2.2.3空间向量与向量运算（第二课时）课件-2025-2026学年高二上学期北师大版数学选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量的夹角、数量积（定义、性质、运算律）及投影向量与投影数量，通过复习平面向量数量积导入，搭建平面到空间的知识迁移支架，帮助学生衔接前后内容。 其亮点是以正方体等几何模型为载体，结合典例讲解（如求向量夹角、证明垂直）和方法总结（平移转化空间问题），培养学生几何直观与推理能力。通过投影向量的几何意义描述，用数学语言精确表达，助力学生理解应用，教师可直接用于课堂，提升教学效率。

§2 空间向量与向量运算 第三章 第三章：空间向量与立体几何 §2.3 空间向量的数量积 1.掌握空间向量的夹角的概念。（重点） 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法，会求空间向量的数量积。（重点、难点） 学习目标 3.了解空间向量投影向量的意义及投影数量的概念。（重点） 复习回顾 <a,b>∈[0,π] 一、两个向量的夹角的概念 在此规定下，两个向量的夹角被唯一确定，并且 <a，b>=<b，a> 探索新知 1.定义： 当<a，b>=0时，向量a与b方向相同； 2.夹角与向量的关系 当<a，b>=π时，向量a与b方向相反； 规定：零向量与任意向量垂直． 当<a，b>= 时，称向量a与b互相垂直，记作a⊥b． 典例讲解 解: （1）如图，连接 ， 因为，分别是，的中点，所以，所以 ，且 方向相同，所以， . 因为，且方向相反，所以， . （2）因为在正方形中， ，所以， . 因为 平面，又 平面，所以 ， 所以， . （3）连接，则为等边三角形，， . 又，，所以， 例1 在正方体中，，分别是， 的中点，求: （1），，， ； （2），，， ； （3）， . 典例讲解 方法总结 求向量的夹角，一般要先运用平移法把向量移到有公共起点的位置， 把空间向量的夹角转化为平面向量的夹角，然后注意分析图形特征和向量的 方向,如<m></m>，<m></m>与<m></m>，<m></m>是互补的，正确运用向量所在的图形中的几何 特征，如平行、垂直等进行求解. 二、两个向量数量积的概念 1.定义：已知两个空间非零向量a，b，把|a||b|cos<a，b>叫作a与b的数量积，记作a•b．即 a•b=|a||b|cos<a，b> 2.性质： 探索新知 （1）.交换律： a•b=b•a （2）.分配律： a•(b+c)=a•b+a•c （3）.(λa)•b=λ(a•b) 3.运算律： (任意两个空间向量一定是共面向量） （1） ；（2） ；（3），， . 典例讲解 例2： 如图，在正方体中，，分别是， 的中点，正 方体的棱长为1. （1）求， 的余弦值. （2）求证: . 解: （1） ， . 因为，， ， 所以 . 又，所以， . （2）因为， ， 所以，所以 典例讲解 方法总结 求空间向量的数量积和求平面向量的数量积一样，关键在于确定两个向量之间的 夹角以及它们的模，利用公式<m></m>,<m></m>即可解决问题. 巩固训练（多选题）已知正四面体 的棱长为1，如图所示. 若，分别是， 的中点，则下列结论正确的是( ). BD A.B. C. D. 解： 在正四面体中， ， 则 ，A错误； 因为，分别是， 的中点， 所以， ，B正确； ，C错误； ， ，D正确． 三、投影向量与投影数量 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 过点B作直线OA的垂线，垂足为点B1，称向量 为向量b在向量a方向上的投影向量，其长度等于||b|cos<a，b>|. 当<a，b>为锐角时，|b|cos<a，b>＞0，如图(1)； 当<a，b>为钝角时，|b|cos<a，b>＜0，如图(2)； 当<a，b>= 时，|b|cos<a，b>=0，如图(3). 探索新知 1.投影向量 若用a0表示与向量a(a≠0)<同方向的单位向量，则向量b在向量a方向上的投影向量为 2.投影数量 因此，称|b|cos<a，b>为投影向量 的数量，简称为向量b在向量a 方向上的投影数量.结合空间向量数量积的定义可知：向量b在向量a方向上的投影数量为 三、投影向量与投影数量 探索新知 1.投影向量 例3:如图，已知单位正方体ABCD-A'B'C'D'. （1）指出向量 分别在 方向上的投影向量； （2）求向量 在 方向上的投影数量； （3）求向量 在 方向上的投影数量. 解：(1)根据正方体的性质知：A'B⊥CB，A'D⊥CD，A'C'⊥CC'， 典例讲解 ∴向量 在 方向上的投影向量分别为 (2)∵< , >=∠A’CB ∴ 在 方向上的投影数量为==1 (3)∵< , >=π-∠A’CB ∴ 在 方向上的投影数量为=-=-1 例4:如图，已知四棱柱ABCD-A'B'C'D'的底面ABCD是边长为1的菱形，且∠C'CB=∠C'CB=∠BCD= ，DD'=2．求： 典例讲解 解：(1)因为∠D'DA=∠C'CB= , ∴ =| ∠DD’A=1 (2)∵ ,而∠C’CD=1 ∠C’CB=1 ∴-=1-1=0 . 典例讲解 方法总结 1.投影数量反映向量数量积的几何意义，求解的实质还是数量积的相关计算;投影向量是投影数量乘相应投影方向的单位向量.注意区分投影数量与投影向量的区别. 2.求向量 在向量 方向上的投影向量公式： 求向量 在向量 方向上的投影数量公式： 典例讲解 巩固训练 如图，已知四棱柱的底面是矩形，， ， ， ，为棱的中点，求在 方向上的投影向量 及投影数量. 解： 由图可知, ， 所以 . 因为 , 所以在方向上的投影向量是 , 在方向上的投影数量是 课堂检测 B D 9 [解析] 因为 ， 所以 ， 所以向量在方向上的投影数量为， . 1.两个向量数量积的概念、性质、运算律 2.投影向量及投影数量的概念 3.利用向量的数量积解决空间中的夹角和长度问题 课堂总结 课后作业：课本P106第7，8题 $