12.1.2 定义、定理与证明教学设计 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

第12章 全等三角形 12.1.2 定义、定理与证明   一、教材分析 华师大版八年级上册13章第一节第二课时，借实例区分基本事实与定理，以三角形内角和等展示证明流程，强化“∵∴”规范.用反例凸显证明必要，练习衔接旧知，为后续奠基，培养逻辑推理与表达能力.   二、教学目标 1.清晰阐述定义的含义，能够针对数学及生活中的常见概念准确给出定义； 2.能够深入理解定理的概念，并举例说明教材中涉及的相关定理； 3.熟练掌握证明的基本方法和书写格式，能够依据已知条件、定义及基本事实、定理等，对命题进行严谨证明； 4.通过学习体会数学证明的严谨性和逻辑性，感受数学知识的科学性和确定性，培养严谨认真的学习态度.   三、教学重难点 重点：清晰阐述定义的含义，能够针对数学及生活中的常见概念准确给出定义 . 难点：熟练掌握证明的基本方法和书写格式，能够依据已知条件、定义及基本事实、定理等，对命题进行严谨证明.   四、教学过程  复习回顾 想一想，我们学过哪些几何名词，你还记得吗？ （1） 线段 （2）角 （3）平行线 （4）射线 （5）同位角 （6）外角 …… 师生活动：小组形式汇报． 思考：你能说明什么是平行线吗？ 平行线：在同一平面内，不相交的两条直线. 提问：任选几个几何名词，你能对其进行说明吗？ 设计意图：通过复习导入让学生回顾复习旧知识，有助于新知的引入和学习.  探究新知 活动一：探究定义的意义 试一试：任选几个几何名词，你能对其进行说明吗？ 说明下列几何名词的意义 （1）线段： 直线上两个点和它们之间的部分 （2）射线： 把线段的一端无限延伸就是射线 （3）外角： 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角 师生活动：小组形式汇报． 总结：我们需要用不同的语句来说明这些名词所包含的确切意义；这些语句叫做这些名词的定义. 设计意图：通过让学生探究定义的意义，进而明确何为定义，为后面进行证明的学习打下基础. 活动二：探究基本事实的特征 问题1：判断下列命题的真假： 师生活动：小组形式汇报． 1.两点确定一条直线； 真命题 2.两点之间，线段最短； 真命题 3.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 真命题 4.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 真命题 总结：通过七年级的学习，我们发现它们都是正确的，并且都是公认的真命题，这些命题叫做基本事实. 试一试：尽可能多的说出我们学过的基本事实 1.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行； 2.过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； 3.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 思考：现在你能说出什么是基本事实了吗？ 总结：基本事实的特征： ①真命题；②公认的，无需证明的； ③基本事实是在继续学习的过程中，用来判断其他命题的真假的原始依据，即出发点. 活动三：探究定理的特征 试一试：如图，直线AB和直线CD相交于点O，请尝试说明 ∠AOC=∠BOD. 师生活动：小组形式汇报． 解：因为AB是直线，且点O在AB上， 所以 同理， 所以 思考：通过求解的过程你有什么发现吗？ 我们发现：它就是我们七年级所学的“对顶角相等”. 这个过程从平角的定义这一个基本事实作为出发点，用逻辑推理的方法判断出来它是正确的；并且作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理. 总结：定理的特征： ①从基本事实或其他真命题出发； ②用逻辑推理的方法判断它们是正确的； ③可以作为进一步判断其他命题真假的依据； 定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据. 活动四：探究证明的特征 试一试：运用所学过的知识判断下列说法是否正确 师生活动：小组形式汇报． 1.一位同学在钻研数学题时发现： 2+1=3 2×3+1=7 2×3×5+1=31 2×3×5×7+1=211 于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论：从质数2开始，排在前面的任意多个质数的积加1一定也是质数. 例如： 2×3×5×7×11+1=2311 是质数 2×3×5×7×11×13+1=30031=59×509 不是质数 故，说法不正确. 2.一位同学在画图时发现：三角形的三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.于是他得出结论：任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部. 例如：当三角形为钝角三角形时，交点在三角形外部 故，说法不正确. 3.我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论：n边形的内角和等于(n−2)×180°.这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一结论？ 正确；经过验证，每个多边形的内角和都满足这一结论. 思考：通过对上面几个例子的探究，你有什么发现吗？ 我们发现：上面几个例子说明：通过特殊事例得到的结论可能正确，也可能不正确.因此，通过这种方式得到的结论，还需进一步加以证实. 总结：根据条件、定义、基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明. 注意：等式与不等式的有关性质以及等量代换也经常作为推理的依据 总结：证明的特征 ①根据条件、定义、基本事实、定理 ②演绎推理 ③判断一个命题是否正确的过程叫做证明 注意：除了基本事实和已知的定理外，等式与不等式的有关性质以及等量代换也可以作为推理的依据.  应用新知 教材例题 例1 证明命题：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 已知：如图，直线a∥b，∠1与∠2是同旁内角 求证：∠1+∠2=180°. 证明：我们将∠1的同位角记作∠3 ∵（已知） ∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等） 又∵∠3+∠2=180°（邻补角的定义） ∴∠1+∠2=180°（等量代换） 总结：我们由“两直线平行，同位角相等”推导出“两直线平行，同旁内角互补”的结论. 前者是定理，后者叫做前者的推论. 注意：推论和定理一样，可以作为进一步证明的依据. 经典例题 例2 填写下面证明过程的推理依据： 如图：已知AC，BD相交于点O，DF平分∠CDO与AC相交于点F，BE平分∠ABO与AC相交于点E，∠A＝∠C.求证：∠1=∠2 证明：∵，∴ 内错角相等，两直线平行 ∴ 两直线平行，内错角相等 又∵DF平分∠CDO，BE平分∠ABO(已知) ∴， 角平分线的定义 ∴∠1＝∠2(等量代换) 总结：证明的相关注意事项 1.证明是从条件出发，经过一步步推理，最后推出结论的过程； 2.证明必须做到“言必有据”，这些根据可以是已知条件，也可以是定义、基本事实、定理、推论. 3.已学过的定理在初学证明时要把根据写在每一步推理的后面，熟练后可以将推理后面的依据逐渐简化. 设计意图：通过具体的题目，展现出来条件、定义、基本事实、定理的应用，让学生在证明时能够灵活应用，明白每一步的依据，做到言之有据．  课堂练习 【教材练习】 1.把下列定理改写成“如果……，那么……”的形式，指出它们的条件和结论，并用演绎推理证明小（1）所示的定理. （1）同旁内角互补，两直线平行 如果同旁内角互补，那么两直线平行 条件：同旁内角互补，结论：两直线平行 （2） 如果三个角是三角形的外角，那么它们的和为360° 条件：三个角是三角形的外角，结论：它们的和为360° （1）的证明 已知：如图，直线a和b都被同一条直线所截，且∠1+∠2=180° 求证：a∥b 证明：∵∠3+∠2=180°（平角的定义） 又∠1+∠2=180°（已知） ∴∠1=∠3（等量代换） ∴（同位角相等，两直线平行） 2.判断命题“两条直线被第三条直线所截，内错角相等”是真命题还是假命题，并说明理由. 答：假命题； 定理“内错角相等”的前提是两条直线平行，该命题没有说明已知的两条直线是平行的，故说法错误. 3.如图，已知∠B=50°，∠C=70°，点D、E分别在AB、BC上，且∠ADE=120°， 求证：DE∥AC.对于上述问题，请将下列证明过程补充完整. 证明：∵°（三角形内角和是180°） （已知），（已知） ∴（等式的性质） ∵（已知） ∴（等式的性质） ∴同旁内角互补，两直线平行） 4.下列命题是真命题的是（ A ） A. 两个角的和等于平角时，这两个角互为补角 B. 同旁内角相等，两直线平行 C. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D. 相等的角是对顶角 5.命题“同位角相等”的条件是 有两个角是同位角 . 6.如图，，，∠2＝50°，则∠1的度数是(　A ) A．40° B．50° C．60° D．140° 解析： (已知) (直角三角形的两个锐角互余) (已知) (两直线平行，同位角相等) 7.完成下面的证明过程，并在括号内填上理由． 已知：如图所示，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD.求证：AB∥CD. 证明：因为 (已知)， 所以∠1＝__∠2___ (两直线平行，内错角相等)， 又因为 (已知)， 所以 (等式的性质)， 即∠3＝∠4，所以 (内错角相等，两直线平行)． 设计意图：通过本节练习，学生能够在短时间内快速回顾和强化本堂课所学相关知识，并能及时获知学生对所学知识的掌握程度，锻炼了学生的解题速度和对数学原理的理解能力，同时培养他们的时间管理意识和学习兴趣．  总结归纳 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1．本节课你学到了什么？ 2．证明的过程需要注意什么？ 设计意图：本节课的课堂总结活动通过几个关键问题，引导学生全面回顾了本节课的学习内容．这种总结方式不仅帮助学生巩固了知识，还提高了他们的自我反思和总结能力．同时，通过师生互动，教师也能及时了解学生的学习情况，为后续的教学提供有针对性的指导．通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识． 学科网（北京）股份有限公司 $