精品解析：广东阳江市阳东正雅学校2026-2027学年九年级上学期第一次阶段学情自测数学试题

阳东正雅学校2026-2027学年第一学期第1次月考 八年级数学学科试题 （时间120分钟，满分120分） 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 为了防止木框变形，经常如图所示钉上一条斜拉的木条，这样做的依据是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 三角形的稳定性 D. 三角形两边之和大于第三边 2. 如果三角形的三个内角的比是3，4，7，那么这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 3. 下面四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 将一副三角板按图中方式叠放，则角等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点在的边的延长线上，过点作，连接，若，，，则的长为（ ） A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5 7. 如图，，，添加（ ）仍不能证明和全等． A. B. C. D. 8. 如图，在中，点为边的中点，连接，取的中点，连接，，点为的中点，连接，若的面积为，则的面积为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 9. 如图，在中，，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，交于点D，交于点E；分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点F，作射线，交于点G；以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点H，连接，则的周长为（ ） A. 8 B. 9 C. 11 D. 14 10. 如图，在和中，，，，直线，交于点M，连接，下列结论：①，②，③，④平分，其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本大题5小题，每题3分，共15分） 11. 小红不慎将一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的四块（图中所标①、②、③、④），若要配一块与原来大小一样的三角形玻璃，应该带第______块． 12. 如图，，点，，，在同一条直线上，若，，则的长是________． 13. 如图，已知的周长是，和的角平分线交于点，于点，若，则的面积是_____． 14. 如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为____． 15. 如图，，E、F分别为线段和射线上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发沿射线运动，二者速度之比为2：3，当点E运动到点A时，两点同时停止运动．在射线上取一点G，使与全等，则的长为 _________． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 16. 如图，在中，为边上的高，点D为边上的一点，连接． （1）当为边上的中线时，若，的周长比的周长少2，求的长度． （2）当为的角平分线时，若，，求的度数． 17. 已知在中，，，． （1）求m的取值范围； （2）若为等腰三角形，求的周长． 18. 如图，在中，是边上的高，且，点E为上的一点，连接交于点F，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 在中，，．点D是内部一点，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当A，D，E三点共线时，连接交于点F，若，，求的面积． 20. 已知． （1）如图，平分，平分，与交于点．若，求的度数． （2）如图，的平分线与的外角的平分线相交于点，试判断与之间的数量关系，并说明理由． （3）如图，的两外角平分线相交于点．若，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 21. 问题情境：如图1，在四边形中．，，是BC上一点，连接，，，． 问题探究： （1）则是__________三角形； （2）“智慧小组”的同学把题目进行改编：如图1，已知是等腰直角三角形．，，点，，在同一直线上，，，试探究，与之间的数量关系，并说明理由． （3）“创新小组”在图1的基础上变为图2，已知点，，在直线上，，．若，，求的长． 五、解答题（三）（本大题2小题，22题12分，23题12分，共24分） 22. （1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 在中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长到Q，使得； ②再连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系可得，则AD的取值范围是 ． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （2）请你写出图1中与的位置关系并证明． （3）思考：已知，如图2，是的中线，，，．试探究线段与的数量和位置关系并加以证明． 23. 已知点是平分线上一点，的两边分别与射线相交于两点，且，过点作，垂足为． （1）如图①，当点在线段上时，猜想：__________；（数量关系） （2）如图②，当点在线段的延长线上时，探究线段与之间的数量关系； （3）如图③，在上题的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网命组卷网 阳东正雅学校2026-2027学年第一学期第1次月考 八年级数学学科试题 (时间120分钟，满分120分) 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1.为了防止木框变形，经常如图所示钉上一条斜拉的木条，这样做的依据是() A.两点之间线段最短 B.两点确定一条直线 C.三角形的稳定性 D.三角形两边之和大于第三边 【答案】C 【解析】 【分析】首先确定斜拉木条后木框形成的新的几何图形.因为钉斜拉木条的目的是防止木框变形，即提升 结构的稳定性，所以对应寻找该几何图形的相关性质，匹配选项中对应的几何原理。 【详解】解：A选项、“两点之间线段最短”用于最短路径相关问题，不是该操作的依据。 B选项、“两点确定一条直线”是画直线的原理，不是该操作的依据。 C选项、原来的木框是四边形，四边形具有不稳定性，容易变形：钉上斜拉木条后，在木框中构造出了三 角形，而三角形具有稳定性，因此可以防止木框变形 D选项、“三角形两边之和大于第三边”用于判断三边能否构成三角形，不是该操作的依据， 2.如果三角形的三个内角的比是3,4,7，那么这个三角形是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】设三个角分别为：3x,4x,7x.根据三角形的内角和定理得3x+4x+7x=180°，可得到x的值，即可 第1页/共35页 6学科网列组卷网 得到7x的值，于是可判断三角形的形状。 【详解】解：设三个角分别为：3x,4x,7x ,3x+4x+7x=180, 90 x=7, .7x=90°， 所以此三角形为直角三角形. 故选：B, 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和为180°.同时考查了三角形的分类， 3.下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是() B. B D D 【答案】D 【解析】 【分析】三角形的高是三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线、顶点到垂足之间的线段.根据三角形的 高的定义逐项分析判断即可解答， 【详解】解：若线段BD是△ABC的高，则BD过点B,且垂直AC. D选项中线段BD表示△ABC中AC边上的高. A、B、C选项中线段BD不能表示△ABC任何边上的高， 4.如图，△ABC≌△DEF,∠A=60°，∠DEC=50°，则∠F的度数为() 第2页/共35页 6学科网组卷网 50 B600 c70. D800 【答案】C 【解析】 【分析】先根据全等三角形的对应角相等得到∠D的度数，再根据三角形的内角和定理求解∠P的度数即 可 【详解】△ABC≌ADEF,∠A=60°」 .∠D=∠A=60° .'∠DEC=50° ∴.∠F=180°-∠D-∠DEC=70° 5.将一副三角板按图中方式叠放，则角等于() 、、 45V al> 30 B600 9750 D1050 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角板角度，利用三角形外角性质求解即可. 【详解】解：由图可知，∠1=90°-45°=45°， 45°.30° 是三角形的外角，与其不相邻的两个内角分别为 和 ∴.0=45°+30°=75° 第3页/共35页 6学科网命组卷网 a 30° 6.如图，点E在Rt△ABC的边BC的延长线上，过点E作DE⊥BE,连接BD,若AB=BD, AC=BE=7 DE=3 CE ,则的长为() A.3.5 B.4 C.4.5 D.5 【答案】B 【解析】 【分析】证 Rt△ABC≌R1aBDE(HL),则BC=DE=3,即可求解. 【详解】解：DE⊥BE, .∠E=90°， ,在Rt△ABC和Rt△BDE中， AB=BD AC=BE, :.RIAABC≌RIABDE(HL) .BC=DE=3. .CE=BE-BC=4. 第4页/共35页 6学科网命组卷网 7.如图，AB=DE,∠ABC=∠DEF,添加()仍不能证明△ABC和△DFE全等. B BC=EF A. B.AC=DF C.∠A=∠D D.∠ACB=∠DFE 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的判定方法，熟记一般三角形的判定方法：ASA,AAS,SAS,SSS 是解题的关键.利用全等三角形的判定依次判断即可. 【详解】解：，AB=DE,∠ABC=∠DEF, 若添加BC=EF,则△ABC≌aDFE(SAS),故A不符合题意； 若添加AC=DF,SSA不能证明△ABC和△DFE全等，故B符合题意： 若添加乙A=∠D,则△MBC2ADFE(ASA),故C不符合思意： 若添加∠ACB=∠DFE,则△ABC≌aDFE(AAS) 故D不符合题意： 故选：B 8.如图，在△ABC中，点D为边AB的中点，连接CD,取CD的中点E,连接AE,BE,点F为 3 AE的中点，连接BF,若△BEF的面积为2，则△ABC的面积为() 第5页/共35页 6学科网命组卷网 D A.6 B.4 C.3 D.2 【答案】A 【解析】 3 【分析】本题考查了根据三角形中线求面积，根据中点，推出 SADE =SACE= 根据S,=S十Sc十S,m十S得出答案即可，明白等底同高的三角形面积相等是解腿的关 键. 【详解】解：，点D为边AB的中点， .AD=BD. :.△ADE和△BDE等底同高， S.ADE=S.RDE=ABE :点F为AE的中点， :EF=AF, ∴.△BEF和△AFB等底同高， 1 S.BEF=SAFB=2 又ne=S.ae=Ss=SAn- 2, 点E是CD的中点， .CE=DE 第6页/共35页 6学科网命组卷网 :△ADE△AC 和 等底同高，△BDE和△BCE 和 等底同高， :Sc=Sae+Se+Sae+5ae=X ×4=6 2 故选：A. 9.如图，在△ABC中，AB=3,AC=5,BC=6,以点A为圆心，以适当长为半径作弧，交AB于点 DE D,交AC于点E;分别以点D、E为圆心，以大于2的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于 点F,作射线AF,交BC于点G;以点A为圆心，以AB的长为半径作弧，交AC于点H,连接GH, 则△CGH的周长为() A.8 B.9 C.11 D.14 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定与性质进而得出BG=GH，,即可得出答案。 【详解】解：由作法可知，AH=AB=3, ∴.CH=AC-AH=5-3=2 由作图方法可得：AG平分∠BAC, 第7页/共35页 6学科网命组卷网 ∴.∠BAG=∠CAG 在△MBG和△MHG中 AB=AH ∠BAG=∠HAG AG=AG ∴.△ABG≌△AHG(SAS) .BG=GH ∴.ACGH CG+GH+CH=CG+BG+CH=BC+CH=6+2=8 的周长为： 10.如图，在△AOB和△C0D中，OA=OB,OC=OD(OA<OC),∠AOB=∠D0C=a,直线 1C,BD交于点M连接OM,下列结论.D1C=BD,@∠0MM=ZOBM,®∠4MB=a,① OM ,③ 平分<AMD MO 其中正确结论的个数是() D A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件利用SAS,证明△OAC≌△OBD,即判定出①②；再利用三角形的内角和定理判定 ③：构造全等三角形对应边上的高，利用HL证明直角三角形全等，即可判定④. 【详解】解：：∠AOB=∠DOC=a. :∠A0B+∠BOC=∠DOC+∠BOC 第8页/共35页 6学科网 命组卷网 即∠AOC=∠BOD. 又，OA=OB,OC=OD, :△OAC≌△OBD(SAS) ∴.AC=BD,∠OAM=∠OBD ∴①，②正确： ③如图所示，AC与OB相交于点N, .△OAC≌△OBD. .∠OAM=∠OBD, 又.∠ONA=∠BNM, .∠AMB=∠AOB=a, 故③正确： ④如图所示，过点O作OG⊥AC于点G,过点O作OH⊥BD于点H, D M .∠OGM=∠OHM=90°， .△OAC≌△OBD, S.oe=S.ow AC=BD 第9页/共35页 6学科网 组卷网 ..OG=OH, 又.OM=OM, RtAOGMRtAOHM(HL) .∠OMG=∠OMH. 即MO平分∠AMD, 故④正确： 综上，正确的结论有4个， 二、填空题（本大题5小题，每题3分，共15分） 11.小红不慎将一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的四块（图中所标①、②、③、④），若要配一块与 原来大小一样的三角形玻璃，应该带第块 ② ③ ④ ① 【答案】② 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定方法做出判断即可. 【详解】解：带②去，可以利用“角边角”配出一块与原来大小一样的三角形玻璃， 故答案为：②. 【点睛】本题考查了全等三角形判定定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键， 12.如图，△ABC≌aDEF,点A,E,B,D在同一条直线上，若AD=I0,BE=6,则AE的长是 第10页/共35页 6学科网 命组卷网 【答案】 2 【解析】 【分析】利用全等三角形对应边相等得到AB=DE,推出AE=DB,根据线段关系列出方程 2AE+6=10 AE=2 解方程求出 【详解】解：，△ABC≌△DEF, .AB=DE、 AB=AE+BE,DE=DB+BE .AE+BE DB+BE. .AE=DB AD-AE+BE+DBR AD-10.BE-6 ∴.AE+6+AE=10 .2AE=4, ∴.AE=2. 13.如图，己知△ABC 的周长 是18cm,∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O,OD1BC于点D,若 OD=3cm,则△AB 的面积是cm D 第11页/共35页 6学科网 列组卷网 【答案】27 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题关键是将三角形分成三个等高的三角形，利用周长来求面积. 先利用角平分线的性质得到O点到各边的距离相等，再将三角形分成3个三角形，将它们的面积相加即可. 【详解】解：过点O作OE⊥AB于点E过点O作OF⊥AC于点F,连接OA,如图所示： B D :点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC, ..OE =OD=OF, :OD=3cm,△ABC的周长是18cm, SAWC=SMC+0SC -1AB-OE+AC.OF+BC-OD (4B+AC+BC).OD -2×18x3 =27(cm2）: 故答案为：27. 14.如图，直角坐标系中，△ABC的顶点A,B分别在坐标轴上，且∠ABC=90°，AB=BC,若点A、 B的坐标分别为-5,0)、(0,2)，则点C的坐标为一 第12页/供35页 6学科网组卷网 【答案】 (2,-3) 【解析】 【分析1过C作CD1y轴于点D,由∠DCB+∠CBD=90°，∠OBA+∠CBD=0 可得 ∠DCB=∠OBA,从而证明△DCB≌aOBA(AAS),再根据全等三角形的性质即可求出CD=B0=2, DB=OA=5 ,通过线段和差与点在第四象限即可求解， 【详解]图。过C作CD1y铺于点D. B :.∠BDC=∠AOB=90°， .∠DCB+∠CBD=90°， .∠ABC=90°， .∠OBA+∠CBD=90°， .∠DCB=∠OBA, 在△DCB和△OBA中， 第13页/共35页 命学科网命组卷网 ∠BDC=∠AOB ∠OBA=∠DCB AB=BC △DCB≌AOBA(AAS) .CD=BO,DB=OA, A(-5,0)B(0,2) .CD=BO=2,DB=OA=5. .OD=DB-BO=5-2=3, 点C坐标为(2，-3) 放答案为：(2,3) 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握判定与性质的应用和全等三角形的 垂线模型。 ∠A=∠B,AB=20 15.如图， 尽、F分别为线段1B 和射线BD上的一点，若点B从点B出发向点A运 动，同时点F从点B出发沿射线BD运动，二者速度之比为2：3，当点E运动到点A时，两点同时停止运 动.在射线AC上取一点G,使△AEG与△BEF全等，则AG的长为 【答案】8或15 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握分类讨论思想是解题的关键. 第14页/供35页 6学科网命组卷网 BE =2t 则 BF=3t ,使 MEG与△BEF全等；然后分 BE=AG,BF=AE 设 与 和 BE=AE,BF=AG 两种情况解答即可. 【详解】解：设BE=21,则BF=3t,使△AEG与△BEF全等 BE=AG,BF=AE ①当 时， ·BF=AE,AB=20 :3=20-21 解得：1=4 :AG=BE=21=2×4=5 BE=AE,BF=AG ②当 时， BE=AE,AB=20 :21=20-2 ,解得： t=5 :4G=BF=31=3x5=15 综上所述，AG=8或AG=15. 故答案为：8或15 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分） I6.如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD D E 第15页/供35页 命学科网命组卷网 (1)当AD为边BC上的中线时，若AB=10,△ADC的周长比△ABD的周长少2，求AC的长度. (2)当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C=66°，∠B=36°，求∠DAE的度数. 【答案】(1)8 (2)∠DAE=15° 【解析】 【分析】本题考查三角形中线、三角形的内角和定理、直角三角形性质， (I)利用三角形中线定义可以得到BD=CD,然后根据周长差计算即可： (2)利用三角形内角和先求∠BAC,再利用角平分线的定义求出∠BAD的度数，根据直角三角形的两锐 角互余得到∠BAE的度数，然后根据角的和差解题即可. 【小问1详解】 解：：AD为边BC上的中线， .BD=CD. 又：△ADC的周长为AD+DC+AC,△ABC的周长为AD+BD+AB, 又，△ADC的周长比△ABD的周长少2， .AC=AB-2=10-2=8; 【小问2详解】 解：：∠C=66°，∠B=36°， .∠BAC=180°-∠C-∠B=180°-66°-36°=78°， 又：AD为∠BAC的角平分线， 第16页/供35页 6学科网命组卷网 A∠B1D=2B1C=)x78=39 1 :AE为边BC上的高， .∠BAE=90°-∠B=90°-36°=54°， .∠DAE=∠BAE-∠BAD=54°-39°=15° 17.已知在△ABC中，AB=22,BC=10,AC=2m+2, (1)求m的取值范围： (2)若△ABC为等腰三角形，求△ABC的周长. 【答案】(1)5<m<15 (2)54 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义，解不等式组等知识，掌握三角形三边关系是解 题的关键， (1)根据三角形三边关系求解即可； (2)分AB=AC,BC=AC两种情况讨论即可. 【小问1详解】 解：根据题意，得AB-BC<AC<AB+BC, 即22-10<2m+2<22+10. 解得5<m<15: 【小问2详解】 解：当AB=AC=22时， △ABC 22+22+10=54 的周长为 第17页/供35页 6学科网命组卷网 当BC=AC=10时，BC+AC=20<AB, .△ABC不存在，故舍去， .△ABC的周长为54. I8.如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，且AD=BD,点E为AC上的一点，连接BE交AD于 点F,且BF=AC. E D (1)求证：△ADC≌aBDF: (2)若BC=10,DF=3,求AF的长， 【答案】(1)证明：：AD是边BC上的高， ∴.∠BDF=∠ADC=90° 即△ADC和△BDF都是直角三角形， 在Rt△ADCf和R△BDF中， BF=AC BD=AD, .∴RtAADC≌RtABDF(HL) (2)4 【解析】 第18页/供35页 命学科网命组卷网 【分析】(I)用HL证明△ADC和△BDF全等即可； (2)由△ADC和△BDF全等得CD=DF即可由线段和差求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：△ADC≌△BDF, .CD=FD AD=BD BC=10 DF=3 ∴.CD=3BD=BC-CD=7 .AF=AD-DF=7-3=4 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.点D是△ABC内部一点，CD⊥CE且CD=CE, 图1 图2 (1)如图1，求证：△ACD≌△BCE: (2)如图2，当A,D,E三点共线时，连接AE交BC于点F,若AD=5,DE=7,求△ABE的面积. 【答案】(1)证明：：∠ACB=90°，CD⊥CE. :.∠ACB=∠DCE=90° 第19页/供35页 6学科网命组卷网 ∴.∠ACD+∠DCB=90°，∠BCE+∠DCB=90°， ∴.∠ACD=∠BCE .AC=BC CD=CE 在△ACD和△BCE中， AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE ∴.△ACD≌△BCE(SAS) (2)30 【解析】 【分析】(I)利用直角的性质，通过等量代换求出∠ACD=∠BCE,结合己知条件，利用SAS即可证明 △ACD≌ABCE 。 (2)利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质推出∠ADC=∠BEC和相应的度数，AD=BE和 相应的长度，以及∠AEB=90°，根据直角三角形的面积公式即可求出△ABE的面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：CD=CE,CE⊥CD, ·.∠CDE=∠CED=45° ∴.∠ADC=180°-45°=135° ,AACD≌ABCE 第20页/供35页 命学科网命组卷网 .∠ADC=∠BEC=135°AD=BE=5 ∴.∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90° ∴△ABE是直角三角形， AD=5,DE=7, :.AE=AD+DE=5+7=12, ,BE=5 -8m-46服=12x5=0 2 20.已知△ABC. A B 图1 图2 图3 (1)如图1，BF平分∠ABC,CF平分∠ACB,BF与CF交于点F.若∠A=80°，求∠F的度数. (2)如图2，∠ABC的平分线BF与△ABC的外角∠ACD的平分线CF相交于点F,试判断∠F与 ∠A之间的数量关系，并说明理由。 3△ABC BF,CF (3)如图， 的两外角平分线 相交于点F.若∠A=0,直接写出∠F的度数（用含a 的代数式表示). 【答案】(1)130°. (2) ∠F=∠ 2 第21页/供35页 6学科网 命组卷网 ∠F=90°- (3) 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，三角形外角性质的应用等知识，熟练掌握三角形 内角和定理和角平分线定义，能正确进行推理计算是解题的关键， ID由BF平分∠ABC,CF平分∠4CB,则∠FBC=2ABC,∠FCB=)∠ACB 2 即有 ∠FBC+LFCB=(∠ABC+∠ACB) 通过三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=I00°，最后通过 三角形内角和定理即可求解： )电ZABC,CF分∠ACD,FBC-LZABC ZFCD-ZACD.2 2 2 E2FBC+∠E,∠ACD=A+∠ABC,则有2A+ZABC)-∠BC 2 ,然后整理 即可； 3)由BF平分∠DBC,CF平分∠BCE,则∠FBC= ∠DBC∠FCB=∠BCE 2 ，根据外角性 质可得∠DBC=∠A+∠ACB,∠BCE=∠A+∠ABC,所2∠FBC=∠A+∠ACB, 2∠FCB=∠A+∠ABC ，然后通过三角形内角和定理即可求解. 【小问1详解】 解：，BF平分∠ABC,CF平分∠ACB, :2FBc=ABc∠FcB=AB 第22页/供35页 6学科网命组卷网 :∠FBC+∠FCB=(ABC+LACB) .∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=80°， .∠ABC+∠ACB=100°， :∠FBC+∠RCB=(∠ABC+∠ACB)=50° .∠F+∠FBC+∠FCB=180°， .∠F=130°： 【小问2详解】 解：：BF平分∠ABC,CF平分∠ACD, .∠Pc-iAc.∠rcD=An 2 :∠FCD=∠FBC+∠F,∠ACD=∠A+∠ABC, AAC)CZF ∠F=∠A 2 【小问3详解】 解：：BF平分∠DBC,CF平分∠BCE, :PBC=3Dac,∠FCR-ZRCE .∠DBC=∠A+∠ACB,∠BCE=∠A+∠ABC, 第23页/供35页 6学科网6组卷网 .2∠FBC=∠A+∠ACB,2∠FCB=∠A+∠ABC, :2∠FBC=∠A+∠ACB.2(ZFCB+∠FBC)=∠A+∠ABC+∠A+∠ACB .∠A+∠ABC+∠ACB=180°， :2(∠FCB+∠FBC)=180°+∠A :∠FCB+∠FBC=90+∠A .∠FCB+∠FBC+∠F=180°， 片90p+A+2F=I80 、∠F=90°-)∠A=90-1G 2 2 21.问题情境：如图1，在四边形ABCD中，AB⊥BC,DC⊥BC,E是BC上一点，连接AE,DE. AB=CE BE=CD 图1 图2 问题探究： (1)则△DEA是 三角形： (2)“智慧小组”的同学把题目进行改编：如图1，已知△AED是等腰直角三角形.AE=DE, ∠AED=90,点B,E,C在同-直线上，AB LBC,DC1BC,试探充AB,CD与BC之间的 数量关系，并说明理由. 第24页/供35页 6学科网 命组卷网 (3)“创新小组”在图1的基础上变为图2，已知点B,E,C在直线MN上，AE=DE, ∠ABE=∠BCD=∠AED.若MB=7.CD=5.求BC ,求的长 【答案】(1)等腰直角 证明：：AB⊥BC,DC⊥BC, ∴.∠B=∠C=90° 在△ABE和△ECD中， AB=EC ∠B=∠C=90° BE=CD ·.△ABE=AECD(SAS) ∴.AE=ED∠AEB=∠EDC ∴.∠CED+∠EDC=90° ∴.∠CED+∠AEB=90°∠AED=90° ,即 ∴△DEA是等腰直角三角形. (2)BC=CD+AB 证明：AB⊥BC,DC⊥BC, ∴.∠B=∠C=90°∠BAE+∠AEB=90° :∠AED=90°∠AEB+∠DEC=90° .∠BAE=∠CED AE ED 第25页/供35页 学科网丽组卷网 :∴AABE=△ECD(AAS) ∴.AB=ECBE=CD ∴.BC=BE+EC=CD+AB (3)12 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，掌握全等三角形的判定 与性质是解题的关键， (1)先运用SAS证明△ABE=△ECD,可得AE=ED,再说明∠AED=90°即可证明结论； (2)证明△ABE兰△ECD可得AB=EC,BE=CD,然后根据线段的和差即可解答： (3)先根据三角形外角的性质、角的和差以及已知条件可得∠DEC=∠A,再证明△ABE三△ECD可得 EC=AB=7 BE=CD=5 BC=BE+EC ，最后根据 即可解答. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：：∠AEC=∠AED+∠DEC=∠ABE+∠A,∠ABE=∠AED, ∠DEC=∠A, 在△ABE和△ECD中， ∠ABE=∠ECD ∠A=∠DEC AE=ED 第26页/供35页 6学科网命组卷网 .AABE =ECD(AAS) ∴.EC=AB=7BE=CD=5 ∴.BC=BE+EC=5+7=12 五、解答题（三）（本大题2小题，22题12分，23题12分，共24分） 22.(1)阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 在△ABC中，AB=9,AC=5,求BC边上的中线AD的取值范围. 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： B 图1 ①延长1D到9，使得 O=AD BO △ABQ ②再连接 ,把BAC2AD 中在 中； 4<AQ<14 ③利用三角形的三边关系可得 ,则AD的取值范围是 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的 已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中， (2)请你写出图1中4C与B吧 ”与之的位置关系并证明， (3)思考：己知，如图2，AD是△ABC的中线，AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠FAC=90°.试 探究线段AD与EF的数量和位置关系并加以证明. 第27页/供35页 6学科网组卷网 B 图2 【答案】(1)2<AD<7: (2) AC∥BQ 证明如下： BDQ≌ACDA 由(1)知 :.∠BQD=∠CAD :.AC∥BQ (3)EF=2AD,EF⊥AD,证明如下： DO=AD 如图，延长D至点Q使得 ,连接,延长DA交EF于点卫 ，连接 E B 9 同(I)可得△BDO≌aCDA(SAS) :.∠DBQ=∠CA BO=CA 第28页/共35页 6学科网命组卷网 .AC=AF, .BO=AF .·∠DBQ=∠DCA .AC∥BQ .∠BAC+∠ABQ=180° .:∠BAE=∠FAC=90° ∴.∠BAC+∠EAF=180° :.∠ABQ=∠EAF MB0和△EAF中， 交 AB=EA ∠ABQ=∠EAF BO=AF :.AABO≌aEAF(SAS) .∠BAQ=∠AEF AO=EF .∠BAE=90°， :.∠BAQ+∠EAP=90° .∠AEF+∠EAP=90° .∠APE=90° .AD⊥EF, .AD=DO 第29页/供35页 6学科网命组卷网 A0=2AD .AO=EF .∴.EF=2AD 综上可得EF=2AD,EF⊥AD 【解析】 【分析】()先证△BDO≌aCDA(SAS,推出BO=CA=5,再利用三角形三边关系求解， △BDQ≌ACDA∠BOD=∠CAD AC∥BQ (2)根 可得 即可证明 (3)同(1)可证△BDO≌aCD1SAS),得出∠DBQ=∠DCA,B0=CM,进而可得 ∠AB0=∠EAF,推出△ABO≌aEAF(SAS),可得∠BA0=∠AEF,A0=BEF,即可求解. 【详解】解：(1)：AD是△ABC的中线， ∴.BD=CD 又：D0=DA∠BDQ=∠CDA :.△BDO≌CDA(SAS) ..BO=CA=5 在△1B0中，AB-B0<A0<B+B0 中， .9-5<A9<9+54<A0<14 ,即 ∴.2<AD<7 故答案为：2<AD<7: (2)略 (3)略 第30页/供35页 命学科网命组卷网 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形三边关系的应用等，解题的关 键是通过倍长中线构造全等三角形. 23.已知点C是∠MMN平分线上一点，∠BCD CB,CD AM,AN 、B,D 的两边 分别与射线 相交于 两点， 且∠ABC+∠ADC=18O°，过点C作CE⊥AB,垂足为E. D M M M B B ① ② ③ (1)如图①，当点E在线段AB上时，猜想：BC DC:(数量关系) (2)如图②，当点E在线段4B的延长线上时，探究线段 B,AD与BE之间的数量关系： (3)如图③，在上题的条件下，若∠MAN=6O°，连接BD,作∠ABD的平分线BF交AD于点F, 交1C于点0，连接B 并延长交4B于点G,者BG=1,DB=3 3,求线段DF的长」 【答案】(1)= (2) 解：如图，过点C作CF⊥AD于F, D -M B E 图2 第31页/供35页 6学科网6组卷网 :AC平分∠MAN,CE⊥AB,CF⊥AD, :.CE=CF,∠CEB=∠CFD=90° AC=AC 在Rt△ACE和RtAACF中，CE=CF, RtAACE=RtACF(HL) .AE=AF .∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠CBE=180° .∠CDF=∠CBE. 在△BCE和△DCF中， ∠CBE=∠CDF ∠CEB=∠CFD CE=CF :△BCE=aDCF(AAS) .DF =BE AD=AF+DF,AF=AE=AB+BE, .AD=AB+BE+DF=AB+2BE, .AD-AB=2BE: (3)2 【解析】 【分析】(1)过点C作CF⊥AD于F,利用角平分线性质得CE=CF,结合 ∠ABC+∠ADC=I8O°，∠CBE=∠CDF BC=DC 推出 ,证明 CBE三CDF,从而得 《2)过点C作CF⊥AD于F,先证Rt△ACE三RtACF(HL)得AE=AF,再证 第32页/供35页 命学科网命组卷网 △BCE三aDCF(AAS)得DF=BE,通过线段和差推导AD-AB=2BE: (3)在BD上裁取BH=BG=1,连接OH,先证△OBH=△OBG(SAS),再结合角平分线性质得OD 平分∠A B,计算角度得∠DOH=∠DOF=60°，证AODH=ODF(ASA ),从而得 DF =DH=DB-BH 【小问1详解】 解：如图，过点C作CF⊥AD于F, F Π E B M .AC平分∠MAN,CE⊥AB,CF⊥AD, :.CE=CF,∠CEB=∠CFD=90° .∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDF=180°、 .∠CBE=∠CDF, I∠CBE=∠CDF 在 和 中， ∠CEB=∠CFD ACBE ACDF CE=CF ACBE =ACDF(AAS) .BC=DC: 故答案为：=. 【小问2详解】 第33页/供35页 6学科网 命组卷网 略 【小问3详解】 解：如图，在BD上截取BH=BG=1,连接OH, M B 图3 :BF平分∠ABD, .∠OBH=∠OBG BH=BG 在 和 中， ∠OBH=∠OBG AOBH△OBG OB=OB :.△OBH=AOBG(SAS) .∠OHB=∠OGB,∠BOG=∠BOH. :AO是∠MAW的平分线，BO是∠ABD的平分线， .OD是∠ADB的平分线， .∠ODH=∠ODF. .∠MAN=60°， 、.∠D0B=180°-(<0DB+∠0BD)=180°-（∠ADB+∠ABD)=180-2180°-∠DAB)=180°-60°=120°， .∠GOB=∠HOB=180°-∠DOB=60°， 第34页/供35页 6学科网 组卷网 .∠DOF=∠BOG=60°， .∠DOH=180°-∠BOG-∠HOB=60° ∠DOH=∠DOF OD=OD 在 和 中， △DDH AODF ∠ODH=∠ODF :△ODH=aODF(ASA) .DF=DH DH=DB-HB=3-1=2, .DF=2」 【点睛】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及线段的和差转化，属于几何综合题， 重点考查辅助线的构造与全等模型的应用. (1)角平分线的是构造全等的基础，通过作垂线或截取线段，能快速得到全等所需的边、角条件， (2)多次全等的递进推导，是实现线段转化和角度计算的关键，尤其在第(2)(3)问中，需要通过多 步全等完成复杂的数量关系推导 第35页/共35页