精品解析：江西省吉安市第八中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

吉安八中2025—2026学年第一学期第一次阶段测评 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 1. 下列等式中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解其定义是解题关键． 利用一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，进行分析即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、是一元一次方程，不合题意； C、含有2个未知数，不是一元二次方程，不合题意； D、含有分式不是一元二次方程，不合题意． 故选：A． 2. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形和菱形的性质，特殊四边形的性质要从边、角、对角线三方面入手，并加以考虑它们之间的联系和区别． 根据矩形和菱形的性质判断即可． 【详解】解：A、矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意； B、矩形和菱形对角线都互相平分，故本选项不符合题意； C、菱形的对角线垂直，矩形的对角线不一定垂直，故本选项不符合题意； D、矩形和菱形都是对角相等，故本选项不符合题意； 故选：A． 3. 关于x的方程根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．通过计算判别式并分析其符号即可确定根的情况． 【详解】解：对于方程，其判别式为： 由于，则，因此． 故判别式恒为负数，方程无实数根， 故选：C． 4. 方程x2﹣2x﹣3＝0经过配方法化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（　　） A. （x﹣1）2＝4 B. （x+1）2=4 C. （x﹣1）2＝16 D. （x+1）2＝16 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法即可求出答案． 【详解】解：x2﹣2x+1﹣1﹣3＝0， （x﹣1）2＝4， 故选A． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解题关键. 5. 在年赣超联赛中，吉安队主场第二场比赛到场观赛人数为人，第四场比赛到场观赛人数为人，设吉安队主场观赛人数的平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查增长率，解题的关键是根据“第二场比赛到场观赛人数×（1＋增长率）2＝第四场比赛到场观赛人数”列出方程即可． 【详解】解：设吉安队主场观赛人数的平均增长率为， 依题意，得：． 故选：A． 6. 已知：如图，在正方形外取一点，连接，过点作的垂线交于点，若．下列结论：①≌；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】①利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件利用可证两三角形全等；②先说明，结合是等腰直角三角形，即，然后根据求解即可判定；③先说明是等腰直角三角形，再运用勾股定理求，然后用勾股定理求得即可；④过B作，交的延长线于F，先说明由是等腰直角三角形可求得，进而求得，用勾股定理可求 ，连接，求出的面积，然后减去的面积即可； 根据④求得的长，再结合正方形的性质即可判定． 【详解】解：①∵ ∴ 又∵， ∵在和中， ∴；故①正确； ②∵， ∴， ∵ ∴， ∴，即； ∵过点A作的垂线交于点P．若 ∴是等腰直角三角形，即 ∴故②正确； ③∵， ， ∴， ， 又∵②中， ∴ ，故③正确； ④如图：过B作，交的延长线于F， 又∵③中， ∴ ∴ 又∵， ∴ ， ∴ ∴ 如图，连接， ∵， ∴ ， ∴ ，故④正确． ⑤∵正方形， ∴，故⑤错误； 综上可知其中正确结论的序号是①②③④共4个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识是解答本题的关键． 二．填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 7. 一个直角三角形斜边上的中线长是，则它的斜边长是________． 【答案】10 【解析】 【分析】此题主要考查直角三角形斜边上的中线的性质．则根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形斜边上的中线长是， ∴斜边长． 故答案为：10． 8. 设m、n是一元二次方程x2+3x-5=0的两个根，则m2+4m+n=___． 【答案】2 【解析】 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到m2=-3m+5，则m2+4m+n化为m+n+5，再利用根与系数的关系得到m+n=-3，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m是一元二次方程x2+3x-5=0的根， ∴m2+3m-5=0， ∴m2=-3m+5， ∴m2+4m+n=-3m+5+4m+n=m+n+5， ∵m、n是一元二次方程x2+3x-5=0的两个根， ∴m+n=-3， ∴m2+4m+n=-3+5=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则x1+x2=-，x1x2=． 9. 如图，某单位准备将院内一块长，宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为，设小道进出口的宽度为，请列出方程并化成一般形式：________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．设小道进出口的宽度为，根据矩形的面积以及平行四边形的面积结合种植花草的面积为，即可列出关于x的一元二次方程，整理后即可得出结论． 【详解】解：设小道进出口的宽度为， 根据题意，得：， 整理，得：． 故答案为：． 10. 一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一个根，则此三角形的周长是__________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、一元二次方程、三角形的三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先解一元二次方程得到可能的腰长，再根据三角形三边关系判断是否构成三角形，最后计算周长． 【详解】解：， ， 解得 或 ， 当腰长为3时，三边为3、3、6， ∵ ，不构成三角形； 当腰长为4时，三边为4、4、6，满足三角形三边关系， ∴周长为 ． 故答案为：14． 11. 如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为 _____ ． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查的是最短路径问题，矩形的性质，轴对称的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 连接，在BA的延长线上截取，连接则的最小值转化为的最小值，则，根据勾股定理可得结果． 【详解】解：如图，连接， 在矩形中，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 则，即的最小值转化为的最小值， 在的延长线上截取，连接， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 连接，则， ∵， ∴． ∴的最小值为5． 故答案为：5． 12. 如图，点在正方形的对角线上，，若点在正方形的边上，且，则的度数为______ ． 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情况：①当在上时，由正方形的性质推出是等边三角形，再根据等边三角形的性质可得到的度数；②当在上时，连接，由，得到，，推出是等边三角形，由四边形内角和求出，再代入即可；③当和重合时，由四边形是正方形，得到，求出，又，根据等边对等角可到，最后由三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：①如图，当在上时， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； ②如图，当在上时，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在四边形中， ， ∴； ③如图当和重合时， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数是或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，四边形内角和等于．解题的关键是分情况讨论． 三．（本大题共5小题，每题6分，共30分） 13. 选用恰当的方法解方程： （1）； （2） 【答案】（1）； （2），； 【解析】 【分析】此题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键： （1）利用因式分解法解方程； （2）利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解： ∴ ∴； 【小问2详解】 解： ∴． 14. 四边形是正方形，分别是和的延长线上的点，且，连接、、． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1） 证明：四边形是正方形， ，， 而是的延长线上的点， ， 在和中 ； （2）的面积为 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判断与性质，勾股定理 （1）利用证明即可； （2）用勾股定理求出，根据全等三角形的性质可得，再利用直角三角形面积求的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是正方形， ， 在中，，， ， ， ，即 的面积． 15. 已知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若=﹣1，求k的值． 【答案】（1）k＞﹣；（2）k=3． 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△>0，即可得出关于k的不等式，解之即可得出k的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=﹣2k﹣3，x1x2=k2，结合=﹣1即可得出关于k的分式方程，解之经检验即可得出结论． 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根， ∴△=（2k+3）2﹣4k2>0， 解得：k>﹣； （2）∵x1、x2是方程x2+（2k+3）x+k2=0的实数根， ∴x1+x2=﹣2k﹣3，x1x2=k2， ∴=﹣1， 解得：k1=3，k2=﹣1， 经检验，k1=3，k2=﹣1都是原分式方程的根， 又∵k＞﹣， ∴k=3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”； （2）根据根与系数的关系结合=﹣1找出关于k的分式方程． 16. 如图1，2，矩形中，M为的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，求作点P为的中点； （2）在图2中，求作点Q为的中点． 【答案】（1） 如图，点即为所求， （2） 如图，点即为所求 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练正确知识点是解题的关键． （1）连接交于点，连接并延长交则为点，由矩形得到为中点，可证明，则； （2）在（1）的基础上连接与交于点，连接并延长与相交，交点即为点，由得到，则，由得到，则，则． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 17. 如图，将矩形沿对角线折叠，点B的对应点为点E，与交于点F，过点C作交于点G． （1）小明和小白为四边形是什么特殊四边形发生了争议，小明说四边形是菱形，小白说四边形不是菱形，只是平行四边形．请你评判谁的说法是正确的，并说明理由； （2）若，求的度数． 【答案】（1） ∵四边形是矩形， ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴ 由折叠得， ∴ ∴， ∴四边形是菱形， ∴小明说的对， （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判断即可； （2）由折叠的性质可得从而可求出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是菱形， ∴， 由折叠得， ∴ ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，折叠的性质等知识，正确证明四边形是平行四边形是解答本题的关键． 四．（本大题共3小题，每题8分，共24分） 18. （1）如图1，已知ABCD是正方形，P是对角线AC上一点，求证：PB＝PD； 请你完成问题情境中（2）的证明 （2）如图2，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F，连接EF，猜想EF与DP的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】 （1）证明：在△APB和△APD中， ∵AB＝AD，AP＝AP，∠BAP＝∠DAP＝45°， ∴△APB≌△APD， ∴PB＝PD． （2）猜想：PD＝EF． 证明：连接PB． 由（1）可知：PB＝PD． ∵PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F， ∴四边形PEBF是矩形， ∴PB＝EF， ∴PD＝EF． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质证明△APB≌△APD，故可求解； （2）连接PB，证明四边形PEBF是矩形，根据矩形对角线相等即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】此题主要考查正方形的性质综合，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、矩形的性质． 19. 定义新运算“⊕”：当时，；当时，． 如：∵，∴； ∵，∴． （1）计算：_______； （2）若，求x的值． 【答案】（1） （2）x的值为或 【解析】 【分析】（1）先比较大小，后选择公式计算即可． （2）分类，列式计算即可求x的值． 本题考查了实数的新定义计算，熟练掌握公式是解题的关键． 【小问1详解】 解： ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：当时即，； 整理，得， 解得（舍去）， 此时； 当时即，． 整理，得， 解得（舍去）， 此时； 综上所述，符合题意的x的值为或． 20. “道路千万条，安全第一条”．为了平安出行，某地区交警部门提醒市民，骑行需佩戴安全头盔．某商店8月份销售安全头盔个，月份销售个． （1）求该商店安全头盔销售量的月平均增长率； （2）若该安全头盔的进价为元/个，销售过程中发现，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到元，并且尽可能让顾客得到实惠，则该头盔的实际售价应定为多少元? 【答案】（1）该商店安全头盔销售量的月平均增长率为 （2）该头盔的实际售价应定为元 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握知识点是解题的关键， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据“从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程，求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价为元/个，“月销售利润达到元”列方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 根据题意可得：， 解得：，（舍去）， 答：该商店安全头盔销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价为元/个， 由题意可得：， 整理得：， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔的实际售价为元/个． 五、解答题（本大题2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）． （1）当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当时，点B在的垂直平分线上 （2）当时，的长度等于 （3）存在，当时，使得的面积等于 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理及矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． (1)先求出，，再根据线段垂直平分线的性质构造方程求解即可； (2)先求出，，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案； (3)先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒， ， ， ∵B在的垂直平分线上， ， ， 解得， ∴当时，点B在的垂直平分线上； 【小问2详解】 ∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒， ， ， ， ∵四边形是矩形， ， 由勾股定理得， ， 即 解得，， 舍去 ∴当时，的长度等于； 【小问3详解】 由题意得，， 的面积等于， ， ， 化简得 或 舍去， ∴当时，使得的面积等于． 22. 对于关于x的代数式，若存在实数m，使得当时代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． （1）关于x的代数式的不动值是 ． （2）判断关于x的代数式是否有不动值，若有请求出，没有则说明理由． （3）已知关于x的代数式．若此代数式的不动值至少有一个是整数，求出正整数a的值． 【答案】（1）4或； （2） 解：关于x代数式没有不动值，理由如下： 当时，则， ∴， ∴原方程无解， ∴不成立， ∴关于x代数式没有不动值； （3）1或3或5 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，读懂“不动值”的定义，并熟练掌握解一元二次方程是解题的关键， （1）根据“不动值”的定义，当时，解一元二次方程得或，代入验证即可得到答案； （2）根据“不动值”的定义，当时，则，由于，方程没有实数根，从而得到答案； （3）当时，则，解得或，由于原代数式的不动值至少有一个是整数，所以得到或是整数，从而得到答案． 【小问1详解】 解：当时，则， ∴， ∴或， 解得或， ∴关于x的代数式的不动值是4或， 故答案为：4或； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时， 则， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∵原代数式的不动值至少有一个是整数， ∴或是整数， ∴a的值可以是1或3或5． 六．（本大题共12分） 23. 材料阅读：中位线是一个数学术语，是平面几何内的三角形任意两边中点的连线或梯形两腰中点的连线．而在三角形中，它的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．例：如图，在中，若、分别是、的中点，则为的中位线，并且，．请根据材料，完成以下问题： （1）如图2，在中，，且、、分别是边、、的中点，分别连接、、．证明：四边形是菱形． （2）如图3，已知正方形，点是射线上一动点（不与、重合）．连接并延长交直线于点，交于，连接，过点作交于点． ①若点在边上，如图，猜想的形状并说明理由． ②取中点，连接．若，正方形边长为，求的长． 【答案】（1） 证明：分别是的中点， ，， ， ， 四边形是菱形； （2） ①结论：是等腰三角形， 理由：四边形是正方形， ， 在和中， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 是等腰三角形； ②或 【解析】 【分析】（1）用三角形的中位线定理解决问题即可； （2）①根据定理证明，即可得到，根据得到，所以，即可得到是等腰三角形；②分两种情况解决问题：①点在线段上时，连接，可得出，从而得到，由勾股定理求出，所以；②当点在线段的延长线上时，连接，此时． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②如图当点在线段上时，连接， ，，， ， ， ，， ， 在中， ， ． ②如图，当点在线段的延长线上时，连接， 同法可证是的中位线， ， 在中， ， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉安八中2025—2026学年第一学期第一次阶段测评 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 1. 下列等式中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角相等 3. 关于x的方程根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 4. 方程x2﹣2x﹣3＝0经过配方法化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（　　） A. （x﹣1）2＝4 B. （x+1）2=4 C. （x﹣1）2＝16 D. （x+1）2＝16 5. 在年赣超联赛中，吉安队主场第二场比赛到场观赛人数为人，第四场比赛到场观赛人数为人，设吉安队主场观赛人数的平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知：如图，在正方形外取一点，连接，过点作的垂线交于点，若．下列结论：①≌；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二．填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 7. 一个直角三角形斜边上的中线长是，则它的斜边长是________． 8. 设m、n是一元二次方程x2+3x-5=0的两个根，则m2+4m+n=___． 9. 如图，某单位准备将院内一块长，宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为，设小道进出口的宽度为，请列出方程并化成一般形式：________________ ． 10. 一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一个根，则此三角形的周长是__________． 11. 如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为 _____ ． 12. 如图，点在正方形的对角线上，，若点在正方形的边上，且，则的度数为______ ． 三．（本大题共5小题，每题6分，共30分） 13. 选用恰当的方法解方程： （1）； （2） 14. 四边形是正方形，分别是和的延长线上的点，且，连接、、． （1）求证：； （2）若，求的面积． 15. 已知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若=﹣1，求k的值． 16. 如图1，2，矩形中，M为的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，求作点P为的中点； （2）在图2中，求作点Q为的中点． 17. 如图，将矩形沿对角线折叠，点B的对应点为点E，与交于点F，过点C作交于点G． （1）小明和小白为四边形是什么特殊四边形发生了争议，小明说四边形是菱形，小白说四边形不是菱形，只是平行四边形．请你评判谁的说法是正确的，并说明理由； （2）若，求的度数． 四．（本大题共3小题，每题8分，共24分） 18. （1）如图1，已知ABCD是正方形，P是对角线AC上一点，求证：PB＝PD； 请你完成问题情境中（2）的证明 （2）如图2，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F，连接EF，猜想EF与DP的数量关系，并证明你的猜想． 19. 定义新运算“⊕”：当时，；当时，． 如：∵，∴； ∵，∴． （1）计算：_______； （2）若，求x的值． 20. “道路千万条，安全第一条”．为了平安出行，某地区交警部门提醒市民，骑行需佩戴安全头盔．某商店8月份销售安全头盔个，月份销售个． （1）求该商店安全头盔销售量的月平均增长率； （2）若该安全头盔的进价为元/个，销售过程中发现，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到元，并且尽可能让顾客得到实惠，则该头盔的实际售价应定为多少元? 五、解答题（本大题2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）． （1）当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 22. 对于关于x的代数式，若存在实数m，使得当时代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． （1）关于x的代数式的不动值是 ． （2）判断关于x的代数式是否有不动值，若有请求出，没有则说明理由． （3）已知关于x的代数式．若此代数式的不动值至少有一个是整数，求出正整数a的值． 六．（本大题共12分） 23. 材料阅读：中位线是一个数学术语，是平面几何内的三角形任意两边中点的连线或梯形两腰中点的连线．而在三角形中，它的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．例：如图，在中，若、分别是、的中点，则为的中位线，并且，．请根据材料，完成以下问题： （1）如图2，在中，，且、、分别是边、、的中点，分别连接、、．证明：四边形是菱形． （2）如图3，已知正方形，点是射线上一动点（不与、重合）．连接并延长交直线于点，交于，连接，过点作交于点． ①若点在边上，如图，猜想的形状并说明理由． ②取中点，连接．若，正方形边长为，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $