第三章 整式及其加减探索规律与表达分类训练（期中提升训练）--2025-2026学年北师大版数学七年级上册

第三章 整式及其加减探索规律与表达分类训练目录概览 题型1数字类规律探索 题型2图形类规律探索 题型3 新定义类规律探索 题型演练 题型1数字类规律探索 1．一列数，，，，，，，，，，，，，，，…中的第200个数为（   ） A． B． C． D． 2．a是不为2的有理数，我们把称为的“哈利数”，如3的“哈利数”是，的“哈利数”是．已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则 (   ) A．3 B． C． D． 3．如图所示的运算程序中，若开始输入的值是，第次输出的结果是，第次输出的结果是，依次继续下去…，第次输出的结果是（   ） A．3 B．6 C．2 D．8 4．观察下列三行数： ① ② ③ 取每行数的第个数，这三个数中任意两数之差的最大值为6146，则为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 5．根据图中数字的排列规律，在第⑨个图中，的值是（    ） A． B． C．254 D．256 6．有一列数，，，……，，，相邻4个数之和都等于16．已知，，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．将连续正整数按如图所示的位置顺序排列，根据排列规律，则2025应在（   ） A．处 B．处 C．处 D．处 8．对于任意正整数a，b定义一种新运算：．比如，则，，那么的结果是（   ） A． B． C． D． 9．一根长的绳子，第一次剪去绳子的，第二次剪去剩下绳子的，如此剪下去，第200次剪完后剩下绳子的长度是（   ）m A． B． C． D． 10．庄子中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为的木棍，第天截取后木棍剩余的长度是（   ） A． B． C． D． 11．观察下列等式： ①；②；③；④；， 请解答以下问题： (1)填空： ； (2)归纳：若n是正整数，则 ； (3)计算：． 12．观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：． (1)猜想并写出：______． (2)直接写出下列各式的计算结果： ①______； ②______； (3)探究并计算：． 13．仔细观察下列三组数． 第一组： 第二组： (1)若按第一组数的规律排列，第6个数是__________； (2)若按第二组数的规律排列，求第6个数和第7个数的和； (3)根据你找到的这两组数据规律的方法，请直接写出数据中第个数据（用含的式子表示）． 14．观察下列各式的计算结果： ； ； ； ； … (1)用你发现的规律填写下列式子的结果： ①____________；②____________． (2)直接写出的值______； (3)用你发现的规律计算（写出必要的过程）： ． 题型2图形类规律探索 15．观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第6个图案中的“”的个数是（   ）． A．18 B．19 C．20 D．21 16．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有6个圆点，第②个图中有10个圆点，第③个图中有14个圆点，…，按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．24 B．26 C．28 D．30 17．将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中的一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中的一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形如此下去，则第8个图中共有正方形的个数为（    ） A．16 B．19 C．22 D．25 18．观察如图所示一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第8个图中共有点的个数是（    ）． A．109 B．85 C．72 D．66 19．棱长为的小正方体按照如图所示的规律摆放，从上面看第100个图，得到的平面图形的面积为（    ） A． B． C． D． 20．用大小相同的黑点按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有2个黑点，第②个图案有7个黑点，第③个图案有15个黑点，第④个图案有26个黑点……按此规律，第⑦个图案中黑点的个数为（   ） A．57 B．62 C．77 D．92 21．体艺节期间，某班同学用火柴棒在课桌上依次搭成下列图案：图①用了5根火柴，图②用了9根火柴，图③用了13根火柴，按照这种方式摆下去，摆第⑩个图案用火柴棒的根数为（    ） A．50 B．45 C．41 D．40 22．观察下列一组图案，每个图案都是若干个圆点组成，其中图①中共有7个圆点，图②中共有13个圆点，图③中共有21个圆点，图④中共有31个圆点，按此规律，图形⑧中的圆点个数是（   ） A．133 B．111 C．91 D．73 23．将一些相同的棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形有4个棋子，第2个图形有8个棋子，第3个图形有12个棋子，第4个图形有16个棋子，……，依此规律，第6个图形有（   ）个棋子． A．18 B．20 C．24 D．36 24．你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如图所示，这样捏合到第几次后可拉出根面条（    ） A． B． C． D． 25．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的答案： ①；②；③；④______；⑤；… (2)参照上面的等式，请写出第7个等式； (3)根据上述的规律，计算：． 26．如图，用同样规格的黑白两色正方形瓷砖铺设长方形地面，观察下列图形，探究并解答问题：                            (1)在第4个图中，共有白色瓷砖______块；在第n个图中，共有白色瓷砖______块； (2)试用含n的代数式表示在第n个图中共有瓷砖的块数； (3)如果每块黑瓷砖15元，每块白瓷砖10元，当时，求铺设长方形地面共    需花多少钱购买瓷砖？ 27．当砖铺设了2圈时，地砖用了12块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有2个；… 【规律总结】 (1)当地砖铺设了5圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个； (2)当地砖铺设了n（n为正整数）圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个（用含n的代数式表示）； (3)若每块地砖的价钱为18元，当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，则铺设的地砖共需要花费多少元？ 28．下列定义一种关于正整数的“运算”：①当是奇数时，；②为偶数时，结果是（其中是奇数），并且运算重复进行．例如：取，如图，                                                   若，则第次“运算”的结果是（     ） A． B． C． D． 29．如图所示，将一张长方形的纸对折，可得一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次的折痕与上次的折痕保持平行，得到3条折痕，如图（2）所示，连续对折三次后，可以得到7条折痕． (1)连续对折4次，可以得到______条折痕； (2)连续对折多少次．可以得到1023条折痕？ (3)连续对折次呢，可以得到______条折痕． 30．探索发现：；； 根据你发现的规律，回答下列问题： (1) ， ； (2)类比上述规律计算下列式子：； (3)拓展应用：我国古代数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积、形成“三角垛”、图1有1颗弹珠：图2有3颗弹珠：图3有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，…；若用表示图n的弹珠数，其中则 ． 题型3 新定义类规律探索 31．定义一种关于整数n的“X”运算： （1）当n是奇数时，结果为； （2）当n是偶数时，结果是（其中k是使是奇数的正整数），并且运算重复进行． 例如：取，第一次经X运算是29，第二次经X运算是92，第三次经X运算是23，第四次经X运算是74，…；若，则第2025次X运算结果是（　） A．1 B．2 C．7 D．8 32．定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，……，依此（    ） A． B． C．4 D． 33．定义一种关于整数n的“F”运算： （1）当n是奇数时，结果为； （2）当n是偶数时，结果是（其中k是使是奇数的正整数），并且运算重复进行． 例如：取，第一次经F运算是，第二次经F运算是，第三次经F运算是，第四次经F运算是，…；若，则第次运算结果是（   ） A． B．2 C．1 D．8 34．定义：a是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：2的差倒数是的差倒数是．已知是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则的值是（    ） A．2 B． C． D．不能确定 35．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为是（其中是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取，运算如图，若，则第2025次“F”运算的结果为（   ） A．37 B．116 C．74 D．92 36．定义新运算：，．若，则称有理数，为“隔一数对”．例如：，，即，所以2，3就是一对“隔一数对”．已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算（    ） A． B． C． D． 37．我们知道，引进了无理数后，有理数集就扩展到实数集．同样，如果引进“虚数”，则实数集就扩展到“复数集”．现在我们定义：虚数单位“”，其运算规则是：，，，，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 38．定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如∶，． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如∶，，即，所以2，3就是一对“隔一数对”． 请同学们解答下列问题： (1)，1是“隔一数对”吗？请说明理由； (2)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算： ． 39．阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于－1，记为，这个数i叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似． 例如：解方程，解得，． 同样我们也可以化简： 读完这段文字，请解答以下问题： (1)填空：＝________，＝________，＝________，＝ ． (2)在复数范围内解方程：． 40．我们定义：在矩形中，每次沿长边的垂直平分线对折（即保持短边长度不变，长边变为原来的一半），得到一个新矩形，称为一次操作．若新矩形不是正方形，继续操作，直到得到正方形为止，操作的次数称为该矩形的“折叠阶数”． 例如：邻边长为8和2的矩形，第一次对折后为4和2的矩形（非正方形）第二次对折后为2和2的正方形，故折叠阶数为2． (1)阶数计算：矩形邻边长为12和3，其折叠阶数为_______； (2)逆推边长：若一个矩形的折叠阶数为3，且最终得到的正方形边长为5，原矩形的邻边长分别为_______，_______； (3)代数关系：设矩形邻边长为a和b（），最终能够折成正方形，若其折叠阶数为n，则a=_____（用含b和n的式子表示a）． 第12页，共13页 第1页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 整式及其加减探索规律与表达分类训练目录概览 题型1数字类规律探索 题型2图形类规律探索 题型3 新定义类规律探索 题型演练 题型1数字类规律探索 1．一列数，，，，，，，，，，，，，，，…中的第200个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字规律，发现数字规律是解题的关键． 观察数列规律，分母为n的项连续出现n次．计算前n项和，确定第200项所在的分母组即可解答． 【详解】解：数列中分母为n的项有n个，总项数到分母n时为：． 由题意可得，则当时，；当时，． 因此，第191至210项对应分母20，第200项在分母20的组内，值为． 故选D． 2．a是不为2的有理数，我们把称为的“哈利数”，如3的“哈利数”是，的“哈利数”是．已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则 (   ) A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．根据定义计算出前5个数据，然后发现该数列每个数为一周期循环，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ， ， 该数列每个数为一周期循环， ， ， 故选：A． 3．如图所示的运算程序中，若开始输入的值是，第次输出的结果是，第次输出的结果是，依次继续下去…，第次输出的结果是（   ） A．3 B．6 C．2 D．8 【答案】A 【分析】根据题意可以先求出前几次输出结果，发现规律：从第2次开始，6，3，8，4，2，1，每次6个数循环，进而可得出第次输出的结果与第3次输出的结果一样． 本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，代数式求值，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 【详解】解：根据题意可知： 开始输入的值是7，第1次输出的结果是12， 第2次输出的结果是6， 第3次输出的结果是3， 第4次输出的结果是8， 第5次输出的结果是4， 第6次输出的结果是2， 第7次输出的结果是1， 第8次输出的结果是6， 依次继续下去， …， 发现规律：从第2次开始，6，3，8，4，2，1，每次6个数循环， 因为， 所以第次输出的结果与第3次输出的结果一样是． 故选：A． 4．观察下列三行数： ① ② ③ 取每行数的第个数，这三个数中任意两数之差的最大值为6146，则为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，根据题意可得第一行第n个数为，第二行第n个数为，第三行第n个数字为；再分n为偶数和n为奇数两种情况，确定对应情形下三个数的最大值和最小值，根据任意两数之差的最大值为6146列式求解即可． 【详解】解：观察可知第一行后面一个数是它前面一个数的倍， ∴第一行第n个数为， 观察可知，第二行的第n个数比第一行的第n个数大1， ∴第二行第n个数为；     观察可知，第三行的数字中，奇数项的数字为以2为底，序号为指数的结果减去1，偶数项的数字为以2为底，序号为指数的结果加上1之后的相反数， ∴第三行第n个数字为； 当n为偶数时，第一行和第二行的第n个数为正，第三行的第n个数为负， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当n为奇数时，第一行和第二行的第n个数为负，第三行的第n个数为正， ， ∴， ∴， ∴， ∵当时，一定是偶数， ∴一定是偶数，故此时， 又∵当时，， ∴n为奇数不成立； 综上所述，． 故选：C． 5．根据图中数字的排列规律，在第⑨个图中，的值是（    ） A． B． C．254 D．256 【答案】C 【分析】本题考查图形中的数字规律问题，含乘方的有理数的混合运算，根据图形中的数字，抽象概括出数字规律是解题的关键． 先找到三角形每个位置上的数字规律，确定第⑨个图中的数字，再进行计算即可． 【详解】解：设三角形左上位置的数字为：，右上位置上的数字为：，下方位置上的数字为：，由图可知： ， ， ， ∴， ∴； ， ， ， ∴， ∴； ， ， ， ∴， ∴； ∴； 故选C． 6．有一列数，，，……，，，相邻4个数之和都等于16．已知，，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了数列的周期性，准确计算是解题的关键． 先确定数列的周期规律，再将已知项转化为周期中的对应项，最后根据周期求解即可； 【详解】由题可得：，， 两式相减， 同理可得：，，， 数列周期为， ，，， ，， ， ， ， 数列周期为，，，， ，对应周期中第三项，即， ． 故选：． 7．将连续正整数按如图所示的位置顺序排列，根据排列规律，则2025应在（   ） A．处 B．处 C．处 D．处 【答案】A 【分析】本题考查的是数字的变化规律，由题意可知：在A处的数被4整余2，在B处的数被4整余3，在C处的数被4整除，在D处的数被4整余1，而，由此即可得出结果． 【详解】解：由题意可知：在A处的数被4除余2，在B处的数被4除余3，在C处的数被4整除，在D处的数被4除余1， ∵， ∴2025应在被4整除余1的位置，即D处， 故选：A． 8．对于任意正整数a，b定义一种新运算：．比如，则，，那么的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查新定义运算和有理数的乘方，根据新定义运算法则找到规律，得出，即可求解． 【详解】解：∵，且，，， ⋯ 以此类推，， ∵， ∴， 故选：B． 9．一根长的绳子，第一次剪去绳子的，第二次剪去剩下绳子的，如此剪下去，第200次剪完后剩下绳子的长度是（   ）m A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律探究．根据题意可得第一次剪去绳子的，剩下绳子的长度是，第二次剪去剩下绳子的，剩下绳子的长度是，……，由此发现规律，即可求解． 【详解】解：第一次剪去绳子的，剩下绳子的长度是， 第二次剪去剩下绳子的，剩下绳子的长度是， 第三次剪去剩下绳子的，剩下绳子的长度是， ， ∴第200次剪完后剩下绳子的长度是； 故选：C． 10．庄子中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为的木棍，第天截取后木棍剩余的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分数乘法的应用及乘方的意义，理解求一个数的几分之几是多少用乘法计算，根据分数乘法的意义求得剩下的长度． 【详解】解：由题意，第一次截取后剩余长度为， 第二次截取后剩余长度为， 第三次截取后剩余长度为， ， 第次截取后剩余长度为， 所以第五次截取后剩余长度为， 故选：C． 11．观察下列等式： ①；②；③；④；， 请解答以下问题： (1)填空： ； (2)归纳：若n是正整数，则 ； (3)计算：． 【答案】(1)2500 (2) (3)7500 【分析】此题主要考查了数字变化规律，得出从奇数1开始，连续奇数的和等于数的个数的平方是解题关键． （1）由已知的等式；；；…，得到从1开始的连续奇数之和为奇数个数的平方，得到等于50的平方． （2）由（1）归纳可得答案． （3）根据上述总结的规律得：，，将所求式子化为，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：①；②；③；④； ， ∴． （2）解：由（1）归纳可得： ． （3）解： ． 12．观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：． (1)猜想并写出：______． (2)直接写出下列各式的计算结果： ①______； ②______； (3)探究并计算：． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题考查了数字类规律探究、有理数的混合运算． （1）根据题中给出的例子即可得出结论； （2）①②根据（1）中的猜想进行计算即可； （3）由（1）中的例子找出规律进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； 故答案为：； （2）解：①∵由（1）知，． ∴ ； 故答案为：； ② ； 故答案为：； （3）解： ． 13．仔细观察下列三组数． 第一组： 第二组： (1)若按第一组数的规律排列，第6个数是__________； (2)若按第二组数的规律排列，求第6个数和第7个数的和； (3)根据你找到的这两组数据规律的方法，请直接写出数据中第个数据（用含的式子表示）． 【答案】(1)36 (2) (3) 【分析】此题考查了有理数的乘方，数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，利用规律解决问题． （1）第一组按排列； （2）第二组按排列，由此进一步得出答案即可； （3）第三组数的分子是连续自然数，分母是对应分母的平方加1，奇数位置为正，第n个数为，偶数位置为负，第n个数为，由此求得答案即可． 【详解】（1）解：第一组数是按正整数1，2，3，4，5，的平方数的顺序排列的， 则若按第一组数的规律排列，第6个数是， 故答案为：； （2）解：第二组数是由第一组的每一个数减去1，再取差的相反数得到的， 即， 则第6个数和第7个数的和； （3）解：第三组数的规律是， 即当n为奇数时，第n个数是； 当n为偶数时，第n个数是， ∴这组数的第个数据为． 14．观察下列各式的计算结果： ； ； ； ； … (1)用你发现的规律填写下列式子的结果： ①____________；②____________． (2)直接写出的值______； (3)用你发现的规律计算（写出必要的过程）： ． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律与变换方法，得出规律解决问题． （1）根据题目中的规律解答即可； （2）根据题目中的规律解答即可； （3）根据题目中的规律解答即可． 【详解】（1）解：依题意，， ； 故答案为：； （2）解： ． （3）解： ． 题型2图形类规律探索 15．观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第6个图案中的“”的个数是（   ）． A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【分析】 本题考查了图形类规律探索，总结归纳出第个图案中的“”的个数规律是解题的关键． 根据题意可得，第个图案中的“”的个数是，再代入即可求解． 【详解】 解：第1个图案中的“”的个数是， 第2个图案中的“”的个数是， 第3个图案中的“”的个数是， 第4个图案中的“”的个数是， …… 依此类推，第个图案中的“”的个数是， 当时，， ∴第6个图案中的“”的个数是19． 故选：B． 16．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有6个圆点，第②个图中有10个圆点，第③个图中有14个圆点，…，按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】B 【分析】本题属于规律猜想题型的图形变化类，解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律． 根据第①个图案中有6个黑色圆点，第②个图案中有10个黑色圆点，第③个图案中有14个黑色圆点，则可以推出第6个图形中黑色圆点的个数． 【详解】第①个图案中有6个黑色圆点， 第②个图案中有10个黑色圆点， 第③个图案中有14个黑色圆点， 第④个图案中有18个黑色圆点， 所以第⑥个图中圆点的个数是26个， 故选：B． 17．将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中的一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中的一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形如此下去，则第8个图中共有正方形的个数为（    ） A．16 B．19 C．22 D．25 【答案】C 【分析】本题考查图形的变化规律，正确找出规律是解题关键．根据已知图形可以发现从图①开始，每次分割，都会增加3个正方形，可得到此题的规律为第个图形中的正方形个数为，进而可得答案． 【详解】解：由所给图形可知， 第①个图形中正方形的总个数为：； 第②个图形中正方形的总个数为：； 第③个图形中正方形的总个数为：； 第④个图形中正方形的总个数为：； ， 依次类推，第个图形中正方形的总个数为个， ∴图⑧中共有个正方形． 故选：C． 18．观察如图所示一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第8个图中共有点的个数是（    ）． A．109 B．85 C．72 D．66 【答案】A 【分析】本题考查了图形的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意可推导一般性规律为：第个图中共有点的个数为个点，然后求解作答即可． 【详解】解：由题意知，第1个图中共有 点， 第2个图中共有点， 第3个图中共有点， …， ∴可推导一般性规律为：第个图中共有点的个数为点， ∴第8个图中共有点的个数为个点， 故选：A. 19．棱长为的小正方体按照如图所示的规律摆放，从上面看第100个图，得到的平面图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查从不同方向观察几何体，图形类规律探索．先探究第100个图形从上面看时所看到的小正方形的个数，再结合每个小正方形的面积为， 从而可得答案． 【详解】解：第1个图有1层，共1个小正方体， 第2个图有2层，第2层正方体的个数为， 第3个图有3层，第3层正方体的个数为， ．．． 第n层时，正方体的个数为， 当时，第100层的正方体的个数为， 从上面看第100个图，看到了5050个小正方形，所以面积为：． 故选：D． 20．用大小相同的黑点按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有2个黑点，第②个图案有7个黑点，第③个图案有15个黑点，第④个图案有26个黑点……按此规律，第⑦个图案中黑点的个数为（   ） A．57 B．62 C．77 D．92 【答案】C 【分析】此题考查了图形类规律的探索，解题的关键是根据前几个图形的数据，正确找出规律，然后求解．先求出前面几个图形中黑点的个数，找到规律，然后求解即可． 【详解】解：第①个图案中黑点有：个， 第②个图案中黑点有：个， 第③个图案中黑点有：个， 第④个图案中黑点有：个， …… 第个图案中黑点有：个， 第⑦个图案中黑点有：个， 故选：C． 21．体艺节期间，某班同学用火柴棒在课桌上依次搭成下列图案：图①用了5根火柴，图②用了9根火柴，图③用了13根火柴，按照这种方式摆下去，摆第⑩个图案用火柴棒的根数为（    ） A．50 B．45 C．41 D．40 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据图形的变化情况写出每个图形需要的火柴棒数，从而得出规律，写出一般式即可求解． 【详解】解：观察图形，得 图①用了5根火柴，即， 图②用了9根火柴，即， 图③用了13根火柴，即， … 图n用了根火柴， 所以摆第⑩个图案用根火柴棒． 故选：C． 22．观察下列一组图案，每个图案都是若干个圆点组成，其中图①中共有7个圆点，图②中共有13个圆点，图③中共有21个圆点，图④中共有31个圆点，按此规律，图形⑧中的圆点个数是（   ） A．133 B．111 C．91 D．73 【答案】C 【分析】本题考查规律型：图形的变化，解题的关键是将原图形中的点进行无重叠的划分来计数． 根据前面四个图案圆点的个数特征，找出规律，即可解答． 【详解】解：第①个图案中“●”有：个， 第②个图案中“●”有：个， 第③个图案中“●”有：个， 第④个图案中“●”有：个， … ∴第8个图案中“●”有：个， 故选C． 23．将一些相同的棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形有4个棋子，第2个图形有8个棋子，第3个图形有12个棋子，第4个图形有16个棋子，……，依此规律，第6个图形有（   ）个棋子． A．18 B．20 C．24 D．36 【答案】C 【分析】本题考查图形的变化规律，解题关键是明确题意，找出题目中棋子个数的变化规律． 根据题目中的图形，可以写出前几个图形中棋子的个数，通过归纳得出第n个图形的棋子的个数，最后把代入规律求解即可． 【详解】解：第1个图形有个棋子， 第2个图形有个棋子， 第3个图形有个棋子， 第4个图形有个棋子， ……， 由此发现，第n个图形有个棋子， ∴第6个图形有个棋子． 故选：C 24．你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如图所示，这样捏合到第几次后可拉出根面条（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方及根据图形找规律问题的应用，理解有理数乘方的意义是解题的关键． 首先得出前几次捏合后得到的面条根数，从而得出面条根数与捏合次数之间的关系，用式子表示出规律，根据得出的规律进行求解即可． 【详解】解：根据题意：第一次捏合后面条根数为：2， 第二次捏合后面条根数为：4， 第三次捏合后面条根数为：8， 以此类推：第n次捏合后面条根数为：， ∴当拉出根面条时，， ∵， ∴捏合到第7次后可拉出根面条， 故选B． 25．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的答案： ①；②；③；④______；⑤；… (2)参照上面的等式，请写出第7个等式； (3)根据上述的规律，计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)2100． 【分析】本题考查了图形的规律，解题的关键是由特殊规律找到一般性的规律； （1）根据前面三个等式及图形规律求解即可； （2）根据前五个等式及图形规律求解即可； （3）根据题意可得，再根据求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知， 故答案为：． （2）解：由题意可知：第7个等式为； （3）解：， ， ， ， ， ， ． 26．如图，用同样规格的黑白两色正方形瓷砖铺设长方形地面，观察下列图形，探究并解答问题：                            (1)在第4个图中，共有白色瓷砖______块；在第n个图中，共有白色瓷砖______块； (2)试用含n的代数式表示在第n个图中共有瓷砖的块数； (3)如果每块黑瓷砖15元，每块白瓷砖10元，当时，求铺设长方形地面共    需花多少钱购买瓷砖？ 【答案】(1)24 (2) (3)770元 【分析】本题考查整式加减的应用，用代数式表示图形变化的规律，求代数式的值，解题的关键是掌握以上知识点． （1）观察前3个图形中白色瓷砖数量变化的规律，利用规律求解； （2）观察前3个图形中黑色瓷砖数量变化的规律，利用规律求解； （3）先根据（1）（2）结论得出需要瓷砖的数量，乘以单价可得答案． 【详解】（1）解：第1个图中，有白色瓷砖3块，， 第2个图中，有白色瓷砖8块，， 第3个图中，有白色瓷砖15块，， 可得第4个图中，白色瓷砖的数量为：（块）， 第n个图中，白色瓷砖的数量为：（块）， 故答案为：24，； （2）解：第1个图中，有黑色瓷砖12块，， 第2个图中，有黑色瓷砖16块，， 第3个图中，有黑色瓷砖20块，， …… 以此类推，第n个图中，黑瓷砖块数为：； ∴第n个图中共有瓷砖的块数为； （3）解：当时， （元） 答：铺设长方形地面共需花770元购买瓷砖． 27．当砖铺设了2圈时，地砖用了12块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有2个；… 【规律总结】 (1)当地砖铺设了5圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个； (2)当地砖铺设了n（n为正整数）圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个（用含n的代数式表示）； (3)若每块地砖的价钱为18元，当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，则铺设的地砖共需要花费多少元？ 【答案】(1)60，5 (2)，n (3)23400元 【分析】本题主要考查图形的规律，有理数混合运算的应用，理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据已知图形进行推理即可得到答案； （2）设当地砖铺设了n圈时，地砖的总数为y，即可求出当地砖铺设了n圈时，地砖的总数；根据铺设了多少圈即可得出围成了多少的封闭图形； （3）根据曲线围成的封闭图形有25个，地砖铺设了25圈，进行计算即可． 【详解】（1）解：当地砖铺设了1圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有1个； 当地砖铺设了2圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有2个； 当地砖铺设了3圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有3个；…， 当地砖铺设了5圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有5个． （2）解：，n； 设当地砖铺设了n圈时，地砖的总数为y， 铺设1圈形成如题图②所示的图案共用4块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有1个； 铺设2圈形成如题图③所示的图案共用12块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有2个； 铺设3圈形成如题图④所示的图案共用24块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有3个； 当地砖铺设了n圈时，地砖的总数，曲线围成的封闭图形有个； （3）解：曲线围成的封闭图形有25个， 地砖铺设了25圈， 当时，地砖的总数为（块）． 每块地砖的价钱为18元， 共需花费的费用为（元）． 答：当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，铺设的地砖共需花费23400元． 28．下列定义一种关于正整数的“运算”：①当是奇数时，；②为偶数时，结果是（其中是奇数），并且运算重复进行．