精品解析：天津市静海区实验中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷

实验中学九年级2025-2026学年度第一学期数学巩固作业单（一） 一、选择题：本大题共12小题，共36分． 1. 下列方程中，为一元二次方程的是（ ） A. 2x+1=0； B. 3x2-x=10； C. ； D. . 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，即可判断． 【详解】解：A.是一元一次方程，故A错误； B. 是一元二次方程，故B正确； C. 不是整式方程，故C错误； D .不是一元二次方程，故D错误； 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2. 已知函数是二次函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，掌握二次项系数不为0是解题的关键．根据二次项系数不为0求解即可． 【详解】解：函数是二次函数， ， ， 故选：． 3. 用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，下列叙述正确的是  （ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，关键是理解一元二次方程的定义，正确求出二次项系数，一次项系数和常数项．先化为一般式，再根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：一元二次方程， ， ，，， 故选：． 4. 方程的根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】先把方程的左边分解因式化为从而可得答案． 【详解】解：， 或 解得： 故选B 【点睛】本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“十字乘法分解因式”是解本题的关键． 5. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即， 故选：D． 6. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”进行变换．本题考查抛物线平移的规律，掌握“左加右减，上加下减”是关键． 【详解】解：原抛物线为． ∵向左平移2个单位， ∴，得． ∵向上平移3个单位， ∴整体加3，得． ∴得到的抛物线是． 故选：C． 7. 已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，则x1•x2等于（ ） A. ﹣4 B. ﹣1 C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据根与系数的关系求解． 【详解】解：根据韦达定理得x1•x2=1． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=． 8. 在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为人，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设参加聚会小朋友的人数为人，则每人送出件礼物，共送件礼物，列出方程，即可． 【详解】设参加聚会小朋友的人数为人，则每人送出件礼物，共送件礼物 ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是理解题意，找到等量关系，列出方程． 9. 若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是准确求出解析式；先根据待定系数法求二次函数的解析式，再逐项判断点是否在该二次函数图象上，即可得解． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， ， 、当时，，则该图象不经过点，故本选项不符合题意； 、当时，，则该图象不经过点，故本选项不符合题意； 、当时，，则该图象经过点，故本选项符合题意； 、当时，，则该图象不经过点，故本选项不符合题意； 故选：． 10. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】对于，当, 方程有两个不相等的实根，当, 方程有两个相等的实根，, 方程没有实根，根据原理作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 11. 某校“研学”活动小组在一次户外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在一个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是57个，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是57个，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：依题意得：， 故选：D． 12. 对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（ ） A. 只有①② B. 只有①②④ C. ①②③④ D. 只有①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解．利用根的判别式，方程的解使方程成立，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则方程有一个根为，则；故①正确； 若方程有两个不相等的实根，则：， 则：的判别式为， ∴方程必有两个不相等的实根；故②正确； 若是方程的一个根，则， 当时，，故③错误； 若是一元二次方程的根，则：， ∴， ∴；故④正确； 故选B． 二、填空题：本大题共6小题，共18分． 13. 方程的实数解是___________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 通过因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 或， 解得，． 故答案为：，． 14. 二次函数的二次项系数与常数项的和是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，关键是理解二次函数的定义，正确求出二次项系数，一次项系数和常数项．根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，可得二次项系数是3，常数项是，再求和即可． 【详解】解：二次函数的二次项系数与常数项分别为， 二次项系数与常数项的和是， 故答案为：． 15. 抛物线与直线相交于点，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数交点问题． 先将代入求出，再将代入求解即可． 【详解】∵在直线上， ∴， ∵在抛物线上， ∴， 即． 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标是，则的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，代数式求值． 根据顶点式直接得到顶点坐标，进而得到，代入计算即可． 【详解】抛物线的顶点坐标是， 则， ∴． 故答案为：． 17. 已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为_____． 【答案】﹣3 【解析】 【分析】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值即可． 【详解】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0， 整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=﹣3， 因为k≠0， 所以k的值为﹣3． 故答案为﹣3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点A（4，8）在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法求出函数解析式，然后设点C横坐标为m，则CD＝CE＝2m，从而得出点E坐标为（m，8−2m），将点E坐标代入解析式求出m即可解决问题． 【详解】解：把A（4，8）代入中得8＝16a， 解得a＝， ∴， 设点C横坐标为m，则CD＝CE＝2m， ∴点E坐标为（m，8﹣2m）， ∴＝8﹣2m， 解得m＝（舍）或m＝， ∴CD＝2m＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的应用，待定系数法，解题关键是设出点C横坐标，表示出点E的坐标． 三、解答题：本大题共7小题，共66分． 19. 请选择适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）先求出，再根据求根公式求解即可． （2）先移项，再对等式左边因式分解，再求解即可． 【小问1详解】 解：， ，，， ， ， ∴． 【小问2详解】 解：， ， ， ∴或， 或． 20. 已知二次函数的图象经过点． （1）确定a的值； （2）求出该二次函数图象与y轴的交点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象和性质，涉及抛物线与y轴交点问题． （1）把点代入，即可求解； （2）令，求出y的值，即可． 【小问1详解】 解：把代入得： ， 解得：； 【小问2详解】 解：抛物线解析式为， 当时，， 所以抛物线与y轴交点坐标为． 21. 如图，利用一面墙（墙的长度不限），另三面用篱笆围成一个矩形场地，篱笆总长． （1）围成一个面积为的矩形场地，求矩形场地的长和宽； （2）可以围成一个面积为的矩形场地吗？如果能，求出矩形场地的长和宽；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）矩形场地的长为，宽为； （2）不能围成一个面积为的矩形场地，理由如下： 设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， 依题意，得：， 整理，得：， ∵， ∴不能围成一个面积为的矩形场地． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出一元二次方程，求解即可； （2）根据题意列出以面积作等量的一元二次方程，计算△的值，通过△的值判定有无解，来确定结果即可． 【详解】解：（1）设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的边长为， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：， ∴． 答：矩形场地的长为，宽为． （2） 略 【点睛】本题考查一元二次方程的应用及根的判别式，这类问题要注意不要设长宽，要设垂直于墙面的边或者平行于墙面的边． 22. 已知抛物线经过点． （1）求的值； （2）将抛物线向上平移个单位长度，求所得到的抛物线的解析式； （3）若是抛物线上一点，直线轴于点，，沿轴平移抛物线，使之过点，求平移后所得抛物线的解析式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的平移，解题的关键是正确求出二次函数的解析式，掌握二次函数的平移规律． （1）利用待定系数法求二次函数解析式，再利用二次函数平移规律得出答案； （2）利用二次函数平移规律得出答案． （3）由题意可知，抛物线相当于向上平移5个单位长度或向下平移5个单位长度，再根据二次函数平移规律得出答案． 【小问1详解】 解：抛物线经过点， ， ． 【小问2详解】 解：由（1）知，二次函数的解析式为， 将抛物线向上平移个单位长度， 所得到的抛物线的解析式． 【小问3详解】 解：由题意知，抛物线向上平移5个单位长度， 平移后所得抛物线的解析式． 23. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为 （2）每千克应涨价5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出一元二次方程，并正确计算． （1）设每次下降的百分率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设每千克应涨价m元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为x， 由题意得， 解得，，（不合题意，舍去） 答：每次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设每千克应涨价m元， 由题意得， 解得，， ∵每千克涨价不能超过8元， ∴。 ∴不合题意，舍去。 又∵要尽快减少库存，即销售量要尽可能大， 当时，销售量为千克，符合题意。 ∴。 即该商场要保证水果每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价5元． 24. 在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：__________，__________用t的代数式表示）； （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2t， （2） （3）存在， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出、的长度是解题关键． （1）根据距离=速度×时间解答即可； （2）根据的长度等于，利用勾股定理列方程求出值即可得答案； （3）根据五边形的面积加上的面积等于长方形面积列方程求解即可得答案． 【小问1详解】 解：∵在长方形中，，， 而，， ∴． 【小问2详解】 解：在中，， ∴， 整理，得：， 解得或2． 把舍去， 所以，当时，的长度等于． 【小问3详解】 解：∵， ∴， 即， 整理，得：， 解得：或4． 依题意，， ∴， ∴，故取． 因此，当时，五边形的面积等于． 25. 如图，抛物线与轴正半轴的交点为，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点，轴于点，交线段于点． （1）求抛物线及直线的解析式； （2）若，求点的坐标； （3）若，求点的横坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数交点问题，二次函数与一元二次方程综合． （1）将点代入求出，即，令，求出，设直线的解析式为，将、代入求解即可； （2）设，则，，，．根据列方程求解即可； （3）设，则，，，．证明是等腰直角三角形，得到，作交于，可知四边形是矩形，进而可知是等腰直角三角形，根据勾股定理得到，根据列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入，得， ， 抛物线的解析式为，即， 令，得， ，， ． 设直线的解析式为， ， ∴， ， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：设，则，，，． ， ，解得，舍， ； 【小问3详解】 解：设，则，，，． ，， 是等腰直角三角形， ∴， 作交于， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， 是等腰直角三角形， ∴． 又， ， 解得，， ， ， 点的横坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验中学九年级2025-2026学年度第一学期数学巩固作业单（一） 一、选择题：本大题共12小题，共36分． 1. 下列方程中，为一元二次方程的是（ ） A. 2x+1=0； B. 3x2-x=10； C. ； D. . 2. 已知函数是二次函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，下列叙述正确的是  （ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 方程的根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 7. 已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，则x1•x2等于（ ） A. ﹣4 B. ﹣1 C. 1 D. 4 8. 在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为人，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（ ） A. B. C. D. 10. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 11. 某校“研学”活动小组在一次户外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在一个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是57个，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（ ） A. 只有①② B. 只有①②④ C. ①②③④ D. 只有①②③ 二、填空题：本大题共6小题，共18分． 13. 方程的实数解是___________． 14. 二次函数的二次项系数与常数项的和是________． 15. 抛物线与直线相交于点，则的值为________． 16. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标是，则的值为___． 17. 已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为_____． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点A（4，8）在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 _____． 三、解答题：本大题共7小题，共66分． 19. 请选择适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）． 20. 已知二次函数的图象经过点． （1）确定a的值； （2）求出该二次函数图象与y轴的交点坐标． 21. 如图，利用一面墙（墙的长度不限），另三面用篱笆围成一个矩形场地，篱笆总长． （1）围成一个面积为的矩形场地，求矩形场地的长和宽； （2）可以围成一个面积为的矩形场地吗？如果能，求出矩形场地的长和宽；如果不能，请说明理由． 22. 已知抛物线经过点． （1）求的值； （2）将抛物线向上平移个单位长度，求所得到的抛物线的解析式； （3）若是抛物线上一点，直线轴于点，，沿轴平移抛物线，使之过点，求平移后所得抛物线的解析式． 23. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 24. 在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：__________，__________用t的代数式表示）； （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 25. 如图，抛物线与轴正半轴的交点为，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点，轴于点，交线段于点． （1）求抛物线及直线的解析式； （2）若，求点的坐标； （3）若，求点的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $