第1章 1.1 集合的概念与表示-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（北师大版）

该高中数学导学案聚焦“集合的概念与表示”，涵盖集合的定义、元素与集合的关系、常用数集、表示方法（列举法、描述法）及区间等核心知识点。通过实例判断（如“某校16岁以下学生能否构成集合”）导入，以知识点分点阐释、例题解析与跟踪训练为支架，衔接后续集合运算，构建从具体到抽象的学习脉络。 这份导学案紧扣课标要求，突出元素三性（确定性、互异性、无序性）及符号语言转化等重难点。通过“判一判”“做一做”夯实基础，分题型例题（集合概念辨析、表示方法应用等）引导探究，培养学生数学眼光（抽象能力）、数学思维（推理能力）和数学语言表达，习题分层设计助力自主学习，提升逻辑思维与规范解题能力。

数学 必修 第一册(北师) 　　　 1.1　集合的概念与表示 (教师独具内容) 课程标准：1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.3.在具体情境中，了解空集的含义.4.能正确使用区间表示一些数集． 教学重点：1.集合概念的正确理解.2.元素的三性(确定性、互异性、无序性).3.元素与集合关系的判定.4.集合常用的两种表示方法(列举法、描述法).5.区间的概念． 教学难点：1.对元素的确定性的理解.2.描述法表示集合． 知识点一　集合与元素 一般地，我们把指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写英文字母A，B，C，…表示．集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母a，b，c，…表示． 知识点二　元素与集合的关系 一个集合确定后，任何一个对象是或不是这个集合的元素就确定了． (1)“属于”：如果元素a在集合A中，就说元素a属于集合A，记作a∈A． (2)“不属于”：如果元素a不在集合A中，就说元素a不属于集合A，记作a∉A． 知识点三　几个常用数集及其记法 名称 自然数集(非负整数集) 正整数集 整数集 符号 N N＋或N* Z 名称 有理数集 实数集 正实数集 符号 Q R R＋ 知识点四　集合的表示方法 集合的表示方法常用的有列举法、描述法． (1)列举法：把集合中的元素一一列举出来写在花括号“{　}”内表示集合的方法．一般可将集合表示为{a，b，c，…}． (2)描述法：通过描述元素满足的条件表示集合的方法．一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件}．即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围，再画一条竖线“|”，在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征． 知识点五　空集 我们把不含任何元素的集合叫作空集，记作∅． 知识点六　集合的分类 (1)有限集：含有有限个元素的集合叫作有限集，如集合{－2，3}、空集． (2)无限集：含有无限个元素的集合叫作无限集，如整数集Z. 知识点七　区间 设a，b是两个实数，且a<b.不同集合用符号表示如下表： 集合表示 符号表示 数轴表示 {x|a≤x≤b} [a，b] {x|a<x<b} (a，b) {x|a≤x<b} [a，b) {x|a<x≤b} (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤b} (－∞，b] {x|x<b} (－∞，b) [a，b]称为闭区间，(a，b)，(a，＋∞)，(－∞，b)称为开区间，[a，b)，(a，b]，[a，＋∞)，(－∞，b]称为半开半闭区间．通常，闭区间、开区间、半开半闭区间统称为区间．这里的实数a，b称为区间的端点．在数轴上表示区间时，用实心点表示属于区间的端点，用空心点表示不属于区间的端点． 符号“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．实数集R可以表示为(－∞，＋∞)，可以看作开区间． 1．集合中元素的三个特性 (1)确定性：一个集合确定后，任何一个对象是或不是这个集合的元素就确定了． (2)互异性：一个集合中的任何两个元素都不相同，也就是说，集合中的元素没有重复． (3)无序性：集合中的元素无先后顺序之分． 2．集合的三个特性 (1)描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明． (2)整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体． (3)广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物，甚至一个集合也可以是某集合的一个元素． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)某校高一年级16岁以下的学生能构成集合．(　　) (2)已知A是一个确定的集合，a是任一元素，要么a∈A，要么a∉A，二者必居其一且只居其一．(　　) (3)对于数集A＝{1，2，x2}，若x∈A，则x＝0.(　　) (4)对于区间[2a，a＋1]，其中a的取值范围是a≤1.(　　) (5)集合{y|y＝x2，x∈R}与{s|s＝t2，t∈R}的元素完全相同．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ 2．做一做 (1)下列所给的对象能组成集合的是(　　) A．联合国安理会常任理事国 B．接近1的数 C．著名的科学家 D．漂亮的鲜花 (2)用适当的符号(∈，∉)填空： 0______{0}，0______N，－2______N＋， ________Z，________Q，π________R. (3)不等式2x－1≥3的解集可以用区间表示为________． 答案：(1)A　(2)∈　∈　∉　∉　∉　∈　(3)[2，＋∞) 题型一　集合的概念 　下列所给的对象能构成集合的是________． ①所有的正三角形；②高一数学必修第一册课本上的所有难题；③平面直角坐标系内到坐标原点的距离等于1的点；④参加某运动会的年轻运动员． [解析]　①能构成集合．其中的元素需满足三条边相等． ②不能构成集合．因“难题”的标准是模糊的，不确定的，故不能构成集合． ③能构成集合．其中的元素是“到坐标原点的距离等于1的点”． ④不能构成集合．因为“年轻”的标准是模糊的，不确定的，故不能构成集合． [答案]　①③ 【感悟提升】　判断一组对象能否构成集合的方法 一般地，确认一组对象a1，a2，a3，…，an(a1，a2，a3，…，an均不相同)能否构成集合的过程为 【跟踪训练】 1．判断下列说法是否正确，并说明理由． (1)大于3的所有自然数组成一个集合； (2)未来世界的高科技产品构成一个集合； (3)1，0.5，，组成的集合含有四个元素． 解：(1)中的对象是确定的、互异的，所以可以构成一个集合，故正确． (2)中的“高科技”的标准是不确定的，所以不能构成集合，故错误． (3)中由于0.5＝，不符合集合中元素的互异性，故错误． 题型二　元素与集合的关系 　(1)下列所给关系正确的个数是(　　) ①π∈R；②∉Q；③0∈N＋；④|－4|∉N＋. A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　∵π是实数，是无理数，∴①②正确；∵N＋表示正整数集，而0不是正整数，故③不正确；又|－4|＝4是正整数，故④不正确，∴正确的共有2个． [答案]　B (2)集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________． [解析]　∵∈N，x∈N，∴即∴0≤x<6，∴x＝0，1，2，3，4，5.当x分别为0，3，4，5时，相应的值分别为1，2，3，6，也是自然数，故填0，3，4，5. [答案]　0，3，4，5 (3)已知集合A有三个元素：a－3，2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0，1，x. ①若－3∈A，求a的值； ②若x2∈B，求实数x的值． [解]　①由－3∈A且a2＋1≥1，可知a－3＝－3或2a－1＝－3， 当a－3＝－3时，a＝0；当2a－1＝－3时，a＝－1. 经检验，0与－1都符合要求．所以a＝0或－1. ②当x＝0，1，－1时，都有x2∈B， 但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故x＝－1. 【感悟提升】　 1．判断元素与集合关系的两种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．此时应先明确集合是由哪些元素构成的． (2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应先明确已知集合的元素具有什么特征，即该集合中元素要满足哪些条件． 2．利用集合中元素的互异性求参数问题 (1)根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验． (2)利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用． 【跟踪训练】 2．(1)用符号“∈”或“∉”填空： ①0________N＋；②1________N； ③1.5________Z；④2________Q； ⑤4＋________R； ⑥若x2＋1＝0，则x________R. 答案：①∉　②∈　③∉　④∉　⑤∈　⑥∉ 解析：①∵0不是正整数，∴0∉N＋. ②∵1是自然数，∴1∈N. ③∵1.5是小数，不是整数，∴1.5∉Z. ④∵2是无理数，∴2∉Q. ⑤∵4＋是无理数，无理数是实数， ∴4＋∈R. ⑥∵满足x2＋1＝0的实数不存在， ∴x为非实数，∴x∉R. (2)已知集合A中元素满足2x＋a>0，a∈R.若1∉A，2∈A，则实数a的取值范围为________． 答案：－4<a≤－2 解析：∵1∉A，2∈A，∴即－4<a≤－2. (3)已知集合A包含三个元素：a－2，2a2＋5a，12，且－3∈A，求a的值． 解：因为集合A包含三个元素a－2，2a2＋5a，12，且－3∈A，所以a－2＝－3或2a2＋5a＝－3，解得a＝－1或a＝－. 当a＝－1时，A中三个元素为－3，－3，12，不符合集合中元素的互异性，舍去． 当a＝－时，A中三个元素为－，－3，12，满足题意． 故a＝－. 题型三　用列举法表示集合 　用列举法表示下列集合： (1)不大于10的素数集； (2)一次函数y＝x与y＝2x－1图象的交点组成的集合； (3)不等式组的整数解组成的集合； (4)式子＋(a≠0，b≠0)的所有值组成的集合． [解]　(1)不大于10的素数有2，3，5，7，故不大于10的素数集为{2，3，5，7}． (2)由解得 故一次函数y＝x与y＝2x－1图象的交点组成的集合为{(1，1)}． (3)由得3<x≤6， 又x为整数，故x的取值为4，5，6，组成的集合为{4，5，6}． (4)∵a≠0，b≠0， ∴a与b可能同号也可能异号，则 ①当a>0，b>0时，＋＝2； ②当a<0，b<0时，＋＝－2； ③当a>0，b<0或a<0，b>0时，＋＝0. 故所有值组成的集合为{－2，0，2}． 【感悟提升】　用列举法表示集合应注意的三点 (1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素． (2)集合中的元素一定要写全，但不能重复． (3)若集合中的元素是点，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素． 【跟踪训练】 3．用列举法表示下列集合： (1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A； (2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M； (3)方程组的解组成的集合B. 解：(1)因为－2≤x≤2，x∈Z， 所以x＝－2，－1，0，1，2， 所以A＝{－2，－1，0，1，2}． (2)因为2和3是方程的根，所以M＝{2，3}． (3)解方程组得 所以B＝{(3，2)}． 题型四　用描述法表示集合 　用描述法表示下列集合： (1)坐标平面内，不在第一、三象限的点的集合； (2)所有被3除余1的整数的集合； (3)使y＝有意义的实数x的集合． [解]　(1)因为不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上，所以坐标平面内，不在第一、三象限的点的集合为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}． (2)因为被3除余1的整数可表示为3n＋1，n∈Z，所以所有被3除余1的整数的集合为{x|x＝3n＋1，n∈Z}． (3)要使y＝有意义， 则x2＋x－6≠0. 由x2＋x－6＝0，得x1＝2，x2＝－3. 所以使y＝有意义的实数x的集合为{x∈R|x≠2且x≠－3}． 【感悟提升】　用描述法表示集合的注意点 (1)用描述法表示集合，首先应弄清集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示． (2)使用描述法表示集合时要注意：①写清该集合中元素的代表符号，如{x∈R|x>1}不能写成{x>1}；②用简明、准确的语言进行描述，如方程、不等式、几何图形等；③不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的；④所有描述的内容都要写在花括号内，如“{x∈Z|x＝2m}，m∈N＋”不符合要求，应将“m∈N＋”写进“{　}”中，即{x∈Z|x＝2m，m∈N＋}；⑤元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D＝{x∈R|x<10}也可表示为D＝{x|x<10}；⑥多层描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如“{x|x<－1或x>1}”等． 【跟踪训练】 4．试用描述法表示下列集合： (1)方程x2－x－2＝0的所有解组成的集合； (2)大于－1且小于7的所有整数组成的集合； (3)大于4的所有偶数组成的集合． 解：(1)方程x2－x－2＝0的解可以用x表示，它满足的条件是x2－x－2＝0， 因此，方程的所有解组成的集合用描述法表示为{x∈R|x2－x－2＝0}． (2)大于－1且小于7的整数可以用x表示，它满足的条件是x∈Z，且－1<x<7， 因此，该集合用描述法表示为{x∈Z|－1<x<7}． (3)偶数可表示为2n，n∈Z，又因为大于4，故n≥3，从而用描述法表示此集合为{x|x＝2n，n∈Z且n≥3}． 题型五　集合的分类 　下列各组对象能否构成集合？若能，请指出它们是有限集还是无限集． (1)非负奇数； (2)小于18的既是正奇数又是素数的数； (3)在平面直角坐标系中所有第三象限的点； (4)在实数范围内方程(x2－1)(x2＋2x＋1)＝0的所有解； (5)在实数范围内方程组的解． [解]　(1)能构成集合，是无限集． (2)小于18的素数是2，3，5，7，11，13，17.只有2是偶数，其余的都是正奇数，所以能构成集合，是有限集． (3)第三象限的点的横坐标和纵坐标都小于0，能构成集合，是无限集． (4)能构成集合，注意集合中元素的互异性，集合中的元素是－1，1，是有限集． (5)由x2－x＋1＝0的判别式Δ＝－3<0，方程无实根，由此可知方程组无解，能构成集合，是空集，故是有限集． 【感悟提升】　判断集合分类的方法 判断集合是有限集，还是无限集，关键在于弄清集合中元素的构成，从而确定集合中元素的个数． 【跟踪训练】 5．指出下列各组对象是否能组成集合，若能组成集合，则指出集合是有限集还是无限集． (1)平方等于1的数；(2)所有的矩形；(3)平面直角坐标系中第二象限的点；(4)被3除余数是1的正数；(5)平方等于－3的实数；(6)15的正约数． 解：(1)中的对象能组成集合，它是一个有限集． (2)中的对象能组成集合，它是一个无限集． (3)中的对象能组成集合，它是一个无限集． (4)中的对象能组成集合，它是一个无限集． (5)中的对象能组成集合，它是一个空集，故是有限集． (6)中的对象能组成集合，它是一个有限集． 题型六　区间及其表示 　把下列数集用区间表示： (1)；(2){x|x<0}； (3){x|－2<x≤3}． [解]　(1).　(2)(－∞，0)．　(3)(－2，3]． 【感悟提升】　解决区间问题应注意的五点 (1)区间的左端点必须小于右端点，有时我们将b－a称为区间长度，对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来表示，如{a}． (2)注意开区间(a，b)与点(a，b)在具体情景中的区别． (3)用数轴来表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别． (4)对于一个不等式的所有解组成的集合，我们既可以用集合形式来表示，也可以用区间形式来表示． (5)要注意区间表示实数集的几条原则，数集是连续的，左小，右大，开或闭不能混淆，用“∞”作为区间端点时，要用开区间符号． 【跟踪训练】 6．(1)若[2a＋1，3a－1]为一确定区间，则实数a的取值范围为________． 答案：(2，＋∞) 解析：由题意知3a－1>2a＋1，解得a>2，故实数a的取值范围为(2，＋∞)． (2)不等式2x＋3≤0的所有解组成的集合可用区间表示为________． 答案： 解析：由2x＋3≤0，得x≤－，故不等式2x＋3≤0的所有解组成的集合可用区间表示为. (3)使有意义的x的取值范围为________(用区间表示)． 答案：(－∞，5) 解析：要使有意义，则5－x>0，即x<5，用区间表示为(－∞，5)． 1．下列所给的对象不能组成集合的是(　　) A．我国古代的四大发明 B．二元一次方程x＋y＝1的解 C．我班年龄较小的同学 D．平面内到定点距离等于定长的点 答案：C 解析：C项中“年龄较小的同学”的标准不明确，不符合确定性．故选C. 2．由实数－a，a，|a|，所组成的集合最多含有的元素个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：对a进行分类讨论：①当a＝0时，四个数都为0，只含有一个元素；②当a≠0时，含有两个元素a，－a，所以集合中最多含有2个元素．故选B. 3．(多选)已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断正确的是(　　) A．x1x2∈A B．x2x3∈B C．x1＋x2∈B D．x1＋x2＋x3∈A 答案：ABC 解析：由题知集合A为奇数集，集合B为偶数集，所以x1，x2为奇数，x3为偶数．所以x1x2是奇数，x2x3是偶数，x1＋x2是偶数，x1＋x2＋x3是偶数．故选ABC. 4．用适当的符号(∈，∉)填空： (1)(1，3)________{(x，y)|y＝2x＋1}； (2)2________{m|m＝2(n－1)，n∈Z}． 答案：(1)∈　(2)∈ 解析：(1)当x＝1时，y＝2×1＋1＝3，故(1，3)∈{(x，y)|y＝2x＋1}． (2)当n＝2∈Z时，m＝2×(2－1)＝2，故2∈{m|m＝2(n－1)，n∈Z}． 5．用适当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集． (1)由方程x2＋x－2＝0的根组成的集合； (2)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合； (3)不等式3x＋4≥x的所有解组成的集合． 解：(1)因为方程x2＋x－2＝0的两根为x1＝－2，x2＝1， 所以用列举法表示由方程x2＋x－2＝0的根组成的集合为{－2，1}，是有限集． (2)用描述法表示该集合为M＝{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}，或用列举法表示该集合为{(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)}，是有限集． (3)由3x＋4≥x得2x≥－4，所以x≥－2，所以用区间表示不等式3x＋4≥x的所有解组成的集合是[－2，＋∞)，是无限集． 课后课时精练 一、选择题 1．下列集合为∅的是(　　) A．{0} B．{x|x2＋1＝0} C．{x|x2－1＝0} D．{x|x<0} 答案：B 解析：集合{0}中有一个元素0；集合{x|x2－1＝0}表示方程x2－1＝0的解集，为{－1，1}；集合{x|x<0}表示小于0的实数组成的集合；集合{x|x2＋1＝0}表示方程x2＋1＝0的解集，而方程x2＋1＝0无实数解，故解集是空集． 2．下列集合的表示方法正确的是(　　) A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R} B．不等式x－1＜4的解集为{x＜5} C．{全体整数} D．实数集可表示为R 答案：D 解析：A项中应是xy<0；B项中的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x，应为{x|x<5}；C项中的“{　}”与“全体”意思重复．故选D. 3．下列集合恰有两个元素的是(　　) A．{x2－x＝0} B．{x|y＝x2－x} C．{y|y2－y＝0} D．{y|y＝x2－x} 答案：C 解析：A项为一个方程集，只有一个元素；B项有无数个元素；C项为方程y2－y＝0的解，有0，1两个元素；D项有无数个元素．故选C. 4．已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　) A．1 B．3 C．5 D．9 答案：C 解析：根据已知条件，列表如下： ( y x - y x ) 0 1 2 0 0 －1 －2 1 1 0 －1 2 2 1 0 根据集合中元素的互异性，由上表可知B＝{0，－1，－2，1，2}，因此集合B中共含有5个元素，故选C. 5．(多选)已知x，y，z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是(　　) A．0∉M B．2∈M C．－4∈M D．4∈M 答案：CD 解析：根据题意，分四种情况讨论：①x，y，z全部为负数时，则xyz也为负数，则＋＋＋＝－4；②x，y，z中有一个为负数时，则xyz为负数，则＋＋＋＝0；③x，y，z中有两个为负数时，则xyz为正数，则＋＋＋＝0；④x，y，z全部为正数时，则xyz也为正数，则＋＋＋＝4.则M＝{－4，0，4}．故C，D正确． 二、填空题 6．若2∉{x|x－a＞0}，则实数a的取值范围是________． 答案：a≥2 解析：因为2∉{x|x－a>0}，所以2不满足不等式x－a>0，即满足不等式x－a≤0，所以2－a≤0，即a≥2. 7．已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}，若A中至多有一个元素，则实数a的取值范围是________． 答案：a＝0或a≤－ 解析：当a＝0时，A＝；当a≠0时，关于x的方程ax2－3x－4＝0应有两个相等的实数根或无实数根，∴Δ＝9＋16a≤0，即a≤－.故所求的实数a的取值范围是a＝0或a≤－. 8．已知集合A中的元素均为整数，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个． 答案：6 解析：根据“孤立元”的定义，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合为{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共有6个． 三、解答题 9．用适当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集． (1)绝对值不大于3的偶数的集合； (2)被3除余1的正整数的集合； (3)一次函数y＝2x－3图象上所有点的集合； (4)方程组的解集． 解：(1)用列举法表示为{－2，0，2}，是有限集． (2)用描述法表示为{m|m＝3n＋1，n∈N}，是无限集． (3)用描述法表示为{(x，y)|y＝2x－3}，是无限集． (4)用列举法表示为{(0，1)}，是有限集． 10．用区间及数轴表示下列集合： (1){x|－3≤x<2}； (2){x|－1<x<6}； (3)不等式3x－1≤5的所有实数解组成的集合． 解：(1)用区间表示为[－3，2)，用数轴表示为. (2)用区间表示为(－1，6)，用数轴表示为. (3)用区间表示为(－∞，－2]，用数轴表示为. 11．已知集合A＝{a＋3，(a＋1)2，a2＋2a＋2}，若1∈A，求实数a的值． 解：①若a＋3＝1，则a＝－2， 此时A＝{1，1，2}，不符合集合中元素的互异性，舍去． ②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2. 当a＝0时，A＝{3，1，2}，满足题意； 当a＝－2时，由①知不符合条件，故舍去． ③若a2＋2a＋2＝1，则a＝－1，此时A＝{2，0，1}，满足题意． 综上所述，实数a的值为－1或0. 12．设非空实数集S是满足下面两个条件的集合： ①1∉S；②若a∈S，则∈S. (1)求证：若a∈S，则1－∈S； (2)若2∈S，则S中必含有其他的两个数，试求出这两个数； (3)求证：集合S中至少有三个不同的元素． 解：(1)证明：∵1∉S， ∴0∉S，即a≠0. 由a∈S，则∈S可得∈S， 即＝＝1－∈S. 故若a∈S，则1－∈S. (2)由2∈S，知＝－1∈S； 由－1∈S，知＝∈S； 当∈S时，＝2∈S， ∴当2∈S时，S中必含有－1和. (3)证明：由(1)知a∈S，∈S，1－∈S. 下证：a，，1－三者两两互不相等． ①若a＝，则a2－a＋1＝0，无实数解， ∴a≠； ②若a＝1－，则a2－a＋1＝0，无实数解， ∴a≠1－； ③若＝1－，则a2－a＋1＝0，无实数解， ∴≠1－. 综上所述，集合S中至少有三个不同的元素． 3 学科网（北京）股份有限公司 $