精品解析：江苏省泰州市兴化市2025-2026学年高三上学期教学质量调研考试数学试题

2025年秋学期教学质量调研考试试卷 高三年级数学学科 卷面总分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知命题，，命题，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需时间（单位：小时），其中为常数.在此条件下，训练个单位的数据量所需时间是训练个单位的数据量所需时间的（ ） A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 8倍 5. 把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知连续函数的导函数为，如图是函数在上的图象，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递减 C. 在上单调递增 D. 在上单调递增 7. 已知函数则方程的解的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知函数的图象关于点中心对称，且在上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于函数和，下列说法中正确的有（ ） A. 与有相同的零点 B. 与有相同的最大值 C. 与有相同的最小正周期 D. 与的图象有相同的对称轴 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 在上单调递增 D. 的图象关于直线对称 11. 在平面直角坐标系中，曲线C 由函数 和 的图象构成，则（ ） A. C关于直线 对称 B. C关于点 对称 C. 直线被C 截得的线段长的最大值为 D. C围成的图形的面积大于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若关于的不等式的解集是，则__________. 13. 已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______. 14. 已知函数若恒成立，则非零实数的最小值为______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求; （2）设函数，求的值域和单调区间． 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处切线方程； （2）讨论的单调性； 17. （1）化简：； （2）已知，求的值． （3）已知为锐角，．求的值． 18. 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成．已知圆的半径为40米，点到的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形，大棚内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设与所成的角为． （1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围； （2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 19. 已知函数. （1）求的极值； （2）已知函数； ①若没有零点，求实数a的取值范围； ②若有两个不同的零点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋学期教学质量调研考试试卷 高三年级数学学科 卷面总分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由补集和交集定义直接求解即可. 【详解】由已知，全集，集合， 则，又， 所以. 故选：A. 2. 已知命题，，命题，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】结合存在量词和全称量词判断的真假，再判断各选项. 【详解】，所以方程无实数根，命题是假命题，是真命题. 因为，所以，命题是真命题，是假命题. 故选：B. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 4. 在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需时间（单位：小时），其中为常数.在此条件下，训练个单位的数据量所需时间是训练个单位的数据量所需时间的（ ） A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 8倍 【答案】B 【解析】 【分析】结合给定的函数模型利用对数的运算性质化简求解. 【详解】设训练及个单位的数据量所需时间分别为，， ， 所以训练个单位的数据量所需时间是训练个单位的数据量所需时间的3倍. 故选：B 5. 把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由的图象逆向变换即可得的解析式. 【详解】将图象上所有点向右平移个单位长度，得函数的图象， 再把函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得，即. 故选：C 6. 已知连续函数的导函数为，如图是函数在上的图象，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递减 C. 在上单调递增 D. 在上单调递增 【答案】A 【解析】 【分析】结合图象确定导函数在区间，，，上的正负，结合导数与单调性的关系判断结论. 【详解】由图象可得当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递减， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 又，，为连续函数， 故BCD都错误，A正确. 故选：A. 7. 已知函数则方程的解的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数解析式以及分段函数的性质，画图，利用换元法，整理化简方程，再利用方程与函数的关系，结合图象，可得答案. 【详解】函数的图象如图所示： 设，则方程即，由图象可知，与有三个交点， 横坐标分别为，其中，，， 方程解的个数转化为方程，，解的个数之和， 由图象可知，与有一个交点，与有三个交点， 与没有交点， 所以方程解的个数为. 故选：B. 8. 已知函数的图象关于点中心对称，且在上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦型函数的对称性和单调性列出方程与不等式.，求解即得. 【详解】因为的图象关于点中心对称，所以，，即，（*）. 由在上单调递减，可得，， 由，得，故，解得. 结合（*）可得. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于函数和，下列说法中正确的有（ ） A. 与有相同的零点 B. 与有相同的最大值 C. 与有相同的最小正周期 D. 与的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【详解】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 在上单调递增 D. 的图象关于直线对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据对数函数的性质即可求解AB，根据复合函数单调性法则即可求解C，利用即可求解D. 【详解】由可得，故的定义域为，值域为，A错误，B正确， 由于函数在单调递增，在单调递减，而为上的单调递增函数，因此在上单调递增，C正确， 由于的定义域为关于对称，且，故的图象关于直线对称，D正确， 故选：BCD 11. 在平面直角坐标系中，曲线C 由函数 和 的图象构成，则（ ） A. C关于直线 对称 B. C关于点 对称 C. 直线被C 截得的线段长的最大值为 D. C围成的图形的面积大于 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的图象判断A，B，结合三角函数值域判断C，应用割补法判断D. 【详解】画出 C 的图象，由图可知 A 正确，B错误； 直线 被 C 截的弦长为故 C正确； 当 时，如图，4个阴影部分面积相等，区域②的面积小于区域①的面积，区域③的面积小于区域④的面积. 利用割补法知曲线C在 上围成的图形的面积小于以 为宽、2为高的矩形ABCD的面积，即曲线C围成的图形的面积小于，故D 错误. 故选 :AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若关于的不等式的解集是，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】由题意可得，方程的两个根分别为，1，可求出的值，从而得解. 【详解】由题意可得，方程的两个根分别为，1， 所以，解得 故. 故答案为：1 13. 已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. 【详解】法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为：. 14. 已知函数若恒成立，则非零实数的最小值为______________. 【答案】2 【解析】 【分析】作平行于轴的直线与的图象相交于两点，求的最小值即为求的最大值，求出，构造函数求出最值即可. 【详解】作平行于轴的直线与的图象交于点，，如图所示： 则的最小值即为的最大值，设直线的方程为，则，，，令函数，则， 在上单调递增，在上单调递减，，即，所以的最小值为2. 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求; （2）设函数，求的值域和单调区间． 【答案】（1） （2）值域为，单调递减区间为，单调递增区间为. 【解析】 【分析】（1）直接由题意得，结合余弦函数的单调性即可得解； （2）由三角恒等变换得，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数的单调区间. 【小问1详解】 由题意，所以； 【小问2详解】 由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处切线方程； （2）讨论的单调性； 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在单调递增. 【解析】 【分析】（1）当时，求得，得到且，即结合导数的几何意义，即可求解； （2）求得，分和，两种情况讨论，即可求得函数的单调区间. 【小问1详解】 解：当时，，可得， 可得且，即切线的斜率为，切点为， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 解：由函数，可得函数的定义域，且， 当时，，函数在上单调递增； 当时，令，即，即，解得； 令，即，即，解得， 所以函数在上单调递减，在单调递增. 17. （1）化简：； （2）已知，求的值． （3）已知为锐角，．求的值． 【答案】（1）0；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）利用“奇变偶不变，符号看象限”化简即可得出答案； （2）利用与结合的范围即可得出答案； （3）由的值，可求出的值，由的值可求出的值，再利用求出答案。 【详解】（1） ； （2）因为 所以 解得 又因为 所以 所以； （3）， 又因为为锐角， 所以， 所以， 所以， 所以 18. 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成．已知圆的半径为40米，点到的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形，大棚内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设与所成的角为． （1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围； （2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 【答案】（1）， ；（2）． 【解析】 【详解】分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法. 详解： 解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10． 过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ， 故OE=40cosθ，EC=40sinθ， 则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ）， △CDP的面积为×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）． 过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10． 令∠GOK=θ0，则sinθ0=，θ0∈（0，）． 当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD， 所以sinθ的取值范围是[，1）． 答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为 1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3， 设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0）， 则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ） =8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）． 设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，）， 则． 令，得θ=， 当θ∈（θ0，）时，，所以f（θ）为增函数； 当θ∈（，）时，，所以f（θ）为减函数， 因此，当θ=时，f（θ）取到最大值． 答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题. 19. 已知函数. （1）求的极值； （2）已知函数； ①若没有零点，求实数a的取值范围； ②若有两个不同的零点，证明：. 【答案】（1）极大值，无极小值 （2）① ②证明：若有两个不同的零点，则． 不妨设，则． 因为，所以． 因为在上单调递减，，所以， 所以． 【解析】 【分析】（1）求出，利用导数研究在其定义域为上的单调性，即可求出其极值； （2）①先求出的解析式，并求导，令，利用的导数来研究的单调性，再结合没有零点，得到的取值范围，即可求出a的取值范围；②首先分析得，再利用基本不等式即可证明. 【小问1详解】 函数的定义域为. . 令，即， 因为，所以，解得. 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减， 所以在处取得极大值，且，无极小值； 【小问2详解】 ①因为，所以， 所以，其定义域为. 所以. 令， 则. 当时，， 所以． 当时，， 所以. 当时，， 所以． 综上，当时，，即， 所以在上单调递减． 因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，. 因为没有零点，所以，解得，所以的取值范围为． ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $