4.1 整式 基础讲义 2025-2026学年 青岛版（2024 ）数学七年级上册

2024新版·7年级上册数学讲义·青岛版 第4章 整式的加法与减法 4.1 整式 代数式是用运算符号把数和表示数的字母连接在一起的式子。本节将研究只含加、减、乘、乘方运算的代数式。 引言 2022年，我国上海港集装箱的吞吐量突破4730万标准箱，连续13年蝉联全球第一。在全球货物运输中，集装箱是被广泛使用的一种大型成组工具。为便于使用机械设备装卸和搬运，实现船舶、港口、公路等多种方式的高效联运，集装箱的规格、型号都有一定的标准。 图中两个集装箱均为长方体，宽为a m，高为b m，其中一个的长为9 m，另一个的长为6 m。 导入新课 问题: 请认真阅读章引言及下列问题,完成问题的解答。 (1)引言中两个集装箱体积分别是多少? 两个集装箱的体积分别为9ab ，6ab (2)黄豆是一种富含蛋白质的食物,每克黄豆的蛋白质含量约为0.363 g,则x g黄豆的蛋白质含量约为多少? 0.363x g (3)如何表示的相反数? - (4)某志愿团有八年级学生n 人,七年级学生比八年级学生的一半少1人,用代数式表示该志愿团七年级学生的人数。 （n-1）人 (5)如图，是某公寓的建筑平面示意图，用代数式表示这间公寓的建筑面积。 （+5x+3） 上面我们利用代数式解答了很多实际生活中的问题。代数式是用运算符号把数和表示数的字母连接在一起的式子。本节我们将研究只含加、减、乘、乘方运算的代数式。 思考与交流 活动一： 体会代数式多样化的形式 问题1: 观察代数式9ab,6ab,0.363x,-,它们有什么特点? 问题2: 观察代数式n-1,+5x+3又有什么特点? 问题1中的代数式,数与字母之间都是乘积运算的关系; 问题2中的代数式是数和字母之间用加、减、乘、乘方运算来连接的。 活动二：总结单项式和多项式的相关概念 问题1: 从运算的角度来看,你认为代数式可以怎样分类? 1. 单项式、多项式、整式的概念 (1)从运算的角度来看,9ab,6ab,0.363x,-这些代数式都是数与字母的乘积,像这样的代数式叫作单项式。特别地,单独的一个数或一个字母也是单项式。 (2)n-1,+5x+3可以看作几个单项式的和。像这样,几个单项式的和叫作多项式。 (3)单项式和多项式统称为整式。换言之,只含有加、减、乘、乘方中一种或几种运算的代数式叫作整式。 (1)从运算的角度来看,9ab,6ab,0.363x,-这些代数式都是数与字母的乘积,像这样的代数式叫作单项式。特别地,单独的一个数或一个字母也是单项式。 (2)n-1,+5x+3可以看作几个单项式的和。像这样,几个单项式的和叫作多项式。 (1)从运算的角度来看,9ab,6ab,0.363x,-这些代数式都是数与字母的乘积,像这样的代数式叫作单项式。特别地,单独的一个数或一个字母也是单项式。 (2)n-1,+5x+3可以看作几个单项式的和。像这样,几个单项式的和叫作多项式。 问题2: 那么像,这样的代数式是整式吗? 它们不是整式。 像,这样的代数式是后面将要学习的分式。 2. 单项式的相关概念 (1)单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数. (2)一个单项式中,所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数。 对于单独的一个非零的数,规定它的次数为0. 一个单项式可以叫作几次单项式。 问题3: 单项式9ab,0.363x,-,5,π,a的系数和次数分别是多少? 单项式 系数 次数 9ab 9 2 0.363x 0.363 1 - -1 2 5 5 0 π π 0 a 1 1 3. 多项式的相关概念 (1)多项式中的每个单项式都叫作这个多项式的项,其中不含字母的项叫作常数项. (2)多项式中次数最高的项的次数,叫作这个多项式的次数. 一个多项式可以叫作几次几项式。 问题4: 多项式n-1,+5x+3的各项分别是什么? 它们是几次几项式? 多项式n-1的各项分别是n和-1,其中次数最高项是n，这一项的次数为1,所以它是一次二项式。 多项式+5x+3的各项分别为,5x和3,其中次数最高项是，这一项的次数是2,所以多项式+5x+3是二次三项式。 例题讲解 例1 在判断下列代数式是单项式还是多项式。如果是单项式，指出它的系数和次数；如果是多项式，指出它的各项，并指出这个多项式是几次几项式。 （1）3a; (2)mn; (3)-x; （4） -1； (5)+2ab+; （6）2-3x-4。 思考： (1)区分单项式和多项式的关键是什么? (2)在求单项式的系数与次数,多项式的项和次数时需要注意哪些问题? 提示： (1)区别单项式和多项式的关键在于代数式中是否含有加减法。 (2)求单项式的系数时要包含它前面的符号,如果一个单项式只含有字母因数(π是数字不是字母),含正号的单项式系数为1,含负号的单项式系数为-1；求单项式的次数时是将所有字母的指数相加,单独一个数字的次数是0。 （3）多项式中的每一项都包括它前面的符号,多项式的次数是最高项的次数,而不是所有含有字母的项的次数和。 解: (1)3a是单项式,系数是3,次数是1。 (2) mn是单项式,系数是,次数是2。 (3)-x是单项式,系数是-1,次数是4. (4)-1是多项式,它的项分别是和-1,它是三次二项式。 (5)+2ab+是多项式,它的项分别是,2ab和,它是二次三项式。 (6)2-3x-4是多项式,它的项分别是2,-3x 和-4,它是二次三项式。 说明: 多项式2-3x-4的每一项是按字母x的次数从大到小的顺序排列的,这种排列叫作多项式按字母x的降幂排列;还可以将这个多项式写成-4-3x+2的形式,这种排列叫作多项式按字母x的升幂排列。 知识点梳理 知识点一 单项式 1. 单项式的定义 从运算的角度看，由数与字母的乘积组成的代数式叫作单项式。（只含乘或乘方，不含加减） 单独的一个数或一个字母也是单项式。（单独的一个数或一个字母可看乘这个数或字母与“1”相乘，“1”被省略了）例如：-4，mn，n，5，b都是单项式。 2. 单项式的系数 单项式中的数字因数叫作单项式的系数。如-4的系数是-4。 单项式的系数包括它前面的符号。单项式的系数是1或“-1”时，“1”省略不写。但“-1”的符号“-”不能省略。如xy和-b的系数分别是“1”和“-1”。 3. 单项式的次数单项式的次数只和字母的指数有关，与系数的指数无关 一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数。如b，a的指数为3，b的指数为1，所以b的次数是3+1=4，注意不包括3的指数。 提示： （1） 对于单独的一个非零的数，规定它的次数为0，如常数8的次数是0。 （2） 单项式的系数既可以是整数，也可以是分数。 （3） 单项式的系数是带分数时，一定要化成假分数。 一个单项式的次数是几，通常称这个单项式是几次单项式。如-2,系数为-2，次数为5，是五次单项式。 题1 判断下列各式是不是单项式，如果是，指出它的系数与次数；如果不是，请说明理由。 （1）a+1; （2）； （3）-; （4）； （5）- ; （6）。 解：（1）（2）不死单项式，因为a+1中含有“+”，不是数与字母的乘积形式。 （3）（4）（5）（6）都是数与字母的乘积，所以它们都是单项式。其中-的系数是-1，次数是3；的系数是，次数是3；- 的系数是- ，次数是4；的系数是9，次数是5。 知识点二 多项式 1. 相关概念 多项式的定义：几个单项式的和叫作多项式。 多项式的项：多项式的每个单项式都叫作这个多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项。多项式的项数：多项式中所含单项式的个数，一个多项式含有几个单项式就叫作几项式。 多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数。 2. 单项式与多项式的区别 类别 运算 次数 单项式 不含加减运算符号 所有字母的指数和 多项式 必含加减运算符号 多项式中次数最高的项的次数 题2 指出下列多项式-a+2- -1的项，并说明它是几次几项式。 解：该多项式的项分别是，-a，2， ，-1，次数最高的项是2，次数是4，所以该多项式是四次多项式。 （提示：“四”“五”不能用阿拉伯数字） 3. 整式 （1）定义：单项式和多项式统称为整式。 （2）单项式、多项式、整式和代数式的关系：代数式 整式 单项式 多项式 非整式的代数式 提示： （1） 所有的整式的分母中都不含字母。判断一个代数式是不是整式，关键是看分母中是否含有字母，分母中含有字母的不是整式。 （2） 所有的整式都是代数式，但并不是所有的代数式都是整式。 题3 下列代数式：，+x- ，，。其中是整式的有（ ）。 A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析：代数式，中含有对字母的除法运算，它们不是整式；代数式+x- 是整式；π是圆周率，是一个数，而不是字母，所以是整式。所以此题答案为B。 4. 多项式的降（升）幂排列 （1）把一个多项式的各项按某一字母的次数从大到小的顺序排列，这种排列叫作这个多项式按这个字母的降幂排列。 （2）把一个多项式的各项按某一字母的次数从小到大的顺序排列，这种排列叫作这个多项式按这个字母的升幂排列。 注意：多项式按某一字母的降幂排列或升幂排列需注意以下三点： （1） 对于一个多项式的多个字母，必须选定其中的一个字母； （2） 确定这个字母的大小顺序； （3） 在改变多项式中的各项的位置时，一定要连同这个单项式前面的系数（包括符号）一起移动。 题4 把多项式-+4y-15-8重新排列： （1） 按字母y的降幂排列； （2） 按字母y的升幂排列。 分析：先找出多项式中字母y的指数，再按y的升幂或降幂排列。注意：在按某个字母升幂或降幂排列时，若出现不含有该字母的项，通常认为这一项中该字母的次数为0。如本题中不含字母y，该项中y的次数看作0。 解：（1）--8-15+4y+。 （2）+4y-15-8-。 练习（p85） 1. 填表:· 单项式 -2 b 6 系数 -2 1 6 次数 2 4 0 1 6 2. 分别指出下列多项式的各项及各项的系数，并指出是几次几项式。 （1）6x+1; （2）2a+3b; （3）--7m+5; （4）3-5xy +。 解：（1）6x+1的项为6x和1，系数分别为6,1，是一次两项式。 （2）2a+3b的各项为2a和3b，系数分别为2，3，是一次二项式。 （3） --7m+5的各项为-，-7m，5，系数分别为-，-7，5，是二次三项式。 （4） 3-5xy +的各项为3，-5xy，，系数分别为3，-5，，是二次三项式。 重点内容总结 整式 升幂：把一个多项式的各项按某一字母的次数从小到大的顺序排列 降幂：把一个多项式的各项按某一字母的次数从大到小的顺序排列 各项的排列 系数：单项式中的数字因数 单项式 定义：从运算的角度看，由数与字母的乘积组成的代数式叫作单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 次数：一个单项式中，所有字母的指数的和 次数：多项式中次数最高的项的次数 项：多项式中的每个单项式 多项式 定义：几个单项式的和叫作多项式 1 学科网（北京）股份有限公司 $