第1章 2.1 第1课时 必要条件与性质定理-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（北师大版）

该高中数学导学案聚焦“必要条件与性质定理”，核心知识点包括命题的结构、必要条件的概念及判断，通过“判一判”“做一做”等互动题回顾命题结构与真假判断，搭建从命题到必要条件的认知支架，衔接前后知识脉络。 资料特色在于分层设计题型与方法总结，引导学生用数学语言精准改写命题，通过逻辑推理深化必要条件理解，结合集合关系解决参数问题，练习题覆盖基础到综合，培养抽象能力与应用意识，便于自主学习和教学评估。

数学 必修 第一册(北师) 2.1　 必要条件与充分条件 第1课时　必要条件与性质定理 (教师独具内容) 课程标准：通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系． 教学重点：1.掌握必要条件的概念.2.理解必要条件的意义.3.会判断条件与结论之间的必要性． 教学难点：判断条件与结论之间的必要性． 知识点一　命题的结构 当命题表示为“若p，则q”时，p是命题的条件，q是命题的结论． 知识点二　必要条件 1．当命题“若p，则q”是真命题时，就说由p推出q，记作p⇒q． 2．一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称q是p的必要条件． 对必要条件的理解 (1)所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”． (2)必要条件不是唯一的，如x>0，x>5等都是x>9的必要条件． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a与b都是无理数，则ab是无理数，其中该命题的条件是a与b都是无理数，结论是ab是无理数．(　　) (2)内错角相等⇒两直线平行．(　　) (3)若p⇒q，则q是p的必要条件．(　　) (4)“△ABC∽△A′B′C′”是“△ABC≌△A′B′C′”的必要条件．(　　) (5)“x＝1”是“x2＝x”的必要条件．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)将命题“平行四边形的对角线互相平分”改写成“若p，则q”的形式为__________________． (2)“矩形是平行四边形”是________命题(填“真”或“假”)． (3)“ab>0”是“a>0，b>0”的________条件． 答案：(1)若一个四边形为平行四边形，则这个四边形的对角线互相平分 (2)真 (3)必要 题型一　命题的结构形成 　把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断由p是否可以推出q. (1)实数的平方是非负数； (2)等底等高的两个三角形是全等三角形； (3)当ac＝bc时，a＝b； (4)角的平分线上的点到角的两边的距离相等． [解]　(1)若一个数是实数，则它的平方是非负数．是真命题．故由该命题的条件可以推出该命题的结论． (2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形．是假命题．故由该命题的条件不能推出该命题的结论． (3)若ac＝bc，则a＝b.是假命题．故由该命题的条件不能推出该命题的结论． (4)若一个点在角的平分线上，则该点到这个角的两边的距离相等．是真命题．故由该命题的条件可以推出该命题的结论． 【感悟提升】　 1．命题改写的相关策略 (1)对命题改写时，一定要找准命题的条件和结论，有些命题的形式比较简洁，条件和结论不明显，写命题的条件和结论时需要适当加以补充，例如命题“对顶角相等”的条件应写成“若两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”． (2)在对命题改写时，要注意所叙述的条件和结论的完整性，有些命题中，还要注意大前提的写法．例如“在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行”中，大前提“在同一平面内”是必不可少的． 2．判断命题真假的方法 (1)反例法：通过构造反例否定一个命题的正确性，是判定一个命题为假命题的常用方法． (2)直推法：由条件出发，运用相关的定义、性质、定理等，通过逻辑推理来推断命题的真假性，是判定一个命题为真命题的常用方法． 【跟踪训练】 1．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断由p是否可以推出q. (1)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除； (2)弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧． 解：(1)命题可以写成：若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除．这个命题是真命题．故由该命题的条件可以推出该命题的结论． (2)命题可以写成：若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心，且平分弦所对的弧．这个命题是真命题．故由该命题的条件可以推出该命题的结论． 题型二　必要条件的概念及其语言表述 　将下面的定理写成“若p，则q”的形式，并用必要条件的语言表述： (1)两个全等三角形的对应高相等； (2)矩形的对角线相等． [解]　(1)若两个三角形是全等三角形，则它们的对应高相等，所以对应高相等是两个三角形是全等三角形的必要条件． (2)若一个四边形是矩形，则它的对角线相等，所以对角线相等是一个四边形是矩形的必要条件． 【感悟提升】　用必要条件的语言表述定理的一般步骤 (1)分析定理的条件和结论； (2)将定理写成“若p，则q”的形式； (3)利用必要条件的概念来表述定理． 【跟踪训练】 2．将下面的定理写成“若p，则q”的形式，并用必要条件的语言表述： (1)对顶角相等； (2)在平面直角坐标系中，关于y轴对称的两个点的纵坐标相同． 解：(1)若两个角是对顶角，则这两个角相等，所以两个角相等是两个角是对顶角的必要条件． (2)若平面直角坐标系中的两个点关于y轴对称，则这两个点的纵坐标相同，所以两个点的纵坐标相同是在平面直角坐标系中的两个点关于y轴对称的必要条件． 题型三　必要条件的判断 　在下列各题中，q是p的必要条件吗？为什么？ (1)p：x－2＝0，q：(x－2)(x－3)＝0； (2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等． [解]　(1)∵x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0， ∴q是p的必要条件． (2)∵两个三角形相似推不出两个三角形全等， ∴q不是p的必要条件． 【感悟提升】　必要条件的判定方法 (1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断p⇒q或q⇒p是否成立，最后得出结论． (2)集合法：对于涉及取值范围的判断题，可从集合的角度研究，若两个集合具有包含关系，则小范围⇒大范围，大范围推不出小范围． (3)传递法：若p1⇒p2⇒p3⇒…⇒pn，则p1⇒pn. 【跟踪训练】 3．在下列各题中，q是p的必要条件吗？p是q的必要条件吗？为什么？ (1)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0； (2)p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根． 解：(1)∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0， ∴q是p的必要条件． ∵a＋b＝0推不出a2＋b2＝0， ∴p不是q的必要条件． (2)∵方程x2－x－m＝0无实根， ∴Δ＝b2－4ac＝1－4×1×(－m)＝1＋4m<0，解得m<－. 又m<－2⇒m<－， ∴q是p的必要条件． ∵m<－推不出m<－2， ∴p不是q的必要条件． 题型四　利用必要条件求参数的取值范围 　已知集合A＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，B＝{x|x＋2m≥0}．命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且q是p的必要条件，求实数m的取值范围． [解]　由已知，得 A＝ ＝，B＝{x|x≥－2m}． 因为q是p的必要条件， 所以p⇒q， 所以A⊆B， 所以－2m≤－， 所以m≥. 即实数m的取值范围是. 【感悟提升】　利用必要条件求参数的思路 根据必要条件求参数的取值范围时，先将p，q等价转化，再根据必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解． 【跟踪训练】 4．已知M＝{x|a－1<x<a＋1}，N＝{x|－3<x<8}，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围． 解：因为x∈N是x∈M的必要条件， 所以M⊆N. 于是从而可得－2≤a≤7. 故a的取值范围为[－2，7]． 1．若M，N是两个集合，则下列命题中是真命题的是(　　) A．如果M⊆N，那么M∩N＝M B．如果M∩N＝N，那么M⊆N C．如果M⊆N，那么M∪N＝M D．如果M∪N＝N，那么N⊆M 答案：A 解析：用集合的定义理解，分析四个选项可知，A中命题为真命题． 2．设x∈R，则x>2的一个必要条件是(　　) A．x>1 B．x<1 C．x>3 D．x<3 答案：A 解析：因为x>2⇒x>1，所以选A. 3．命题“如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数”，命题的条件是________________，结论是________________． 答案：一个函数的图象是一条直线　这个函数为一次函数 解析：已知命题为“如果p，那么q”的形式，由此知p是条件，q是结论，得到答案． 4．已知p：5x－1>a，q：x>1，若q是p的必要条件，则实数a的取值范围是________． 答案：a≥4 解析：由5x－1>a，得x>，要使q是p的必要条件，需有≥1，解得a≥4.故当a≥4时，q是p的必要条件． 5．下列各题中，是否有p⇒q或q⇒p成立，并用必要条件的语言表述． (1)p：|x|＝|y|，q：x＝y； (2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形； (3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形． 解：(1)因为|x|＝|y|推不出x＝y，所以q不是p的必要条件． 因为x＝y⇒|x|＝|y|，所以p是q的必要条件． (2)因为△ABC是直角三角形推不出△ABC是等腰三角形，所以q不是p的必要条件． 又因为△ABC是等腰三角形也推不出△ABC是直角三角形，所以p也不是q的必要条件． (3)因为四边形的对角线互相平分推不出四边形是矩形，所以q不是p的必要条件． 因为四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分， 所以p是q的必要条件． 课后课时精练 一、选择题 1．命题“菱形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是(　　) A．这个四边形的对角线互相平分 B．这个四边形的对角线互相垂直 C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直 D．这个四边形是菱形 答案：C 解析：命题可改为“若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直．”故选C. 2．已知a，b∈R，则ab≠0的一个必要条件是(　　) A．a＋b≠0 B．a2＋b2≠0 C．a3＋b3≠0 D.＋≠0 答案：B 解析：若ab≠0，则a≠0，b≠0，即a2＋b2≠0，所以“ab≠0”是“a2＋b2≠0”的充分条件，同时，“a2＋b2≠0”是“ab≠0”的必要条件．故选B. 3．(多选)可以作为关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解的一个必要条件的是(　　) A．m< B．m< C．m<1 D．m<－ 答案：AC 解析：由Δ＝1－4×1×m≥0，解得m≤.四个选项中，m<和m<1都是m≤的必要条件．故选AC. 4．已知P＝{x|－2<x<10}，Q＝{x|m－1<x<m＋1}，若x∈P是x∈Q的必要条件，则实数m的取值范围是(　　) A．－1<m≤9 B．－1≤m≤9 C．m≤－1 D．m≥9 答案：B 解析：因为x∈P是x∈Q的必要条件，所以Q⊆P.所以所以－1≤m≤9.故选B. 5．(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是(　　) A．若x，y是偶数，则x＋y是偶数 B．若a<2，则方程x2－2x＋a＝0有实根 C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D．若ab＝0，则a＝0 答案：BCD 解析：由x，y是偶数可推出x＋y是偶数，由x＋y是偶数不能推出x，y是偶数，所以充分性成立，必要性不成立，故A不符合题意；由a<2不能推出x2－2x＋a＝0有实根，由x2－2x＋a＝0有实根可推出a<2，所以充分性不成立，必要性成立，故B符合题意；由四边形的对角线互相垂直不能推出这个四边形是菱形，由这个四边形是菱形可推出四边形的对角线互相垂直，所以充分性不成立，必要性成立，故C符合题意；由ab＝0不能推出a＝0，由a＝0可推出ab＝0，所以充分性不成立，必要性成立，故D符合题意．故选BCD. 二、填空题 6．钱大妈常说“便宜没好货”，她这句话的意思中：“没好货”是“便宜”的________条件． 答案：必要 解析：因为“便宜”⇒“没好货”，所以“没好货”是“便宜”的必要条件． 7．设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的________条件． 答案：必要 解析：因为q⇒p，所以p是q成立的必要条件． 8．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若q是p的必要条件，则a的取值范围是________． 答案：a≤1 解析：由题意可得条件p：x>1，若q是p的必要条件，则p⇒q，也就是说p对应的集合是q对应集合的子集，所以a≤1. 三、解答题 9．下列各组命题中，是否有p⇒q或q⇒p成立，并用必要条件的语言表述． (1)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是平行四边形； (2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0. 解：(1)因为四边形的对角线互相平分⇒四边形是平行四边形， 所以q是p的必要条件． 因为四边形是平行四边形⇒四边形的对角线互相平分， 所以p也是q的必要条件． (2)因为(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)(y－2)＝0， 所以q是p的必要条件． 因为(x－1)(y－2)＝0推不出(x－1)2＋(y－2)2＝0， 所以p不是q的必要条件． 10．证明：p：x≥－1或x≤5是q：－5≤x－2≤5的必要条件． 证明：q：－5≤x－2≤5对应的集合为Q＝{x|－3≤x≤7}， p：x≥－1或x≤5对应的集合为实数集R. 因为Q⊆R，也就是q⇒p. 所以p是q的必要条件． 11．已知集合A＝{x∈Z|点(x－1，x－a)不在第一、三象限}，B＝{t|1≤t<3}，若“y∈B”是“y∈A”的必要条件，求实数a的取值范围． 解：由“y∈B”是“y∈A”的必要条件， 即A⊆B， 由A中元素为整数，故A只可能为{1}，{2}，{1，2}， 由点(x－1，x－a)不在第一、三象限， 得或 即　①或　②， 当a<1时，①无解，由②得a≤x≤1， 此时A＝{x∈Z|a≤x≤1}， 故A＝{1}，有0<a<1； 当a≥1时，由①②得1≤x≤a， 此时A＝{x∈Z|1≤x≤a}， 因为1∈A，只需3∉A，有1≤a<3. 综上，实数a的取值范围是{x|0<a<3}． 12．已知p：－1<x<3，若－a<x－1<a(a>0)是p的一个必要条件，求使a>b恒成立的实数b的取值范围． 解：由－a<x－1<a，得1－a<x<1＋a. 因为－a<x－1<a(a>0)是p的一个必要条件， 所以{x|－1<x<3}⊆{x|1－a<x<1＋a}(a>0)． 所以解得a≥2. 则使a>b恒成立的实数b的取值范围是b<2. 1 学科网（北京）股份有限公司 $