第1章 1.3 第1课时 交集与并集-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（北师大版）

该高中数学导学案聚焦集合的交集与并集运算，通过复习集合基本概念导入，以自然语言、符号语言、Venn图三层表征呈现定义，结合运算性质构建知识支架，衔接前后学习内容。 资料特色在于注重直观与逻辑结合，利用Venn图、数轴等图示培养数学眼光，通过含参问题分类讨论发展数学思维，新定义题型激发创新意识，分层习题设计助力学生提升运算与推理能力，适合自主探究与课堂教学。

数学 必修 第一册(北师) 1.3　 集合的基本运算 第1课时　交集与并集 (教师独具内容) 课程标准：1.理解两个集合交集与并集的含义，能求两个集合的交集与并集.2.能使用Venn图直观地表达两个集合的交集与并集． 教学重点：1.交集与并集的含义(自然语言、符号语言、图形语言).2.求两个集合的交集与并集． 教学难点：1.交集中“且”、并集中“或”的正确理解.2.准确地找出交集、并集中的元素，并能恰当地加以表示． 知识点一　交集 自然语言 符号语言 Venn图表示 由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 交集的运算性质：A∩B＝B∩A，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩A＝A，A∩∅＝∅． 知识点二　并集 自然语言 符号语言 Venn图表示 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 并集的运算性质：A∪B＝B∪A，A⊆A∪B，B⊆A∪B，A∪A＝A，A∪∅＝A. 集合的交、并运算中的注意事项 (1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性． (2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否． (3)若用card(A)表示有限集A的元素个数，一般地，对任意两个有限集A与B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若A∩B＝∅，则A，B至少有一个是∅.(　　) (2)若A∪B＝∅，则A，B都是∅.(　　) (3)对任意集合A，B，下列式子总成立A∩B⊆A⊆A∪B.(　　) (4)对于任意集合A，B，下列式子总成立A∪B＝B⇔A⊆B⇔A∩B＝A.(　　) (5)对于两个非空的有限集A，B，A∪B中的元素一定多于A中的元素．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)× 2．做一做 (1)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 (2)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝(　　) A．(－1，3) B．(－1，0) C．(0，2) D．(2，3) (3)已知集合A＝{1，2，x2}，B＝{2，x}，若A∪B＝A，则x＝________． 答案：(1)D　(2)A　(3)0 题型一　求集合的交集与并集 　(1)已知集合A＝{2，6}，B＝{－5，2}，C＝{－3，2}，则(A∪B)∩C＝________． [解析]　∵A＝{2，6}，B＝{－5，2}，C＝{－3，2}，∴(A∪B)∩C＝{－5，2，6}∩{－3，2}＝{2}． [答案]　{2} (2)已知集合A＝{x|－1<x≤2}，B＝{x|－2≤x<1}，求A∩B，A∪B. [解]　把集合A与B在数轴上表示出来，如图所示． 由上图可得，A∩B＝{x|－1<x<1}，A∪B＝{x|－2≤x≤2}． 【感悟提升】　集合A与B的“交”“并”运算，实质上就是对集合A与B中元素的“求同”“合并”： (1)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅. (2)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x∉B；x∈B但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合． 【跟踪训练】 1．(1)已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{－3，0，3}，T＝{－3，－1，1，3}，则(　　) A．M∩N＝∅ B．M∪N＝T C．(M∩N)∪T＝T D．(M∪N)∩T＝T 答案：D 解析：M∩N＝{0}，故A错误；M∪N＝{－3，－1，0，1，3}，故B错误；(M∩N)∪T＝{0}∪{－3，－1，1，3}＝{－3，－1，0，1，3}，故C错误；(M∪N)∩T＝{－3，－1，0，1，3}∩{－3，－1，1，3}＝{－3，－1，1，3}＝T，故D正确． (2)已知集合A＝{y|y＝x2－1}，B＝{x|－2≤x<0}，求A∩B，A∪B. 解：∵A＝{y|y≥－1}，B＝{x|－2≤x<0}，∴A∩B＝{x|－1≤x<0}，A∪B＝{x|x≥－2}． 题型二　简单的含参问题 　已知集合A＝{0，1}，B＝{x|(x－1)·(x－a)＝0}．求A∩B，A∪B. [解]　集合B是方程(x－1)(x－a)＝0的解集，它可能只有一个元素1(a＝1)，也可能有两个元素1，a(a≠1)． ①当a＝1时，A∩B＝{1}，A∪B＝{0，1}； ②当a＝0时，A∩B＝{0，1}，A∪B＝{0，1}； ③当a≠0且a≠1时，A∩B＝{1}，A∪B＝{0，1，a}． 【感悟提升】　由于参数a的变化，集合B中的元素也在变化，即集合B是变化的集合，因此需要分类讨论．特别注意，不能把集合B写成{1，a}(因为当a＝1时，不满足元素的互异性)．做两集合的“交”“并”运算，应当首先弄清两集合中的元素是什么，之后再依据法则求解． 【跟踪训练】 2．已知集合A＝{x|3a－8<x<a}，B＝{x|x≤－3，或x≥1}，且A∩B＝A，求a的取值范围． 解：∵A∩B＝A， ∴A⊆B. ∴分A＝∅和A≠∅两种情况讨论． ①若A＝∅，此时有3a－8≥a， ∴a≥4. ②若A≠∅，则有或 ∴a≤－3或3≤a<4. 综上所述，a≤－3或a≥3. 题型三　类似于“交”“并”运算的一些新定义问题 　设M，P是两个非空集合，规定M－P＝{x|x∈M，且x∉P}，根据这一规定，M－(M－P)＝(　　) A．M B．P C．M∪P D．M∩P [解析]　当M∩P≠∅时，由图可知M－P为图中的阴影部分，则M－(M－P)显然是M∩P；当M∩P＝∅时，M－P＝M，此时M－(M－P)＝M－M＝{x|x∈M，且x∉M}＝∅＝M∩P.故选D. [答案]　D 【感悟提升】　题目给出了两个集合的一种运算“M－P”，其运算法则是M－P是由所有属于M且不属于P的元素组成的集合，弄清法则便可以进行运算，特别是借助Venn图，使问题简捷明了． 【跟踪训练】 3．设A，B是两个非空集合，规定A*B＝{x|x∈(A∪B)，且x∉(A∩B)}．若A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}，求A*B. 解：∵A∪B＝{0，1，2，3，4}，A∩B＝{1，2}， ∴A*B＝{0，3，4}． 1．已知集合A＝{x|x是不大于8的正奇数}，B＝{x|x是9的正因数}，则A∩B＝________，A∪B＝________． 答案：{1，3}　{1，3，5，7，9} 解析：由题意，知A＝{1，3，5，7}，B＝{1，3，9}，所以A∩B＝{1，3}，A∪B＝{1，3，5，7，9}． 2．已知集合P＝{x|x是菱形}，Q＝{x|x是矩形}，则P∩Q＝________． 答案：{x|x是正方形} 解析：菱形的四边相等，矩形的四个角均为90°，四边相等并且四个角均为90°的四边形为正方形，所以P∩Q＝{x|x既是菱形，又是矩形}＝{x|x是正方形}． 3．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝4}，B＝{(x，y)|x－y＝2}，则A∩B＝________． 答案：{(3，1)} 解析：由题意，知A∩B＝{(x，y)|x＋y＝4且x－y＝2}＝，解得故A∩B＝{(3，1)}． 4．已知A＝(－4，2]，B＝[－2，3]，则A∩B＝________，A∪B＝________．(用区间表示) 答案：[－2，2]　(－4，3] 解析：把集合A与B在数轴上表示出来，如图所示．由下图可知，A∩B＝[－2，2]，A∪B＝(－4，3]． 5．已知A＝(a，＋∞)，B＝[－1，1]，若A∪B＝A，则a的取值范围是________． 答案：(－∞，－1) 解析：A∪B＝A⇔B⊆A，则a<－1，故a的取值范围是(－∞，－1)． 课后课时精练 一、选择题 1.已知集合A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为(　　) A．{2} B．{3} C．{－3，2} D．{－2，3} 答案：A 解析：注意到集合A中的元素为自然数，因此A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，而B＝{－3，2}，因此阴影部分表示的是A∩B＝{2}．故选A. 2．设集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，则A∪B＝(　　) A．{x|－1<x<3} B．{x|－1<x<1} C．{x|1<x<2} D．