精品解析：甘肃省平凉市第一中学2025-2026学年高二上学期第一次阶段性考试数学试题

平凉一中2027届上学期第一次月考试题 高二数学 一、单选题（5×8=40分） 1. 数列的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 2. 已知为公差不为0的等差数列，若，则（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 3. 直线关于轴对称的直线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 在正项等比数列中，若是关于的方程的两实根，则（ ） A. 8 B. 9 C. 16 D. 18 5. 已知圆，直线，若当的值发生变化时，直线被圆所截得的弦长的最小值为，则实数的取值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，直线与直线垂直，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 6 7. 小明从店购买了一辆价格为25万元的家用轿车，首付11万元，剩余的款项采用分期付款的方式还款，还款方式为：每年年底还固定款项2万元以及余款的当年利息，年利率为10%，直到全部还完为止．则购买这辆车小明最后实际共花（ ） A. 28.5万元 B. 30.6万元 C. 31.8万元 D. 32.2万元 8. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（3×6=18分） 9. 已知圆的方程为，则圆上的点有（      ） A. B. C. D. 10. 已知直线：，则（ ） A. 若 ，则直线的倾斜角为 B. 直线过定点 C. 为直线的一个方向向量 D. 若，则圆上有四个点到直线的距离等于 11. 公差为的等差数列，其前项和为，，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 中最大 D. 三、填空题（3×5=15分） 12. 直线的倾斜角是________. 13. 已知数列满足，，则数列的通项公式是_________ 14. 已知，，为x轴上任一点，则的最小值为________ 四、解答题（77分） 15. 已知点，求过线段AB的中点M，且在x轴上截距是在y轴上截距的2倍的直线方程. 16. 在平面直角坐标系内有三个定点，，，记的外接圆为E. （1）求圆E的方程； （2）若直线与圆E没有公共点，求m的取值范围. 17. 已知是数列的前n项和，． （1）求数列的通项公式 （2）设为数列前n项的和，若对一切恒成立，求实数的最大值． 18. 已知数列的前n项和为，且满足，数列满足，. （1）求数列，的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 19. 已知等比数列为单增数列，，是与的等差中项， （1）求 （2）若不等式对恒成立，求的取值范围； （3）项数为的数列满足，，我们将称为n项对称数列，如数列1，2，2，1称为4项对称数列，1，2，3，2，1称为5项对称数列．记数列为项的对称数列，是公差为2的等差数列，数列的最大项为，记前项的和为，，求k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平凉一中2027届上学期第一次月考试题 高二数学 一、单选题（5×8=40分） 1. 数列的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合选项中，数列的通项公式，逐项验证，即可求解. 【详解】对于A中，由，可得，符合题意，所以A正确； 对于B中，由，可得，不符合题意，所以B错误； 对于C中，由，可得，不符合题意，所以C错误； 对于D中，由，可得，不符合题意，所以D错误. 故选：A. 2. 已知为公差不为0的等差数列，若，则（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式即可求解. 【详解】因为为公差不为0的等差数列，设公差为， 所以， 因为，所以， 故选：B. 3. 直线关于轴对称的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设点设是所求直线上任意一点，然后结合点的对称性与已知条件代入求解即可； 【详解】设是所求直线上任意一点， 则关于轴对称的点为，且在直线上， 代入可得，即. 故选：C. 4. 在正项等比数列中，若是关于的方程的两实根，则（ ） A. 8 B. 9 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】由韦达定理可得，则由等比数列性质可得，后由对数运算性质可得答案. 【详解】由题意及韦达定理可得，由等比数列性质可得， 故. 故选：B 5. 已知圆，直线，若当的值发生变化时，直线被圆所截得的弦长的最小值为，则实数的取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心到直线距离的最大值，结合勾股定理可求得的值. 【详解】由题意可知，圆的圆心为原点，半径为， 直线交轴于点，当直线与垂直时， 此时，，原点到直线的距离取最大值，即， 因为直线被圆所截得的弦长的最小值为，即，解得. 故选：C. 6. 已知，，直线与直线垂直，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由两线垂直的判定可得，再应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立的条件. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，即， 所以（当且仅当，时，等号成立）. 故选：C． 7. 小明从店购买了一辆价格为25万元的家用轿车，首付11万元，剩余的款项采用分期付款的方式还款，还款方式为：每年年底还固定款项2万元以及余款的当年利息，年利率为10%，直到全部还完为止．则购买这辆车小明最后实际共花（ ） A. 28.5万元 B. 30.6万元 C. 31.8万元 D. 32.2万元 【答案】B 【解析】 【分析】设每次付款数组成数列，结合题意可得数列是首项3.4，公差为的等差数列，进而结合等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】首付11万元，余款14万元，按题意可知是分7次还清， 设每次付款数组成数列， 则（万元）， （万元）， （万元），， （万元）， 因而数列是首项3.4，公差为的等差数列， 则（万元）， 因此购车款最后实际共付万元. 故选：B. 8. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分和去掉的绝对值，作出直线与曲线的图象，根据图象求解. 【详解】当时，曲线为（）， 表示以为圆心，1为半径的圆的右半圆； 当时，曲线为（）， 表示以为圆心，1为半径的圆的左半圆； 所以曲线的图象如图所示： 当直线位于与之间或与之间时， 直线与曲线有两个不同的交点， 当直线位于时，直线与圆相切， 则，解得； 当直线位于时，； 直线位于与之间时，. 同理可得，直线位于与之间时，. 综上，实数的取值范围是. 故选：C 二、多选题（3×6=18分） 9. 已知圆的方程为，则圆上的点有（      ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】将点的坐标代入方程，检验方程是否成立，即可判断. 【详解】因为圆， 对于A：，所以点不在圆上； 对于B：，所以点在圆上； 对于C：，所以点不在圆上； 对于D：，所以点在圆上； 故选：BD 10. 已知直线：，则（ ） A. 若 ，则直线的倾斜角为 B. 直线过定点 C. 为直线的一个方向向量 D. 若，则圆上有四个点到直线的距离等于 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角、直线过定点、方向向量、直线与圆的位置关系，逐项判断即可得结论. 【详解】对于A：当时，直线：，所以直线的斜率， 则直线的倾斜角为，故A正确； 对于B：直线：，即， 令，解得，则直线过定点，故B正确； 对于C：由方程，可得直线的一个方向向量为，故C错误； 对于D：当时，直线方程为，圆心到直线的距离为， 而圆的半径为，因为，所以圆上有四个点到直线的距离等于，故D正确； 故选：ABD 11. 公差为的等差数列，其前项和为，，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 中最大 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由等差数列的性质和前项和公式，计算可判断每个选项的正确性, 【详解】在等差数列中，， 所以，，所以，， 所以，，所以，故AB正确； ，故C错误； 由，所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（3×5=15分） 12. 直线的倾斜角是________. 【答案】## 【解析】 【分析】将一般式方程整理为斜截式方程可得直线斜率，由斜率和倾斜角关系求得倾斜角. 【详解】由得：， ， 倾斜角. 故答案为：. 13. 已知数列满足，，则数列的通项公式是_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，再利用累乘法求解． 【详解】，，即， ， 满足上式，所以. 故答案为：． 14. 已知，，为x轴上任一点，则的最小值为________ 【答案】5 【解析】 【分析】首先求出关于轴的对称点为，再根据图形得到当且仅当三点共线时取得最小值. 【详解】关于轴的对称点为，如图所示： 当且仅当三点共线时取等号． 所以的最小值为5. 故答案为：5 四、解答题（77分） 15. 已知点，求过线段AB的中点M，且在x轴上截距是在y轴上截距的2倍的直线方程. 【答案】或. 【解析】 【分析】根据直线的截距分类讨论求解直线方程即可. 【详解】由题意中点M的坐标是. 设在轴，轴上的截距分别为，若截距不为0， 设方程为， 由已知得，解得. 所求方程为. 若，则此直线过点和原点， 所以方程为. 所以，所求直线方程为或. 16. 在平面直角坐标系内有三个定点，，，记的外接圆为E. （1）求圆E的方程； （2）若直线与圆E没有公共点，求m的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求圆的方程即可； （2）利用几何法判定直线与圆位置关系计算即可求参数范围. 【小问1详解】 设圆的方程为：， 代入A、B、C三点坐标可得：，解之得， 所以圆的方程为：； 【小问2详解】 由（1）知， 即圆心，半径为， 由题意可知E到的距离或， 即. 17. 已知是数列的前n项和，． （1）求数列的通项公式 （2）设为数列前n项的和，若对一切恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用代入即可求得通项公式； (2)裂项相消求得的前项和，再结合基本不等式求最值. 【小问1详解】 因为是数列的前n项和，且，则，当时，，当时，，满足通项公式，所以的通项公式为. 【小问2详解】 因为为数列前n项的和，令， 则， ，因为对一切恒成立， 则，因为，当且仅当时，等号成立. 所以,所以实数的最大值为. 18. 已知数列的前n项和为，且满足，数列满足，. （1）求数列，的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由，根据与关系求出；将看作数列的前项和，同理可求； （2）由错位相减法求和. 【小问1详解】 对于数列，当时，，解得； 当时，，与原式作差可得（）， 所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以； 对于数列，当时，，解得， 时，， 与原式作差可得，因为，所以， 所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以． 【小问2详解】 由（1）可知， 所以， 所以， 两式作差可得， 所以． 19. 已知等比数列为单增数列，，是与的等差中项， （1）求 （2）若不等式对恒成立，求的取值范围； （3）项数为的数列满足，，我们将称为n项对称数列，如数列1，2，2，1称为4项对称数列，1，2，3，2，1称为5项对称数列．记数列为项的对称数列，是公差为2的等差数列，数列的最大项为，记前项的和为，，求k的值． 【答案】（1）； （2）； （3）或5. 【解析】 【分析】（1）设数列的公比为q，根据等差中项的性质，结合等比数列的基本量列式求解即可； （2）根据题设可得，讨论的奇偶性及数列的单调性研究不等式恒成立，即可得参数范围； （3）先确定，进而根据等差数列的通项公式得出，再根据等差数列前项和的公式结合求解即可. 【小问1详解】 设数列的公比为q，结合题设有， 所以，解得（负值舍），故； 【小问2详解】 由（1）知：，即， 对于数列，有，故是递减数列， 当为奇数时，，即恒成立，只需； 当为偶数时，，即恒成立，只需； 综上，； 【小问3详解】 由题设，，是末项为8，公差为2的等差数列， 所以，则，故， 所以 ， 整理得，可得或5. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $