精品解析：贵州省贵阳市清镇市博雅实验学校2025-2026学年高一上学期9月月考数学试题

博雅学校2025-2026学年度第一学期9月月考试题 高一数学 考试用时：120分钟 卷面总分：150分 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列元素与集合之间的关系表达正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据常用数集的范围逐项判断即可. 【详解】，，， 故选：C 2. 下列各组对象中能形成集合的是（ ） A. 高一数学课本中不太难的复习题 B. 高二年级瘦一点的学生家长 C. 高三年级开设的所有课程 D. 高一（12）班个子比较高的学生 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素是否满足确定性进行判断. 【详解】要想能形成集合，要满足确定性， 四个选项中，只有高三年级开设的所有课程具有确定性，故C正确，其他错误. 故选：C 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集定义计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：D 4. 一元二次方程有实数根，，是的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】求出一元二次方程有实数根的充分必要条件即可判断． 【详解】一元二次方程有实数根的充分必要条件为， 所以是的充分必要条件． 故选：C． 5. 关于命题“，”，下列判断正确的是（ ） A. 该命题是全称量词命题，且是真命题 B. 该命题是存在量词命题，且是真命题 C. 该命题是全称量词命题，且是假命题 D. 该命题是存在量词命题，且是假命题 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的定义及取可判断. 【详解】该命题存在量词命题，当时，，所以该命题为真命题. 故选:B 6. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】利用作差法判断即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：B 7. 求的最大值（ ） A. 5 B. 6 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】法一：根据二次函数的性质计算可得，法二：利用基本不等式计算可得. 【详解】法一：因为， 所以当时取得最大值. 法二：因为，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：A 8. 两人共同参加一个游戏，游戏规则如下：其中一人在集合（，且）中任取2个元素并求和，剩下2个元素给另一个人并求和，和大者为胜.则先取者取下列哪2个元素能够保证先取者必胜（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用作差法逐项判断. 【详解】若先取者取和， 则， 根据，且，不能确定大小关系，A错误； 若先取者取和， 则， 根据，且，不能确定大小关系，B错误； 若先取者取和， 则 ， 根据，且，所以上式大于0，C正确，D错误. 故选：C 二､多选题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得部分，有选错得0分. 9. 若是的必要不充分条件，则实数a的值可以为（ ） A. 2 B. C. D. 0 【答案】BCD 【解析】 【分析】依题意，是的真子集，则可以是，或，解之即得. 【详解】由可解得：或， 依题意，是的真子集，则可以是，或. 当时，易得； 当，可得； 当，可得. 故选：BCD. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用作差法可判断A选项，利用不等式的性质可判断CD选项，利用特殊值法可判断B选项. 【详解】对于A选项，因为，则、不能同时为零， 所以，， 若，则且，此时，，矛盾， 故，故，A对； 对于B选项，因为，且，，不妨取，，此时，B错； 对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，，则，C对； 对于D选项，因为，则，可得， 由不等式的性质可得，即，D对. 故选：ACD. 三､填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分. 11. 命题“，”的否定是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据全称命题的否定得出即可. 【详解】根据全称命题的否定是特称命题可得. 故答案为：. 12. 函数的最小值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】 根据基本不等式直接求函数的最小值. 【详解】∵，∴，当且仅当，即时取等号，故函数 的最小值为2. 故答案为：2 13. “学科阅读课程”是清镇市博雅实验学校提升学生综合素养必开的课程之一，也深受学生们的喜爱.在对“学生阅读”与“物理阅读”这两项理科阅读问卷调查了解到如下数据：96%的学生喜欢这两项活动中的至少一项，78%的学生喜欢“数学阅读”活动，87%的学生喜欢“物理阅读”活动，则我校既喜欢“数学阅读”又喜欢“物理阅读”活动的学生数占我校学生总数的比例是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用容斥原理列式计算即得. 【详解】喜欢“数学阅读”活动的学生组成集合，喜欢“物理阅读”活动的学生组成集合，全校学生总数为， 依题意，， 由， 得， 所以既喜欢“数学阅读”又喜欢“物理阅读”活动的学生数占校学生总数的比例是. 故答案为： 14. 判断“”是__________命题（填写“真”或“假”）. 【答案】真 【解析】 【分析】根据绝对值的非负性判断即可. 【详解】因为，所以， 所以为真命题. 故答案为：真 15. 已知集合，，则集合B中元素的个数为______. 【答案】6 【解析】 【分析】由已知，根据条件给的集合A，按照集合B给的定义列举即可完成求解. 【详解】因为，，，所以时，；时，或，时，或3或4.，所以集合B中元素的个数为6. 故答案为：6. 四､解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要得文字说明､证明过程或演算步骤. 16. 设是小于9的正整数，，，求： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据交集的定义计算可得； （2）（3）根据补集的定义计算可得. 【小问1详解】 因为，， 所以 【小问2详解】 因为是小于9的正整数， 又，所以； 【小问3详解】 因为，， 所以. 17. 用不等式或不等式组表示下面的不等关系: (1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位:m)从地面算起不能超过4m; (2)a与b的和是非负实数; (3)如图,在一个面积小于的矩形地基的中心位置上建造一个仓库,仓库的四周建成绿地,仓库的长L(单位m)大于宽W(单位:m)的4倍. 【答案】(1);(2);(3) 【解析】 【分析】 由题意转化为不等关系即可 【详解】（1）； （2）； （3）由题,则矩形地基的长为,宽为,则 【点睛】本题考查不等关系在实际中的应用,属于基础题 18. 已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|1≤x≤5，x∈Z}，C＝{x|2<x<9，x∈Z}．求 (1)A∪(B∩C)；(2)(∁UB)∪(∁UC)． 【答案】（1）A∪(B∩C)＝{1,2,3,4,5}．（2）(∁UB)∪(∁UC)＝{1,2,6,7,8}． 【解析】 【详解】试题分析：（1）先求集合A,B,C；再求B∩C，最后求A∪(B∩C)（2）先求∁UB，∁UC；再求(∁UB)∪(∁UC)． 试题解析：解：(1)依题意有：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，C＝{3,4,5,6,7,8}，∴B∩C＝{3,4,5}，故有A∪(B∩C)＝{1,2}∪{3,4,5}＝{1,2,3,4,5}． (2)由∁UB＝{6,7,8}，∁UC＝{1,2}； 故有(∁UB)∪(∁UC)＝{6,7,8}∪{1,2}＝{1,2,6,7,8}． 19. （1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ （2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最短篱笆的长度为；（2）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最大面积是. 【解析】 【分析】 设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为. （1）由题意得出，利用基本不等式可求出矩形周长的最小值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论； （2）由题意得出，利用基本不等式可求出矩形面积的最大值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论. 【详解】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为. （1）由已知得，由，可得，所以， 当且仅当时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为； （2）由已知得，则，矩形菜园的面积为. 由，可得， 当且仅当时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，在运用基本不等式求最值时，充分利用“积定和最小，和定积最大”的思想求解，同时也要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于基础题. 20. 集合中的元素个数与容斥原理 集合中元素的个数：（card是英文cardinal基数的缩写） 在研究集合时，经常遇到有关集合中元素个数问题.我们把含有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则. 看一个问题，某超市进了两次货，第一次进货是圆珠笔､钢笔､橡皮､笔记本､方便面､汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔､铅笔､火腿肠､方便面共4种，两次一共进了几种货？ 回答两次一共进了种，显然是不对的，让我们试着从集合的角度考虑这个问题 用集合表示第一次进货的品种，用集合表示第二次进货的品种，就有： 圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水， 圆珠笔，铅笔，火腿肠，方便面 这里.求两次一共进了几种货，这个问题指的是求.这个例子中，两次进的货里有相同的品种，相同的品种数实际就是，之间有什么关系呢？ 可以算出一般地，对任意两个有限集合，有 再来看一个问题.学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人.两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？ 用集合表示田径运动会参赛的学生，用集合表示球类运动会参赛的学生，就有是田径运动会参赛的学生是球类运动会参赛的学生 那么是两次运动会都参赛的学生是所有参赛的学生， . 所以，在两次运动会中，这个班共有17名同学参赛.我们也可以用Venn图来求解. 在上图中相应于的区域里先填上，再在中不包括的区域里填上 ，在中不包括的区域里填上最后把这三个数加起来得17，这就是.这种图解法对于解比较复杂的问题（例如涉及三个以上集合的并､交的问题）更能显示出它的优越性.对于有限集合，你能发现之间的关系吗？通过一个具体的例子，算一算. 有限集合中元素的个数，我们可以一一数出来.而对于元素个数无限的集合，如 我们无法数出集合中元素的个数，但可以比较这两个集合中元素个数的多少.你能设计一种比较这两个集合中元素个数多少的方法吗？ 在计数时，要保证无一重复，无一遗漏，这种计数的方法称为容斥原理. 1.两个集合的容斥原理 用表示有限集合中元素的个数，例如：，则.一般地，对于任意两个有限集合，有. 如图所示： 2.三个集合的容斥原理 一般地，对于任意三个有限集合，有根据阅读材料作答下列问题： （1）某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人.问接受调查的小学生共有__________人. （2）已知非空集合同时满足以下四个条件： ①；②； ③；④. 注：其中分别表示中元素的个数. ①如果集合中只有一个元素，那么__________； ②如果集合中有3个元素，则有序集合对的个数是__________. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）作出韦恩图，将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示，不妨设总人数为，只选择舞蹈和唱歌的人数为，只选择舞蹈和体育的人数为，只选择唱歌和体育的人数为，利用容斥原理可求得的值，即为所求. （2）①依题意可得集合中有4个元素，则，即可得解；②分析可得，即可列出集合，从而得解. 【小问1详解】 如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示， 则，，，． 不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为， 则，，，． 由三个集合的容斥关系公式得， 解得，故接受调查的小学生共有人． 【小问2详解】 ①如果集合中只有一个元素，则集合中有个元素， 由，可得，即； ②如果集合中有个元素，则集合中有个元素， 所以，， 即， 所以, 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上有序集合对的个数是个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 博雅学校2025-2026学年度第一学期9月月考试题 高一数学 考试用时：120分钟 卷面总分：150分 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列元素与集合之间的关系表达正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组对象中能形成集合的是（ ） A. 高一数学课本中不太难的复习题 B. 高二年级瘦一点的学生家长 C. 高三年级开设的所有课程 D. 高一（12）班个子比较高的学生 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程有实数根，，是的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 5. 关于命题“，”，下列判断正确的是（ ） A. 该命题是全称量词命题，且是真命题 B. 该命题是存在量词命题，且是真命题 C. 该命题是全称量词命题，且是假命题 D. 该命题是存在量词命题，且是假命题 6. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 求的最大值（ ） A. 5 B. 6 C. 3 D. 4 8. 两人共同参加一个游戏，游戏规则如下：其中一人在集合（，且）中任取2个元素并求和，剩下2个元素给另一个人并求和，和大者为胜.则先取者取下列哪2个元素能够保证先取者必胜（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 二､多选题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得部分，有选错得0分. 9. 若是必要不充分条件，则实数a的值可以为（ ） A. 2 B. C. D. 0 10. 下列命题为真命题的是（ ） A 若，则 B. 若，且，，则 C. 若，则 D. 若，则 三､填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分. 11. 命题“，”的否定是______． 12. 函数的最小值为__________. 13. “学科阅读课程”是清镇市博雅实验学校提升学生综合素养必开的课程之一，也深受学生们的喜爱.在对“学生阅读”与“物理阅读”这两项理科阅读问卷调查了解到如下数据：96%的学生喜欢这两项活动中的至少一项，78%的学生喜欢“数学阅读”活动，87%的学生喜欢“物理阅读”活动，则我校既喜欢“数学阅读”又喜欢“物理阅读”活动的学生数占我校学生总数的比例是________． 14. 判断“”是__________命题（填写“真”或“假”）. 15. 已知集合，，则集合B中元素的个数为______. 四､解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要得文字说明､证明过程或演算步骤. 16. 设是小于9正整数，，，求： （1）； （2）； （3）. 17. 用不等式或不等式组表示下面的不等关系: (1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位:m)从地面算起不能超过4m; (2)a与b的和是非负实数; (3)如图,在一个面积小于的矩形地基的中心位置上建造一个仓库,仓库的四周建成绿地,仓库的长L(单位m)大于宽W(单位:m)的4倍. 18. 已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|1≤x≤5，x∈Z}，C＝{x|2<x<9，x∈Z}．求 (1)A∪(B∩C)；(2)(∁UB)∪(∁UC)． 19. （1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ （2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 20. 集合中的元素个数与容斥原理 集合中元素的个数：（card是英文cardinal基数的缩写） 在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题.我们把含有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则. 看一个问题，某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔､钢笔､橡皮､笔记本､方便面､汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔､铅笔､火腿肠､方便面共4种，两次一共进了几种货？ 回答两次一共进了种，显然是不对的，让我们试着从集合的角度考虑这个问题 用集合表示第一次进货的品种，用集合表示第二次进货的品种，就有： 圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水， 圆珠笔，铅笔，火腿肠，方便面 这里.求两次一共进了几种货，这个问题指的是求.这个例子中，两次进的货里有相同的品种，相同的品种数实际就是，之间有什么关系呢？ 可以算出一般地，对任意两个有限集合，有 再来看一个问题.学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人.两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？ 用集合表示田径运动会参赛的学生，用集合表示球类运动会参赛的学生，就有是田径运动会参赛的学生是球类运动会参赛的学生 那么是两次运动会都参赛的学生是所有参赛的学生， 所以，在两次运动会中，这个班共有17名同学参赛.我们也可以用Venn图来求解. 在上图中相应于的区域里先填上，再在中不包括的区域里填上 ，在中不包括的区域里填上最后把这三个数加起来得17，这就是.这种图解法对于解比较复杂的问题（例如涉及三个以上集合的并､交的问题）更能显示出它的优越性.对于有限集合，你能发现之间的关系吗？通过一个具体的例子，算一算. 有限集合中元素的个数，我们可以一一数出来.而对于元素个数无限的集合，如 我们无法数出集合中元素的个数，但可以比较这两个集合中元素个数的多少.你能设计一种比较这两个集合中元素个数多少的方法吗？ 在计数时，要保证无一重复，无一遗漏，这种计数的方法称为容斥原理. 1.两个集合的容斥原理 用表示有限集合中元素的个数，例如：，则.一般地，对于任意两个有限集合，有. 如图所示： 2.三个集合的容斥原理 一般地，对于任意三个有限集合，有根据阅读材料作答下列问题： （1）某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人.问接受调查的小学生共有__________人. （2）已知非空集合同时满足以下四个条件： ①；②； ③；④. 注：其中分别表示中元素的个数. ①如果集合中只有一个元素，那么__________； ②如果集合中有3个元素，则有序集合对的个数是__________. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $