第四章 整式的加减单元复习（全章知识点总结+15种题型举一反三）2025-2026学年人教版数学七年级上册专题复习

第四章 整式的加减全章复习 第1部分 全章知识点、重难点与易错点总结 一、核心知识点梳理 （一）整式的相关概念 1.单项式 定义：由数或字母的积组成的式子，单独的一个数或一个字母也是单项式（如、）。 系数：单项式中的数字因数（包含前面的符号，如的系数是；的系数是，是常数）。 次数：单项式中所有字母指数的和（如的次数是；单独非零常数的次数是）。 2.多项式 定义：几个单项式的和（如）。 项：组成多项式的每个单项式（包含前面的符号，如的项是、、）。 常数项：多项式中不含字母的项（如的常数项是）。 次数：多项式中次数最高项的次数（如的最高次项是，次数为，故多项式是四次三项式）。 3.整式 定义：单项式和多项式统称为整式（分母中含字母的式子不是整式，如、）。 （二）同类项与合并同类项 1.同类项 定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项（常数项都是同类项，如和）。 特征：“两相同，两无关”——字母相同、相同字母指数相同；与系数无关、与字母排列顺序无关（如和是同类项）。 2.合并同类项 定义：把多项式中的同类项合并成一项。 法则：系数相加，字母及字母的指数保持不变（如）。 （三）去括号与添括号 1.去括号法则 括号前是“”：去掉括号和“”，括号内各项符号不变（如）。 括号前是“”：去掉括号和“”，括号内各项符号都变（如）。 2.添括号法则 括号前加“”：括号内各项符号不变（如）。 括号前加“”：括号内各项符号都变（如）。 （四）整式的加减运算 1.核心实质：去括号和合并同类项的综合运用。 2.步骤： ①用括号括起每个整式，用“”“”连接； ②去括号（按去括号法则）； ③合并同类项（直到无同类项）。 （五）整式的化简求值 1.步骤：先化简（去括号、合并同类项），再代入求值（代入数值时注意符号）。 2.整体思想：将含字母的式子视为一个整体代入（如已知，求，直接代入）。 （六）整式加减的实际应用与规律探究 1.实际应用：用整式表示几何图形的边长、面积、周长，或经济问题中的费用、利润等，再通过整式加减计算。 2.规律探究： 数字类：分析单项式系数、指数的变化规律（如、、…系数为，指数为）。 图形类：统计图形中元素（如小正方形、圆）的数量变化，用含的整式表示第个图形的数量。 二、重难点突破 （一）重点突破 1.同类项的判断与合并 判断关键：严格核对“字母相同”和“相同字母指数相同”，避免忽略指数（如和不是同类项）。 合并技巧：先标记同类项，再按“系数相加，字母不变”计算，常数项单独合并。 2.去括号法则的应用 多重括号：从内到外或从外到内去括号，每步只处理一层括号，避免漏变号（如）。 括号前有系数：先将系数乘括号内每一项，再去括号（如）。 3.整式的化简求值 化简优先：必须先去括号、合并同类项，再代入数值，避免直接代入导致计算复杂（如化简后再代入、)。 (二)难点突破 1.多项式系数与指数中字母的求值 关键：根据“多项式的次数”“项数”列方程，注意“最高次项系数不为0”(如多项式是二次三项式，则，即)。 2.整式加减中“不含某项”“与某项无关”问题 核心：合并同类项后，令“不含的项”或“无关字母的项”的系数为0(如不含项，则，即)。 3.规律探究题 方法：列出前3-5项的具体形式，分析系数(符号、绝对值)、字母指数、图形数量的变化规律，用含的整式表示，再验证规律是否成立。 三、高频易错点警示 1.单项式系数与次数判断错误 易错点：忽略系数符号(如的系数是不是)；混淆的属性(是常数，不是字母，如的次数是)；漏算字母指数(如的次数是不是)。 避免方法：系数包含符号，视为常数，次数是所有字母指数和。 2.多项式次数与项的判断错误 易错点：误将所有项的次数相加(如的次数是不是)；忽略项的符号(如的项是、、，不是、、)。 避免方法：多项式次数是“最高次项的次数”，项包含前面的符号。 3.去括号时符号处理错误 易错点：括号前是“”，只变第一项符号(如，不是)；漏乘系数(如，不是)。 避免方法：括号前是“”，括号内每一项都变号；系数乘括号内所有项。 4.同类项判断错误 易错点：只看字母不看指数(如和不是同类项)；看字母排列顺序(如和是同类项)。 避免方法：严格按“字母相同、相同字母指数相同”判断，与顺序、系数无关。 5.化简求值时未先化简 易错点：直接代入数值计算，导致步骤繁琐且易出错(如求在、的值，未化简直接代入)。 避免方法：必须先去括号、合并同类项，再代入求值。 第2部分 常考题型分析及题型举一反三 【题型1】单项式的识别与系数、次数计算 1.核心知识点总结 单项式定义：数或字母的积，单独的数/字母也是单项式； 系数：数字因数(含符号，是常数)； 次数：所有字母指数的和(非零常数次数为0)。 2.高频考点梳理 识别单项式(区分整式与非整式，如不是单项式)； 计算单项式的系数和次数(如求的系数和次数)。 3.易错点警示 忽略系数符号(如的系数是不是)； 误将视为字母(如的次数是不是)。 4.解题技巧拆解 识别：看式子是否含加减运算、分母是否含字母，不含则可能是单项式； 计算：系数直接找数字部分(含符号)，次数相加所有字母指数。 【例题1】．（2024-2025•青浦区二模）代数式4ab2的次数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式题1-1】．（2024-2025•宜兴市期末）下列关于单项式的说法正确的是（　　） A．系数是，次数是4 B．系数是，次数是3 C．系数是﹣5，次数是4 D．系数是﹣5，次数是3 【变式题1-2】．（2024-2025•蓬溪县校级期末）体育课上我们经常练习垫排球，只要测量出排球的半径r，就可以根据公式求出排球的体积，整式的系数和次数分别为（　　） A． B． C．4π，3 D． 【变式题1-3】．（2024-2025•淮滨县期末）写出一个含有字母a、b，系数为﹣1，次数为4的单项式 　 　 ． 【题型2】多项式的识别与项、次数计算 1.核心知识点总结 多项式定义：几个单项式的和； 项：含符号的单项式(常数项是不含字母的项)； 次数：最高次项的次数(多项式按“次数+项数”命名，如三次二项式)。 2.高频考点梳理 识别多项式(区分单项式与多项式，如是多项式)； 确定多项式的项、常数项、次数(如求的项和次数)。 3.易错点警示 漏写项的符号(如的项是、、，不是、、)； 误算多项式次数(如的次数是不是)。 4.解题技巧拆解 识别：式子含加减运算，且分母不含字母，则是多项式； 计算：先列出所有项(含符号)，再找次数最高的项，确定多项式次数。 【例题2】．（2024-2025•浏阳市期末）下列说法中，正确的是（　　） A．的系数是 B．mn2+2mn﹣1是二次三项式 C．﹣2ab2的次数是2 D．多项式mn2+2mn﹣1的项分别是：mn2、2mn、﹣1 【变式题2-1】．（2024-2025•河口区期末）下列说法中，正确的是（　　） A．单项式﹣3a2bc的次数是2 B．代数式2ab﹣ab2+3c﹣1是三次四项式 C．单项式abc的系数是，次数是1 D．﹣2不是单项式 【变式题2-2】．（2025秋•南岗区校级月考）若代数式是五次二项式，则a的值为　 　 ． 【变式题2-3】．（2024-2025•新野县期末）若多项式3xmy2+（n+3）x2y+2x+1是关于x、y的四次三项式，则nm的值为 　 　 ． 【题型3】整式的判断 1.核心知识点总结 整式定义：单项式和多项式的统称； 非整式：分母中含字母的式子(如、)。 2.高频考点梳理 区分整式与非整式(如判断、、是否为整式)； 分类整式为单项式和多项式(如将、、分类)。 3.易错点警示 误将分母含字母的式子归为整式(如是整式，不是)； 忽略单独的数是单项式(也是整式，如、)。 4.解题技巧拆解 第一步：判断分母是否含字母，含则非整式； 第二步：不含字母时，看是否含加减运算，含则是多项式，不含则是单项式。 【例题3】．（2024-2025•博兴县期末）在代数式中，整式的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式题3-1】．（2024-2025•雁塔区校级期末）下列各式不是整式的是（　　） A．2m B． C．2﹣m D．m2 【变式题3-2】．（2024-2025•忻州期末）在代数式①；②；③0.25m2n4；④2021；⑤1；⑥中整式的个数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式题3-3】．（2024-2025•赛罕区校级期中）在代数式2x2y，﹣5b2，，0.5x2y2，（m+n）2，6y+9中，其中是整式的是 　 　 ． 【题型4】同类项的判断 1.核心知识点总结 同类项“两相同”：所含字母相同、相同字母的指数相同； “两无关”：与系数无关、与字母排列顺序无关； 常数项都是同类项。 2.高频考点梳理 直接判断同类项(如判断与、与是否为同类项)； 结合同类项定义补充条件(如与是同类项，求的取值)。 3.易错点警示 只看字母不看指数(如与不是同类项)； 受字母排列顺序影响(如与是同类项)。 4.解题技巧拆解 第一步：核对两个式子的字母是否完全相同； 第二步：核对相同字母的指数是否完全相同，两者都满足则是同类项。 【例题4】．（2024-2025•平城区期末）下列单项式中，与ab3是同类项的是（　　） A．﹣ab3c B．2a2b3 C．3ab3 D．a3b 【变式题4-1】．（2024-2025•东区期末）下列各组是同类项的是（　　） A．a3与a2 B．与2a2 C．2xy与2y D．3与a 【变式题4-2】．（2024-2025•娄底校级期末）写出代数式3xy2的一个同类项：　 　 ． 【变式题4-2】．（2024-2025•古蔺县期末）下列各组中的两项不属于同类项的是（　　） A．3m2n3和﹣m2n3 B．a3和x3 C．﹣1 和π D．和25yx 【题型5】合并同类项 1.核心知识点总结 合并法则：系数相加，字母及字母的指数不变； 步骤：标记同类项→移同类项→合并系数→整理结果。 2.高频考点梳理 直接合并同类项(如合并)； 合并含多项的同类项(如合并)。 3.易错点警示 合并时改变字母或指数(如，不是)； 漏合并同类项(如漏合并，结果应为)。 4.解题技巧拆解 标记：用不同符号标记不同类的同类项(如波浪线标项，横线标项)； 合并：系数相加(注意符号)，字母和指数照抄，无同类项的项直接保留。 【例题5】．（2024-2025•安溪县期末）下列合并同类项的结果正确的是（　　） A．2a2+3a2＝6a2 B．2a2+3a2＝5a2 C．2xy﹣xy＝1 D．2x2+3x2＝5x4 【变式题5-1】．（2024-2025•梅河口市校级期中）把2x2﹣5x+x2+4x+3x2合并同类项后，所得的多项式是（　　） A．二次二项式 B．二次三项式 C．一次二项式 D．三次二项式 【变式题5-2】．（2024-2025•皮山县月考）合并同类项： （1）2ab﹣3ab+5ab； （2）﹣3a2+2ab﹣4ab+2a2． 【变式题5-3】．（2024-2025•江阳区校级月考）合并下列同类项： （1）4a2﹣3b2+2ab﹣4a2﹣3b2+5ba； （2）5xy+3y2﹣3x2﹣xy+4xy+2x2﹣x2+3y2． 【题型6】去（添）括号运算 1.核心知识点总结 括号前是“”：去括号后各项符号不变； 括号前是“”：去括号后各项符号都变； 括号前有系数：先乘括号内每一项，再去括号。 2.高频考点梳理 直接去括号(如去括号、)； 去多重括号(如去括号)； 括号前有系数的去括号(如去括号)。 3.易错点警示 括号前是“”，只变部分项符号(如，不是)； 漏乘系数(如，不是)。 4.解题技巧拆解 单层括号：按“正不变负变”直接去括号； 多重括号：从内到外去，每步只处理一层； 有系数：系数乘括号内所有项，再按符号规则去括号。 【例题6】．（2024-2025•云梦县期末）将（5x+2）﹣2（2x﹣1）去括号正确的是（　　） A．5x+2﹣2x+1 B．5x+2﹣4x+1 C．5x+2﹣4x+2 D．5x+2﹣4x﹣2 【变式题6-1】．（2024-2025•潍坊期末）添括号：﹣3x2+6x+2＝﹣3（ 　 　 ）+2． 【变式题6-2】．（2024-2025•雨城区校级期中）去括号，并合并同类项： （1）（3a+1.5b）﹣（7a﹣2b） （2）（8xy﹣x2+y2）﹣4（x2﹣y2+2xy﹣3） 【变式题6-3】．（2024-2025•锡林郭勒盟开学）在多项式﹣a﹣b﹣c+d+e（其中a＞b＞0＞c＞d＞e）中，对相邻的两个字母间添加绝对值符号，对相邻的两个或者三个字母间添加括号，每一次操作必须同时添加一个绝对值符号和一个括号，且添加绝对值符号和添加括号时不能有相同字母，然后进行去绝对值和去括号运算，称此为“双添操作”．例如：﹣|a﹣b|﹣（c+d）+e＝﹣a+b﹣c﹣d+e，﹣（a﹣b﹣c）+|d+e|＝﹣a+b+c﹣d﹣e，•••． 下列说法： ①不存在“双添操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②存在“双添操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有的“双添操作”共有6种不同运算结果． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型7】整式的加减运算 1.核心知识点总结 整式加减实质：去括号+合并同类项； 步骤：括整式→去括号→合并同类项→整理最简结果。 2.高频考点梳理 单项式与单项式的加减(如计算)； 单项式与多项式的加减(如计算)； 多项式与多项式的加减(如计算)。 3.易错点警示 去括号时符号错误(如，不是)； 合并同类项不彻底(如未合并为)。 4.解题技巧拆解 第一步：用括号括起每个整式(如写成)； 第二步：按去括号法则去括号； 第三步：合并同类项，直到无同类项，按某字母降幂/升幂排列(可选)。 【例题7】．（2024-2025•商南县期末）计算： （1）﹣22+|4﹣8|+24÷（﹣3）； （2）5a2﹣[a2+（5a2﹣2a）﹣2（a2﹣3a）]． 【变式题7-1】．（2025秋•江岸区校级月考）（1）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|a|+|a+b|﹣|c﹣b|； （2）已知|x﹣3|+|y+5|＝0，求|x+y|的值． 【变式题7-2】．（2024-2025•南郑区期末）在整式的加减练习课中，已知A＝3a2b﹣2ab2，嘉淇错将“2A﹣B”看成“2A+B”，得到的结果是4a2b﹣3ab2． （1）求整式B； （2）求2A﹣B的正确结果． 【变式题7-3】．（2024-2025•克州期末）阅读下列材料，我们知道，5x+3x﹣4x＝（5+3﹣4）x＝4x，类似的，我们把（a+b）看成一个整体，则5（a+b）+3（a+b）﹣4（a+b）＝（5+3﹣4）（a+b）＝4（a+b），“整体思想“是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，尝试应用； （1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并2（a﹣b）2+6（a﹣b）2﹣3（a﹣b）2的结果 　 　 ． （2）已知m+n＝15，3a﹣2b＝11，求2m+6a﹣（4b﹣2n）的值． （3）拓展探索：已知a﹣3b＝4，3b﹣c＝﹣3，c﹣d＝11，求（a﹣c）+（3b﹣d）﹣（3b﹣c）的值． 【题型8】利用单项式/多项式的次数与系数求值(提升) 1.核心知识点总结 单项式次数：所有字母指数和，系数不为0(除非是0单项式)； 多项式次数：最高次项的次数，最高次项系数不为0； 列方程求解：根据“次数”“项数”条件列方程，求字母的值。 2.高频考点梳理 单项式：已知是五次单项式，求； 多项式：已知是二次三项式，求； 综合：已知多项式是二次三项式，求。 3.易错点警示 忽略“最高次项系数不为0”(如多项式是二次三项式，三次项系数必须为0)； 漏算字母指数(如是三次单项式，，，不是)。 4.解题技巧拆解 单项式：根据“次数=字母指数和”列方程，系数若含字母，需注意系数不为0(除非题目允许0单项式)； 多项式：先确定最高次项，令“最高次项次数=指定次数”，且“最高次项系数≠0”，列方程求解。 【例题8】．（2024-2025•汕头期末）已知多项式x|m|+（m﹣2）x﹣10是二次三项式，m为常数，则m的值为（　　） A．±2 B．﹣2 C．±3 D．3 【变式题8-1】．（2024-2025•兴平市期末）若单项式xmy3与﹣4xyn+5的和仍是单项式，则m+n的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．﹣2 【变式题8-2】．（2024-2025•高唐县期末）若代数式5x|m|+4x2﹣2xy是三次多项式，单项式3x4+myn与该多项式的次数相同，则m+n的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2 【变式题8-3】．（2024-2025•武城县期末）若5xn﹣（m﹣1）x+3为关于x的三次二项式，则m﹣n的值为　 　 ． 【题型9】整式加减中“不含某项”问题(提升) 1.核心知识点总结 “不含某项”含义：合并同类项后，该项的系数为0； 步骤：去括号→合并同类项→令不含项的系数=0→求字母的值。 2.高频考点梳理 不含一次项：如多项式不含项，求； 不含二次项：如计算(，)，结果不含项，求； 不含多项：如多项式不含二次项和一次项，求。 3.易错点警示 合并同类项不彻底，误将非同类项当作同类项合并； 令系数为0时符号错误(如，解得，不是)。 4.解题技巧拆解 第一步：彻底去括号、合并同类项，整理成“按某字母降幂排列”的形式； 第二步：找到“不含的项”，令其系数等于0，列方程求解； 第三步：验证结果(代入字母值，检查该项是否确实为0)。 【例题9】．（2024-2025•成都期末）已知关于x的整式A，B，其中A＝3x2+（a﹣1）x+1，B＝bx2+3x+2a﹣1． （1）当2B﹣A中不含x的二次项和一次项时，求a﹣b的值； （2）当b＝3，a为正整数时，A＝B﹣2a+8，求此时使x为正整数的a的值． 【变式题9-1】．（2024-2025•荆州区期末）小明在准备化简代数式3（4x2+6xy）﹣■（x2+3xy﹣2）时一不小心将墨水滴在了作业本上，使得（x2+3xy﹣2）前面的系数看不清了，于是小明就打电话询问李老师，李老师为了测试小明对知识的掌握程度，于是对小明说：“该题标准答案的结果不含有y．”请你通过李老师的话语，帮小明解决如下问题： （1）■的值为 　 　 ； （2）求出该题的标准答案． 【变式题9-2】．（2024-2025•凉州区期末）已知关于x的多项式A，B，其中A＝mx2+2x﹣1，B＝x2﹣nx+2（m，n为有理数）． （1）化简2B﹣A，当m＝1，n＝2，x＝1时，并求值； （2）若2B﹣A的结果不含x项和x2项，求m、n的值． 【变式题9-3】．（2024-2025•惠城区校级开学）（1）已知A＝﹣x+2y﹣4xy，B＝﹣3x﹣y+xy．当，xy＝﹣1时，求2A﹣3B的值． （2）是否存在数m，使化简关于x，y的多项式（mx2﹣x2+3x+1）﹣（5x2﹣4y2+3x）的结果中不含x2项？若不存在，说明理由；若存在，求出m的值． 【题型10】整式加减中“与某项无关”问题(提升) 1.核心知识点总结 “与某项无关”含义：合并同类项后，该字母所有项的系数和为0； 本质：与“不含某项”一致，针对“某字母的所有项”(如与无关，即所有含的项系数为0)。 2.高频考点梳理 与字母无关：如代数式与无关，求； 与字母、无关：如(，)与、无关，求、。 3.易错点警示 漏合并某类含该字母的项(如与无关，需令所有含的一次项、二次项系数均为0)； 混淆“与某项无关”和“不含某项”(前者是某字母的所有项，后者是单一某一项)。 4.解题技巧拆解 第一步：去括号、合并同类项，将式子整理为“含目标字母的项+不含目标字母的项”； 第二步：令“含目标字母的所有项的系数和=0”，列方程求解； 第三步：代入验证(代入字母值，检查式子是否确实与目标字母无关)。 【例题10】．（2024-2025•兴化市期中）小明同学在整理错题本时发现一道题： “试说明代数式4（a+3）2﹣7（a+3）（a﹣3）+3（）2的取值与a无关”． 由于时间久远题干部分内容及答案已经缺失，请你从3个选项：①a﹣1；②a﹣2；③a﹣4中选择一项填入缺失部分，使得代数式的取值与a无关，并帮助他完成作答． （1）缺失部分为 　 　 （填序号）； （2）试说明上述代数式的值与a无关． 【变式题10-1】．（2024-2025•七星关区期末）根据对话内容，解决下列问题： （1）求a+b+c的值； （2）若|m﹣a|+（n+b）2＝0，比较mn与c的大小关系； （3）关于x，y的多项式A＝a2xy﹣by2+cx2，B＝axy﹣by2+c，请判断A﹣B的结果是否与y的值无关，并说明理由． 【变式题1-2】．（2024-2025•莒县期末）【阅读理解】 已知A＝（a﹣4）x﹣1；若A值与字母x的取值无关，则a﹣4＝0，解得a＝4． 所以当a＝4时，A值与字母x的取值无关． 【知识应用】 已知A＝mx﹣x，B＝mx﹣3x+5m． （1）用含m，x的式子表示4A﹣B； （2）若4A﹣B的值与字母m的取值无关，则x的值为 　 　 ． 【知识拓展】 （3）春节快到了，某超市计划购进甲、乙两种羽绒服共30件进行销售，甲种羽绒服每件进价700元，每件售价1020元；乙种羽绒服每件进价500元，每件售价800元，购进羽绒服后，该超市决定：每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金a元，乙种羽绒服售价不变．设购进甲种羽绒服x件，当销售完这30件羽绒服的利润与x的取值无关时，请求出此时的利润． 【变式题10-3】．（2024-2025•牡丹江期末）A、B为数轴上的两个点，点A对应的数记为a，点B对应的数记为b，且8xyb﹣10+（a+8）xy﹣1是关于x、y的三次二项式．解答下列问题： （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）若数轴上有一点C，且3AC＝BC，求点C对应的数； （3）若点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，点M的速度为m个单位长度每秒，点N的速度是3个单位长度每秒，点P、Q分别为线段AM、线段BN的中点．设运动时间为t秒，在点M，N的运动过程中，若PQ+MN的长度与t的取值无关，求m的值及PQ+MN的长度． 【题型11】整式的化简求值(含整体思想)(提升) 1.核心知识点总结 化简求值步骤：先化简(去括号、合并同类项)，再代入求值； 整体思想：将含字母的式子(如、)视为一个整体代入，避免求单个字母的值。 2.高频考点梳理 直接代入：如化简，再代入、； 整体代入：如已知，求(整理为，代入)； 条件隐含：如已知，求(利用非负性求、)。 3.易错点警示 未化简直接代入，计算繁琐且易出错； 整体代入时符号错误(如，则，不是)； 代入负数时未加括号(如，，不是)。 4.解题技巧拆解 化简：彻底去括号、合并同类项，确保式子最简； 代入： ①直接代入：将字母值代入最简式，注意负数、分数加括号； ②整体代入：先将所求式子整理为含已知整体的形式，再代入整体值； 验证：计算后反向检查(如代入、，先算原式，再算化简式，对比结果)。 【例题11】．（2024-2025•沅江市期末）先化简，再求值：2a2b﹣[2ab2+2（a2b﹣2ab2）]，其中，b＝﹣1． 【变式题11-1】．（2024-2025•城关区校级期末）先化简，再求值：2（a2﹣3ab）﹣4（﹣a2+ab+b2），其中a＝2，b＝1． 【变式题11-2】．（2024-2025•临邑县期末）阅读材料：数学课上，老师展示了一位同学的作业如下： 已知多项式A＝4ab﹣5+b2，B＝b2﹣ab，化简：A﹣2B． 下面是这位同学的解题过程： 解：A﹣2B＝（4ab﹣5+b2）﹣2（b2﹣ab）…第一步 ＝4ab﹣5+b2﹣2b2﹣2ab…第二步 ＝﹣b2+2ab﹣5．…第三步 请回答下列问题： （1）这位同学从第 　 　 步开始出现错误，错误的原因是 　 　 ； （2）请正确化简A﹣2B，并求当a＝3，b＝2时，A﹣2B的值． 【变式题11-3】．（2024-2025•内黄县期末）“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 【教材呈现】如图是人教版七年级上册数学教材的部分内容． 把（a+b）和（x+y）各看成一个整体，对下列各式进行化简： （1）4（a+b）+2（a+b）﹣（a+b）； （2）3（x+y）2﹣7（x+y）+8（x+y）2+6（x+y）． （1）【问题解决】对上面方框中（2）的式子进行化简，写出化简过程： （2）【简单应用】 ①已知m2+2m＝5，则2m2+4m﹣9＝ 　 　 ； ②已知m+n＝7，求9（m+n）﹣6m﹣6n+3的值； （3）【拓展提高】 已知m2+3mn＝2，mn+3n2＝1，求整式的值． 【题型12】整式加减的实际应用(几何、经济)(培优) 1.核心知识点总结 几何应用：用整式表示边长、周长、面积(如长方形周长，圆面积)，再通过整式加减计算差值、和值； 经济应用：用整式表示单价、数量、总价(如总价=单价×数量)，再计算费用、利润、优惠后的价格。 2.高频考点梳理 几何类：如长方形长为，宽为，求周长；两个长方形面积分别为和，求面积差； 经济类：如某商品单价为元，买件打8折，求总价；甲、乙两种收费方案，用整式表示费用，比较优劣。 3.易错点警示 几何公式记忆错误(如长方形周长是，不是；圆周长是，不是)； 经济问题中优惠规则理解错误(如“满500减100”，不是所有金额都减100)； 单位不统一(如长度单位是米，面积单位是平方米，避免混淆)。 4.解题技巧拆解 几何应用： 明确图形类型，回忆对应公式(如正方形面积=边长^2，梯形面积=)； ②用整式表示未知边长/半径，代入公式得面积/周长的整式； ③按题意进行整式加减(如求面积和、周长差)； 经济应用： ①分析题目中的“单价、数量、优惠规则”，用整式表示总费用； ②按题意计算(如比较两种方案的费用，求差值)； 验证：结果需符合实际意义(如长度、面积为正数，费用为正数)。 【例题12】．（2024-2025•城阳区期末）某中学要建一长方形劳动基地，其中一面靠墙（足够长），其它三面用篱笆围起，已知长方形基地的长为（3a+4b）米，宽比长少（2a+b）米． （1）用a，b表示长方形劳动基地的宽． （2）求篱笆的总长度． （3）若a＝40，b＝20，篱笆单价为每米2元，求买篱笆所需的费用． 【变式题12-1】．（2024-2025•武汉校级期末）如图，公园有一块长为（2a﹣1）米，宽为a米的长方形土地（一边靠着墙），现将三面留出宽都是b米的小路，余下部分设计成花圃ABCD，并用篱笆把花圃不靠墙的三边围起来． （1）花圃的宽AB为 　 　 米，花圃的长BC为 　 　 米；（用含a，b的式子表示） （2）求篱笆的总长度；（用含a，b的式子表示） （3）若a＝30，b＝5，篱笆的单价为60元/米，请计算篱笆的总价． 【变式题12-2】．（2024-2025•惠来县期末）现有一种新型网约车是一种全无人自动驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．某城市的新型网约车的计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 1元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程15公里以内（含15公里）不收远途费，超过15公里的，超出部分每公里加收1元．） （1）若小东乘坐新型网约车，行车里程为20公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？ （2）若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟（a，b为整数），请分别计算当0＜a≤15和当a＞15时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简） （3）小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差多少分钟？ 【变式题12-3】．（2024-2025•罗庄区期末）随着智能手机的普及，网购已经成为人们的一种生活方式，快递业也随之发展壮大．某快递公司每件普通物品的收费标准如下表： 寄往市内 寄往市外 首重 续重 首重 续重 10元/千克 3元/千克 12元/千克 8元/千克 说明： ①每件快递按送达地（市内，市外）分别计算运费． ②运费计算方式：首重价格+续重×续重运费．首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以0.5千克为计重单位（不足0.5千克按0.5千克计算） 例如：寄往市内一件1.8千克的物品，运费总额为：10+3×（0.5+0.5）＝13元．寄往市外一件3.4千克的物品，运费总额为：12+8×（2+0.5）＝32元． （1）小华同时寄往市内一件3千克的物品和市外一件3.9千克的物品，各需付运费多少元？ （2）小彤同时寄往市内和市外同一件b千克的物品，已知b超过2，且b的整数部分是m，小数部分小于0.5，请用含字母的代数式表示市外与市内这两笔运费的差． 【题型13】数字类规律探究(培优) 1.核心知识点总结 规律分析：从系数(符号、绝对值)、字母指数两方面找变化规律； 表达形式：用含(正整数)的整式表示第项，验证规律是否成立(时是否符合)。 2.高频考点梳理 系数符号交替：如、、、…第项为； 系数绝对值成倍数：如、、、…第项为； 常数项规律：如、、、…第项为。 3.易错点警示 忽略系数符号的变化规律(如正负交替未用或表示)； 指数规律与项数不匹配(如第项的指数不是，而是，未验证前几项)； 系数绝对值规律错误(如、、、…系数是，不是)。 4.解题技巧拆解 第一步：列出前3-5项，分别写出“系数(符号+绝对值)”和“字母指数”； 第二步：分析系数符号(如正负交替用)、绝对值(如成倍数用、成等差用)； 第三步：分析字母指数(如第项指数为或)； 第四步：组合系数和字母，写出第项的整式，代入验证。 【例题13】．（2024-2025•睢县期末）观察下列板式： 22﹣12＝2+1＝3；32﹣22＝3+2＝5； 42﹣32＝4+3＝7；52﹣42＝5+4＝9；62﹣52＝6+5＝11；… 若字母n表示自然数，请把你观察到的规律用含n的式子表示出来：　 　 ． 【变式题13-1】．（2024-2025•昭阳区月考）观察这一系列单项式的特点：，…那么第8个单项式为（　　） A． B． C． D． 【变式题13-2】．（2024-2025•昆明模拟）观察下列单项式：﹣2a，4a2，﹣6a3，8a4，﹣10a5，⋯，则第n个单项式是（　　） A．（﹣1）nna2 B．2nan C．nan D．（﹣1）n2nan 【变式题13-3】．（2024-2025•明水县期末）下面是按一定规律排列的代数式：a2，3a4，5a6，7a8，…则第8个代数式是　 　 ． 【题型14】图形类规律探究(培优) 1.核心知识点总结 规律分析：统计前3-5个图形中元素(如小正方形、圆、火柴棒)的数量，找数量与图形序号的关系； 表达形式：用含的整式表示第个图形的元素数量，验证规律。 2.高频考点梳理 火柴棒摆正方形：如第1个图形用4根，第2个用7根，第3个用10根…第个用根； 小正方形拼接：如第1个图形有1个小正方形，第2个有4个，第3个有9个…第个有个； 图形叠加：如第1个图形有3个圆，第2个有6个，第3个有9个…第个有个。 3.易错点警示 统计数量时漏数或多数(如第2个图形的火柴棒数量，误算为8根，实际为7根)； 规律归纳错误(如数量差为3，却归纳为，未验证时是否符合)； 混淆“图形序号”与“数量”的关系(如第个图形的数量是，不是)。 4.解题技巧拆解 第一步：按顺序画出前3-5个图形，准确统计每个图形的元素数量，列出表格(序号：1,2,3,4,5；数量：)； 第二步：分析数量差(如、)，判断是等差(差不变)还是等比(倍数不变)； 第三步：根据差的规律，设含的整式(如等差设，等比设)，代入前两项求系数； 第四步：用第3、4项验证整式是否正确，确定规律。 【例题14】．（2024-2025•讷河市期末）为庆祝“六•一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示： 按照上面的规律，摆n个“金鱼”需用火柴棒的根数为（　　） A．2+6n B．8+6n C．4+4n D．8n 【变式题14-1】．（2024-2025•商河县期末）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图中所贴剪纸“〇”的个数为（　　） A．3n B．3n+1 C．3n+2 D．3n+3 【变式题14-2】．（2024-2025•越秀区校级月考）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是一个个六角形房室．观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，若第n个图案中“”的个数是49，则n的值为（　　） A．15 B．16 C．17 D．18第二部分 非选择题（共90分） 【变式题14-3】．（2024-2025•北京校级开学）如图，摆放的正方体的大小均相等，现在把露在外面的表面涂成红色．从上向下数每层正方体露在外面的小正方形的个数分别为： 第1层：侧面个数+上面个数＝1×4+1＝4+1＝5； 第2层：侧面个数+上面个数＝2×4+3＝8+3＝11； 第3层：侧面个数+上面个数＝3×4+5＝12+5＝17； 第4层：侧面个数+上面个数＝4×4+7＝16+7＝23； … 根据上述计算方法，总结规律，并完成下列问题： （1）求第6层有多少个面被涂成红色． （2）求第n层有多少个面被涂成红色． （3）若第m层有89个面被涂成红色，请你判断这是第几层，并说明理由． 【题型15】新定义下的整式运算(培优) 1.核心知识点总结 新定义理解：根据题目给出的新规则(如“定义”“附属系数对”)，将新运算转化为整式的加减或乘除； 步骤：理解新定义→转化为整式运算→按整式加减规则计算。 2.高频考点梳理 新运算定义：如定义，求； 新概念定义：如定义“有序实数对的附属多项式为”，求与的附属多项式的差。 3.易错点警示 误解新定义规则(如“”误算为“”)； 转化为整式运算时符号错误(如，不是)； 忽略新定义中的限制条件(如“仅当、为整式时成立”)。 4.解题技巧拆解 第一步：逐句阅读新定义，用波浪线标出关键规则(如“”中的“”“”）； 第二步：将题目中的新运算符号（如※、#、f(x)）按规则转化为整式的加减； 第三步：按整式加减的步骤（去括号、合并同类项）计算，若有求值要求，先化简再代入； 第四步：验证结果是否符合新定义的限制条件（如结果是否为整式、是否满足次数要求）。 【例题15】．（2024-2025•阿克苏地区期末）定义一种新运算，规定：a⊕b＝3a﹣b．若，则（2a+b）⊕（2a﹣5b）的值为　 　 ． 【变式题15-1】．（2024-2025•沐川县期末）给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a、b为“相伴有理数对”，记为（a，b）．如：，所以数对是“相伴有理数对”． （1）数对（﹣3，﹣2），中，是“相伴有理数对”的是 　 　 ； （2）若（a，b）是“相伴有理数对”，则 　 　 ． 【变式题15-2】．（2024-2025•郸城县一模）定义：如果一个三位数，若它的十位数字等于个位数字与百位数字的和，那么称这个三位数为“和谐数”．如264，因为它的百位数字2与个位数字4之和等于十位数字6，所以264是“和谐数”． （1）最小的“和谐数”是 　 　 ，最大的“和谐数”是 　 　 ； （2）试说明“和谐数”一定能被11整除． 【变式题15-3】．（2024-2025•秦淮区校级月考）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”，如M＝2x2﹣x+6与N＝﹣2x2+x﹣1互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． （1）下列各组多项式互为“对消多项式”的是　 　 （填序号）； ①3x2+2x与3x2+2；②x﹣6与﹣x+2；③﹣5x2y3+2xy与5x2y3﹣2xy﹣1． （2）多项式A＝（x﹣a）2与多项式B＝﹣bx2﹣2x+b（a，b为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； （3）关于x的多项式C＝mx2+6x+4与D＝﹣m（x+1）（x+n）互为“对消多项式”，“对消值”为t．若a﹣b＝m，b﹣c＝mn，用m表示代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac+2t的最简形式　 　 ． 同步练习 一．选择题（共5小题） 1．减去a2﹣ab+b2等于﹣ab的整式是（　　） A．﹣a2﹣2ab﹣b2 B．a2+b2 C．a2﹣2ab+b2 D．a2+2ab+b2 2．若单项式3am﹣2b2与a3bn的和仍是单项式，则mn的值是（　　） A．3 B．6 C．25 D．32 3．单项式﹣2x2yz2的系数和次数分别是（　　） A．﹣2，4 B．﹣2，5 C．2，4 D．2，5 4．下列说法中正确的是（　　） A．是单项式 B．﹣2πx的系数是﹣2 C．2xy+（x﹣1）是二次二项式 D．3x2y与是同类项 5．已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（　　） A．2x2y B．3x2 C．2xy3 D．﹣2xy2 二．填空题（共7小题） 6．若﹣2xay3与3x2yb是同类项，则a+b＝　 　 ． 7．把整式﹣6xy2﹣5x2y3+x3y﹣3按x降幂排列：　 　 ． 8．请写出一个含有字母a和b，且系数为﹣2，次数为4的单项式：　 　 ． 9．小明在做整式运算：+2（3m2﹣m+3）＝2m2+8时不小心把墨水打翻，整式的一部分被墨水遮住，被墨水遮住部分的整式应是　 　 ． 10．若代数式3x2+mx﹣3（x2+2x）+7的值与x的取值无关，则m＝　 　 ． 11．单项式3xmy3与单项式﹣5x4yn是同类项，则m﹣2n的值为　 　 ． 12．某地居民生活用水收费标准：每月用水量在17m3以内（含17m3），每立方米a元；超过17m3的部分每立方米（a+1.2）元．该地区某用户上个月用水量为20m3，则应缴水费 　 　 元．（用含a的式子表示） 三．解答题（共6小题） 13．（1）化简：（2x2y+3xy）﹣（6xy﹣3x2y）； （2）求代数式6y2﹣（2x2﹣y）+2（x2﹣3y2）的值，其中x＝﹣2023，y＝2024． 14．先化简，再求值：，其中． 15．已知代数式，B＝2x2﹣2xy+x﹣1； （1）求2A﹣B； （2）当x＝﹣1，y＝﹣2时，求2A﹣B的值． 16．某教辅书中一道整式运算的参考答案，部分答案在破损处看不见了，形式如图： 解：原式＝〇+2（3y2﹣2x）﹣4（2x﹣y2） ＝﹣11x+7y2 （1）求破损部分的整式； （2）若|x﹣2|+（y+3）2＝0，求破损部分整式的值． 17．如图，图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个大小相同的小长方形，阴影区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多6厘米，问：图（1），图（2）中阴影区域的周长哪个大？大多少？ 18．（1）已知A＝3x﹣4xy+2y，小明在计算2A﹣B时，误将其按2A+B计算，结果得到7x+4xy﹣y．求多项式B，并计算出2A﹣B的正确结果． （2）已知A＝by2﹣ay﹣1，B＝2y2+3ay﹣10y+3．若多项式2A﹣B的值与字母y的取值无关，求a、b的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 整式的加减全章复习 第1部分 全章知识点、重难点与易错点总结 一、核心知识点梳理 （一）整式的相关概念 1.单项式 定义：由数或字母的积组成的式子，单独的一个数或一个字母也是单项式（如、）。 系数：单项式中的数字因数（包含前面的符号，如的系数是；的系数是，是常数）。 次数：单项式中所有字母指数的和（如的次数是；单独非零常数的次数是）。 2.多项式 定义：几个单项式的和（如）。 项：组成多项式的每个单项式（包含前面的符号，如的项是、、）。 常数项：多项式中不含字母的项（如的常数项是）。 次数：多项式中次数最高项的次数（如的最高次项是，次数为，故多项式是四次三项式）。 3.整式 定义：单项式和多项式统称为整式（分母中含字母的式子不是整式，如、）。 （二）同类项与合并同类项 1.同类项 定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项（常数项都是同类项，如和）。 特征：“两相同，两无关”——字母相同、相同字母指数相同；与系数无关、与字母排列顺序无关（如和是同类项）。 2.合并同类项 定义：把多项式中的同类项合并成一项。 法则：系数相加，字母及字母的指数保持不变（如）。 （三）去括号与添括号 1.去括号法则 括号前是“”：去掉括号和“”，括号内各项符号不变（如）。 括号前是“”：去掉括号和“”，括号内各项符号都变（如）。 2.添括号法则 括号前加“”：括号内各项符号不变（如）。 括号前加“”：括号内各项符号都变（如）。 （四）整式的加减运算 1.核心实质：去括号和合并同类项的综合运用。 2.步骤： ①用括号括起每个整式，用“”“”连接； ②去括号（按去括号法则）； ③合并同类项（直到无同类项）。 （五）整式的化简求值 1.步骤：先化简（去括号、合并同类项），再代入求值（代入数值时注意符号）。 2.整体思想：将含字母的式子视为一个整体代入（如已知，求，直接代入）。 （六）整式加减的实际应用与规律探究 1.实际应用：用整式表示几何图形的边长、面积、周长，或经济问题中的费用、利润等，再通过整式加减计算。 2.规律探究： 数字类：分析单项式系数、指数的变化规律（如、、…系数为，指数为）。 图形类：统计图形中元素（如小正方形、圆）的数量变化，用含的整式表示第个图形的数量。 二、重难点突破 （一）重点突破 1.同类项的判断与合并 判断关键：严格核对“字母相同”和“相同字母指数相同”，避免忽略指数（如和不是同类项）。 合并技巧：先标记同类项，再按“系数相加，字母不变”计算，常数项单独合并。 2.去括号法则的应用 多重括号：从内到外或从外到内去括号，每步只处理一层括号，避免漏变号（如）。 括号前有系数：先将系数乘括号内每一项，再去括号（如）。 3.整式的化简求值 化简优先：必须先去括号、合并同类项，再代入数值，避免直接代入导致计算复杂（如化简后再代入、)。 (二)难点突破 1.多项式系数与指数中字母的求值 关键：根据“多项式的次数”“项数”列方程，注意“最高次项系数不为0”(如多项式是二次三项式，则，即)。 2.整式加减中“不含某项”“与某项无关”问题 核心：合并同类项后，令“不含的项”或“无关字母的项”的系数为0(如不含项，则，即)。 3.规律探究题 方法：列出前3-5项的具体形式，分析系数(符号、绝对值)、字母指数、图形数量的变化规律，用含的整式表示，再验证规律是否成立。 三、高频易错点警示 1.单项式系数与次数判断错误 易错点：忽略系数符号(如的系数是不是)；混淆的属性(是常数，不是字母，如的次数是)；漏算字母指数(如的次数是不是)。 避免方法：系数包含符号，视为常数，次数是所有字母指数和。 2.多项式次数与项的判断错误 易错点：误将所有项的次数相加(如的次数是不是)；忽略项的符号(如的项是、、，不是、、)。 避免方法：多项式次数是“最高次项的次数”，项包含前面的符号。 3.去括号时符号处理错误 易错点：括号前是“”，只变第一项符号(如，不是)；漏乘系数(如，不是)。 避免方法：括号前是“”，括号内每一项都变号；系数乘括号内所有项。 4.同类项判断错误 易错点：只看字母不看指数(如和不是同类项)；看字母排列顺序(如和是同类项)。 避免方法：严格按“字母相同、相同字母指数相同”判断，与顺序、系数无关。 5.化简求值时未先化简 易错点：直接代入数值计算，导致步骤繁琐且易出错(如求在、的值，未化简直接代入)。 避免方法：必须先去括号、合并同类项，再代入求值。 第2部分 常考题型分析及题型举一反三 【题型1】单项式的识别与系数、次数计算 1.核心知识点总结 单项式定义：数或字母的积，单独的数/字母也是单项式； 系数：数字因数(含符号，是常数)； 次数：所有字母指数的和(非零常数次数为0)。 2.高频考点梳理 识别单项式(区分整式与非整式，如不是单项式)； 计算单项式的系数和次数(如求的系数和次数)。 3.易错点警示 忽略系数符号(如的系数是不是)； 误将视为字母(如的次数是不是)。 4.解题技巧拆解 识别：看式子是否含加减运算、分母是否含字母，不含则可能是单项式； 计算：系数直接找数字部分(含符号)，次数相加所有字母指数。 【例题1】．（2024-2025•青浦区二模）代数式4ab2的次数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C． 【分析】根据单项式次数的定义来求解．单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【解答】解：根据单项式定义得：4ab2的次数为：1+2＝3． 故选：C． 【点评】本题考查了单项式次数的定义．确定单项式的次数时，找准单项式中每一个字母的指数，是确定单项式的次数的关键．注意指数是1时，不要忽略． 【变式题1-1】．（2024-2025•宜兴市期末）下列关于单项式的说法正确的是（　　） A．系数是，次数是4 B．系数是，次数是3 C．系数是﹣5，次数是4 D．系数是﹣5，次数是3 【答案】A 【分析】根据单项式相关概念判断即可． 【解答】解：单项式的次数是4，系数是， 故选：A． 【点评】本题考查了单项式有关的概念：数与字母的积叫做单项式，其中的数字因数叫做单项式的系数，单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数． 【变式题1-2】．（2024-2025•蓬溪县校级期末）体育课上我们经常练习垫排球，只要测量出排球的半径r，就可以根据公式求出排球的体积，整式的系数和次数分别为（　　） A． B． C．4π，3 D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式的系数、次数，解题的关键是掌握：只含有数与字母的积的式子叫做单项式，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．据此解答即可． 【解答】解：整式，故其系数和次数分别为． 故选：D． 【点评】本题考查单项式的系数、次数，解题的关键是掌握单项式的相关定义． 【变式题1-3】．（2024-2025•淮滨县期末）写出一个含有字母a、b，系数为﹣1，次数为4的单项式 　﹣ab3（答案不唯一）　 ． 【答案】﹣ab3（答案不唯一）． 【分析】根据单项式、单项式的系数和次数的概念解答即可． 【解答】解：单项式﹣ab3，是一个含有字母a、b，系数为﹣1，次数为4的单项式， 故答案为：﹣ab3（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是单项式的概念，掌握单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解题的关键． 【题型2】多项式的识别与项、次数计算 1.核心知识点总结 多项式定义：几个单项式的和； 项：含符号的单项式(常数项是不含字母的项)； 次数：最高次项的次数(多项式按“次数+项数”命名，如三次二项式)。 2.高频考点梳理 识别多项式(区分单项式与多项式，如是多项式)； 确定多项式的项、常数项、次数(如求的项和次数)。 3.易错点警示 漏写项的符号(如的项是、、，不是、、)； 误算多项式次数(如的次数是不是)。 4.解题技巧拆解 识别：式子含加减运算，且分母不含字母，则是多项式； 计算：先列出所有项(含符号)，再找次数最高的项，确定多项式次数。 【例题2】．（2024-2025•浏阳市期末）下列说法中，正确的是（　　） A．的系数是 B．mn2+2mn﹣1是二次三项式 C．﹣2ab2的次数是2 D．多项式mn2+2mn﹣1的项分别是：mn2、2mn、﹣1 【答案】D 【分析】根据单项式系数、次数的定义和多项式的项、次数的定义即可求解． 【解答】解：A．单项式的系数是，A选项错误，不符合题意； B．多项式是三次三项式，B选项错误，不符合题意； C．单项式的次数是3，C选项错误，不符合题意； D．多项式mn2+2mn﹣1的项分别是mn2、2mn、﹣1，D选项正确，所以D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查单项式系数、次数的定义和多项式的项、次数的定义，解题的关键是掌握相关定义． 【变式题2-1】．（2024-2025•河口区期末）下列说法中，正确的是（　　） A．单项式﹣3a2bc的次数是2 B．代数式2ab﹣ab2+3c﹣1是三次四项式 C．单项式abc的系数是，次数是1 D．﹣2不是单项式 【答案】B 【分析】根据单项式和多项式的定义即可求解． 【解答】解：A．单项式﹣3a2bc的次数4，选项A不符合题意； B．代数式2ab﹣ab2+3c﹣1是三次四项式，选项B符合题意； C．单项式abc的系数是，次数是3，选项C不符合题意； D．﹣2是单项式，选项D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查了单项式和多项式，掌握单项式和多项式的定义是解题的关键． 【变式题2-2】．（2025秋•南岗区校级月考）若代数式是五次二项式，则a的值为　2　 ． 【答案】2． 【分析】根据多项式的次数定义得出a2﹣1+2＝5且a+2≠0，即可求得a的值． 【解答】解：由题意可得：a2﹣1+2＝5且a+2≠0， ∴a＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了多项式的次数与项数的定义，熟记定义是解题的关键． 【变式题2-3】．（2024-2025•新野县期末）若多项式3xmy2+（n+3）x2y+2x+1是关于x、y的四次三项式，则nm的值为 　9　 ． 【答案】9． 【分析】根据题意可得：m+2＝4，n+3＝0，从而可得：m＝2，n＝﹣3，然后代入式子中进行计算即可解答． 【解答】解：∵3xmy2+（n+3）x2y+2x+1是关于x、y的四次三项式， ∴m+2＝4，n+3＝0， 解得：m＝2，n＝﹣3， ∴nm＝（﹣3）2＝9， 故答案为：9． 【点评】本题考查了多项式，熟练掌握多项式的意义是解题的关键． 【题型3】整式的判断 1.核心知识点总结 整式定义：单项式和多项式的统称； 非整式：分母中含字母的式子(如、)。 2.高频考点梳理 区分整式与非整式(如判断、、是否为整式)； 分类整式为单项式和多项式(如将、、分类)。 3.易错点警示 误将分母含字母的式子归为整式(如是整式，不是)； 忽略单独的数是单项式(也是整式，如、)。 4.解题技巧拆解 第一步：判断分母是否含字母，含则非整式； 第二步：不含字母时，看是否含加减运算，含则是多项式，不含则是单项式。 【例题3】．（2024-2025•博兴县期末）在代数式中，整式的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C． 【分析】根据整式的定义求解． 【解答】解：式子3x﹣2y，，，，﹣1，符合整式的定义，是整式； 式子分母中含有字母，不是整式． 故整式有5个． 故选：C． 【点评】此题主要考查了整式的概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．判断整式时，式子中含有等号和分母中含有字母的式子一定不是整式． 【变式题3-1】．（2024-2025•雁塔区校级期末）下列各式不是整式的是（　　） A．2m B． C．2﹣m D．m2 【答案】B． 【分析】根据整式的定义求解． 【解答】解：A.2m，是整式； B.，分母中含有字母，不是整式； C.2﹣m，是整式； D．m2，是整式． 故选：B． 【点评】此题主要考查了整式的概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．判断整式时，式子中含有等号和分母中含有字母的式子一定不是整式． 【变式题3-2】．（2024-2025•忻州期末）在代数式①；②；③0.25m2n4；④2021；⑤1；⑥中整式的个数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D． 【分析】根据整式的定义求解． 【解答】解：式子，0.25m2n4，2021，，符合整式的定义，是整式； 式子，分母中含有字母，不是整式． 故整式有4个． 故选：D． 【点评】此题主要考查了整式的概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．判断整式时，式子中含有等号和分母中含有字母的式子一定不是整式． 【变式题3-3】．（2024-2025•赛罕区校级期中）在代数式2x2y，﹣5b2，，0.5x2y2，（m+n）2，6y+9中，其中是整式的是 　2x2y，﹣5b2，0.5x2y2，（m+n）2，6y+9　 ． 【答案】2x2y，﹣5b2，0.5x2y2，（m+n）2，6y+9． 【分析】根据整式的定义求解． 【解答】解：在代数式2x2y，﹣5b2，，0.5x2y2，（m+n）2，6y+9中，其中是整式的是2x2y，﹣5b2，0.5x2y2，（m+n）2，6y+9． 故答案为：2x2y，﹣5b2，0.5x2y2，（m+n）2，6y+9． 【点评】此题主要考查了整式的概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．判断整式时，式子中含有等号和分母中含有字母的式子一定不是整式． 【题型4】同类项的判断 1.核心知识点总结 同类项“两相同”：所含字母相同、相同字母的指数相同； “两无关”：与系数无关、与字母排列顺序无关； 常数项都是同类项。 2.高频考点梳理 直接判断同类项(如判断与、与是否为同类项)； 结合同类项定义补充条件(如与是同类项，求的取值)。 3.易错点警示 只看字母不看指数(如与不是同类项)； 受字母排列顺序影响(如与是同类项)。 4.解题技巧拆解 第一步：核对两个式子的字母是否完全相同； 第二步：核对相同字母的指数是否完全相同，两者都满足则是同类项。 【例题4】．（2024-2025•平城区期末）下列单项式中，与ab3是同类项的是（　　） A．﹣ab3c B．2a2b3 C．3ab3 D．a3b 【答案】C． 【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【解答】解：A、所含字母不相同，不是同类项； B、相同字母的指数不相同，不是同类项； C、符合同类项的定义，是同类项； D、相同字母的指数不相同，不是同类项； 故选：C． 【点评】本题考查同类项的定义，解题的关键是正确理解同类项的定义，本题属于基础题型． 【变式题4-1】．（2024-2025•东区期末）下列各组是同类项的是（　　） A．a3与a2 B．与2a2 C．2xy与2y D．3与a 【答案】B 【分析】根据同类项定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项进行分析即可． 【解答】解：A、a3与a2不是同类项，故此选项错误； B、a2与2a2是同类项，故此选项正确； C、2xy与2y不是同类项，故此选项错误； D、3与a不是同类项，故此选项错误； 故选：B． 【点评】此题主要考查了同类项，关键是掌握同类项定义：一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可． 【变式题4-2】．（2024-2025•娄底校级期末）写出代数式3xy2的一个同类项：　12xy2（答案不唯一）　 ． 【答案】12xy2（答案不唯一）． 【分析】根据同类项的定义解答即可． 【解答】解：答案不唯一，如12xy2． 故答案为：12xy2（答案不唯一）． 【点评】本题考查了同类项的定义，熟知所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项是解题的关键． 【变式题4-3】．（2024-2025•古蔺县期末）下列各组中的两项不属于同类项的是（　　） A．3m2n3和﹣m2n3 B．a3和x3 C．﹣1 和π D．和25yx 【答案】B 【分析】所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，几个常数项也是同类项．同类项与字母的顺序无关，与系数无关．依此即可求解． 【解答】解：A、符合同类项的定义，是同类项； B、所含字母不相同，不是同类项； C、符合同类项的定义，是同类项； D、符合同类项的定义，是同类项． 故选：B． 【点评】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”： （1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点，还有注意同类项定义中隐含的两个“无关”：①与字母的顺序无关；②与系数无关． 【题型5】合并同类项 1.核心知识点总结 合并法则：系数相加，字母及字母的指数不变； 步骤：标记同类项→移同类项→合并系数→整理结果。 2.高频考点梳理 直接合并同类项(如合并)； 合并含多项的同类项(如合并)。 3.易错点警示 合并时改变字母或指数(如，不是)； 漏合并同类项(如漏合并，结果应为)。 4.解题技巧拆解 标记：用不同符号标记不同类的同类项(如波浪线标项，横线标项)； 合并：系数相加(注意符号)，字母和指数照抄，无同类项的项直接保留。 【例题5】．（2024-2025•安溪县期末）下列合并同类项的结果正确的是（　　） A．2a2+3a2＝6a2 B．2a2+3a2＝5a2 C．2xy﹣xy＝1 D．2x2+3x2＝5x4 【答案】B． 【分析】根据整式的加减运算法则即可求出答案． 【解答】解：A、2a2+3a2＝5a2≠6a2，故A错误； B、2a2+3a2＝5a2，故B正确； C、2xy﹣xy＝xy≠1，故C错误； D、2x2+3x2＝5x2≠5x4，故D错误． 故选：B． 【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算，本题属于基础题型． 【变式题5-1】．（2024-2025•梅河口市校级期中）把2x2﹣5x+x2+4x+3x2合并同类项后，所得的多项式是（　　） A．二次二项式 B．二次三项式 C．一次二项式 D．三次二项式 【答案】A 【分析】根据合并同类项的法则进行计算即可解答． 【解答】解：2x2﹣5x+x2+4x+3x2 ＝6x2﹣x， 6x2﹣x是二次二项式， 故选：A． 【点评】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键． 【变式题5-2】．（2024-2025•皮山县月考）合并同类项： （1）2ab﹣3ab+5ab； （2）﹣3a2+2ab﹣4ab+2a2． 【答案】（1）4ab； （2）﹣a2﹣2ab． 【分析】（1）把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． （2）把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． 【解答】解：（1）2ab﹣3ab+5ab ＝（2﹣3+5）ab ＝4ab； （2）﹣3a2+2ab﹣4ab+2a2 ＝（﹣3+2）a2+（2﹣4）ab ＝﹣a2﹣2ab． 【点评】本题考查了合并同类项，解决本题的关键是按照合并同类项的计算法则计算． 【变式题5-3】．（2024-2025•江阳区校级月考）合并下列同类项： （1）4a2﹣3b2+2ab﹣4a2﹣3b2+5ba； （2）5xy+3y2﹣3x2﹣xy+4xy+2x2﹣x2+3y2． 【答案】（1）﹣6b2+7ab； （2）8xy+6y2﹣2x2． 【分析】合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此计算即可． 【解答】解：（1）4a2﹣3b2+2ab﹣4a2﹣3b2+5ba ＝（4a2﹣4a2）+（﹣3b2﹣3b2）+（2ab+5ba） ＝﹣6b2+7ab； （2）5xy+3y2﹣3x2﹣xy+4xy+2x2﹣x2+3y2 ＝（5﹣1+4）xy+（3+3）y2+（﹣3+2﹣1）x2 ＝8xy+6y2﹣2x2． 【点评】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解答本题的关键． 【题型6】去（添）括号运算 1.核心知识点总结 括号前是“”：去括号后各项符号不变； 括号前是“”：去括号后各项符号都变； 括号前有系数：先乘括号内每一项，再去括号。 2.高频考点梳理 直接去括号(如去括号、)； 去多重括号(如去括号)； 括号前有系数的去括号(如去括号)。 3.易错点警示 括号前是“”，只变部分项符号(如，不是)； 漏乘系数(如，不是)。 4.解题技巧拆解 单层括号：按“正不变负变”直接去括号； 多重括号：从内到外去，每步只处理一层； 有系数：系数乘括号内所有项，再按符号规则去括号。 【例题6】．（2024-2025•云梦县期末）将（5x+2）﹣2（2x﹣1）去括号正确的是（　　） A．5x+2﹣2x+1 B．5x+2﹣4x+1 C．5x+2﹣4x+2 D．5x+2﹣4x﹣2 【答案】C． 【分析】根据去括号的法则直接求解即可． 【解答】解：（5x+2）﹣2（2x﹣1） ＝5x+2﹣2×2x+2×1 ＝5x+2﹣4x+2． 故选：C． 【点评】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．运用这一法则去掉括号． 【变式题6-1】．（2024-2025•潍坊期末）添括号：﹣3x2+6x+2＝﹣3（ 　x2﹣2x　 ）+2． 【答案】x2﹣2x． 【分析】根据添括号法则解答即可． 【解答】解：﹣3x2+6x+2＝﹣3（x2﹣2x）+2， 故答案为：x2﹣2x． 【点评】本题考查了去括号与添括号，熟练掌握添括号法则是解题的关键． 【变式题6-2】．（2024-2025•雨城区校级期中）去括号，并合并同类项： （1）（3a+1.5b）﹣（7a﹣2b） （2）（8xy﹣x2+y2）﹣4（x2﹣y2+2xy﹣3） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先去掉括号，再找出同类项进行合并即可； （2）先把4与括号中的每一项分别进行相乘，再去掉括号，然后合并同类项即可； 【解答】解：（1）（3a+1.5b）﹣（7a﹣2b）＝3a+1.5b﹣7a+2b＝﹣4a+3.5b； （2）（8xy﹣x2+y2）﹣4（x2﹣y2+2xy﹣3）＝8xy﹣x2+y2﹣4x2+4y2﹣8xy+12＝﹣5x2+5y2+12； 【点评】此题考查了去括号和合并同类项，根据去括号法则若括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号和合并同类项法则进行解答是解题的关键． 【变式题6-3】．（2024-2025•锡林郭勒盟开学）在多项式﹣a﹣b﹣c+d+e（其中a＞b＞0＞c＞d＞e）中，对相邻的两个字母间添加绝对值符号，对相邻的两个或者三个字母间添加括号，每一次操作必须同时添加一个绝对值符号和一个括号，且添加绝对值符号和添加括号时不能有相同字母，然后进行去绝对值和去括号运算，称此为“双添操作”．例如：﹣|a﹣b|﹣（c+d）+e＝﹣a+b﹣c﹣d+e，﹣（a﹣b﹣c）+|d+e|＝﹣a+b+c﹣d﹣e，•••． 下列说法： ①不存在“双添操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②存在“双添操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有的“双添操作”共有6种不同运算结果． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据新定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论；需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较，主要考查去括号法则、绝对值计算，整式的加减和分类讨论思想的应用；列举出所有可能，然后化简计算并判断即可． 【解答】解：∵a＞b＞0＞c＞d＞e， ∴a﹣b＞0，b﹣c＞0，c+d＜0，d+e＜0，c+d+e＜0， ∴所有“双添操作”如下： ﹣|a﹣b|﹣（c+d）+e＝﹣a+b﹣c﹣d+e， ﹣|a﹣b|﹣（c+d+e）＝﹣a+b﹣c﹣d﹣e， ﹣a﹣|b﹣c|+（d+e）＝﹣a﹣b+c+d+e， ﹣（a﹣b）﹣|c+d|+e＝﹣a+b+c+d+e， ﹣（a﹣b）﹣c+|d+e|＝﹣a+b﹣c﹣d﹣e， ﹣a﹣（b﹣c）+|d+e|＝﹣a﹣b+c﹣d﹣e， ﹣（a﹣b﹣c）+|d+e|＝﹣a+b+c﹣d﹣e， ﹣|a﹣b|﹣c+（d+e）＝﹣a+b﹣c+d+e， ∴不存在“双添操作”，使其运算结果与原多项式相等，故①正确； ∵每一种结果中a的符号与原式中a的符号相同， ∴不存在“双添操作”，使其运算结果与原多项式之和为0，故②错误； 观察上面所有运算结果可知，第二个和第五个结果相等，其余都不相等， ∴所有的“双添操作”共有6种不同运算结果，故③正确， 故选：C． 【点评】本题考查整式的加减，正确记忆相关知识点是解题关键． 【题型7】整式的加减运算 1.核心知识点总结 整式加减实质：去括号+合并同类项； 步骤：括整式→去括号→合并同类项→整理最简结果。 2.高频考点梳理 单项式与单项式的加减(如计算)； 单项式与多项式的加减(如计算)； 多项式与多项式的加减(如计算)。 3.易错点警示 去括号时符号错误(如，不是)； 合并同类项不彻底(如未合并为)。 4.解题技巧拆解 第一步：用括号括起每个整式(如写成)； 第二步：按去括号法则去括号； 第三步：合并同类项，直到无同类项，按某字母降幂/升幂排列(可选)。 【例题7】．（2024-2025•商南县期末）计算： （1）﹣22+|4﹣8|+24÷（﹣3）； （2）5a2﹣[a2+（5a2﹣2a）﹣2（a2﹣3a）]． 【答案】（1）﹣8； （2）a2﹣4a． 【分析】（1）根据有理数的混合运算进行计算，即可求解； （2）根据整式的加减混合运算法则进行去括号，移项，合并同类项即可得解． 【解答】解：（1）原式＝﹣4+4﹣8 ＝﹣8； （2）原式＝5a2﹣（a2+5a2﹣2a﹣2a2+6a） ＝5a2﹣a2﹣5a2+2a+2a2﹣6a ＝a2﹣4a． 【点评】本题考查了有理数的混合运算以及整式的加减运算；熟练掌握有理数的混合运算、整式加减的运算法则，去括号法则等方法是解决本题的关键． 【变式题7-1】．（2025秋•江岸区校级月考）（1）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|a|+|a+b|﹣|c﹣b|； （2）已知|x﹣3|+|y+5|＝0，求|x+y|的值． 【答案】（1）2b﹣c； （2）2． 【分析】（1）先观察数轴得﹣1＜a＜0＜1＜b＜c，再化简原式＝﹣a+a+b﹣（c﹣b），然后去括号合并同类项，即可作答． （2）先根据绝对值的非负性得x＝3，y＝﹣5，然后代入|x+y|进行计算，即可作答． 【解答】解：（1）∵﹣1＜a＜0＜1＜b＜c， ∴a+b＞0，c﹣b＞0， 原式＝﹣a+a+b﹣（c﹣b） ＝﹣a+a+b﹣c+b ＝2b﹣c； （2）|x﹣3|+|y+5|＝0， ∴x﹣3＝0且y+5＝0， ∴x＝3，y＝﹣5， ∴|x+y|＝|3﹣5|＝2． 【点评】本题考查了在数轴上表示有理数，化简绝对值，整式的加减运算，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式题7-2】．（2024-2025•南郑区期末）在整式的加减练习课中，已知A＝3a2b﹣2ab2，嘉淇错将“2A﹣B”看成“2A+B”，得到的结果是4a2b﹣3ab2． （1）求整式B； （2）求2A﹣B的正确结果． 【答案】（1）B＝﹣2a2b+ab2； （2）8a2b﹣5ab2． 【分析】（1）由题意得，2A+B＝4a2b﹣3ab2，则B＝4a2b﹣3ab2﹣2（3a2b﹣2ab2），据此根据整式的加减计算法则求解即可． （2）根据（1）所求计算出2（3a2b﹣2ab2）﹣（﹣2a2b+ab2）的结果即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意得，2A+B＝4a2b﹣3ab2， ∴B＝4a2b﹣3ab2﹣2A ＝4a2b﹣3ab2﹣2（3a2b﹣2ab2） ＝4a2b﹣3ab2﹣6a2b+4ab2 ＝﹣2a2b+ab2； （2）2A﹣B ＝2（3a2b﹣2ab2）﹣（﹣2a2b+ab2） ＝6a2b﹣4ab2+2a2b﹣ab2 ＝8a2b﹣5ab2． 【点评】本题主要考查了整式的加减计算，熟练掌握整式的运算法则是关键． 【变式题7-3】．（2024-2025•克州期末）阅读下列材料，我们知道，5x+3x﹣4x＝（5+3﹣4）x＝4x，类似的，我们把（a+b）看成一个整体，则5（a+b）+3（a+b）﹣4（a+b）＝（5+3﹣4）（a+b）＝4（a+b），“整体思想“是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，尝试应用； （1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并2（a﹣b）2+6（a﹣b）2﹣3（a﹣b）2的结果 　5（a﹣b）2　 ． （2）已知m+n＝15，3a﹣2b＝11，求2m+6a﹣（4b﹣2n）的值． （3）拓展探索：已知a﹣3b＝4，3b﹣c＝﹣3，c﹣d＝11，求（a﹣c）+（3b﹣d）﹣（3b﹣c）的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用整体思想，把（a﹣b）2看成一个整体，合并2（a﹣b）2+6（a﹣b）2﹣3（a﹣b）2即可得到结果； （2）原式可化为2m+6a﹣（4b﹣2n）＝2（m+n）+2（3a﹣2b），整体代入即可； （3）由（a﹣c）+（3b﹣d）﹣（3b﹣c），依据a﹣3b＝4，3b﹣c＝﹣3，c﹣d＝11，整体代入进行计算即可． 【解答】解：（1）2（a﹣b）2+6（a﹣b）2﹣3（a﹣b）2＝（2+6﹣3）（a﹣b）2＝5（a﹣b）2． 故答案为：5（a﹣b）2． （2）2m+6a﹣（4b﹣2n） ＝2（m+n）+2（3a﹣2b）， ∵m+n＝15，3a﹣2b＝11， ∴2（m+n）+2（3a﹣2b） ＝2×15+2×11， ＝52． （3）∵a﹣3b＝4，3b﹣c＝﹣3，c﹣d＝11， ∴（a﹣c）+（3b﹣d）﹣（3b﹣c）， ＝a﹣c+3b﹣d﹣3b+c， ＝a﹣d， ＝4+3b﹣（c﹣11）， ＝4+3b﹣c+11， ＝4+（3b﹣c）+11， ＝4﹣3+11， ＝12． 【点评】此题主要考查了整式的化简求值，关键是注意去括号时符号的变化． 【题型8】利用单项式/多项式的次数与系数求值(提升) 1.核心知识点总结 单项式次数：所有字母指数和，系数不为0(除非是0单项式)； 多项式次数：最高次项的次数，最高次项系数不为0； 列方程求解：根据“次数”“项数”条件列方程，求字母的值。 2.高频考点梳理 单项式：已知是五次单项式，求； 多项式：已知是二次三项式，求； 综合：已知多项式是二次三项式，求。 3.易错点警示 忽略“最高次项系数不为0”(如多项式是二次三项式，三次项系数必须为0)； 漏算字母指数(如是三次单项式，，，不是)。 4.解题技巧拆解 单项式：根据“次数=字母指数和”列方程，系数若含字母，需注意系数不为0(除非题目允许0单项式)； 多项式：先确定最高次项，令“最高次项次数=指定次数”，且“最高次项系数≠0”，列方程求解。 【例题8】．（2024-2025•汕头期末）已知多项式x|m|+（m﹣2）x﹣10是二次三项式，m为常数，则m的值为（　　） A．±2 B．﹣2 C．±3 D．3 【答案】B 【分析】由该多项式为二次三项式即得出|m|＝2且m﹣2≠0，求解即可． 【解答】解：根据题意可知，多项式x|m|+（m﹣2）x﹣10是二次三项式， 所以|m|＝2，即m＝±2， 又因为m﹣2≠0， 所以m＝﹣2． 故选：B． 【点评】本题考查了多项式，绝对值，掌握多项式，绝对值的定义是解题关键． 【变式题8-1】．（2024-2025•兴平市期末）若单项式xmy3与﹣4xyn+5的和仍是单项式，则m+n的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．﹣2 【答案】C． 【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【解答】解：由同类项的定义可知m＝1，n+5＝3， 解得m＝1，n＝﹣2， ∴m+n＝1+（﹣2）＝﹣1． 故选：C． 【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 【变式题8-2】．（2024-2025•高唐县期末）若代数式5x|m|+4x2﹣2xy是三次多项式，单项式3x4+myn与该多项式的次数相同，则m+n的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2 【答案】A 【分析】根据多项式的次数和单项式的次数的定义即可得出m，n，相加可得答案． 【解答】解：∵5x|m|+4x2﹣2xy是三次多项式， ∴|m|＝3，解得m＝±3， 又∵3x4+myn与5x|m|+4x2﹣2xy的次数相同， 即单项式3x4+myn的次数为3， 故4+m+n＝3， 当m＝3时，n＝﹣4，不符合题意，舍去， 当m＝﹣3时，n＝2，符合题意， ∴m＝﹣3，n＝2， 故m+n＝﹣1， 故选：A． 【点评】本题考查了多项式的次数和单项式的次数的定义，掌握多项式中次数最高项的次数是多项式的次数是解题的关键． 【变式题8-3】．（2024-2025•武城县期末）若5xn﹣（m﹣1）x+3为关于x的三次二项式，则m﹣n的值为　﹣2　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据多项式的概念可知求出该多项式最高次数项为3，项数为2，从而求出m与n的值． 【解答】解：由题意可知：n＝3，m﹣1＝0， ∴m＝1，n＝3， ∴m﹣n＝1﹣3＝﹣2， 故答案为：﹣2 【点评】本题考查多项式的概念，解题的关键是根据三次二项式确定m与n的值，本题属于基础题型． 【题型9】整式加减中“不含某项”问题(提升) 1.核心知识点总结 “不含某项”含义：合并同类项后，该项的系数为0； 步骤：去括号→合并同类项→令不含项的系数=0→求字母的值。 2.高频考点梳理 不含一次项：如多项式不含项，求； 不含二次项：如计算(，)，结果不含项，求； 不含多项：如多项式不含二次项和一次项，求。 3.易错点警示 合并同类项不彻底，误将非同类项当作同类项合并； 令系数为0时符号错误(如，解得，不是)。 4.解题技巧拆解 第一步：彻底去括号、合并同类项，整理成“按某字母降幂排列”的形式； 第二步：找到“不含的项”，令其系数等于0，列方程求解； 第三步：验证结果(代入字母值，检查该项是否确实为0)。 【例题9】．（2024-2025•成都期末）已知关于x的整式A，B，其中A＝3x2+（a﹣1）x+1，B＝bx2+3x+2a﹣1． （1）当2B﹣A中不含x的二次项和一次项时，求a﹣b的值； （2）当b＝3，a为正整数时，A＝B﹣2a+8，求此时使x为正整数的a的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）将A、B代入2B﹣A中化简，根据2B﹣A中不含x的二次项和一次项，求出a、b的值，然后求出a﹣b即可； （2）将A、B代入A＝B﹣2a+8中化简，由b＝3，a为正整数，且x为 正整数，确定出a的值即可． 【解答】解：（1）2B﹣A ＝2（bx2+3x+2a﹣1）﹣[3x2+（a﹣1）x+1] ＝2bx2+6x+4a﹣2﹣3x2﹣（a﹣1）x﹣1 ＝（2b﹣3）x2+（6﹣a+1）x+4a﹣3 ＝（2b﹣3）x2+（7﹣a）x+4a﹣3； 因为2B﹣A中不含x的二次项和一次项， 所以2b﹣3＝0，7﹣a＝0， 得，a＝7， ． （2）因为A＝B﹣2a+8， 所以A＝bx2+3x+2a﹣1﹣2a+8， 因为A＝3x2+（a﹣1）x+1，b＝3， 所以3x2+（a﹣1）x+1＝bx2+3x+2a﹣1﹣2a+8， 即（3﹣b）x2+（a﹣4）x﹣6＝0， 因为b＝3， 所以（a﹣4）x﹣6＝0， 得， 因为a为正整数，x为正整数， 所以a﹣4＝1，2，3，6， 得a＝5，6，7，10． 【点评】本题考查了整式的加减、有理数的减法，解决本题的关键是按照整式的计算法则计算． 【变式题9-1】．（2024-2025•荆州区期末）小明在准备化简代数式3（4x2+6xy）﹣■（x2+3xy﹣2）时一不小心将墨水滴在了作业本上，使得（x2+3xy﹣2）前面的系数看不清了，于是小明就打电话询问李老师，李老师为了测试小明对知识的掌握程度，于是对小明说：“该题标准答案的结果不含有y．”请你通过李老师的话语，帮小明解决如下问题： （1）■的值为 　6　 ； （2）求出该题的标准答案． 【答案】（1）6．（2）6x2+12． 【分析】（1）先假设看不清的系数为a，再对代数式进行运算，最后根据结果不含有y求出答案． （2）将完整的代数式进行计算即可． 【解答】解：（1）设看不清的系数为a． ∴3（4x2+6xy）﹣a（x2+3xy﹣2）， ＝12x2+18xy﹣ax2﹣3axy+2a， ＝（12﹣a）x2+（18﹣3a）xy+2a， ∵该题标准答案的结果不含有y， ∴18﹣3a＝0， ∴a＝6． 故答案为：6． （2）3（4x2+6xy）﹣6（x2+3xy﹣2）， ＝12x2+18xy﹣6x2﹣18xy+12， ＝6x2+12． 【点评】本题考查了整式的加减，解题的关键是运用合并同类项的方法解答． 【变式题9-2】．（2024-2025•凉州区期末）已知关于x的多项式A，B，其中A＝mx2+2x﹣1，B＝x2﹣nx+2（m，n为有理数）． （1）化简2B﹣A，当m＝1，n＝2，x＝1时，并求值； （2）若2B﹣A的结果不含x项和x2项，求m、n的值． 【答案】（1）（2﹣m）x2﹣2（n+1）x+5，0； （2）m＝2，n＝﹣1． 【分析】（1）把A，B的代数式代入2B﹣A，化简后，代入m，n，x的值，即可得到结果； （2）根据题意，x2，x的系数为0，从而得到m，n的值． 【解答】解：（1）∵A＝mx2+2x﹣1，B＝x2﹣nx+2 ∴2B﹣A＝2（x2﹣nx+2）﹣（mx2+2x﹣1）， ＝2x2﹣2nx+4﹣mx2﹣2x+1 ＝（2﹣m）x2﹣2（n+1）x+5， 当m＝1，n＝2，x＝1时， 原式＝1×12﹣2×3×1+5＝0； （2）∵2B﹣A的结果不含x项和x2项， ∴2﹣m＝0，﹣2（n+1）＝0， ∴m＝2，n＝﹣1． 【点评】本题考查了整式的加减运算，化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【变式题9-3】．（2024-2025•惠城区校级开学）（1）已知A＝﹣x+2y﹣4xy，B＝﹣3x﹣y+xy．当，xy＝﹣1时，求2A﹣3B的值． （2）是否存在数m，使化简关于x，y的多项式（mx2﹣x2+3x+1）﹣（5x2﹣4y2+3x）的结果中不含x2项？若不存在，说明理由；若存在，求出m的值． 【答案】（1）17； （2）6． 【分析】（1）先利用整式加减运算法则化简，再把x+y，xy看作一个整体，代入求值可得； （2）直接利用整式的加减运算法则合并同类项，进而得出m﹣6＝0，即可得出答案． 【解答】解：（1）2A﹣3B ＝2（﹣x+2y﹣4xy）﹣3（﹣3x﹣y+xy） ＝﹣2x+4y﹣8xy+9x+3y﹣3xy ＝7x+7y﹣11xy， 当x+y，xy＝﹣1时， 2A﹣3B ＝7x+7y﹣11xy ＝7（x+y）﹣11xy ＝711×（﹣1） ＝6+11 ＝17； （2）（mx2﹣x2+3x+1）﹣（5x2﹣4y2+3x） ＝mx2﹣x2+3x+1﹣5x2+4y2﹣3x ＝（m﹣6）x2+4y2+1， ∵关于x，y的多项式（mx2﹣x2+3x+1）﹣（5x2﹣4y2+3x）化简后结果中不含x2项， ∴m﹣6＝0， 解得：m＝6． 【点评】本题考查整式的加减—化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【题型11】整式的化简求值(含整体思想)(提升) 1.核心知识点总结 化简求值步骤：先化简(去括号、合并同类项)，再代入求值； 整体思想：将含字母的式子(如、)视为一个整体代入，避免求单个字母的值。 2.高频考点梳理 直接代入：如化简，再代入、； 整体代入：如已知，求(整理为，代入)； 条件隐含：如已知，求(利用非负性求、)。 3.易错点警示 未化简直接代入，计算繁琐且易出错； 整体代入时符号错误(如，则，不是)； 代入负数时未加括号(如，，不是)。 4.解题技巧拆解 化简：彻底去括号、合并同类项，确保式子最简； 代入： ①直接代入：将字母值代入最简式，注意负数、分数加括号； ②整体代入：先将所求式子整理为含已知整体的形式，再代入整体值； 验证：计算后反向检查(如代入、，先算原式，再算化简式，对比结果)。 【例题11】．（2024-2025•沅江市期末）先化简，再求值：2a2b﹣[2ab2+2（a2b﹣2ab2）]，其中，b＝﹣1． 【答案】2ab2，1． 【分析】先去括号，合并同类项进行化简，再将a，b的值代入计算可求解． 【解答】解：原式＝2a2b﹣（2ab2+2a2b﹣4ab2） ＝2a2b﹣2ab2﹣2a2b+4ab2 ＝2ab2， ∵，b＝﹣1， ∴原式． 【点评】本题主要考查整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是关键． 【变式题11-1】．（2024-2025•城关区校级期末）先化简，再求值：2（a2﹣3ab）﹣4（﹣a2+ab+b2），其中a＝2，b＝1． 【答案】6a2﹣10ab﹣4b2，0． 【分析】先去括号，再合并同类项即可完成化简，最后代入a、b的值即可求解． 【解答】解：原式＝2a2﹣6ab+4a2﹣4ab﹣4b2， ＝6a2﹣10ab﹣4b2， ∴a＝2，b＝1时， 原式＝6×22﹣10×2×1﹣4×12＝0． 【点评】本题考查的知识点是去括号、合并同类项、整式的加减中的化简求值，掌握整式的加减运算法则是关键． 【变式题11-2】．（2024-2025•临邑县期末）阅读材料：数学课上，老师展示了一位同学的作业如下： 已知多项式A＝4ab﹣5+b2，B＝b2﹣ab，化简：A﹣2B． 下面是这位同学的解题过程： 解：A﹣2B＝（4ab﹣5+b2）﹣2（b2﹣ab）…第一步 ＝4ab﹣5+b2﹣2b2﹣2ab…第二步 ＝﹣b2+2ab﹣5．…第三步 请回答下列问题： （1）这位同学从第 　二　 步开始出现错误，错误的原因是 　去括号时括号前是负号，括号内第二项没有变号　 ； （2）请正确化简A﹣2B，并求当a＝3，b＝2时，A﹣2B的值． 【答案】（1）二，去括号时括号前是负号，括号内第二项没有变号； （2）﹣b2+6ab﹣5，27． 【分析】（1）根据去括号法则可知第二步开始出现错误，原因是去括号时未变号； （2）根据整式的减法计算法则计算，再将a＝3，b＝2代入计算即可． 【解答】解：（1）这位同学第二步开始出现错误，错误原因是去括号时括号前是负号，括号内第二项没有变号； 故答案为：二，去括号时括号前是负号，括号内第二项没有变号； （2）A﹣2B＝（4ab﹣5+b2）﹣2（b2﹣ab） ＝4ab﹣5+b2﹣2b2+2ab ＝﹣b2+6ab﹣5； 当a＝3，b＝2时，原式＝﹣22+6×3×2﹣5＝27． 【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值，掌握运算法则是解题关键． 【变式题11-3】．（2024-2025•内黄县期末）“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 【教材呈现】如图是人教版七年级上册数学教材的部分内容． 把（a+b）和（x+y）各看成一个整体，对下列各式进行化简： （1）4（a+b）+2（a+b）﹣（a+b）； （2）3（x+y）2﹣7（x+y）+8（x+y）2+6（x+y）． （1）【问题解决】对上面方框中（2）的式子进行化简，写出化简过程： （2）【简单应用】 ①已知m2+2m＝5，则2m2+4m﹣9＝ 　1　 ； ②已知m+n＝7，求9（m+n）﹣6m﹣6n+3的值； （3）【拓展提高】 已知m2+3mn＝2，mn+3n2＝1，求整式的值． 【答案】（1）11（x+y）2﹣（x+y）； （2）①1；②24； （3）． 【分析】（1）先分别将（x+y）2和（x+y）看成一个整体化简即可； （2）①将m2+2m＝5整体代入计算； ②将（m+n）看成一个整体后化简，并将m+n＝7代入计算； （3）将原式写成形式，将m2+3mn＝2，mn+3n2＝1整体代入计算即可． 【解答】解：（1）原式＝3（x+y）2+8（x+y）2﹣7（x+y）+6（x+y） ＝11（x+y）2﹣（x+y）； （2）①∵m2+2m＝5， ∴原式＝2（m2+2m）﹣9 ＝2×5﹣9 ＝1， 故答案为：1； ②∵m+n＝7， ∴9（m+n）﹣6m﹣6n+3 ＝9（m+n）﹣6（m+n）+3 ＝3（m+n）+3 ＝3×7+3 ＝24； （3） ， ∵m2+3mn＝2，mn+3n2＝1， ∴原式． 【点评】本题考查化简求值，灵活运用各种化简的方法是本题的关键． 【题型10】整式加减中“与某项无关”问题(提升) 1.核心知识点总结 “与某项无关”含义：合并同类项后，该字母所有项的系数和为0； 本质：与“不含某项”一致，针对“某字母的所有项”(如与无关，即所有含的项系数为0)。 2.高频考点梳理 与字母无关：如代数式与无关，求； 与字母、无关：如(，)与、无关，求、。 3.易错点警示 漏合并某类含该字母的项(如与无关，需令所有含的一次项、二次项系数均为0)； 混淆“与某项无关”和“不含某项”(前者是某字母的所有项，后者是单一某一项)。 4.解题技巧拆解 第一步：去括号、合并同类项，将式子整理为“含目标字母的项+不含目标字母的项”； 第二步：令“含目标字母的所有项的系数和=0”，列方程求解； 第三步：代入验证(代入字母值，检查式子是否确实与目标字母无关)。 【例题10】．（2024-2025•兴化市期中）小明同学在整理错题本时发现一道题： “试说明代数式4（a+3）2﹣7（a+3）（a﹣3）+3（）2的取值与a无关”． 由于时间久远题干部分内容及答案已经缺失，请你从3个选项：①a﹣1；②a﹣2；③a﹣4中选择一项填入缺失部分，使得代数式的取值与a无关，并帮助他完成作答． （1）缺失部分为 　③　 （填序号）； （2）试说明上述代数式的值与a无关． 【答案】（1）③；（2）说明理由见解析． 【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式解答即可； （2）利用完全平方公式，平方差公式和合并同类项的仿照解答即可． 【解答】解：（1）选择③使得代数式的取值与a无关． 故答案为：③； （2）∵4（a+3）2﹣7（a+3）（a﹣3）+3（a﹣4）2 ＝4a2+24a+36﹣7a2+63+3a2﹣24a+48 ＝（4﹣7+3）a2+（24﹣24）a+（36+63+48） ＝147， ∴代数式4（a+3）2﹣7（a+3）（a﹣3）+3（a﹣4）2与a无关． 【点评】本题主要考查了求代数式的值，合并同类项的法则，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握上述公式与法则是解题的关键． 【变式题10-1】．（2024-2025•七星关区期末）根据对话内容，解决下列问题： （1）求a+b+c的值； （2）若|m﹣a|+（n+b）2＝0，比较mn与c的大小关系； （3）关于x，y的多项式A＝a2xy﹣by2+cx2，B＝axy﹣by2+c，请判断A﹣B的结果是否与y的值无关，并说明理由． 【答案】（1）﹣5； （2）mn＞c； （3）A﹣B的结果与y的值无关，理由： ∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4， ∴A＝xy+2y2﹣4x2，B＝xy+2y2﹣4， ∴A﹣B＝xy+2y2﹣4x2﹣（xy+2y2﹣4） ＝xy+2y2﹣4x2﹣xy﹣2y2+4 ＝﹣4x2+4， ∴A﹣B的结果与y的值无关． 【分析】（1）根据正整数、相反数、倒数的定义求出a、b、c的值，再代入计算即可求解； （2）根据非负数的性质求出m、n的值，进而求出mn的值即可判断求解； （3）求出A﹣B的结果即可判断求解． 【解答】解：（1）由题意得a+b+c＝1﹣2﹣4＝﹣5； （2）由条件可知m﹣a＝0，n+b＝0， ∴m＝a＝1，n＝﹣b＝2， ∴mn＝1×2＝2， ∵c＝﹣4， ∴mn＞c； （3）A﹣B的结果与y的值无关，理由如下： ∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4， ∴A＝xy+2y2﹣4x2，B＝xy+2y2﹣4， ∴A﹣B＝xy+2y2﹣4x2﹣（xy+2y2﹣4） ＝xy+2y2﹣4x2﹣xy﹣2y2+4 ＝﹣4x2+4， ∴A﹣B的结果与y的值无关． 【点评】本题考查了整式的加减，非负数的性质，代数式求值，掌握以上知识点是解题的关键． 【变式题10-2】．（2024-2025•莒县期末）【阅读理解】 已知A＝（a﹣4）x﹣1；若A值与字母x的取值无关，则a﹣4＝0，解得a＝4． 所以当a＝4时，A值与字母x的取值无关． 【知识应用】 已知A＝mx﹣x，B＝mx﹣3x+5m． （1）用含m，x的式子表示4A﹣B； （2）若4A﹣B的值与字母m的取值无关，则x的值为 　　 ． 【知识拓展】 （3）春节快到了，某超市计划购进甲、乙两种羽绒服共30件进行销售，甲种羽绒服每件进价700元，每件售价1020元；乙种羽绒服每件进价500元，每件售价800元，购进羽绒服后，该超市决定：每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金a元，乙种羽绒服售价不变．设购进甲种羽绒服x件，当销售完这30件羽绒服的利润与x的取值无关时，请求出此时的利润． 【答案】（1）（3m﹣1）x﹣5m； （2）；（3）9000元． 【分析】（1）把A与B代入4A﹣B中，去括号、合并同类项即可得到结果； （2）把（1）的化简结果变形后，根据4A﹣B的值与字母m的取值无关，确定出此的值即可； （3）根据题意列出代数式并求解，结合获得的利润与x的取值无关，即可获得答案． 【解答】解：（1）∵A＝mx﹣x，B＝mx﹣3x+5m， ∴4A﹣B＝4（mx﹣x）﹣（mx﹣3x+5m） ＝4mx﹣4x﹣mx+3x﹣5m ＝（4﹣1）mx+（﹣4+3）x﹣5m ＝3mx﹣x﹣5m ＝（3m﹣1）x﹣5m； （2）根据（1）可知，4A﹣B＝（3mx﹣5m）﹣1＝m（3x﹣5）﹣1， ∵4A﹣B的值与字母m的取值无关， ∴3x﹣5＝0， 解得：． 故答案为：； （3）这30件羽绒服的利润为： （1020﹣700）x﹣ax+（800﹣500）（30﹣x） ＝320x﹣ax+9000﹣300x ＝20x﹣ax+9000 ＝（20﹣a）x+9000， ∵销售完这30件羽绒服的利润与x的取值无关， ∴20﹣a＝0， 解得：a＝20， 当a＝20时，利润为9000元． 【点评】本题考查了列代数式、整式的加减—化简求值，掌握整式的加减—化简求值的方法是关键． 【变式题10-3】．（2024-2025•牡丹江期末）A、B为数轴上的两个点，点A对应的数记为a，点B对应的数记为b，且8xyb﹣10+（a+8）xy﹣1是关于x、y的三次二项式．解答下列问题： （1）a＝　﹣8　 ，b＝　12　 ； （2）若数轴上有一点C，且3AC＝BC，求点C对应的数； （3）若点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，点M的速度为m个单位长度每秒，点N的速度是3个单位长度每秒，点P、Q分别为线段AM、线段BN的中点．设运动时间为t秒，在点M，N的运动过程中，若PQ+MN的长度与t的取值无关，求m的值及PQ+MN的长度． 【答案】（1）﹣8，12； （2）﹣3或﹣18； （3）m＝3，PQ+MN＝28． 【分析】（1）根据多项式为关于x、y的三次二项式，得出1+b﹣10＝3，a+8＝0，从而求出a、b的值； （2）设点C对应的数为x，且3AC＝BC，判断出点C在点B的左边，于是有3|﹣8﹣x|＝12﹣x，即可求出x的值； （3）t秒后，M对应的数为﹣mt，N对应的数为12﹣3t，根据数轴上中点的定义即可表示出中点的坐标，再计算MN、PQ的长，根据PQ+MN的长度与t的取值无关，即t的系数为0，从而得解． 【解答】解：（1）若8xyb﹣10+（a+8）xy﹣1是关于x、y的三次二项式， 则1+b﹣10＝3，a+8＝0， 解得a＝﹣8，b＝12， 故答案为：﹣8，12； （2）设点C对应的数为x， ∵3AC＝BC， ∴点C在点B的左边， ∴3|﹣8﹣x|＝12﹣x， 解得x＝﹣18或x＝﹣3， 即点C对应的数为﹣3或﹣18； （3）t秒后，M对应的数为：﹣mt，N对应的数为：12﹣3t， ∵P、Q为AM、BN的中点， ∴P点对应的数为：，Q点对应的数为：， ∴MN＝|﹣mt﹣12+3t|＝|（3﹣m）t﹣12| ∴ ， ∵PQ+MN的长度与t无关， ∴m＝3， ∴PQ+MN＝16+12＝28． 【点评】本题考查了多项式，数轴上两点之间的距离，中点坐标的求法，熟练掌握多项式的项、次数的定义是解题的关键． 【题型12】整式加减的实际应用(几何、经济)(培优) 1.核心知识点总结 几何应用：用整式表示边长、周长、面积(如长方形周长，圆面积)，再通过整式加减计算差值、和值； 经济应用：用整式表示单价、数量、总价(如总价=单价×数量)，再计算费用、利润、优惠后的价格。 2.高频考点梳理 几何类：如长方形长为，宽为，求周长；两个长方形面积分别为和，求面积差； 经济类：如某商品单价为元，买件打8折，求总价；甲、乙两种收费方案，用整式表示费用，比较优劣。 3.易错点警示 几何公式记忆错误(如长方形周长是，不是；圆周长是，不是)； 经济问题中优惠规则理解错误(如“满500减100”，不是所有金额都减100)； 单位不统一(如长度单位是米，面积单位是平方米，避免混淆)。 4.解题技巧拆解 几何应用： 明确图形类型，回忆对应公式(如正方形面积=边长^2，梯形面积=)； ②用整式表示未知边长/半径，代入公式得面积/周长的整式； ③按题意进行整式加减(如求面积和、周长差)； 经济应用： ①分析题目中的“单价、数量、优惠规则”，用整式表示总费用； ②按题意计算(如比较两种方案的费用，求差值)； 验证：结果需符合实际意义(如长度、面积为正数，费用为正数)。 【例题12】．（2024-2025•城阳区期末）某中学要建一长方形劳动基地，其中一面靠墙（足够长），其它三面用篱笆围起，已知长方形基地的长为（3a+4b）米，宽比长少（2a+b）米． （1）用a，b表示长方形劳动基地的宽． （2）求篱笆的总长度． （3）若a＝40，b＝20，篱笆单价为每米2元，求买篱笆所需的费用． 【答案】（1）（a+3b）米； （2）（5a+10b）米； （3）800元． 【分析】（1）根据长方形基地的长为（3a+4b）米，宽比长少（2a+b）米，可以计算出宽的长度； （2）根据图形可知：篱笆的总长度为一个长+两个宽，然后代入数据计算即可； （3）将a＝40和b＝20代入（2）中的结果求出篱笆总长度，再根据篱笆单价为每米2元，即可计算出买篱笆所需的费用． 【解答】解：（1）∵长方形基地的长为（3a+4b）米，宽比长少（2a+b）米， ∴宽为：（3a+4b）﹣（2a+b） ＝3a+4b﹣2a﹣b ＝（a+3b）米； （2）由（1）可知：长为（3a+4b）米，宽为（a+3b）米， ∴篱笆的总长度为：（3a+4b）+2（a+3b） ＝3a+4b+2a+6b ＝（5a+10b）米； （3）当a＝40，b＝20时， 篱笆的总长度为：5a+10b ＝5×40+10×20 ＝200+200 ＝400（米）， ∵篱笆单价为每米2元， ∴买篱笆所需的费用为：400×2＝800（元）， 答：买篱笆所需的费用为800元． 【点评】本题考查整式的加减、列代数式、代数式求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【变式题12-1】．（2024-2025•武汉校级期末）如图，公园有一块长为（2a﹣1）米，宽为a米的长方形土地（一边靠着墙），现将三面留出宽都是b米的小路，余下部分设计成花圃ABCD，并用篱笆把花圃不靠墙的三边围起来． （1）花圃的宽AB为 　（a﹣b）　 米，花圃的长BC为 　（2a﹣2b﹣1）　 米；（用含a，b的式子表示） （2）求篱笆的总长度；（用含a，b的式子表示） （3）若a＝30，b＝5，篱笆的单价为60元/米，请计算篱笆的总价． 【答案】（1）（a﹣b）；（2a﹣2b﹣1）；（2）所用篱笆的总长度为（4a﹣4b﹣1）米；（3）全部篱笆的造价为5940元． 【分析】（1）利用图中尺寸计算即可； （2）先根据所给的图形，得出花圃的长和宽，然后根据长方形周长公式即可求出篱笆总长度； （3）将a和b的值代入第（2）问所求的式子中求出篱笆的总长度，再乘以篱笆的单价即可求出总价． 【解答】解：（1）由题意得，AB＝（a﹣b）米，BC＝（2a﹣1）﹣2b＝（2a﹣2b﹣1）米， 故答案为：（a﹣b），（2a﹣2b﹣1）； （2）由图可得，花圃的长为（2a﹣1﹣2b）米，宽为（a﹣b）米， ∴篱笆的总长度为（2a﹣1﹣2b）+2（a﹣b）＝2a﹣1﹣2b+2a﹣2b＝（4a﹣4b﹣1）米； （3）当a＝30，b＝5时， 篱笆的造价为（4a﹣4b﹣1）×60＝（4×30﹣4×5﹣1）×60＝5940元， 答：全部篱笆的造价为5940元． 【点评】本题考查整式的加减的实际应用，列代数式，代数式求值，根据题意，正确列出代数式是解题的关键． 【变式题12-2】．（2024-2025•惠来县期末）现有一种新型网约车是一种全无人自动驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．某城市的新型网约车的计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 1元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程15公里以内（含15公里）不收远途费，超过15公里的，超出部分每公里加收1元．） （1）若小东乘坐新型网约车，行车里程为20公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？ （2）若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟（a，b为整数），请分别计算当0＜a≤15和当a＞15时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简） （3）小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差多少分钟？ 【答案】（1）55元； （2）当0＜a≤15时，小明付费（2a+0.5b）元；当a＞15时，小明付费（3a+0.5b﹣15）元； （3）24分钟或30分钟． 【分析】（1）根据表中新型网约车的计价规则计算即可解答； （2）根据0＜a≤15或a＞15分情况讨论，分别用代数式表示出小明应付车费即可； （3）先根据行车里程数分情况讨论，再根据题意在每种情况下分别表示出小王和小张的行车时长，并算出相差的时长即可． 【解答】解：（1）依题意：20×2+20×0.5+（20﹣15）×1＝55（元）， 答：需付车费55元； （2）根据计费规则，当0＜a≤15时，小明应付车费：2a+0.5b（元）； 当a＞15时，小明应付车费：2a+0.5b+（a﹣15）×1＝3a+0.5b﹣15（元）； 综上，当0＜a≤15时，小明付费（2a+0.5b）元；当a＞15时，小明付费（3a+0.5b﹣15）元． （3）设小张的行车里程为x公里，则小王的行车里程为（x﹣3）公里；小张付费y元，则小王付费（y+6）元， 分两种情况讨论： 当行车里程15公里以内时： 小张行车时长：（y﹣2x）÷0.5＝2y﹣4x（分钟）， 小王行车时长：[y+6﹣2（x﹣3）]÷0.5＝2y﹣4x+24（分钟）， ∴（2y﹣4x+24）﹣（2y﹣4x）＝24（分钟）， ∴行车时长差为24分钟； 当里程超过15公里时： 小张行车时长：[y﹣2x﹣（x﹣15）]÷0.5＝2x﹣6x+30（分钟）， 小王行车时长：[y+6﹣2（x﹣3）﹣（x﹣3﹣15）]÷0.5＝2y﹣6x+60（分钟）， ∴（2y﹣6x+60）﹣（2y+6x+30）＝30（分钟）， ∴行车时长差为30分钟， 答：这两辆新型网约车的行车时长相差为24分钟或30分钟． 【点评】本题主要考查了整式的加减，列代数式，代数式求值，理解题意、列出代数式是解题的关键． 【变式题12-3】．（2024-2025•罗庄区期末）随着智能手机的普及，网购已经成为人们的一种生活方式，快递业也随之发展壮大．某快递公司每件普通物品的收费标准如下表： 寄往市内 寄往市外 首重 续重 首重 续重 10元/千克 3元/千克 12元/千克 8元/千克 说明： ①每件快递按送达地（市内，市外）分别计算运费． ②运费计算方式：首重价格+续重×续重运费．首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以0.5千克为计重单位（不足0.5千克按0.5千克计算） 例如：寄往市内一件1.8千克的物品，运费总额为：10+3×（0.5+0.5）＝13元．寄往市外一件3.4千克的物品，运费总额为：12+8×（2+0.5）＝32元． （1）小华同时寄往市内一件3千克的物品和市外一件3.9千克的物品，各需付运费多少元？ （2）小彤同时寄往市内和市外同一件b千克的物品，已知b超过2，且b的整数部分是m，小数部分小于0.5，请用含字母的代数式表示市外与市内这两笔运费的差． 【答案】（1）各需付运费16元，36元； （2）（5m﹣0.5）元． 【分析】（1）根据题意列出算式进行计算即可； （2）先用m分别表示出两种情况下需要的费用，然后再求差即可． 【解答】解：（1）根据题意列出算式进行计算可得寄往市内一件3千克的物品需付运费： 10+3×2＝16（元）； 寄往市外一件3.9千克的物品需付运费： 12+8×（2+0.5+0.5）＝36（元）； 答：各需付运费16元，36元； （2）根据题意列出算式进行计算可得寄往市内需付运费 10+3（m﹣1+0.5）＝（3m+8.5）元， 寄往市外需付运费 12+8（m﹣1+0.5）＝（8m+8）元， ∴8m+8﹣（3m+8.5）＝（5m﹣0.5）元． 【点评】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意熟练掌握运算法则． 【题型13】数字类规律探究(培优) 1.核心知识点总结 规律分析：从系数(符号、绝对值)、字母指数两方面找变化规律； 表达形式：用含(正整数)的整式表示第项，验证规律是否成立(时是否符合)。 2.高频考点梳理 系数符号交替：如、、、…第项为； 系数绝对值成倍数：如、、、…第项为； 常数项规律：如、、、…第项为。 3.易错点警示 忽略系数符号的变化规律(如正负交替未用或表示)； 指数规律与项数不匹配(如第项的指数不是，而是，未验证前几项)； 系数绝对值规律错误(如、、、…系数是，不是)。 4.解题技巧拆解 第一步：列出前3-5项，分别写出“系数(符号+绝对值)”和“字母指数”； 第二步：分析系数符号(如正负交替用)、绝对值(如成倍数用、成等差用)； 第三步：分析字母指数(如第项指数为或)； 第四步：组合系数和字母，写出第项的整式，代入验证。 【例题13】．（2024-2025•睢县期末）观察下列板式： 22﹣12＝2+1＝3；32﹣22＝3+2＝5； 42﹣32＝4+3＝7；52﹣42＝5+4＝9；62﹣52＝6+5＝11；… 若字母n表示自然数，请把你观察到的规律用含n的式子表示出来：　（n+1）2﹣n2＝2n+1　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】观察各式，发现：运用了平方差公式，其中由于两个数相差是1，差等于1，所以最后结果等于两个数的和． 【解答】解：第n个式子：（n+1）2﹣n2＝2n+1． 故答案为：（n+1）2﹣n2＝2n+1． 【点评】此题考查数字的变化规律，熟练掌握平方差公式是解决问题的关键． 【变式题13-1】．（2024-2025•昭阳区月考）观察这一系列单项式的特点：，…那么第8个单项式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，，，，…可推导一般性规律为：第n个单项式为：，进而可得答案． 【解答】解：由，，，，…可推导一般性规律为：第n个单项式为， ∴第8个单项式为． 故选：A． 【点评】本题考查了单项式的规律探究．解题的关键在于根据题意推导一般性规律． 【变式题13-2】．（2024-2025•昆明模拟）观察下列单项式：﹣2a，4a2，﹣6a3，8a4，﹣10a5，⋯，则第n个单项式是（　　） A．（﹣1）nna2 B．2nan C．nan D．（﹣1）n2nan 【答案】D 【分析】根据已知单项式找到规律即可，认真观察单项式是解题的关键． 【解答】解：下列单项式：﹣2a，4a2，﹣6a3，8a4，﹣10a5，⋯， ∵﹣2a＝（﹣1）×2×1×a， 4a2＝（﹣1）2×2×2×a2， ﹣6a3＝（﹣1）3×2×3×a3， 8a4＝（﹣1）4×2×4×a4， ﹣10a5＝（﹣1）5×2×5×a5， ⋯， ∴第n个单项式是（﹣1）n2nan， 故选：D． 【点评】本题考查了单项式的变化规律，正确记忆相关知识点是解题关键． 【变式题13-3】．（2024-2025•明水县期末）下面是按一定规律排列的代数式：a2，3a4，5a6，7a8，…则第8个代数式是　15a16　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用已知单项式的次数与系数特点得出答案． 【解答】解：∵a2，3a4，5a6，7a8，… ∴单项式的次数是连续的偶数，系数是连续的奇数， ∴第8个代数式是：（2×8﹣1）a2×8＝15a16． 故答案为：15a16． 【点评】此题主要考查了单项式，正确得出单项式次数与系数的变化规律是解题关键． 【题型14】图形类规律探究(培优) 1.核心知识点总结 规律分析：统计前3-5个图形中元素(如小正方形、圆、火柴棒)的数量，找数量与图形序号的关系； 表达形式：用含的整式表示第个图形的元素数量，验证规律。 2.高频考点梳理 火柴棒摆正方形：如第1个图形用4根，第2个用7根，第3个用10根…第个用根； 小正方形拼接：如第1个图形有1个小正方形，第2个有4个，第3个有9个…第个有个； 图形叠加：如第1个图形有3个圆，第2个有6个，第3个有9个…第个有个。 3.易错点警示 统计数量时漏数或多数(如第2个图形的火柴棒数量，误算为8根，实际为7根)； 规律归纳错误(如数量差为3，却归纳为，未验证时是否符合)； 混淆“图形序号”与“数量”的关系(如第个图形的数量是，不是)。 4.解题技巧拆解 第一步：按顺序画出前3-5个图形，准确统计每个图形的元素数量，列出表格(序号：1,2,3,4,5；数量：)； 第二步：分析数量差(如、)，判断是等差(差不变)还是等比(倍数不变)； 第三步：根据差的规律，设含的整式(如等差设，等比设)，代入前两项求系数； 第四步：用第3、4项验证整式是否正确，确定规律。 【例题14】．（2024-2025•讷河市期末）为庆祝“六•一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示： 按照上面的规律，摆n个“金鱼”需用火柴棒的根数为（　　） A．2+6n B．8+6n C．4+4n D．8n 【答案】A 【分析】观察给出的3个例图，注意火柴棒根数的变化是图②的火柴棒比图①的多6根，图③的火柴棒比图②的多6根，而图①的火柴棒的根数为2+6． 【解答】解：第n条小鱼需要（2+6n）根，故选：A． 【点评】本题考查列代数式，本题的解答体现了由特殊到一般的数学方法（归纳法），先观察特例，找到火柴棒根数的变化规律，然后猜想第n条小鱼所需要的火柴棒的根数． 【变式题14-1】．（2024-2025•商河县期末）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图中所贴剪纸“〇”的个数为（　　） A．3n B．3n+1 C．3n+2 D．3n+3 【答案】C 【分析】观察图形可知从第二个图案开始，第加一扇窗户，就增加3个剪纸．照此规律便可计算出第n个图形中剪纸的个数． 【解答】解：第一个图案为3+2＝5个窗花； 第二个图案为2×3+2＝8个窗花； 第三个图案为3×3+2＝11个窗花； …从而可以探究： 第n个图案所贴窗花数为（3n+2）个． 故选：C． 【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 【变式题14-2】．（2024-2025•越秀区校级月考）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是一个个六角形房室．观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，若第n个图案中“”的个数是49，则n的值为（　　） A．15 B．16 C．17 D．18第二部分 非选择题（共90分） 【答案】B 【分析】根据前三个图案中“”的个数，得出第n个图案有（3n+1）个三角形，进而求出答案． 【解答】解：观察发现：第n个图案中“”有（1+3n）个， 由题意，得3n+1＝49， 解得n＝16． 故选：B． 【点评】此题考查图形的变化规律，发现规律是关键． 【变式题14-3】．（2024-2025•北京校级开学）如图，摆放的正方体的大小均相等，现在把露在外面的表面涂成红色．从上向下数每层正方体露在外面的小正方形的个数分别为： 第1层：侧面个数+上面个数＝1×4+1＝4+1＝5； 第2层：侧面个数+上面个数＝2×4+3＝8+3＝11； 第3层：侧面个数+上面个数＝3×4+5＝12+5＝17； 第4层：侧面个数+上面个数＝4×4+7＝16+7＝23； … 根据上述计算方法，总结规律，并完成下列问题： （1）求第6层有多少个面被涂成红色． （2）求第n层有多少个面被涂成红色． （3）若第m层有89个面被涂成红色，请你判断这是第几层，并说明理由． 【答案】（1）35； （2）6n﹣1； （3）15层，理由： 由（2）可知：6m﹣1＝89，解得m＝15， 所以这是第15层． 【分析】（1）根据题中算式可知第6层：侧面个数+上面个数＝6×4+11＝35； （2）根据题中算式总结规律即可； （3）根据（2）中总结的规律，代入计算即可． 【解答】解：（1）根据题中算式可知第6层：侧面个数+上面个数＝35． （2）根据题中算式总结规律可得第n层：侧面个数+上面个数＝n×4+2n﹣1＝6n﹣1． （3）这是第15层， 理由：由（2）可知：6m﹣1＝89，解得m＝15， 所以这是第15层． 【点评】本题考查图形类规律探索，结合题意仔细观察所给算式，并总结规律是解题关键． 【题型15】新定义下的整式运算(培优) 1.核心知识点总结 新定义理解：根据题目给出的新规则(如“定义”“附属系数对”)，将新运算转化为整式的加减或乘除； 步骤：理解新定义→转化为整式运算→按整式加减规则计算。 2.高频考点梳理 新运算定义：如定义，求； 新概念定义：如定义“有序实数对的附属多项式为”，求与的附属多项式的差。 3.易错点警示 误解新定义规则(如“”误算为“”)； 转化为整式运算时符号错误(如，不是)； 忽略新定义中的限制条件(如“仅当、为整式时成立”)。 4.解题技巧拆解 第一步：逐句阅读新定义，用波浪线标出关键规则(如“”中的“”“”）； 第二步：将题目中的新运算符号（如※、#、f(x)）按规则转化为整式的加减； 第三步：按整式加减的步骤（去括号、合并同类项）计算，若有求值要求，先化简再代入； 第四步：验证结果是否符合新定义的限制条件（如结果是否为整式、是否满足次数要求）。 【例题15】．（2024-2025•阿克苏地区期末）定义一种新运算，规定：a⊕b＝3a﹣b．若，则（2a+b）⊕（2a﹣5b）的值为　﹣3　 ． 【答案】﹣3． 【分析】先根据规定把整理成，再根据规定将（2a+b）⊕（2a﹣5b）化简整理，然后整体代入即可求出最后的值． 【解答】解：由得： ， ， ∴， ∴（2a+b）⊕（2a﹣5b） ＝3（2a+b）﹣（2a﹣5b） ＝6a+3b﹣2a+5b ＝4（a+2b） ＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题主要考查了定义新运算和运用整体代入法求代数式的值，解题的关键是要理解规定的式子，对号入座，注意整体思想的运用． 【变式题15-1】．（2024-2025•沐川县期末）给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a、b为“相伴有理数对”，记为（a，b）．如：，所以数对是“相伴有理数对”． （1）数对（﹣3，﹣2），中，是“相伴有理数对”的是 　　 ； （2）若（a，b）是“相伴有理数对”，则 　　 ． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据“相伴有理数对”的定义对这两个数对进行计算，然后判断即可； （2）先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，然后把a﹣b＝ab+1整体代入化简后的式子进行计算即可． 【解答】解：（1）∵﹣3﹣（﹣2）＝﹣3+2＝﹣1，（﹣3）×（﹣2）+1＝6+1＝7， ，， ∴﹣3﹣（﹣2）≠（﹣3）×（﹣2）+1，， ∵a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a，b为“相伴有理数对”， ∴是“相伴有理数对”的有； （2）∵（a，b）是“相伴有理数对”， ∴a﹣b＝ab+1， ∴ ， 故答案为：，． 【点评】本题主要考查了整式的化简求值和新定义，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，正确理解新定义的含义． 【变式题15-2】．（2024-2025•郸城县一模）定义：如果一个三位数，若它的十位数字等于个位数字与百位数字的和，那么称这个三位数为“和谐数”．如264，因为它的百位数字2与个位数字4之和等于十位数字6，所以264是“和谐数”． （1）最小的“和谐数”是 　110　 ，最大的“和谐数”是 　990　 ； （2）试说明“和谐数”一定能被11整除． 【答案】（1）110；990．（2）“和谐数”一定能被11整除． 【分析】（1）设和谐数百位上的数是x，十位上的数为y，个位上的数为z，y＝x+z，要想求最小的和谐数，就是x最小时，x最小是1，y最小是1+0＝1， 此时z最小是0，据此求出最小的“和谐数”，最大的“和谐数”，就是x最大时，x最大是9，十位上y最大也是9，此时z＝0，据此求出最大的“和谐数”． （2）设这个和谐数的百位上的数是x，十位上的数为y，个位上的数为z．y＝x+z，100x+10y+z＝11（10x+z），因此“和谐数”一定能被11整除． 【解答】解：（1）设和谐数百位上的数是x，十位上的数为y，个位上的数为z． y＝x+z， 要想求最小的和谐数，就是x最小时，x最小是1， y最小是1+0＝1， 此时z最小是0， 所以最小的“和谐数”时110； 最大的“和谐数”，就是x最大时，x最大是9， 十位上y最大是9， 此时z＝0， 所以最大的“和谐数”是990． 故答案为：110；990． （2）设这个和谐数的百位上的数是x，十位上的数为y，个位上的数为z． y＝x+z， ＝100x+10y+z ＝100x+10（x+z）+z ＝100x+10x+10z+z ＝110x+11z ＝11（10x+z） 所以“和谐数”一定能被11整除． 【点评】本题考查了分解因式的实际运用，学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力，解题的关键是理解“和谐数”的定义． 【变式题15-3】．（2024-2025•秦淮区校级月考）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”，如M＝2x2﹣x+6与N＝﹣2x2+x﹣1互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． （1）下列各组多项式互为“对消多项式”的是　②③　 （填序号）； ①3x2+2x与3x2+2；②x﹣6与﹣x+2；③﹣5x2y3+2xy与5x2y3﹣2xy﹣1． （2）多项式A＝（x﹣a）2与多项式B＝﹣bx2﹣2x+b（a，b为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； （3）关于x的多项式C＝mx2+6x+4与D＝﹣m（x+1）（x+n）互为“对消多项式”，“对消值”为t．若a﹣b＝m，b﹣c＝mn，用m表示代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac+2t的最简形式　m2﹣4m+32　 ． 【答案】（1）②③； （2）2； （3）m2﹣4m+32． 【分析】（1）根据新定义，由整式的加减运算法则计算即可； （2）根据新定义，由整式的加减运算法则计算即可 （3）根据题意，可得C+D＝t， 【解答】解：（1）①∵3x2+2x+3x2+2＝6x2+2x+2，②x﹣6﹣x+2＝﹣4，③﹣5x2y3+2xy+5x2y3﹣2xy﹣1＝﹣1， ∴①组多项式不是互为“对消多项式”，②③组多项式是互为“对消多项式”． 故答案为：②③； （2）∵A＝（x﹣a）2＝x2﹣2ax+a2，B＝﹣bx2﹣2x+b， ∴A+B ＝x2﹣2ax+a2﹣bx2﹣2x+b ＝（1﹣b）x2+（﹣2a﹣2）x+（a2+b）， ∵A与B互为“对消多项式”， ∴1﹣b＝0，﹣2a﹣2＝0， 解得：a＝﹣1，b＝1， ∴a2+b＝（﹣1）2+1＝1+1＝2， ∴它们的“对消值”是2； （3）∵C＝mx2+6x+4，D＝﹣m（x+1）（x+n）＝﹣mx2+（﹣mn﹣m）x﹣mn， ∴C+D＝mx2+6x+4﹣mx2+（﹣mn﹣m）x﹣mn ＝（6﹣mn﹣m）x+（4﹣mn）， ∵C与D互为“对消多项式”且“对消值”为t， ∵a﹣b＝m，b﹣c＝mn， ∴a﹣c＝（a﹣b）+（b+c）＝m+mn＝6， ∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac+2t ＝m2﹣6m+36+2m﹣4 ＝m2﹣4m+32， ∴用m表示代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac+2t的最简形式是m2﹣4m+32． 故答案为：m2﹣4m+32． 【点评】本题考查了整式的加减，新定义，理解新定义，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 同步练习 题答案快对 题号 1 2 3 4 5 答案 C C B D A 一．选择题（共5小题） 1．减去a2﹣ab+b2等于﹣ab的整式是（　　） A．﹣a2﹣2ab﹣b2 B．a2+b2 C．a2﹣2ab+b2 D．a2+2ab+b2 【答案】C 【分析】根据题意可得：所求的整式为：a2﹣ab+b2+（﹣ab），利用整式的加减运算的法则求解即可． 【解答】解：由题意得： a2﹣ab+b2+（﹣ab） ＝a2﹣ab+b2﹣ab ＝a2﹣2ab+b2． 故选：C． 【点评】本题主要考查整式的加减，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 2．若单项式3am﹣2b2与a3bn的和仍是单项式，则mn的值是（　　） A．3 B．6 C．25 D．32 【答案】C 【分析】根据单项式3am﹣2b2和a3bn的和仍是单项式，即可得出m﹣2＝3，n＝2，求出m，n的值，即可得出结果． 【解答】解：∵单项式3am﹣2b2和a3bn的和仍是单项式， ∴m﹣2＝3，n＝2， ∴m＝5，n＝2， ∴mn＝52＝25， 故选：C． 【点评】本题考查的是合并同类项，熟练掌握同类项的概念是解题的关键． 3．单项式﹣2x2yz2的系数和次数分别是（　　） A．﹣2，4 B．﹣2，5 C．2，4 D．2，5 【答案】B 【分析】单项式就是数与字母的乘积，数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，据此即可求解． 【解答】解：单项式﹣2x2yz2的系数是﹣2，次数是：2+1+2＝5， 故选：B． 【点评】本题主要考查了单项式的系数与次数的定义，在说系数时，注意不要忘记前边的符号是解答此题的关键． 4．下列说法中正确的是（　　） A．是单项式 B．﹣2πx的系数是﹣2 C．2xy+（x﹣1）是二次二项式 D．3x2y与是同类项 【答案】D 【分析】根据同类项，单项式，多项式的定义，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、是多项式，故A不符合题意； B、﹣2πx的系数是﹣2π，故B不符合题意； C、2xy+（x﹣1）是二次三项式，故C不符合题意； D、3x2y与是同类项，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了同类项，单项式，多项式，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 5．已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（　　） A．2x2y B．3x2 C．2xy3 D．﹣2xy2 【答案】A 【分析】根据单项式的系数和次数的概念判断即可． 【解答】解：A、2x2y，系数是2，次数是3，符合题意； B、3x2，系数是3，次数是2，不符合题意； C、2xy3，系数是2，次数是4，不符合题意； D、﹣2xy2，系数是﹣2，次数是3，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查的是单项式的概念，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 二．填空题（共7小题） 6．若﹣2xay3与3x2yb是同类项，则a+b＝　5　 ． 【答案】5． 【分析】根据同类项的定义直接得出a、b的值． 【解答】解：由同类项的定义可知a＝2，b＝3， ∴a+b＝2+3＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 7．把整式﹣6xy2﹣5x2y3+x3y﹣3按x降幂排列：　x3y﹣5x2y3﹣6xy2﹣3　 ． 【答案】x3y﹣5x2y3﹣6xy2﹣3． 【分析】先分清各项，再根据多项式降幂排列的定义解答． 【解答】解：﹣6xy2﹣5x2y3+x3y﹣3按x降幂排列：x3y﹣5x2y3﹣6xy2﹣3． 故答案为：x3y﹣5x2y3﹣6xy2﹣3． 【点评】本题主要考查了多项式，掌握多项式的有关定义是解题关键． 8．请写出一个含有字母a和b，且系数为﹣2，次数为4的单项式：　﹣2a3b（答案不唯一）　 ． 【答案】﹣2a3b（答案不唯一）． 【分析】根据单项式的系数和次数的意义解答即可． 【解答】解：一个含有字母a和b，且系数为﹣2，次数为4的单项式：﹣2a3b， 故答案为：﹣2a3b（答案不唯一）． 【点评】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的系数和次数的意义是解题的关键． 9．小明在做整式运算：+2（3m2﹣m+3）＝2m2+8时不小心把墨水打翻，整式的一部分被墨水遮住，被墨水遮住部分的整式应是　﹣4m2+2m+2　 ． 【答案】﹣4m2+2m+2． 【分析】用等式右边的整式减去等式左边的整式计算即可得解． 【解答】解：（2m2+8）﹣2（3m2﹣m+3） ＝（2m2+8）﹣（6m2﹣2m+6） ＝2m2+8﹣6m2+2m﹣6 ＝﹣4m2+2m+2， ∴被墨水遮住部分的整式应是﹣4m2+2m+2． 故答案为：﹣4m2+2m+2． 【点评】本题主要考查整式的加减，解题的关键是熟练运用去括号法则进行整式的加减运算． 10．若代数式3x2+mx﹣3（x2+2x）+7的值与x的取值无关，则m＝　6　 ． 【答案】6． 【分析】首先化简代数式，因为代数式的值与x无关，所以含有x的项系数为0． 【解答】解：3x2+mx﹣3（x2+2x）+7＝3x2+mx﹣3x2﹣6x+7＝（m﹣6）x， ∵代数式3x2+mx﹣3（x2+2x）+7的值与x的取值无关， ∴m﹣6＝0， ∴m＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查了整式的化简，单项式的系数，解题关键是合并同类项． 11．单项式3xmy3与单项式﹣5x4yn是同类项，则m﹣2n的值为　﹣2　 ． 【答案】﹣2． 【分析】根据同类项的定义直接得出m、n的值，再求解即可． 【解答】解：由同类项的定义可知m＝4，n＝3， ∴m﹣2n＝4﹣2×3＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 12．某地居民生活用水收费标准：每月用水量在17m3以内（含17m3），每立方米a元；超过17m3的部分每立方米（a+1.2）元．该地区某用户上个月用水量为20m3，则应缴水费 　（20a+3.6）　 元．（用含a的式子表示） 【答案】（20a+3.6）． 【分析】用前17m3的水费加上后3m3水费，列出代数式即可． 【解答】解：17a+3（a+1.2）＝17a+3a+3.6＝（20a+3.6）元． 故答案为：（20a+3.6）． 【点评】本题考查列代数式，理解题意是解题的关键． 三．解答题（共6小题） 13．（1）化简：（2x2y+3xy）﹣（6xy﹣3x2y）； （2）求代数式6y2﹣（2x2﹣y）+2（x2﹣3y2）的值，其中x＝﹣2023，y＝2024． 【答案】（1）5x2y﹣3xy； （2）y，2024． 【分析】（1）原式去括号再合并同类项即可得到结果； （2）原式去括号合并得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值． 【解答】解：（1）原式＝2x2y+3xy﹣6xy+3x2y ＝5x2y﹣3xy； （2）原式＝6y2﹣2x2+y+2x2﹣6y2 ＝y， 当y＝2024时， 原式＝2024． 【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14．先化简，再求值：，其中． 【答案】见试题解答内容 【分析】先去括号合并同类项，再根据非负数的性质求出x、y的值，最后代入求出代数式的值． 【解答】解：原式＝5x2﹣（2xy﹣xy+15+6x2）+15 ＝5x2﹣2xy+xy﹣15﹣6x2+15 ＝﹣x2﹣xy， ∵（x+2）2≥0，|y|≥0，（x+2）2+|y|＝0， ∴（x+2）2＝0，|y|＝0， ∴x＝﹣2，y， 当x＝﹣2，y时， 原式＝﹣（﹣2）2﹣（﹣2） ＝﹣4+1 ＝﹣3． 【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值和非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 15．已知代数式，B＝2x2﹣2xy+x﹣1； （1）求2A﹣B； （2）当x＝﹣1，y＝﹣2时，求2A﹣B的值． 【答案】（1）4xy﹣x﹣4y． （2）17． 【分析】（1）先把式子代入再化简即可． （2）代入计算即可． 【解答】解：（1）∵，B＝2x2﹣2xy+x﹣1， ∴2A﹣B ＝2x2+2xy﹣4y﹣1﹣2x2+2xy﹣x+1 ＝4xy﹣x﹣4y． （2）当x＝﹣1，y＝﹣2时， 2A﹣B ＝4xy﹣x﹣4y ＝4×（﹣1）×（﹣2）﹣（﹣1）﹣4×（﹣2） ＝8+1+8 ＝17． 【点评】本题考查整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 16．某教辅书中一道整式运算的参考答案，部分答案在破损处看不见了，形式如图： 解：原式＝〇+2（3y2﹣2x）﹣4（2x﹣y2） ＝﹣11x+7y2 （1）求破损部分的整式； （2）若|x﹣2|+（y+3）2＝0，求破损部分整式的值． 【答案】（1）﹣3y2+x； （2）﹣25． 【分析】（1）设破损的整式为A，由原式确定出关系式，去括号合并得到结果； （2）利用非负数的性质求出x与y的值，代入A计算即可得到结果． 【解答】解：（1）设破损的整式为A， 根据题意得：A＝﹣11x+7y2+4（2x﹣y2）﹣2（3y2﹣2x）＝﹣11x+7y2+8x﹣4y2﹣6y2+4x＝﹣3y2+x； （2）∵|x﹣2|+（y+3）2＝0， ∴x﹣2＝0，y+3＝0， 解得：x＝2，y＝﹣3， 则原式＝﹣27+2＝﹣25． 【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 17．如图，图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个大小相同的小长方形，阴影区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多6厘米，问：图（1），图（2）中阴影区域的周长哪个大？大多少？ 【答案】图（1）中阴影区域的周长大，大12厘米． 【分析】设小长方形的长为a，宽为b，由图（2）得：大长方形的长为（a+2b），大长方形的宽为（2b+CD），AB＝a﹣CD，再由大长方形的长比宽多6厘米，可得AB＝a﹣CD＝6厘米，从而得到图（2）中阴影部分的周长为2（a+2b+a+2b﹣6﹣6）＝2（2a+4b﹣12）厘米，图（1）中阴影部分的周长为2（a+2b+a+2b﹣6）＝2（2a+4b﹣6）厘米，即可求解． 【解答】解：设小长方形的长为a厘米，宽为b厘米， 由图可知：大长方形的长为（a+2b）厘米，宽为（2b+CD）厘米，AB＝a﹣CD， 由条件可知（a+2b）﹣（2b+CD）＝6，大长方形的宽为（a+2b﹣6）厘米， ∴AB＝a﹣CD＝6厘米， ∴阴影部分的周长为2（2a+4b﹣12）厘米， 图（1）中阴影部分的周长为2（a+2b+a+2b﹣6）＝2（2a+4b﹣6）厘米， ∵2（2a+4b﹣6）﹣2（2a+4b﹣12）＝12厘米， ∴图（1）中阴影区域的周长大，大12厘米． 【点评】本题主要考查了整式加减的应用，根据题意得到AB＝a﹣CD＝6厘米是解题的关键． 18．（1）已知A＝3x﹣4xy+2y，小明在计算2A﹣B时，误将其按2A+B计算，结果得到7x+4xy﹣y．求多项式B，并计算出2A﹣B的正确结果． （2）已知A＝by2﹣ay﹣1，B＝2y2+3ay﹣10y+3．若多项式2A﹣B的值与字母y的取值无关，求a、b的值． 【答案】（1）B＝x+12xy﹣5y，2A﹣B＝5x﹣20xy+9y．（2）a＝2，b＝1． 【分析】（1）本题考查整式的加减混合运算，掌握运算法则，即可解题． （2）本题考查整式的加减混合运算，根据运算法则表示出2A﹣B，再根据多项式2A﹣B的值与字母y的取值无关，列式求解即可． 【解答】解：（1）B＝（2A+B）﹣2A ＝7x+4xy﹣y﹣2（3x﹣4xy+2y） ＝7x+4xy﹣y﹣6x+8xy﹣4y ＝x+12xy﹣5y． 2A﹣B ＝2（3x﹣4xy+2y）﹣（x+12xy﹣5y） ＝6x﹣8xy+4y﹣x﹣12xy+5y ＝5x﹣20xy+9y． （2）2A﹣B ＝2（by2﹣ay﹣1）﹣（2y2+3ay﹣10y+3） ＝2by2﹣2ay﹣2﹣2y2﹣3ay+10y﹣3 ＝（2b﹣2）y2+（10﹣5a）y﹣5． ∵多项式2A﹣B的值与字母y的取值无关， ∴2b﹣2＝0，10﹣5a＝0，解得a＝2，b＝1． 【点评】本题考查整式的加减混合运算，掌握运算法则是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $