精品解析：四川省内江市威远中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

威远中学2026届高三上期期中考试 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷 （选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集、补集的定义可求. 【详解】由题设可得，故， 故选：B. 2. 设，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出． 【详解】因为， 所以，解得：． 故选：C. 3. 已知，则等于（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式计算得解. 【详解】由，得. 故选：A 4. 函数的最小正周期和最大值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，再由正弦函数的性质计算可得. 【详解】因为， 所以的最小正周期， 令，解得，所以当时取得最大值. 故选：C 5. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助向量坐标的数量积公式可得，再利用向量夹角公式计算即可得解. 【详解】依题意，由，有，解得， 所以. 故选：B． 6. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得在上恒成立，再次转化为在上恒成立，从而可求出的取值范围. 【详解】由，得， 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立，所以， 即的取值范围为. 故选：C 7. 已知，，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论. 【详解】，即. 故选：C. 8. 定义在R上的奇函数，满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】构造研究其奇偶性、区间单调性，问题转化为求与的交点个数，数形结合判断交点个数，即可得. 【详解】令且定义域为R，则， 所以为偶函数，在上， 所以在上单调递减，结合偶函数的对称性知，其在上单调递增， 由，则，且，则， 由的零点个数等价于与的交点个数，函数大致图象如下， 其中，且该函数关于对称，在、上分别单调递减、单调递增， 显然时， 在上单调递增，则时恒成立， 在上单调递减，且， 所以使， 综上，与的交点横坐标有，即有3个零点. 故选：D 二、多选题（本题共3个小题，每题6分，有多个选项，共18分） 9. 下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（ ） A. 样本的标准差 B. 样本的中位数 C. 样本的极差 D. 样本的平均数 【答案】AC 【解析】 【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项. 【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度； 由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势； 由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度； 由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势； 故选：AC. 10. 已知为坐标原点，点，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】A：，，所以，，故，正确； B：，，所以，同理，故不一定相等，错误； C：由题意得：，，正确； D：由题意得：， ，故一般来说故错误； 故选：AC 11. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】构造函数，判断其单调性，将变形为的形式，再结合不等式性质及基本不等式可得，从而可得b、a、的大小关系，从而得到答案． 【详解】令， ∵， ∴在单调递减． 由， ∴， 又， 所以， 又在单调递减， ∴， 故选：BC． 第Ⅱ卷 （非选择题 共92分） 二.填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案填在答题卡相应位置上. 12. 已知 的二项展开式中的第 4 项为常数项，则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得二项展开式的通项，结合展开式中的第 4 项为常数项，进而求得的值. 【详解】由二项式的展开式的通项为， 可得展开式的第4项为， 因为二项展开式的第4项为常数项，所以，解得. 故答案为：. 13. 已知为数列的前项和，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用与的关系先判断数列是从第2项开始，是首项为3，公比为2的等比数列，进而利用等比数列的前项公式求解即可；还有直接把用表示出来，利用等比数列的概念求解即可. 【详解】解法1：因为，所以当时，； 当时，，所以，得， 所以数列从第2项开始，是首项为3，公比为2的等比数列． 所以当时，； 当时，，满足上式，所以． 解法2：由，得，又， 所以是首项为3，公比为2的等比数列，得， 显然也符合，所以. 故答案为： 14. 已知实数a，b，，设，，这三个数的最大值为，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先把化成，再利用基本不等式求其最小值，即可得到的最小值. 【详解】由题意可得，，， 即有， 由， 可得，当且仅当，即时，取得最小值； 同理可得在时，取得最小值； 在时，取得最小值. 则，即.可得M的最小值为. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可； （2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，则得到； （3）法一：根据大边对大角确定为锐角，则得到，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可. 【小问1详解】 设，，则根据余弦定理得， 即，解得（负舍）； 则. 【小问2详解】 法一：因为为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， 法二：由余弦定理得， 因为，则 【小问3详解】 法一：因为，且，所以， 由（2）法一知， 因为，则，所以， 则， . 法二：， 则， 因为为三角形内角，所以， 所以 16. 已知函数，． （1）证明：直线与曲线，均相切； （2）从下面①②两个函数中任选一个，记为，使得有最大值，并求的最大值． ①；②． 【答案】（1）证明：，由得，且， 所以在处的切线方程为． 又，由得，且， 所以在处的切线方程为． 所以直线与曲线均相切． （2）①无最大值；②最大值为. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，证明直线与曲线，均相切. （2）求导，分析函数的单调性，求函数的最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若选择条件①： ，注意到时，，所以无最大值，不符合题意； 若选择条件②： ，则， 令，得；令，得或， 所以在，单调递减，在单调递增． 所以的极大值为． 又当时，，所以， 所以是的最大值． 17. 已知函数为数列的前项和. （1）求的通项公式； （2）记数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2） 证：，， ， 又， ， ， ， ， 故. 【解析】 【分析】（1）利用，可求出的通项公式，注意检验是否满足即可得解； （2）由导数得，利用不等式放缩的原理得到，得到答案. 【小问1详解】 由题意知，的前项和， 当时，， 当时，， 经检验，满足， 的通项公式为； 【小问2详解】 略 18. 已知函数． （1）求在上的最值； （2）求的单调递减区间； （3）若，对成立，求a的取值范围． 【答案】（1）最大值为43，最小值为3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数正负确定单调性，利用单调性确定最值即可； （2）利用导数直接求单调区间即可； （3）先由双变量问题转化为最值问题，再对变量分情况讨论，利用参变分离，结合对勾函数单调性确定最值，得到参数范围即可． 【小问1详解】 ，， 令，解得或， 所以当时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，，单调递增； 所以， 又， 所以在上的最大值为43，最小值为3． 【小问2详解】 函数定义域为， ， 令，解得， 所以的单调递减区间为． 【小问3详解】 因为， 所以， 由（1）知时，， 即时，， 即， 当时，令， 则，即恒成立， 又在上单调递减， 所以； 当时，恒成立，此时， 当时，令， 则，即恒成立， 又，当且仅当时取等， 所以； 又，综上，． 19. 在数字通信中，信号是由0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为和（）；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为和（）．假设发送信号0和1是等可能的． （1）若，现发送信号3次，记其中接收为正确信号的次数为，求的数学期望和方差； （2）随机变量的分布列为，记事件（）发生后给我们的信息量为，则称（）为的信息熵．设发送信号1次，接收为正确信号的次数为，求的信息熵的最大值； （3）若，发送信号次，设为出现0的总次数，为第次出现1的次数（0或1次），记表示发送信号次，0恰好出现次且第次出现1的次数为的概率，如时，．对于随机变量，记其合并熵为，且．证明：当时，． 【答案】（1）， （2） （3）证明：当时，第次出现0，前次中有次出现0， 所以， 所以 ． 当时，第次出现1，前次中有次出现0， 所以， 所以， 所以 ． 因为， 所以 所以． 【解析】 【分析】（1）发送信号为事件（），接收为正确信号为事件，运用全概率公式计算，然后根据二项分布期望，方差公式计算即可； （2）先求出发送信号1次，接收为正确信号的次数的分布列，再得到，令，记，，借助导数得到单调性，进而得到最值即可； （3）先求出和，再得到，结合对数性质和组合性质计算证明即可. 【小问1详解】 当发送信号1次时，记发送信号为事件（），接收为正确信号为事件， 则，，，， 所以． 因为，所以． 由题意知， 所以． 【小问2详解】 发送信号1次，接收为正确信号的次数的分布列为 0 1 所以， 令，记，， 所以， 由，解得， 所以当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增， 所以当时，取得最小值， 又，所以此时取得最大值， 且最大值为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 威远中学2026届高三上期期中考试 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷 （选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3. 已知，则等于（   ） A. B. C. D. 4. 函数的最小正周期和最大值分别为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 定义在R上的奇函数，满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题（本题共3个小题，每题6分，有多个选项，共18分） 9. 下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（ ） A. 样本的标准差 B. 样本的中位数 C. 样本的极差 D. 样本的平均数 10. 已知为坐标原点，点，，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 （非选择题 共92分） 二.填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案填在答题卡相应位置上. 12. 已知 的二项展开式中的第 4 项为常数项，则 _____. 13. 已知为数列的前项和，若，则______． 14. 已知实数a，b，，设，，这三个数的最大值为，则的最小值为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 16. 已知函数，． （1）证明：直线与曲线，均相切； （2）从下面①②两个函数中任选一个，记为，使得有最大值，并求的最大值． ①；②． 17. 已知函数为数列的前项和. （1）求的通项公式； （2）记数列的前项和为，证明：. 18. 已知函数． （1）求在上的最值； （2）求的单调递减区间； （3）若，对成立，求a的取值范围． 19. 在数字通信中，信号是由0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为和（）；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为和（）．假设发送信号0和1是等可能的． （1）若，现发送信号3次，记其中接收为正确信号的次数为，求的数学期望和方差； （2）随机变量的分布列为，记事件（）发生后给我们的信息量为，则称（）为的信息熵．设发送信号1次，接收为正确信号的次数为，求的信息熵的最大值； （3）若，发送信号次，设为出现0的总次数，为第次出现1的次数（0或1次），记表示发送信号次，0恰好出现次且第次出现1的次数为的概率，如时，．对于随机变量，记其合并熵为，且．证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $