1)依题意，产品升级后，每件产品的成本为元，每件产品的利润为元，年销售量为万件， 故y＝－x＝198.5－－. (2)y＝198.5－－≤198.5－2×＝178.5， 当且仅当＝，即x＝40时取到等号，即y的最大值是178.5，当y取得最大值时x的值为40. 12 学科网（北京）股份有限公司 $