精品解析：江苏省新海高级中学开发区校区2025-2026学年高二上学期10月学情调研测试数学试题

2025江苏省新海高级中学开发区分校高二年级 10月学情调研测试 数学试卷 命题人：宋会民 审题人：汤东升 时间：2025年9月25日 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分集合是否是空集进行讨论即可求解. 【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则或，解得. 综上，，即m的取值范围是 . 故选：C. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件求出直线的斜率，再直接求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 令该直线倾斜角为，则有， 又，于是， 所以直线的倾斜角为. 故选：A 3. 若直线与平行，则实数的值为（ ）． A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】根据两条直线平行的性质，得且， 即且，∴，（舍）．故选． 点睛：本题考查两条直线平行的判定；已知两直线的一般式判定两直线平行或垂直时，若化成斜截式再判定往往要讨论该直线的斜率是否存在，容易出错，可记住以下结论进行判定： 已知直线，， ①且； ②. 4. 对于圆C：，直线l：，点在圆C外，则直线l与圆C（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系，判断坐标参数的关系，根据圆心到直线的距离公式，判断直线与圆的位置关系. 【详解】由圆C：，可知圆心，半径为，由点在圆C外，可知， 可得， 圆心到直线的距离， 因为，所以，所以直线与圆相交； 故选：B. 5. 已知定点，点P是圆上一动点，点Q是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【详解】设点，，定点，点Q是线段AP的中点， 所以，则，即， 又因为动点P在圆上，所以， 则，所以点Q轨迹方程为. 故选：A 6. 已知直线l：，圆C：，直线l与圆C交于M，N两点，则弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程确定其所过的定点，再判断定点与圆的位置关系，结合直线与圆相交弦长最小时定点与圆心所在直线与l垂直，最后应用几何法求弦长. 【详解】由题设l：即， 令得，所以直线过定点， 而圆C：，圆心为，半径为3， 所以，即定点在圆C内， 所以定点与圆心的距离， 要使最小，即定点与圆心的连线与垂直，此时. 故选：D 7. 若圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆的性质可知，圆心为直线与直线垂直平分线的交点，联立方程组即可求得圆心，半径则为圆心到圆上任一点之间的距离. 【详解】由点，在圆上，，中点坐标为， 则直线的垂直平分线的直线方程为即， 则圆心为直线与垂直平分线的交点，则联立方程组： ，解得，则圆心为，， 所以圆的方程为：. 故选：A 8. 若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线和曲线方程在平面直角坐标系中画出图形，数形结合分析即可. 【详解】由题意，直线的方程可化为，所以直线恒过定点， ，可化为其表示以为圆心，半径为2的圆的一部分，如图： 当与该曲线相切时，圆心到直线的距离，解得. 设，则. 由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，则. 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 若直线倾斜角，则直线的斜率不存在或斜率k的取值范围是 B. 直线恒过定点 C. 若直线：与：互相垂直，则 D. 若直线：与：平行，则与的距离为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线倾斜角范围求出正切值的范围，判断选项A的正误；根据直线过定点的判断方法，求出直线所过定点，判断B的正误；根据两直线垂直，一般式方程中参数的关系，求出参数值，判断C的正误；根据两直线平行时，一般式方程中参数的关系，求出参数值，再根据平行线距离公式，求出结果，判断D的正误； 【详解】对于选项A：直线倾斜角， 当时，斜率不存在； 当时，斜率； 当时，斜率； 所以直线的斜率不存在或斜率k的取值范围是，故A正确； 对于选项B：直线，化简为， 当时，即时，，解得， 所以直线恒过定点，故B错误； 对于选项C：直线与互相垂直时，可得， 解得或，所以C错误； 对于选项D：直线与平行，则，解得， 此时为，化简得， 则与的距离为，所以D正确； 故选：AD. 10. 已知点与直线，下列说法正确的是（ ） A. 过点P且截距相等的直线与直线l一定垂直 B. 过点P且与坐标轴围成三角形的面积为2的直线有4条 C. 点P关于直线l的对称点坐标为 D. 直线l关于点P对称的直线方程为 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，当截距为0时，直线与直线l平行,即可判断；对于B，可设直线方程为，根据条件求a,b,根据解的情况进行判断；对于C，求点P关于直线l的对称点坐标即可判断；对于D，求直线l关于点P对称的直线方程即可判断. 【详解】对于A，当截距为0时，直线与直线l平行，故A错误． 对于B，设直线方程为，因为直线过点，所以①， 又过点P的直线与坐标轴围成三角形的面积为，所以②， 由①②，得，或，共有3组解，所以符合题意的直线有3条， 故B错误． 对于C，设点P关于直线l的对称点坐标为，则，解得， 即点P关于直线l的对称点坐标为，故C正确． 对于D，设直线l关于点P对称的直线方程为， 则有，解得， 即直线l关于点P对称的直线方程为，故D正确． 故选：CD 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，.点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（ ） A. 曲线的方程为 B. 过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率范围是 C. 曲线上的点到直线的最小距离为 D. 过点作曲线的一条切线，切点为F，则等于 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，根据求得曲线的轨迹方程，根据点到直线的距离公式来对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设，由，得，而， 所以， 整理得，所以A选项正确. B选项，圆的圆心为，半径为， 设直线的方程为， 到直线的距离， ，两边平方并化简得， 解得，所以直线的斜率范围是，B选项正确. C选项，到直线的距离为， 所以曲线上的点到直线的最小距离为，C选项错误. D选项，，，， 所以，D选项正确. 故选：ABD 【点睛】思路点睛： 通过设定比值来求解轨迹：首先设定两点之间的距离之比，并将其代入直角坐标系中，推导出曲线的方程. 这一步奠定了解题的基础. 利用距离公式分析直线与曲线关系：通过设定直线方程并利用点到直线的距离公式，求解出符合条件的斜率范围，确保直线与曲线存在公共点. 结合几何关系确定切线条件：利用点和斜率的关系，结合几何推导，确定切线条件，从而判断选项的正确性. 三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分） 12. 若直线与直线垂直，则实数______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据两直线垂直列方程，解方程即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得， 故答案为：. 13. 已知点，若直线与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断直线过定点，再根据直线与线段相交，求出直线斜率的取值范围，最后根据正切函数的性质，求出倾斜角的取值范围即可. 【详解】直线过定点， 则，， 如图，要使直线与线段相交， 则直线l的斜率应满足， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 故答案为:. 14. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，，，且其“欧拉线”与圆相切，则的“欧拉线”方程为________，点在圆上，的最大值是________． 【答案】 ①. ②. 7 【解析】 【分析】求线段的中垂线即为的“欧拉线”；设将问转化为直线与圆有交点求，利用直线与圆的位置关系即可. 【详解】，由题意可得的欧拉线为的中垂线， 由，可得的中点为，且， 线段的中垂线方程为，即； 设，则，即， 因点既在圆上，又在直线上，则直线与圆有交点， 所以，即，解得， 所以的最大值为. 故答案为：；7 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知的顶点，，是的中点. （1）求直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先设，再结合中点坐标公式求解即可； （2）所求直线与直线垂直，可算出斜率，又直线过点，利用点斜式即可求解； 【详解】（1）设，由题意得∴∴. ∴直线的方程为； （2）∵，，∴， ∴边上的高所在直线的斜率， ∴边上的高所在直线方程为：，即. 【点睛】本题考查中点坐标公式，直线方程的求法，属于基础题 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，．已知． （1）求角的大小； （2）设，，求和外接圆的面积． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后结合两角差的余弦公式计算即可得； （2）借助余弦定理可得，再利用正弦定理与圆的面积公式计算即可得. 【小问1详解】 由，则， 又，则，故， 化简得，又，故； 【小问2详解】 ， 外接圆半径， 故外接圆面积． 17. 设b为实数，已知圆，直线l：．根据下列条件求实数b的取值或范围． （1）当b为何值时，圆上恰有1个点到直线的距离等于1？ （2）当b为何值时，圆上恰有2个点到直线的距离等于1？ （3）当b为何值时，圆上恰有3个点到直线的距离等于1？ 【答案】（1）或 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）首先计算圆心到直线的距离为，然后根据圆上点到直线的距离等于1的个数为1个，可得：，然后根据关系式计算参数即可； （2）首先计算圆心到直线的距离为，然后根据圆上点到直线的距离等于1的个数为2个，可得：，然后根据关系式计算参数即可； （3）首先计算圆心到直线的距离为，然后根据圆上点到直线的距离等于1的个数为3个，可得：，然后根据关系式计算参数即可； 【小问1详解】 由题知圆的方程为, 所以圆心为,半径为, 若圆上恰有1个点到直线的距离等于1， 则圆心到直线的距离满足， 则， 解得． 解得或. 【小问2详解】 若圆上恰有2个点到直线的距离等于1， 则圆心到直线的距离满足， 则， 解得． 解得或. 【小问3详解】 因为圆上恰有3个点到直线的距离都等于1, 所以只需要圆心到直线的距离为即可, 直线方程为:, 所以圆心到直线的距离为:, 解得, 故当时,圆上恰有3个点到直线l的距离都等于1． 18. （1）已知直线过点，它在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，求此直线的方程． （2）求直线：关于直线：对称的直线的方程． （3）求过三点，，的圆的一般式方程． 【答案】（1）或.（2）．（3） 【解析】 【分析】（1）分析直线过原点和不过原点的两类情况作讨论即可求解. （2）根据所求直线过已知两直线的交点，以及上的任一点关于对称的点在所求直线上即可求解. （3）利用三点坐标可根据待定系数法求解圆方程. 【详解】（1）若直线过坐标原点，则，直线的方程为，即， 此时横纵截距都等于0，满足题意； 若直线不过坐标原点，设直线的方程为， 因为直线过点，所以，得， 所以直线方程为. 综上，此直线的方程为或. （2）设直线关于直线对称的直线为， 由，解得，所以直线经过点， 在上取一点关于对称的点设为， 则有解得，所以直线经过点， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为， 即. （3）设所求圆的方程为，其中， 因为圆过三点，，， 所以，解得， 故所求圆的方程为． 19. 已知圆.若直线与圆交于两点， （1）求的取值范围； （2）证明：直线与直线（为坐标原点）的斜率之和为定值. 【答案】（1） （2）证明:设，，由（1）及根与系数的关系得， 所以， 即直线的斜率之和为定值. 【解析】 【分析】（1）联立直线与圆得，结合求参数范围； （2）设，，应用韦达定理及斜率两点式整理化简，即可证. 【小问1详解】 将直线代入圆的方程，得， 整理得，且直线与圆有两个交点， 所以，解得，即的取值范围是； 【小问2详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025江苏省新海高级中学开发区分校高二年级 10月学情调研测试 数学试卷 命题人：宋会民 审题人：汤东升 时间：2025年9月25日 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与平行，则实数的值为（ ）． A. B. C. 或 D. 或 4. 对于圆C：，直线l：，点在圆C外，则直线l与圆C（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定 5. 已知定点，点P是圆上一动点，点Q是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线l：，圆C：，直线l与圆C交于M，N两点，则弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 若圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 若直线倾斜角，则直线的斜率不存在或斜率k的取值范围是 B. 直线恒过定点 C. 若直线：与：互相垂直，则 D. 若直线：与：平行，则与的距离为 10. 已知点与直线，下列说法正确的是（ ） A. 过点P且截距相等的直线与直线l一定垂直 B. 过点P且与坐标轴围成三角形的面积为2的直线有4条 C. 点P关于直线l的对称点坐标为 D. 直线l关于点P对称的直线方程为 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，.点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（ ） A. 曲线的方程为 B. 过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率范围是 C. 曲线上的点到直线的最小距离为 D. 过点作曲线的一条切线，切点为F，则等于 三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分） 12. 若直线与直线垂直，则实数______. 13. 已知点，若直线与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围是____________． 14. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，，，且其“欧拉线”与圆相切，则的“欧拉线”方程为________，点在圆上，的最大值是________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知的顶点，，是的中点. （1）求直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程. 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，．已知． （1）求角的大小； （2）设，，求和外接圆的面积． 17. 设b为实数，已知圆，直线l：．根据下列条件求实数b的取值或范围． （1）当b为何值时，圆上恰有1个点到直线的距离等于1？ （2）当b为何值时，圆上恰有2个点到直线的距离等于1？ （3）当b为何值时，圆上恰有3个点到直线的距离等于1？ 18. （1）已知直线过点，它在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，求此直线的方程． （2）求直线：关于直线：对称的直线的方程． （3）求过三点，，的圆的一般式方程． 19. 已知圆.若直线与圆交于两点， （1）求的取值范围； （2）证明：直线与直线（为坐标原点）的斜率之和为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $