第6章 3.1 从频数到频率 3.2 频率分布直方图-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（北师大版）

数学 必修 第一册(北师) 3.1　从频数到频率 3.2　频率分布直方图 (教师独具内容) 课程标准：能根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述，体会合理使用统计图表的重要性． 教学重点：1.频率分布表和频率分布直方图的绘制.2.用样本频率分布估计总体分布． 教学难点：对总体分布概念的理解、频率分布直方图的绘制及分析． 知识点一　频率 (1)频率表示频数与总数的比值． (2)频率反映了相对总数而言的相对强度，其所携带的总体信息远超过频数．在实际问题中，如果总体容量比较小，频数也可以较客观地反映总体分布；当总体容量较大时，频率就更能客观地反映总体分布． (3)在统计中，经常要用样本数据的频率去估计总体中相应的频率，即对总体分布进行估计． 知识点二　频率分布直方图 (1)如图，图中每个小矩形的底边长是该组的组距，每个小矩形的高是该组的频率与组距的比，从而每个小矩形的面积等于该组的频率，即每个小矩形的面积＝组距×＝频率．我们把这样的图叫作频率分布直方图．不难发现，频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小． (2)频率分布直方图的好处：①能清楚直观地显示各组频率分布情况及各组频率之间的差别；②当考虑数据落在若干个组内的频率之和时，可以用相应矩形面积之和来表示． 知识点三　频率分布直方图的绘制 绘制频率分布直方图的步骤：(1)计算极差；(2)确定组距与组数；(3)分组；(4)列表；(5)画频率分布直方图． 知识点四　频率折线图 (1)频率折线图 通常，在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间．从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，我们称之为频率折线图． (2)随着样本容量的增大，所划分的区间数也可以随之增多，而每个区间的长度则会相应随之减小，相应的频率折线图就会越来越接近于一条光滑曲线． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)频率分布直方图的纵轴表示频率．(　　) (2)用样本频率估计总体分布的过程中，总体容量越小，估计越精确．(　　) (3)频率分布直方图中每个小矩形的面积等于相应组的频数．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．做一做 (1)一个容量为80的样本最大值是140，最小值是51，组距为10，则可以分成(　　) A．10组 B．9组 C．8组 D．7组 (2)为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm. 答案：(1)B　(2)24 题型一　列频率分布表、画频率分布直方图及折线图 　为了了解某中学高二女生的身高情况，该校对高二女生的身高(单位：cm)进行了一次随机抽样测量，所得数据整理后列出了频率分布表如下： 分组 频数 频率 [150.5，154.5) 1 0.02 [154.5，158.5) 4 0.08 [158.5，162.5) 20 0.40 [162.5，166.5) 15 0.30 [166.5，170.5) 8 0.16 [170.5，174.5] m n 合计 M N (1)表中m，n，M，N所表示的数分别是多少？ (2)绘制频率折线图； (3)估计该校女生身高小于162.5 cm的百分比． [解]　(1)由于频率之和为1，所以N＝1，所以n＝1－(0.02＋0.08＋0.40＋0.30＋0.16)＝0.04，所以M＝＝50，m＝50－(1＋4＋20＋15＋8)＝2，故有m＝2，n＝0.04，M＝50，N＝1.00. (2)频率折线图如图中的折线． (3)该校女生身高小于162.5 cm的百分比为(0.02＋0.08＋0.4)×100%＝50%. 【感悟提升】　绘制频率分布直方图的注意事项 (1)计算极差，需要找出这组数据的最大值和最小值，当数据很多时，可选一个数当参照． (2)将一批数据分组，目的是要描述数据分布规律，要根据数据多少来确定分组数目，一般来说，数据越多，分组越多． (3)将数据分组，确定分点时，一般使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一点． (4)列频率分布表时，可通过逐一判断各个数据落在哪个小组内，以“正”字确定各个小组内数据的个数． (5)画频率分布直方图时，纵坐标表示频率与组距的比值，一定不能标成频率． 【跟踪训练】 1．为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为100的样本，数据的分组数如下： [10.75，10.85)，3；[10.85，10.95)，9；[10.95，11.05)，13； [11.05，11.15)，16；[11.15，11.25)，26；[11.25，11.35)，20； [11.35，11.45)，7；[11.45，11.55)，4；[11.55，11.65]，2. (1)列出频率分布表； (2)画出频率分布直方图以及频率折线图； (3)根据上述图表，估计数据落在[10.95，11.35)范围内的可能性是多大？ 解：(1)频率分布表如下． 分组 频数 频率 [10.75，10.85) 3 0.03 [10.85，10.95) 9 0.09 [10.95，11.05) 13 0.13 [11.05，11.15) 16 0.16 [11.15，11.25) 26 0.26 [11.25，11.35) 20 0.20 [11.35，11.45) 7 0.07 [11.45，11.55) 4 0.04 [11.55，11.65] 2 0.02 合计 100 1.00 (2)画频率分布直方图与频率折线图，如下图所示． (3)由上述图表可知数据落在[10.95，11.35)范围内的频率为0.13＋0.16＋0.26＋0.20＝0.75＝75%， 即数据落在[10.95，11.35)范围内的可能性是75%. 题型二　频率分布直方图的应用 　为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12. (1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？ (2)若次数在110以上(含110次)为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？ [解]　(1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为＝0.08. 又因为第二小组的频率＝， 所以样本容量＝＝＝150. (2)由题意估计该学校高一学生的达标率约为×100%＝88%. 【感悟提升】　频率分布直方图的应用 频率分布指的是一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小，一般用频率分布直方图反映样本的频率分布，其中： (1)频率分布直方图中纵轴表示； (2)频率分布直方图中，各个小长方形的面积等于频率，各个小长方形的面积之和为1； (3)长方形的高的比也就是频率之比． 【跟踪训练】 2．某电子商务公司对10000名网络购物者2024年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示． (1)直方图中的a＝________； (2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为________． 答案：(1)3　(2)6000 解析：(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1， 解得a＝3. (2)区间[0.3，0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5，0.9]内的频率为1－0.4＝0.6. 因此，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为0.6×10000＝6000. 1．从一堆苹果中任取10个，称得它们的质量如下(单位：克)： 125 120 122 105 130 114 116 95 120 134 则样本数据落在[114.5，124.5)内的频率为(　　) A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 答案：C 解析：依题意，样本数据落在[114.5，124.5)内的频数为4，故对应频率为4÷10＝0.4. 2．下图是某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，则图中x的值为(　　) A．0.120 B．0.180 C．0.012 D．0.018 答案：D 解析：由图可知纵坐标表示，故x＝0.1－0.054－0.010－0.006－0.006－0.006＝0.018. 3．(多选)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则下列说法正确的是(　　) A．a＝0.24 B．共有40名志愿者进行了临床试验 C．第四组和第五组共有12人 D．第三组中有疗效的有12人 答案：ACD 解析：1×(a＋0.16＋0.36＋0.16＋0.08)＝1，解得a＝0.24.志愿者的总人数为＝50，所以第四组和第五组共有50×1×(0.16＋0.08)＝12人，第三组有50×0.36×1＝18人，所以第三组中有疗效的有18－6＝12人．故选ACD. 4．已知一个样本容量是40的样本，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别是5，6，7，10，第五组的频率是0.2，那么第六组的频数是________，频率是________． 答案：4　0.1 解析：因为频率＝，所以频数＝频率×样本容量．因为第五组的频率是0.2，样本容量是40，所以第五组的频数是0.2×40＝8，所以第六组的频数是40－(5＋6＋7＋10＋8)＝4，所以第六组的频率是＝0.1. 5．从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图． 组号 分组 频数 1 [0，2) 6 2 [2，4) 8 3 [4，6) 17 4 [6，8) 22 5 [8，10) 25 6 [10，12) 12 7 [12，14) 6 8 [14，16) 2 9 [16，18] 2 合计 － 100 (1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率； (2)求频率分布直方图中的a，b的值． 解：(1)由频数分布表，得100名学生中课外阅读时间不少于12小时的共有6＋2＋2＝10(名)，所以样本中学生该周课外阅读时间少于12小时的频率P＝1－＝0.9. 则从该校随机选取一名学生，这名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率是0.9. (2)由频数分布表，得课外阅读时间落在[4，6)的人数为17，则其频率是＝0.17， 所以由频率分布直方图， 得a＝＝＝0.085， 同理可得，b＝＝0.125. 课后课时精练 一、选择题 1．观察新生儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生儿体重在[2700，3000)内的频率为(　　) A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 答案：C 解析：由图可得，新生儿体重在[2700，3000)内的频率为0.001×300＝0.3. 2．为了解某地区高一学生的身体发育情况，抽查了该地区100名高一男生体重(kg)，得到频率分布直方图(如图所示)． 可得这100名学生中体重在[56.5，64.5)内的学生人数是(　　) A．20 B．30 C．40 D．50 答案：C 解析：由频率分布直方图易得到体重在[56.5，64.5)内的学生的频率为(0.03＋0.05＋0.05＋0.07)×2＝0.4，那么在[56.5，64.5)内的学生人数为100×0.4＝40.故选C. 3．某工厂对一批元件进行抽样检测，经检测，抽出的元件的长度(单位：mm)全部介于93至105之间．将抽出的元件的长度以2为组距分成6组：[93，95)，[95，97)，[97，99)，[99，101)，[101，103)，[103，105]，得到如图所示的频率分布直方图．若长度在[97，103)内的元件为合格品，根据频率分布直方图，估计这批元件的合格率是(　　) A．80% B．90% C．20% D．85.5% 答案：A 解析：由频率分布直方图可知元件长度在[97，103)内的频率为1－(0.0275＋0.0275＋0.0450)×2＝0.8，故这批元件的合格率为80%. 4．为了解电视对生活的影响，一个社会调查机构就平均每天看电视的时间调查了某地10000位居民，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000位居民中再用分层随机抽样抽出100位居民做进一步调查，则在[2.5，3.0)内应抽出的人数是(　　) A．25 B．30 C．50 D．75 答案：A 解析：抽出的100位居民中平均每天看电视的时间在[2.5，3.0)内的频率为0.5×0.5＝0.25，所以这10000位居民中平均每天看电视的时间在[2.5，3.0)内的人数是10000×0.25＝2500.依题意知各层抽取的比例是＝，则在[2.5，3.0)内应抽出的人数是2500×＝25. 5．(多选)某校从高一年级600名学生中随机抽取100名学生，将他们的期末数学成绩分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．不少于60分为及格，则下列说法正确的是(　　) A．a＝0.15 B．高一年级有一半的学生期末数学成绩不少于70分 C．高一年级约有120名学生期末数学成绩不及格 D．样本为100 答案：BC 解析：在频率分布直方图中，长方形的面积表示其频率，所以10×(0.005＋a＋0.030＋0.025＋a＋0.010)＝1，解得a＝0.015，故A错误；高一年级学生的期末数学成绩不少于70分的频率为10×(0.025＋0.015＋0.010)＝0.5，故B正确；该校高一年级学生的期末数学成绩不及格的频率为(0.005＋0.015)×10＝0.2，所以对应的学生人数为600×0.2＝120，故C正确；样本为100名学生的期末数学成绩，故D错误． 二、填空题 6．某市共有5000名高三学生参加联考，为了了解这些学生对数学知识的掌握情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成频率分布表： 分组/分 频数 频率 [80，90) ① ② [90，100) 0.050 [100，110) 0.200 [110，120) 36 0.300 [120，130) 0.275 [130，140) 12 [140，150] 0.050 合计 根据上面的频率分布表，可知①处的数值为________，②处的数值为________． 答案：3　0.025 解析：设样本容量为n，由位于[110，120)的频数为36，频率为＝0.300，得样本容量n＝120，所以[130，140)的频率为＝0.100.②处的数值为1－0.050－0.200－0.300－0.275－0.100－0.050＝0.025，①处的数值为0.025×120＝3. 7．已知100名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如图所示．则这100名学生中，该月饮料消费支出超过150元的人数是________． 答案：30 解析：根据频率分布直方图，得消费支出超过150元的频率为(0.004＋0.002)×50＝0.3，∴消费支出超过150元的人数是100×0.3＝30. 8．将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于________． 答案：60 解析：设第一组到第六组的频数分别为2a，3a，4a，6a，4a，a，∴2a＋3a＋4a＝27，∴a＝3.∴n＝2a＋3a＋4a＋6a＋4a＋a＝20a＝60. 三、解答题 9．某部门计划对某路段进行限速，为了调查限速60 km/h是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80]分组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)这300辆车中车速低于限速的汽车有多少辆？ (2)求这300辆车中车速在[50，70)的汽车占总数的比例． 解：(1)这300辆车中车速低于限速的有两类：[40，50)，[50，60)，其频率为(0.025＋0.035)×10＝0.6， ∴车速低于限速的汽车有300×0.6＝180(辆)． (2)由频率分布直方图可知，车速分布在[50，70)的频率为1－(0.025＋0.010)×10＝0.65， ∴车速在[50，70)的汽车占总数的65%. 10．在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图(如图所示)．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频数为12，请解答下列问题： (1)本次活动共有多少件作品参加评比？ (2)哪组上交的作品数最多？有多少件？ (3)经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率较高？ 解：(1)依题意知第三组的频率为 ＝， 又因为第三组的频数为12， ∴本次活动的参评作品数为＝60(件)． (2)根据频率分布直方图，可以看出第四组上交的作品数量最多， 共有60×＝18(件)． (3)第四组的获奖率是＝，第六组上交的作品数量为60×＝3(件)．∴第六组的获奖率为＝，显然第六组的获奖率较高． 11．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x(吨)，用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费．为了了解全市居民月均用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求直方图中a的值； (2)已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； (3)若该市政府希望使85%的居民月均用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由． 解：(1)由频率分布直方图，可得(0.08＋0.16＋a＋0.40＋0.52＋a＋0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝1，解得a＝0.30. (2)由频率分布直方图可知，100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为(0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝0.12.所以可以估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数为800000×0.12＝96000. (3)因为前6组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52＋0.30)×0.5＝0.88>0.85，而前5组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52)×0.5＝0.73<0.85，所以2.5<x<3. 由0.30×(x－2.5)＝0.85－0.73， 解得x＝2.9. 因此，估计月均用水量标准为2.9吨时，85%的居民月均用水量不超过标准． 6 学科网（北京）股份有限公司 $