第1章 3.2 第1课时 基本不等式-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（北师大版）

数学 必修 第一册(北师) 3.2　 基本不等式 第1课时　基本不等式 (教师独具内容) 课程标准：1.理解基本不等式的内容及其证明过程.2.能熟练地运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式来证明简单的不等式． 教学重点：1.基本不等式的内容及其证明过程.2.运用基本不等式来比较两个实数的大小及进行简单的证明． 教学难点：基本不等式条件的创设． 知识点一　基本不等式 若a≥0，b≥0，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．这个不等式称为基本不等式． 知识点二　算术平均值与几何平均值及相关结论 在基本不等式中，称为a，b的算术平均值，称为a，b的几何平均值． 因此，基本不等式又称为均值不等式，也可以表述为两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值． 1．由基本不等式变形得到的常见结论 (1)ab≤≤(a，b∈R)． (2)≤≤(a，b均为非负实数)． (3)＋≥2(a，b同号)． (4)(a＋b)≥4(a，b同号)． (5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)． 2．利用基本不等式证明不等式时应注意的问题 (1)注意基本不等式成立的条件． (2)多次使用基本不等式，要注意等号能否成立． (3)对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a>0，b>0，且a≠b，则a＋b>2.(　　) (2)若a>0，b>0，则ab≤.(　　) (3)|x|＋≥2.(　　) (4)若x∈R，则x2＋2＋的取值范围是[2，＋∞)．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)不等式m2＋1≥2m等号成立的条件是________． (2)＋≥2成立的条件是________． (3)若x＞1，则x＋≥3等号成立的条件是________． 答案：(1)m＝1　(2)a与b同号　(3)x＝2 题型一　对基本不等式的理解 　给出下面三个推导过程： ①因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2＝2； ②因为a∈R，a≠0，所以＋a≥2＝4； ③因为x，y∈R，xy<0，所以＋＝－≤－2＝－2. 其中正确的推导过程为(　　) A．①② B．②③ C．② D．①③ [解析]　从基本不等式成立的条件考虑． ①因为a，b∈(0，＋∞)，所以，∈(0，＋∞)，符合基本不等式成立的条件，故①的推导过程正确； ②因为a∈R，a≠0不符合基本不等式成立的条件，所以＋a≥2＝4是错误的； ③由xy<0得，均为负数，但在推导过程中将＋看成一个整体提出负号后，，均变为正数，符合基本不等式成立的条件，故③正确． [答案]　D 【感悟提升】　基本不等式≥(a≥0，b≥0)的两个关注点 (1)不等式成立的条件：a，b都是非负实数． (2)“当且仅当”的含义 ①当a＝b时，≥的等号成立， 即a＝b⇒＝； ②当a＝b时，≥的等号成立， 即＝⇒a＝b. 【跟踪训练】 1．下列命题中正确的是(　　) A．当a，b∈R时，＋≥2＝2 B．当a＞0，b＞0时，(a＋b)≥4 C．当a＞4时，a＋≥2＝6 D．当a＞0，b＞0时，≥ 答案：B 解析：对于A，可能＜0，所以A不正确；对于B，因为a＋b≥2＞0，＋≥2＞0，相乘得(a＋b)≥4，当且仅当a＝b时等号成立，所以B正确；对于C，a＋≥2＝6中的等号不成立，所以C不正确；对于D，由基本不等式知，≤(a＞0，b＞0)，所以D不正确． 题型二　利用基本不等式比较大小 　已知a＞1，则，，三个数的大小顺序是(　　) A.＜＜ B.＜＜ C.＜＜ D.＜≤ [解析]　当a，b是正数时，≤≤≤(a，b∈R＋)，令b＝1，得≤≤.又a＞1，即a≠b，故上式不能取等号，选C. [答案]　C [题型探究]　对一切正数m，不等式n＜＋2m恒成立，求常数n的取值范围． 解：当m∈(0，＋∞)时，由基本不等式，得＋2m≥2＝4，当且仅当m＝时，等号成立，故常数n的取值范围为n＜4. 【感悟提升】　利用基本不等式比较大小 在利用基本不等式比较大小时，应创设基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能． 【跟踪训练】 2．已知a，b∈(0，＋∞)且a＋b＝1，试比较＋，，4的大小． 解：∵a＞0，b＞0，a＋b≥2，∴ab≤. ∴＋＝＝≥4，＝＝－ab≥－＝，即≤4.∴＋≥4≥. 题型三　利用基本不等式证明不等式 　已知a，b，c是不全相等的三个正数，求证：＋＋＞3. [证明]　＋＋＝＋＋＋＋＋－3＝＋＋－3. ∵a，b，c都是正数， ∴＋≥2＝2， 同理＋≥2，＋≥2， ∴＋＋≥6，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． ∵a，b，c不全相等，上述三式不能同时取等号， ∴＋＋＞6， ∴＋＋＞3. 【感悟提升】　利用基本不等式证明不等式 (1)利用基本不等式证明不等式时，可依据求证式两端的式子结构，合理选择基本不等式及其变形不等式来证，如a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，可变形为ab≤；≥(a≥0，b≥0)可变形为ab≤等．同时要从整体上把握基本不等式，如a4＋b4≥2a2b2，a2b2＋b2c2≥2(ab)(bc)，都是对“a2＋b2≥2ab，a，b∈R”的灵活应用． (2)在证明条件不等式时，要注意“1”的代换，另外要特别注意等号成立的条件． 【跟踪训练】 3．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥10. 证明：＋＋ ＝＋＋ ＝4＋＋＋≥4＋2＋2＋2＝10， 当且仅当a＝b＝c＝时取等号． ∴＋＋≥10. 1．已知a＞b＞0，则下列不等式中总成立的是(　　) A.＜＜ B.≥≥ C.＞＞ D.<＜ 答案：C 解析：＜＝＜.故选C. 2．已知x＞0，y＞0，x≠y，则下列四个式子中值最小的是(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：解法一：∵x＋y＞2，∴＜，排除D；∵＝＝＞＝，∴排除B；∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＜2(x2＋y2)，∴＞，排除A.故选C. 解法二：取x＝1，y＝2.则＝；＝；＝；＝＝.其中最小．故选C. 3．(多选)设a>0，b>0，则下列不等式恒成立的是(　　) A．a2＋1>a B．a2＋9>6a C．(a＋b)≥4 D.≥4 答案：ACD 解析：因为a>0，b>0，所以a2＋1－a＝＋>0，故A恒成立；a2＋9－6a＝(a－3)2≥0，故B不恒成立；(a＋b)≥2·＝4，当且仅当a＝b时等号成立，故C恒成立；a＋≥2，当且仅当a＝1时等号成立，b＋≥2，当且仅当b＝1时等号成立，故D恒成立． 4．已知a>0，b>0，则＋＋2的取值范围是________． 答案：[4，＋∞) 解析：因为a>0，b>0，所以＋＋2≥2＋2＝2≥4＝4，当且仅当＝，＝，即a＝b＝1时取等号．故＋＋2的取值范围是[4，＋∞)． 5．已知a>b，ab＝1，求证：a2＋b2≥2(a－b)． 证明：∵a>b，∴a－b>0，又ab＝1， ∴＝＝＝a－b＋≥2＝2，即≥2，即a2＋b2≥2(a－b)，当且仅当a－b＝，即a－b＝时取等号． 课后课时精练 一、选择题 1．不等式＋(x－2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是(　　) A．x＝3 B．x＝－3 C．x＝5 D．x＝－5 答案：C 解析：由基本不等式知等号成立的条件为＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)． 2．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是(　　) A．a2＋b2＞2ab B．a＋b≥2 C.＋＞ D.＋≥2 答案：D 解析：根据条件，当a，b均小于0时，B，C不成立；当a＝b时，A不成立；因为ab＞0，所以＋≥2＝2，当且仅当a＝b时，等号成立．故D成立． 3．若a>1，b>1，则a＋b，2ab，2，a2＋b2中最大的一个是(　　) A．a＋b B．2ab C．2 D．a2＋b2 答案：D 解析：∵a>1，b>1，∴a＋b≥2，a2＋b2≥2ab，又(a2＋b2)－(a＋b)＝＋－>＋－＝0，∴a2＋b2>a＋b.故a＋b，2ab，2，a2＋b2中最大的一个是a2＋b2. 4．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．不等式a＋b≥2恒成立 B．存在实数a，使得不等式a＋≤2成立 C．若a，b∈(0，＋∞)，则＋≥2 D．若正实数x，y满足x＋2y＝1，则＋≥8 答案：BCD 解析：不等式a＋b≥2恒成立的条件是a≥0，b≥0，故A不正确；当a为负数时，不等式a＋≤2成立，故B正确；因为a>0，b>0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即a＝b时，等号成立，故C正确；＋＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号，故D正确． 5．设a，b，c∈(0，1)，则a＋，b＋，c＋(　　) A．都不大于2 B．都不小于2 C．至少有一个不大于2 D．至少有一个大于2 答案：D 解析：∵a，b，c∈(0，1)，∴＋＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6，当且仅当a＝b＝c＝1时，取“＝”，又a，b，c∈(0，1)，故＋＋>6.假设a＋，b＋，c＋都不大于2，则＋＋≤6矛盾，∴假设不成立，即a＋，b＋，c＋中至少有一个大于2，故选D. 二、填空题 6．已知a为正数，比较大小：________4. 答案：≥ 解析：因为a>0，所以＝a＋2＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝1时，等号成立． 7．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________． 答案：≤ 解析：∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0，∴＝≥，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号． 8．若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(填序号)． ①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2； ④a3＋b3≥3；⑤＋≥2. 答案：①③⑤ 解析：令a＝b＝1，排除②④；由2＝a＋b≥2⇒ab≤1，当且仅当a＝b＝1时取等号，①正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab≥2，当且仅当a＝b＝1时取等号，③正确；＋＝＝≥2，当且仅当a＝b＝1时取等号，⑤正确． 三、解答题 9．已知x＞0，y＞0，z＞0，且x＋y＋z＝1，求证：＋＋≤. 证明：∵x＞0，y＞0，z＞0， ∴x＋y≥2，x＋z≥2，y＋z≥2， ∴2(x＋y＋z)≥2(＋＋)． ∵x＋y＋z＝1，∴＋＋≤1成立， ∴x＋y＋z＋2(＋＋)≤3， 即(＋＋)2≤3. ∴＋＋≤，当且仅当x＝y＝z＝时，等号成立． 10．已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等．求证：＋＋＞a＋b＋c. 证明：∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴＋≥2＝2c，＋≥2＝2a，＋≥2＝2b. 又a，b，c不全相等，故上述等号至少有两个不成立， ∴＋＋＞a＋b＋c. 11．已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1. 求证：≥8. 证明：∵a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1， ∴－1＝＝≥， 同理，－1≥，－1≥. 由于上述三个不等式两边均为正，相乘得 ≥··＝8， 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． 12．已知a，b，c>0，且不全相等．若abc＝1，求证：＋＋<＋＋. 证明：证法一：由题意可知，a，b，c是不全相等的正数且abc＝1. ∴＋＋＝＋＋ ＝＋＋. ∵2≤＋， ∴≤. 同理，得≤，≤. 又a，b，c不全相等，故以上三个不等式中至少有两个等号不成立． ∴＋＋<＋＋， 即＋＋<＋＋. 证法二：由题意知a，b，c>0， ∴＋≥2，＋≥2，＋≥2. ∵a，b，c为三个不全相等的正数， ∴以上三个不等式中至少有两个等号不成立． ∴＋＋>＋＋. 又abc＝1， ∴＋＋>＋＋＝＋＋. 即＋＋<＋＋. 证法三：∵abc＝1，且a，b，c不全相等，∴＋＋＝＋＋＝bc＋ac＋ab＝＋＋>＋＋＝＋＋，即＋＋<＋＋. 1 学科网（北京）股份有限公司 $