{x|2<x<3} 答案：A 解析：把集合A，B表示在同一数轴上，如图所示，由图可得，A∪B＝{x|－1<x<3}．故选A. 3．满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：由题意，得集合M含有元素a1，a2且不含元素a3，故M＝{a1，a2}或{a1，a2，a4}． 4．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是(　　) A．a<2 B．a>－2 C．a>－1 D．－1<a≤2 答案：C 解析：∵A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，要使A∩B≠∅，借助数轴可知a>－1. 5．(多选)若A，B，C为三个集合，且满足A∪B＝B∩C，则一定有(　　) A．A⊆C B．B⊆C C．A≠C D．A＝∅ 答案：AB 解析：∵A∪B＝B∩C，∴(A∪B)⊆C，∴A⊆C，B⊆C. 二、填空题 6．已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________． 答案：m≥2 解析：∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴m≥2. 7．若集合A＝{2，4，x}，B＝{2，x2}，且A∪B＝{2，4，x}，则x＝________． 答案：0，1或－2 解析：由已知，得B⊆A，∴x2＝4或x2＝x，∴x＝0，1，±2，由元素的互异性知x≠2，∴x＝0，1或－2. 8．已知集合A＝{x|x<1，或x>5}，B＝{x|a≤x≤b}，且A∪B＝R，A∩B＝{x|5<x≤6}，则2a－b＝________． 答案：－4 解析：如图所示，可知a＝1，b＝6，2a－b＝－4. 三、解答题 9．设A，B是两个非空集合，判断“若A∩C＝B∩C，则A＝B”是否正确．若正确，则给出证明；若不正确，举出反例． 解：不正确．如：A＝{1，2}，B＝{1，3}，C＝{1}． 易知A∩C＝B∩C＝{1}，但是A≠B. 也可以用Venn图表示． 10．已知集合A＝{x|x2＋ax－12＝0}，B＝{x|x2＋bx＋c＝0}，且A≠B，A∩B＝{－3}，A∪B＝{－3，4}，求实数a，b，c的值． 解：由A∩B＝{－3}，得－3∈A. ∴(－3)2－3a－12＝0，解得a＝－1. ∴A＝{x|x2－x－12＝0}＝{－3，4}． 又A∪B＝{－3，4}，A≠B， ∴B中只有一个元素－3， ∴解得b＝6，c＝9. ∴a＝－1，b＝6，c＝9. 11．已知非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}． (1)当a＝10时，求A∩B，A∪B； (2)求能使A⊆A∩B成立的a的取值范围． 解：(1)当a＝10时，A＝{x|21≤x≤25}． 又B＝{x|3≤x≤22}， 所以A∩B＝{x|21≤x≤22}，A∪B＝{x|3≤x≤25}． (2)由A⊆A∩B，可知A⊆B， 又因为A为非空集合，所以 解得6≤a≤9.故a的取值范围是6≤a≤9. 12．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}． (1)若A∩B＝{2}，求实数a的值； (2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围． 解：由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2， 故集合A＝{1，2}． (1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B，将x＝2代入B中的方程，得a2＋4a＋3＝0⇒a＝－1或a＝－3. 当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2，2}，满足条件； 当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件． 综上，实数a的值为－1或－3. (2)对于集合B，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)． ∵A∪B＝A，∴B⊆A. 当Δ<0，即a<－3时，B＝∅，满足条件； 当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}，满足条件； 当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1，2}才能满足条件， 则由根与系数的关系得 即显然不成立． 综上，实数a的取值范围是a≤－3. 8 学科网（北京）股份有限公司 $