例如：取，如图，                                                   若，则第次“运算”的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字的变化类，解题的关键是先分别计算出时第一、二、三、四、五、六次运算的结果，找出规律再进行解答即可． 【详解】解：根据题意，得 当时， 第一次运算：， 第二次运算：， 第三次运算：， 第四次运算，， 第五次运算：， 第六次运算：， …… 规律：从第三次开始，结果就只是，两个数轮流出现，且当次数为偶数时，结果是，次数是奇数时，结果是， ∵次是偶数， ∴第次“运算”的结果是． 故选：B． 29．如图所示，将一张长方形的纸对折，可得一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次的折痕与上次的折痕保持平行，得到3条折痕，如图（2）所示，连续对折三次后，可以得到7条折痕． (1)连续对折4次，可以得到______条折痕； (2)连续对折多少次．可以得到1023条折痕？ (3)连续对折次呢，可以得到______条折痕． 【答案】(1)15 (2)10 (3) 【分析】本题考查图形的变化规律以及乘方运算的应用，解决本题的关键在于发现每次对折后折痕数量与对折次数之间的关系． （1）根据对折次数与折痕数之间的关系求解即可； （2）设对折a次可以得到1023条折痕，根据规律求解即可； （3）根据对折次数与折痕数之间的关系求解出规律求解即可． 【详解】（1）解：∵对折1次，折痕数为；   对折2次，折痕数为； 对折3次，折痕数为； 则对折4次，折痕数为； 故答案为：15； （2）解：设对折a次可以得到1023条折痕， 根据上述规律可得， 即， ∴， 即连续对折10次．可以得到1023条折痕； （3）解：根据上述规律可知，连续对折次，可以得到条折痕． 故答案为：． 30．探索发现：；； 根据你发现的规律，回答下列问题： (1) ， ； (2)类比上述规律计算下列式子：； (3)拓展应用：我国古代数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积、形成“三角垛”、图1有1颗弹珠：图2有3颗弹珠：图3有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，…；若用表示图n的弹珠数，其中则 ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）两个连续的正整数的乘积的倒数等于较小的正整数的倒数减去较大的正整数的倒数，据此规律求解即可； （2）根据（1）的规律求解即可； （3）观察可得图n有颗弹珠，则根据（1）的规律可把原式变形为，据此求解即可． 【详解】（1）解：； ； ； ……， 以此类推，可知（n为正整数）， ∴，； （2）解： ； （3）解：图1有1颗弹珠： 图2有颗弹珠： 图3有颗弹珠， 图4有颗弹珠， ……， 以此类推，可知图n有颗弹珠， ∴ ． 题型3 新定义类规律探索 31．定义一种关于整数n的“X”运算： （1）当n是奇数时，结果为； （2）当n是偶数时，结果是（其中k是使是奇数的正整数），并且运算重复进行． 例如：取，第一次经X运算是29，第二次经X运算是92，第三次经X运算是23，第四次经X运算是74，…；若，则第2025次X运算结果是（　） A．1 B．2 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，数字类规律探索，计算出第一次、第二次、第三次、第四次、第五次运算的结果，得出规律；从第二次开始，出现，循环，偶数次是，奇数次是，即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：，第一次经X运算是，第二次经X运算是，第三次经X运算是，第四次经X运算是，第五次经X运算是，…； 由此可得，从第二次开始，出现，循环，偶数次是，奇数次是， ∴第2025次X运算结果是8， 故选：D． 32．定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，……，依此（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能通过计算发现这列数从开始按，，循环是解题的关键． 根据所给差倒数的定义，依次求出，，，…，发现规律即可解决问题． 【详解】解：， ， ， ， … 由此可见，这列数从开始按，，循环， ， ， 故选A． 33．定义一种关于整数n的“F”运算： （1）当n是奇数时，结果为； （2）当n是偶数时，结果是（其中k是使是奇数的正整数），并且运算重复进行． 例如：取，第一次经F运算是，第二次经F运算是，第三次经F运算是，第四次经F运算是，…；若，则第次运算结果是（   ） A． B．2 C．1 D．8 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现结果的变化特点．根据题意，可以写出前几次计算的结果，然后即可发现结果的变化特点，从而可以得到第次运算结果． 【详解】解：由题意可得， 当时，第一次经运算是， 第二次经运算是， ∵k是使是奇数的正整数， ∴，此时， 第三次经运算是， 第四次经运算是， ∵k是使是奇数的正整数， ∴，此时， 第五次经运算是8， 第六次经运算是1， ， 由上可得，从第二次开始，依次以1，8循环出现， 第2025次运算结果是8， 故选：D． 34．定义：a是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：2的差倒数是的差倒数是．已知是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则的值是（    ） A．2 B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了用代数式表示的规律型问题，理解差倒数的定义，并正确归纳出一般规律是解题关键．先根据差倒数的定义分别求出的值，再归纳类推出一般规律即可得． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， 由此可知，的值是按进行循环的， 因为， 所以． 故选：C． 35．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为是（其中是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取，运算如图，若，则第2025次“F”运算的结果为（   ） A．37 B．116 C．74 D．92 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律，蕴涵了结果规律探索问题，检测学生阅读理解及应用能力．根据题意，可以写出前几次的运算结果，从而可以发现数字的变化特点，然后即可写出第2025次“运算”的结果． 【详解】解：当时，第一次运算：； 第二次运算：； 第三次运算：； 第四次运算：； 第五次运算：； 第六次运算：； 第七次运算：； ……， 可以发现从第七次开始，结果以、、、、、这6个数为一个周期循环．， 所以第2025次“”运算的结果为116． 故选：B． 36．定义新运算：，．若，则称有理数，为“隔一数对”．例如：，，即，所以2，3就是一对“隔一数对”．已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，根据两个连续的非零整数都是“隔一数对”可得（为正整数），把所求式子的每一项按照此方法裂项求解即可． 【详解】解：∵两个连续的非零整数都是“隔一数对”， ∴ ， 故选：D． 37．我们知道，引进了无理数后，有理数集就扩展到实数集．同样，如果引进“虚数”，则实数集就扩展到“复数集”．现在我们定义：虚数单位“”，其运算规则是：，，，，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了规律性问题，根据运算法则可知个运算一循环，进而即可求解，解题的关键是通过所给的数据发现其中的变化规律，利用发现的规律进行解题． 【详解】解：∵，，，，，，， ， ∴根据运算法则可知个运算一循环， ∴， ∴， 故选：． 38．定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如∶，． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如∶，，即，所以2，3就是一对“隔一数对”． 请同学们解答下列问题： (1)，1是“隔一数对”吗？请说明理由； (2)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算： ． 【答案】(1)不是“隔一数对” (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算、数字的变化规律等知识点，理解“隔一数对”的定义并掌握有理数混合运算法则是解题关键． （1）根据“隔一数对”的新定义进行计算判断即可； （2）先根据新定义计算再根据有理数加减运算即可． 【详解】（1）解：由题意可得∶，， ∴， ∴不是“隔一数对”． （2）解：由题意可得∶ ． 39．阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于－1，记为，这个数i叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似． 例如：解方程，解得，． 同样我们也可以化简： 读完这段文字，请解答以下问题： (1)填空：＝________，＝________，＝________，＝ ． (2)在复数范围内解方程：． 【答案】(1) ，1，-1，i (2) ， 【分析】本题主要考查虚数单位的定义（）、幂的运算法则、虚数幂次的周期性规律、平方根的定义及复数方程的求解；掌握发现并利用i的幂次 “周期为4” 的规律计算高次幂，以及结合虚数单位性质求解复数平方根方程，是解题的关键． （1）先根据虚数单位 “” 和幂的运算法则，推导得出、、的值，进而总结出i的幂次以4为周期的规律，通过计算2025除以4的余数求出； （2）依据平方根的定义，结合，求解方程得到x的两个解． 【详解】（1）解：根据虚数单位的定义，利用幂的运算法则推导： ； ； ； 观察i的幂次规律： ，，，，周期为4， ，其中余数为1， ∴． （2）根据平方根的定义，若，则（b为复数时适用）， 对于方程，因为， ∴， 分别求解： 当时，； 当时，． 40．我们定义：在矩形中，每次沿长边的垂直平分线对折（即保持短边长度不变，长边变为原来的一半），得到一个新矩形，称为一次操作．若新矩形不是正方形，继续操作，直到得到正方形为止，操作的次数称为该矩形的“折叠阶数”． 例如：邻边长为8和2的矩形，第一次对折后为4和2的矩形（非正方形）第二次对折后为2和2的正方形，故折叠阶数为2． (1)阶数计算：矩形邻边长为12和3，其折叠阶数为_______； (2)逆推边长：若一个矩形的折叠阶数为3，且最终得到的正方形边长为5，原矩形的邻边长分别为_______，_______； (3)代数关系：设矩形邻边长为a和b（），最终能够折成正方形，若其折叠阶数为n，则a=_____（用含b和n的式子表示a）． 【答案】(1)2 (2)40，5 (3) 【分析】本题主要考查了学习类比能力，数形结合的数学思想，有理数的运算，列代数式等知识点，解题的关键是理解题意进行列式求解． （1）根据题意列出算式进行求解即可； （2）根据题意列出算式进行求解即可； （3）根据题意找出规律列出代数式即可． 【详解】（1）解：，， 此时，矩形的长和宽相等，图形为正方形， 所以，折叠阶数为2； （2）解：根据题意得， ， 所以，圆矩形的邻边长为40,5； （3）解：根据题意得， ． 试卷第34页，共35页 试卷第35页，共35页 学科网（北京）股份有限公司 $