精品解析：江苏省连云港高级中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

2025-2026学年度高二上学期第一次阶段测试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 直线 的倾斜角是 （ ） A. B. C. D. 2. 已知直线过点且与直线平行，则该直线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 若方程表示一个圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 两条直线，之间的距离为（ ） A. B. C. D. 13 5. 已知直线和圆，若直线与圆相切，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 7. 已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知△ABC的顶点坐标为A（1，4），B（﹣2，0），C（3，0），则角B的内角平分线所在直线方程为（　 　） A. x﹣y+2＝0 B. xy+2＝0 C. xy+2＝0 D. x﹣2y+2＝0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆，则（ ）． A. 圆的面积是 B. 圆关于直线对称 C. 点在圆外 D. 直线与圆相离 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 点关于直线的对称点为 C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D. 方程能表示平行于轴的直线 11. 已知，，动点满足，记的轨迹为，若过点的直线与交于，两点，直线与的另外一个交点为，则（ ） A. 的面积的最大值为12 B. ，关于轴对称 C. 当时， D. 直线的斜率的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线经过点，且倾斜角为直线的倾斜角的一半，则的方程为__________. 13. 过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为__________． 14. 若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知三角形的三个顶点是，， （1）求边AB的中线所在直线的方程； （2）求的面积. 16. 已知圆的圆心在直线上，且过点，. （1）求圆的方程； （2）已知点是圆上的任意一点，求面积的最大值. 17. 已知直线，，点A和点B分别是直线，上一动点. （1）若直线AB经过点，且，求直线AB的方程； （2）设线段AB的中点为P，求点P到点的最短距离. 18. 已知圆M过点，圆心M在直线上，且直线与圆M相切． （1）求圆M的方程； （2）过点的直线l交圆M于A，B两点．若A为线段的中点，求直线l的方程． 19. 平面直角坐标系中，圆M经过点，，. （1）求圆M的标准方程； （2）设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上. ①过点D作与直线垂直的直线，交圆M于EF两点，记四边形的面积为S，求S的最大值； ②设直线OP，BQ相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高二上学期第一次阶段测试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 直线 的倾斜角是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将直线方程化简为斜截式方程，即可求出斜率，从而求解倾斜角. 【详解】因为，即，所以斜率为， 设直线的倾斜角为， 则，所以. 故选：D. 2. 已知直线过点且与直线平行，则该直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由平行得直线斜率，再由点斜式即可得解. 【详解】与直线即平行的直线斜率为， 所以过点且与直线平行的直线方程为即. 故选：B 3. 若方程表示一个圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将圆的一般方程写成标准方程，再根据等号右边的式子大于0，即或求解. 【详解】原方程可化为，方程表示圆，则有，即. 故选：C. 4. 两条直线，之间的距离为（ ） A. B. C. D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线之间的距离公式即可求解. 【详解】直线可化为，所以两平行线之间的距离. 故选：A 5. 已知直线和圆，若直线与圆相切，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径，列方程可求出的值. 【详解】圆，则圆心为，半径为， 因为直线即和圆相切， 所以，平方得，解得或. 故选：C 6. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出点关于直线的对称点坐标，再由两点间距离公式计算可得结果. 【详解】设关于直线的对称点，如下图所示： 则，解得，即 此时即为最短路程，易知. 所以最短总路程为. 故选:C 7. 已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线所过的定点，再判断定点与圆的位置关系，结合直线与圆的相交弦长最小时，定点与圆心所在直线与AB垂直，最后利用几何法求解弦长即可. 【详解】根据题意，圆，则圆心的坐标为，半径， 直线，即，恒过定点， 由，得点在圆内， 又定点到圆心的距离， 要使弦最小，则定点与圆心所在直线与AB垂直， 此时， 即的最小值为. 故选：D 8. 已知△ABC的顶点坐标为A（1，4），B（﹣2，0），C（3，0），则角B的内角平分线所在直线方程为（　 　） A. x﹣y+2＝0 B. xy+2＝0 C. xy+2＝0 D. x﹣2y+2＝0 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得|AB|＝|BC|＝5，所以角B的内角平分线所在直线方程为AC的垂直平分线，继而可以求得结果． 【详解】由已知可得|AB|＝|BC|＝5， 所以角B的内角平分线所在直线方程为AC的垂直平分线， 又线段AC中点坐标为（2，2）， 则角B的内角平分线所在直线方程为y﹣2， 即x﹣2y+2＝0． 故选：D． 【点评】本题考查直线的位置关系，考查垂直的应用，由|AB|＝|BC|＝5转化为求直线的AC的垂直平分线是关键，属于中档题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆，则（ ）． A. 圆的面积是 B. 圆关于直线对称 C. 点在圆外 D. 直线与圆相离 【答案】BCD 【解析】 【分析】先把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径，再利用圆的性质、面积公式、两点间距离公式及点到直线的距离公式等知识点逐一判断选项． 【详解】， ，即圆是圆心为，半径是的圆． 圆的面积为：，故A错误； 圆心在直线上，即， 圆关于直线对称，故B正确； 设点与圆心距离为，则， 点在圆外，故C正确； 设圆心到直线的距离为，则， 直线与圆相离，故D正确． 故选：． 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 点关于直线的对称点为 C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D. 方程能表示平行于轴的直线 【答案】BC 【解析】 【分析】求得定点坐标判断A；求得对称点坐标判断B；求得三角形面积判断C；利用斜率不可能为0判断D. 【详解】对于A，由，可得， 则直线过直线与直线的交点， 所以直线过定点，故A错误； 对于B，点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以点关于直线的对称点为，故B正确； 对于C，令，则，令，则， 所以直线与两坐标轴的交点为， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是，故C正确； 对于D，平行于轴的直线需斜率为0，又直线的斜率不为0， 所以方程不能表示平行轴的直线，故D错误. 故选：BC. 11. 已知，，动点满足，记的轨迹为，若过点的直线与交于，两点，直线与的另外一个交点为，则（ ） A. 的面积的最大值为12 B. ，关于轴对称 C. 当时， D. 直线的斜率的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用给定定义得到的轨迹并结合三角形面积公式判断A，利用角平分线定理逆定理结合对称性判断B，利用圆周角和圆心角以及垂径定理判断C，先求出直线和圆相切时的斜率情况，再求解取值范围判断D即可. 【详解】设，由可得， ，即， 所以的轨迹是以为圆心，3为半径的圆，记圆的圆心为，半径为． 对于A选项，，选项A正确； 对于B选项，如图，圆关于轴对称，，在轴上， 直线与圆交于，两点，直线与圆交于，两点， 由题可知，， 由角分线定理逆定理得，故， 又根据圆的对称性可知，，关于轴对称，选项B正确； 对于C选项，当时，， 而，则为等腰三角形， 过作于，则， 则，由垂径定理可得，选项C错误； 对于D选项，当直线与圆相切时，连接， 得到，此时，，由勾股定理得， 由锐角三角函数的定义得， 由斜率的几何意义得此时直线的斜率为，根据圆的对称性可知， 得到直线斜率的取值范围为，选项D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线经过点，且倾斜角为直线的倾斜角的一半，则的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】易知直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为，求出直线的斜率，再由直线的点斜式方程可求得结果. 【详解】显然直线的斜率为，所以可知其倾斜角为， 所以直线的倾斜角为，其斜率为， 又直线过点，所以的方程为, 即. 故答案为：. 13. 过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线的交点，再根据垂直关系求出斜率，利用点斜式求出直线方程． 【详解】设直线与相交于点，则 ，解得， 交点为， 所求直线与直线垂直，设所求直线斜率为， ，解得， 直线方程为：，即． 故答案为：． 14. 若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出曲线，考查直线与圆相切且切点在第四象限时的值、直线过点、时的值，以及直线过点时的值，数形结合可得出实数的取值范围． 【详解】由，可得，即， 所以，曲线表示圆的下半圆， 作出曲线与直线如下图所示， 当直线与圆相切且切点在第四象限时， 且由几何关系可得，解得，此时，直线与曲线有1个公共点； 当直线过点时，，此时，直线与曲线有2个公共点； 当直线过点时，，此时，直线与曲线有1个公共点； 由上图可知，曲线与直线恰有个公共点时，的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知三角形的三个顶点是，， （1）求边AB的中线所在直线的方程； （2）求的面积. 【答案】（1）（或） （2）17 【解析】 【分析】（1）根据中点坐标，结合点斜式即可求解， （2）求解直线的方程，进而根据两点距离以及点到直线的距离即可求解. 【小问1详解】 由已知得：AB的中点为，所以边AB的中线所在直线的斜率为， 故方程为：（或） 【小问2详解】 由已知得，直线AC的方程为，即， 且，点B到直线AC的距离为， 所以的面积为. 16. 已知圆的圆心在直线上，且过点，. （1）求圆的方程； （2）已知点是圆上的任意一点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题设圆的圆心为，利用求出参数a即可求解； （2）先由题意依次求出和点到直线的距离的最大值即可求解. 【小问1详解】 由题可设圆的圆心为， 则，即， 所以圆的圆心为，半径为， 所以圆C的方程为. 【小问2详解】 由题，， 所以直线，即， 所以圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最大值为， 故面积的最大值为. 17. 已知直线，，点A和点B分别是直线，上一动点. （1）若直线AB经过点，且，求直线AB的方程； （2）设线段AB的中点为P，求点P到点的最短距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行线间距离与的关系，得出直线与平行线垂直，进而求斜率和方程． （2）分析出中点的轨迹是与直线平行的直线，通过取点，利用点斜式求轨迹方程即可． 【小问1详解】 直线，，则， 由已知得平行直线的距离，斜率均为，而动点的距离，此时，直线一定与平行直线垂直， 所以其斜率，又直线经过点，所以其方程为，即． 【小问2详解】 因为点和点分别是平行直线上的动点，所以线段的中点的轨迹为直线，与平行直线平行且在两直线中间，如图所示． 因此直线的斜率，取点，点，则线段中点， 所以直线的方程为，整理得． 所以点到点的最短距离即点到直线的距离． 18. 已知圆M过点，圆心M在直线上，且直线与圆M相切． （1）求圆M的方程； （2）过点的直线l交圆M于A，B两点．若A为线段的中点，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）对于求圆的方程，我们需要确定圆心坐标和半径，根据已知条件，利用圆过的点、圆心所在直线以及直线与圆相切的关系来建立方程组求解圆心坐标和半径. （2）在求直线方程时，先根据中点关系设出点的坐标，再代入圆的方程求出点的坐标，然后分情况根据两点确定直线斜率求出直线方程. 【小问1详解】 首先设圆M的方程为。. 因为圆M过点，把点代入圆的方程可得①. 又因为圆心M在直线上，所以②. 由于直线与圆M相切，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的关系，可得③. 联立①②③求解：由②可得, 将代入①和③. 把代入①得， 展开可得，进一步展开得到. 把代入③得. 因为. 由，解得. 把代入得. 再把，代入①可得，所以. 所以圆M的方程为. 【小问2详解】 设，因A为线段BD的中点，根据中点坐标公式，所以， 因为A，B在圆M上，所以， 对第一个方程展开得， 即④， 对第二个方程展开得， 即⑤， 由④⑤得：， 展开得化简得，即， 把代入④得， 即， 解得或， 当时，；当时，， 当时，因为，此时直线垂直于轴，所以直线的方程为； 当时，由可得直线的斜率， 根据直线的点斜式方程，这里， 所以直线的方程为，整理得， ，即. 综上所得，直线的方程为或 19. 平面直角坐标系中，圆M经过点，，. （1）求圆M的标准方程； （2）设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上. ①过点D作与直线垂直的直线，交圆M于EF两点，记四边形的面积为S，求S的最大值； ②设直线OP，BQ相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程. 【答案】（1） （2）①S的最大值为7；②设， 联立，消得， 则， 直线的方程为， 直线的方程为， 联立，解得， 则， 所以， 所以点N在定直线上. 【解析】 【分析】（1）设圆M的方程为，利用待定系数法求出，即可得解； （2）①设直线的方程为，分和两种情况讨论，利用圆的弦长公式分别求出，再根据即可得出答案； ②设，联立，利用韦达定理求得，求出直线OP，BQ的方程，联立求出交点坐标即可得出结论. 【小问1详解】 解：设圆M的方程为， 则，解得， 所以圆M的标准方程为； 【小问2详解】 设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， ①若，则直线斜率不存在， 则，，则， 若，则直线得方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， 则 ， 当且仅当，即时，取等号， 综上所述，因为，所以S的最大值为7； ②略 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $