第二章 有理数及其运算题型总结2025-2026学年北师大版七年级数学上册

北师大版七年级上第二章 有理数及其运算题型总结 【题型一】正数和负数 【例1】（2025秋•新城区校级月考）若气温为零上5记作+5，则﹣3表示气温为（　　） A．零上3 B．零下﹣3 C．零下3 D．零下5 【例2】（2023秋•丹徒区月考）某种零件，标明要求是φ20±0.02mm（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是19.9mm，该零件 　 　 （填“合格”或“不合格”）． 【变式1】（2024秋•文水县月考）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，早在我国秦汉时期的《九章算术》中就引入了负数．若在粮谷计算中，益实一斗（增加1斗）记为+1斗，那么损实七斗（减少7斗）记为（　　） A．﹣1斗 B．+1斗 C．﹣7斗 D．+7斗 【变式2】（2025秋•灞桥区校级月考）2024年5月3日，嫦娥六号探测器开启世界首次月球背面采样返回之旅，月球表面的白天平均温度是零上126℃，记作+126℃，夜间平均温度是零下150℃，应记作（　　） A．+150℃ B．﹣150℃ C．+276℃ D．﹣276℃ 【变式3】（2024秋•延长县期末）中国是最早采用正负数表示相反意义的量并进行负数运算的国家．若零上3℃记作+3℃，则零下7℃可记作 　 　 ℃． 【题型二】有理数 【例1】（2024秋•雁塔区校级期中）下列判断语句中，错误的是（　　） A．最小的正整数是1 B．最大的负整数是﹣1 C．没有最大的有理数 D．最小的有理数是0 【例2】（2025秋•灞桥区校级月考）把下面的有理数填在相应的大括号里： 5，，0，﹣0.15，﹣128，，﹣0.，+20，． 正数集合：{ …}； 负分数集合：{ …}； 整数集合：{ …}． 【变式1】（2025秋•秦都区校级月考）在数0，5，﹣2004，﹣1.5中，属于负分数的是（　　） A．0 B．5 C．﹣2004 D．﹣1.5 【变式2】（2024秋•雁塔区校级月考）在下列六个数中：0，，，0.10101，﹣40%，5576，分数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3】（2024秋•碑林区校级月考）把几个数用大括号括起来，中间用逗号断开，如：，我们称之为集合，其中的数称为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数10﹣a也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为“好的集合”，例如集合{10，0}就是一个“好的集合”． （1）集合　 　 （填“是”或“不是”）“好的集合”． （2）请你再写出两个“好的集合”（不得与上面出现过的集合重复）　 　 ． （3）在所有“好的集合”中，元素个数最少的集合是　 　 ． 【题型三】数轴 【例1】（2024秋•雁塔区校级月考）点A在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧，若将点A移动5个单位长度到点B，此时点B表示的数是（　　） A．8 B．2 C．﹣8 D．﹣8或2 【例2】（2025秋•灞桥区校级月考）已知有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A．a＞﹣3 B．a＞b C．a+b＞0 D．﹣a＞c 【变式1】（2025秋•秦都区校级月考）如图，一动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，规定：每向左运动3秒就向右运动2秒．则动点运动到第2025秒时所对应的数是（　　） A．﹣405 B．﹣406 C．2024 D．2025 【变式2】（2024秋•宁强县期末）数轴上点P表示的数为﹣3，与点P距离为4个单位长度的点表示的数为（　　） A．1 B．﹣7 C．1或﹣7 D．1或7 【题型四】相反数 【例1】（2025•碑林区校级四模）的相反数是（　　） A． B． C．2 D．﹣2 【变式1】（2024秋•南郑区期末）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．2与﹣2 B．3与 C．﹣1与﹣1 D．0.1与10 【变式2】（2025•灞桥区校级四模）﹣2025的相反数是（　　） A．2025 B． C．﹣2025 D． 【题型五】绝对值 【例1】（2024秋•延长县期末）||的相反数是（　　） A． B． C． D． 【例2】（2025秋•秦都区校级月考）已知a、b、c均为不等于0的有理数，则的值为（　　） A．1或3 B．﹣1或﹣3 C．±1或±3 D．0或3 【变式1】（2025•章丘区二模）﹣2025的绝对值是（　　） A．2025 B． C．﹣2025 D． 【变式2】（2025秋•西安校级月考）利用绝对值的几何意义，则|x+3|+|x﹣2|的最小值是（　　） A．2 B．3 C．5 D．7 【题型六】非负数的性质：绝对值 【例1】（2025秋•灞桥区校级月考）若|a+1|与|b﹣2|互为相反数，则a﹣b的值为（　　） 【例2】（2024秋•新城区校级期中）已知|a+b+3|与（b+1）2互为相反数，则b﹣2a值等于（　　） A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．5 【变式1】（2025秋•雁塔区校级月考）|a﹣3|+|b+2|＝0，则a+b﹣3＝（　　） 【变式2】（2025秋•雁塔区校级月考）已知|2m﹣2|+|n+3|＝0，则3m+2n＝ 　 　 ． 【变式3】（2023秋•碑林区校级期末）已知|a+2|+（3﹣b）2＝0，则ab的值是 　 　 ． 【题型七】有理数大小比较 【例1】（2024秋•雁塔区校级期中）比较大小： 　 　 （填“＞”，“＜”或“＝”）． 【变式1】（2025•碑林区校级开学）有5个分数：，，，，，如果按大小顺序排列，排在中间的数是　 　 ． 【变式2】（2025秋•西安月考）下表是世界四个地方的海拔高度，其中海拔最低的是（　　） 艾丁湖（湖面） 珠穆朗玛峰 横沙岛 死海（海面） 海拔高度（m） ﹣154.31 8848.86 2.8 ﹣430.5 A．艾丁湖（湖面） B．珠穆朗玛峰 C．横沙岛 D．死海（海面） 【题型八】有理数的加法 【例1】（2025秋•新城区校级月考）某农户家准备出售5袋大米，称得质量如下：（单位：千克） 182，180，175，173，182． （1）填空：以180千克作为基准数，可用正、负数表示这5袋大米的质量与180的差为 　 　 ； （2）试计算这5袋大米的总质量是多少千克？ 【例2】（2025秋•新城区校级月考）已知a，b两数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A．a＞0 B．b＞0 C．a+b＜0 D．|a|＞|b| 【变式1】（2025秋•紫阳县月考）如图，将2，﹣6，4，﹣3，7，﹣2，﹣1，3分别填入圆圈内，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等，现已将2，﹣6，4，﹣3，7这五个数填入圆圈内，则图中m+n＝（　　） A．﹣5或2 B．﹣3或2 C．﹣4或1 D．﹣4或﹣1 【变式2】（2023秋•兰州校级期中）阅读下面文字： 对于，可以按如下方法计算： 原式， ， ． 上面这种方法叫做拆项法，仿照上面的方法，请你计算：． 【题型九】有理数的减法 【例1】（2025秋•新城区校级月考）计算： （1）（﹣12）﹣（﹣9）﹣（+15）﹣（+23）； （2）． 【变式1】（2025秋•新城区校级月考）已知|x|＝3，|y|＝2．若x＜y，求x﹣y的值． 【变式2】（2025秋•新城区校级月考）学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，也即当a≥0时，|a|＝a，当a＜0时，|a|＝﹣a，根据以上内容完成下面的问题： （1）|2﹣3|＝ 　 　 ； （2）|3.14﹣π|＝ 　 　 ； （3）如果有理数a＜b，则|a﹣b|＝ 　 　 ； （4）请利用你探究的结论计算下面式子：． 【题型十】有理数的加减混合运算 【例1】（2025秋•秦都区校级月考）计算.12+（﹣18）﹣（﹣7）﹣20． 【例2】（2023秋•洋县校级月考）已知a、b互为相反数，c是最大的负整数，求a+b﹣c的值． 【变式1】（2023秋•洋县校级月考）计算：（﹣3）+8﹣（﹣12）+（﹣5）． 【变式2】（2025秋•紫阳县月考）已知a是﹣5的相反数，b比最小的正整数大3，c是最大的负整数的相反数，求a+b﹣c的值． 【题型十一】有理数的乘法、除法运算 【例1】（2025秋•紫阳县月考）如图，小明有3张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题： （1）若从中抽出2张卡片，且这2个数字的差最小，应如何抽取？并求出差的最小值； （2）若从中抽出2张卡片，且这2个数字的积最大，应如何抽取？并求出积的最大值． 【例2】（2024秋•西安期中）计算：． 【变式1】（2024秋•延安月考）已知|a|＝3，b＝﹣2，ab＞0，求a+b的值． 【变式2】（2024秋•南郑区校级月考）请利用绝对值的性质，解决下面问题： （1）已知a，b是有理数，当a＞0时，则　1　 ；当b＜0时，则　 　 ． （2）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值． 【题型十二】有理数的混合运算 【例1】（2025秋•新城区校级月考）计算： （1） （﹣20）+（+8）+（﹣6）+（+2）； （2）； （3）（+15）+（﹣30）﹣（﹣12）﹣|2|； （4）4.25+（﹣2.18）﹣（﹣2.75）+5.18． 【例2】（2025秋•秦都区校级月考）定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝b﹣a；当a＜b时，a⊕b＝b+a．按上述规定计算的值为　 　 ． 【变式1】（2025秋•西安校级月考）计算： （1）20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13； （2）﹣2.4+3.5﹣4.6﹣3.5； （3）； （4）． 【变式2】（2024秋•礼泉县期末）按如图所示的运算程序运算，若开始输入x的值为﹣2，则最终输出的结果是（　　） A．11 B．20 C．31 D．44 【变式3】（2025秋•紫阳县月考）【问题情境】 如图1，送货员计划开车从货物集散中心出发送货（送货地点均在笔直的道路上）．为更直观地显示送货路线，可以将道路表示为如图2所示的以向东为正方向的数轴，货物集散中心在数轴上的原点处，数轴上1个单位长度表示实际距离为1km，送货员开车从货物集散中心出发，先向西行驶4km到达A村，继续向西行驶1km到达B村，最后向东行驶9km到达C村． 【问题发现】 （1）A、B、C三个村庄的位置在数轴上表示的数分别是点A、B、C，请在数轴上表示出点A、B、C的位置； 【初步探究】 （2）若送货员驾驶的汽车的耗油量为0.1升/千米，则该汽车从货物集散中心出发到达C村全程共耗油多少升？ 【拓展延伸】 （3）若在这条道路上有一个便民超市和一所学校，便民超市在数轴上表示的数是m，学校在数轴上表示的数是n，且n位于点B向西2km处的位置，m到点C的距离为3km，求mn的值． 【题型一】科学记数法—表示较大的数 【例1】（2024秋•碑林区校级期末）2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约2kg的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（　　） A．384×103 B．38.4×104 C．3.84×105 D．0.384×106 【变式1】（2025•西乡县校级模拟）人口问题已经成为严峻的全球性问题，我国目前正面临着严峻的人口挑战，包括人口老龄化加剧，出生人口男女性别比偏高，大量的人口流动，总和生育率明显低于更替水平，总人口增速趋缓等．根据统计，2024年我国出生人口约为8822100人，则出生人口可以用科学记数法表示为（　　）人． A．882.2×104 B．882.21×104 C．8.821×106 D．8.8221×106 【变式2】（2025•博罗县一模）由DeepSeek开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮，据国内AI产品榜统计数据，这款推理型AI聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（　　） A．0.2215×108 B．2.215×107 C．2.215×106 D．22.15×106 【课后练习】 1．（2024秋•鄠邑区期末）在﹣2，3.14，，0.1414，0.101001000…中，有理数的个数是（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．（2024秋•雁塔区校级月考）若|m+2|与|n﹣2|互为相反数，则mn＝　 　 ． 3．（2024秋•汉滨区校级期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，2（a+b）+cd的值． 4．（2024秋•新城区校级期中）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，p的绝对值等于2，则关于x的方程（a+b）x2+3cd•x﹣p2＝0的解是多少？ 5．（2025秋•新城区校级月考）下列四个数中，绝对值最大的是（　　） A．﹣5 B．0 C．3 D． 6．（2025秋•灞桥区校级月考）计算： （1）1+（﹣2）+|3|﹣5． （2）． 7．（2024秋•雁塔区校级期中）小明家购置了一辆续航为350km（充满电时能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后，连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如表（单位：km，以40km为标准，超过部分记为“+”，不足部分记为“﹣”）： 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ﹣6 +2 +5 ﹣3 +8 ﹣6 +7 （1）这7天路程最多的一大比最少的一天多走 　 　 km； （2）小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余续航不足总续航的10%，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版七年级上第一章 丰富的图形世界题型总结 【题型一】正数和负数 【例1】（2025秋•新城区校级月考）若气温为零上5记作+5，则﹣3表示气温为（　　） A．零上3 B．零下﹣3 C．零下3 D．零下5 【考点】正数和负数．版权所有 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，据此即可求得答案． 【解答】解：气温为零上5记作+5， 则负数表示零下， 那么﹣3表示气温为零下3， 故选：C． 【例2】（2023秋•丹徒区月考）某种零件，标明要求是φ20±0.02mm（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是19.9mm，该零件 　 　 （填“合格”或“不合格”）． 【考点】正数和负数．版权所有 【分析】φ20±0.02 mm，知零件直径最大是20+0.02＝20.02mm，最小是20﹣0.02＝19.98mm，合格范围在19.98mm和20.02mm之间． 【解答】解：零件合格范围在19.98mm和20.02mm之间．19.9mm＜19.98mm，所以不合格． 故答案为：不合格． 【变式1】（2024秋•文水县月考）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，早在我国秦汉时期的《九章算术》中就引入了负数．若在粮谷计算中，益实一斗（增加1斗）记为+1斗，那么损实七斗（减少7斗）记为（　　） A．﹣1斗 B．+1斗 C．﹣7斗 D．+7斗 【考点】正数和负数．版权所有 【分析】根据正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【解答】解：中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，早在我国秦汉时期的《九章算术》中就引入了负数．若在粮谷计算中，益实一斗（增加1斗）记为+1斗，那么损实七斗（减少7斗）记为﹣7斗， 故选：C． 【变式2】（2025秋•灞桥区校级月考）2024年5月3日，嫦娥六号探测器开启世界首次月球背面采样返回之旅，月球表面的白天平均温度是零上126℃，记作+126℃，夜间平均温度是零下150℃，应记作（　　） A．+150℃ B．﹣150℃ C．+276℃ D．﹣276℃ 【考点】正数和负数．版权所有 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解答】解：“正”和“负”相对，所以，2024年5月3日，嫦娥六号探测器开启世界首次月球背面采样返回之旅，月球表面的白天平均温度是零上126℃，记作+126℃，夜间平均温度是零下150℃，应记作﹣150℃． 故选：B． 【变式3】（2024秋•延长县期末）中国是最早采用正负数表示相反意义的量并进行负数运算的国家．若零上3℃记作+3℃，则零下7℃可记作 　 　 ℃． 【考点】正数和负数．版权所有 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解答】解：“正”和“负”相对，所以，若零上3℃记作+3℃，则零下7℃可记作﹣7℃． 故答案为：﹣7． 【题型二】有理数 【例1】（2024秋•雁塔区校级期中）下列判断语句中，错误的是（　　） A．最小的正整数是1 B．最大的负整数是﹣1 C．没有最大的有理数 D．最小的有理数是0 【考点】有理数．版权所有 【分析】本题主要考查的是有理数的知识，解决本题的关键是熟记没有最大的有理数，也没有最小的有理数． 【解答】解：最小的正整数是1，正确，A选项不符合题意； 最大的负整数是﹣1，正确，B选项不符合题意； 没有最大的有理数，正确，C选项不符合题意； 最小的有理数是0，错误，没有最小的有理数，D选项符合题意． 故选：D． 【例2】（2025秋•灞桥区校级月考）把下面的有理数填在相应的大括号里： 5，，0，﹣0.15，﹣128，，﹣0.，+20，． 正数集合：{ …}； 负分数集合：{ …}； 整数集合：{ …}． 【考点】有理数．版权所有 【分析】根据正数、负分数、整数的定义分别解答即可． 【解答】解：正数集合：{5，，+20，⋯}； 负分数集合：{，﹣0.15，﹣0.，⋯}； 整数集合：{5，0，﹣128，+20，⋯}． 故答案为：5，，+20； ，﹣0.15，﹣0.； 5，0，﹣128，+20． 【变式1】（2025秋•秦都区校级月考）在数0，5，﹣2004，﹣1.5中，属于负分数的是（　　） A．0 B．5 C．﹣2004 D．﹣1.5 【考点】有理数．版权所有 【分析】根据整数，分数的定义进行判断即可． 【解答】解：在数0，5，﹣2004，﹣1.5中，0，5，﹣2004都是整数，﹣1.5是负分数， 故选：D． 【变式2】（2024秋•雁塔区校级月考）在下列六个数中：0，，，0.10101，﹣40%，5576，分数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点】有理数．版权所有 【分析】根据分数的定义分别判断即可． 【解答】解：在0，，，0.10101，﹣40%，5576中，分数有3个，分别是，0.10101，﹣40%． 故选：B． 【变式3】（2024秋•碑林区校级月考）把几个数用大括号括起来，中间用逗号断开，如：，我们称之为集合，其中的数称为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数10﹣a也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为“好的集合”，例如集合{10，0}就是一个“好的集合”． （1）集合　 　 （填“是”或“不是”）“好的集合”． （2）请你再写出两个“好的集合”（不得与上面出现过的集合重复）　 　 ． （3）在所有“好的集合”中，元素个数最少的集合是　 　 ． 【考点】有理数．版权所有 【分析】（1）用10减去集合中的每一个元素，根据所得结果是否也在该集合中进行判断即可； （2）依据题意可知任意两个和为10的数字组成的集合都是一个好集合； （3）元素个数最少的集合中只要有一个元素，设其元素为a，故此10﹣a＝a，从而可求得问题的答案． 【解答】解：（1）10﹣（﹣2）＝12，10﹣7＝3，10，10﹣19＝﹣9， 故答案为：不是； （2）∵10﹣8＝2，10﹣4＝6，10﹣3＝7， ∴{2，8，4，6}、{3，7}是好集合． 故答案为：{2，8，4，6}、{3，7}； （3）元素个数的集合就是只有一个元素的集合，设其元素为a， 由题意得：a＝10﹣a，解得a＝5， ∴元素的个数最少的好集合是{5}． 故答案为：{5}． 【题型三】数轴 【例1】（2024秋•雁塔区校级月考）点A在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧，若将点A移动5个单位长度到点B，此时点B表示的数是（　　） A．8 B．2 C．﹣8 D．﹣8或2 【考点】数轴．版权所有 【分析】首先根据点A在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧，可得点A表示的数是﹣3；然后根据数轴上“右加左减”的规律，用点A表示的数加上5或减5，求出点B表示的数是多少即可． 【解答】解：∵点A在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧， ∴点A表示的数是﹣3 ∵将点A向右移动5个单位长度到点B， ∴此时点B表示的数是： ﹣3+5＝2． ∵将点A向左移动5个单位长度到点B， ﹣3﹣5＝﹣8． 故选：D． 【例2】（2025秋•灞桥区校级月考）已知有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A．a＞﹣3 B．a＞b C．a+b＞0 D．﹣a＞c 【考点】数轴．版权所有 【分析】根据数轴的特征即可解决问题． 【解答】解：根据有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置可知， ﹣4＜a＜﹣3， 故A错误． 数轴上的点所沿着正方向，所表示的数越来越大， 所以a＜b， 故B错误． 根据a，b离原点的远近可知， |a|＞|b|， 又a＜0， 所以a+b＜0， 故C错误． 根据对称性可知， 3＜﹣a＜4， 又2＜c＜3， 所以﹣a＞c， 故D正确． 故选：D． 【变式1】（2025秋•秦都区校级月考）如图，一动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，规定：每向左运动3秒就向右运动2秒．则动点运动到第2025秒时所对应的数是（　　） A．﹣405 B．﹣406 C．2024 D．2025 【考点】数轴．版权所有 【分析】根据点运动的规律可知每运动5秒，点就向左移动1个单位长度，2025秒中共有405个5秒，所以第2025秒时点对应的数是405×（﹣1）． 【解答】解：一动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，规定：每向左运动3秒就向右运动2秒． 当动点从原点出发向左运动3秒，到达的点表示的数为﹣3， 再向右运动2秒到达的点表示的数为﹣3+2＝﹣1， ∴动点运动5秒向左移动1个单位长度， ∵2025÷5＝405， ∴动点向左运动了405个5秒， ∴动点运动到第2025秒时所对应的数是405×（﹣1）＝﹣405． 【变式2】（2024秋•宁强县期末）数轴上点P表示的数为﹣3，与点P距离为4个单位长度的点表示的数为（　　） A．1 B．﹣7 C．1或﹣7 D．1或7 【考点】数轴．版权所有 【分析】求出比﹣3大4和比﹣3小4的数即可． 【解答】解：∵﹣3+4＝1，﹣3﹣4＝﹣7， ∴与点P距离为4个单位长度的点表示的数为1或﹣7， 故选：C． 【题型四】相反数 【例1】（2025•碑林区校级四模）的相反数是（　　） A． B． C．2 D．﹣2 【考点】相反数．版权所有 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【解答】解：的相反数是， 故选：A． 【变式1】（2024秋•南郑区期末）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．2与﹣2 B．3与 C．﹣1与﹣1 D．0.1与10 【考点】相反数．版权所有 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可求解． 【解答】解：A、2的相反数是﹣2，所以2与﹣2互为相反数，故此选项符合题意； B、3的相反数是﹣3，所以3与不互为相反数，故此选项不符合题意； C、﹣1的相反数是1，所以﹣1与﹣1不互为相反数，故此选项不符合题意； D、0.1的相反数是﹣0.1，所以0.1与10不互为相反数，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式2】（2025•灞桥区校级四模）﹣2025的相反数是（　　） A．2025 B． C．﹣2025 D． 【考点】相反数．版权所有 【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【解答】解：﹣2025的相反数是2025． 故选：A． 【题型五】绝对值 【例1】（2024秋•延长县期末）||的相反数是（　　） A． B． C． D． 【考点】绝对值；相反数．版权所有 【分析】先把所给的式子化简，再根据相反数的定义得出即可． 【解答】解：∵||， ∴||的相反数是， 故选：A． 【例2】（2025秋•秦都区校级月考）已知a、b、c均为不等于0的有理数，则的值为（　　） A．1或3 B．﹣1或﹣3 C．±1或±3 D．0或3 【考点】绝对值．版权所有 【分析】根据绝对值的意义可知±1，±1，±1，然后讨论可能取值所得的结果． 【解答】解：∵a、b、c为不等于0的有理数， ∴|a|＝±a，|b|＝±b，|c|＝±c， ∴±1，±1，±1， ∴原式＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3， 或原式＝﹣1﹣1+1＝﹣1， 或原式＝﹣1+1+1＝1， 或原式＝+1+1+1＝3． 故选：C． 【变式1】（2025•章丘区二模）﹣2025的绝对值是（　　） A．2025 B． C．﹣2025 D． 【考点】绝对值．版权所有 【分析】根据绝对值的定义即可解决问题． 【解答】解：由题知， ﹣2025的绝对值是2025． 故选：A． 【变式2】（2025秋•西安校级月考）利用绝对值的几何意义，则|x+3|+|x﹣2|的最小值是（　　） A．2 B．3 C．5 D．7 【考点】绝对值．版权所有 【分析】根据绝对值的几何意义可知|x+3|+|x﹣2|的几何意义是表示数轴上x对应点到﹣3对应点和2对应点的距离和，当x对应点在﹣3对应点和2对应点之间时，距离和最小，即可得解． 【解答】解：根据绝对值的几何意义可知，|x+3|+|x﹣2|表示数轴上x对应点到﹣3对应点和2对应点的距离和， 求|x+3|+|x﹣2|的最小值即当x对应点在﹣3对应点和2对应点之间时，距离和最小， ∴|x+3|+|x﹣2|的最小值是2﹣（﹣3）＝5， 故选：C． 【题型六】非负数的性质：绝对值 【例1】（2025秋•灞桥区校级月考）若|a+1|与|b﹣2|互为相反数，则a﹣b的值为（　　） A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3 【考点】非负数的性质：绝对值．版权所有 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|a+1|和|b﹣2|互为相反数， ∴|a+1|+|b﹣2|＝0， ∴a+1＝0，b﹣2＝0， ∴a＝﹣1，b＝2， ∴a﹣b＝﹣1﹣2＝﹣3． 故选：D． 【例2】（2024秋•新城区校级期中）已知|a+b+3|与（b+1）2互为相反数，则b﹣2a值等于（　　） A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．5 【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值．版权所有 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|a+b+3|和（b+1）2互为相反数， ∴|a+b+3|+（b+1）2＝0， ∴a+b+3＝0，b+1＝0， ∴a＝﹣2，b＝﹣1， ∴b﹣2a＝﹣1﹣2×（﹣2）＝3． 故选：C． 【变式1】（2025秋•雁塔区校级月考）|a﹣3|+|b+2|＝0，则a+b﹣3＝（　　） A．3 B．﹣2 C．﹣3 D．2 【考点】非负数的性质：绝对值．版权所有 【分析】根据非负数的性质，可求出a、b的值，然后将代数式化简再代值计算． 【解答】解：∵|a﹣3|+|b+2|＝0， ∴|a﹣3|＝0，|b+2|＝0， 解得，a＝3或b＝﹣2， 则a+b﹣3＝3﹣2﹣3＝﹣2． 故选：B． 【变式2】（2025秋•雁塔区校级月考）已知|2m﹣2|+|n+3|＝0，则3m+2n＝ 　 　 ． 【考点】非负数的性质：绝对值．版权所有 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|2m﹣2|+|n+3|＝0， ∴2m﹣2＝0，n+3＝0， ∴m＝1，n＝﹣3， ∴3m+2n＝3×1+2×（﹣3）＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【变式3】（2023秋•碑林区校级期末）已知|a+2|+（3﹣b）2＝0，则ab的值是 　 　 ． 【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值．版权所有 【分析】先根据非负数的性质得出a，b的值，再进行计算即可． 【解答】解：∵|a+2|+（3﹣b）2＝0， ∴a+2＝0，3﹣b＝0， 解得a＝﹣2，b＝3， ∴ab＝（﹣2）3＝﹣8． 故答案为：﹣8． 【题型七】有理数大小比较 【例1】（2024秋•雁塔区校级期中）比较大小： 　 　 （填“＞”，“＜”或“＝”）． 【考点】有理数大小比较；绝对值．版权所有 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：∵，， ∴． 故答案为：＜． 【变式1】（2025•碑林区校级开学）有5个分数：，，，，，如果按大小顺序排列，排在中间的数是　　 ． 【考点】有理数大小比较．版权所有 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：∵0.，0.625，0.652174，0.588235，0.631579， ∴， ∴排在中间的数是， 故答案为：． 【变式2】（2025秋•西安月考）下表是世界四个地方的海拔高度，其中海拔最低的是（　　） 艾丁湖（湖面） 珠穆朗玛峰 横沙岛 死海（海面） 海拔高度（m） ﹣154.31 8848.86 2.8 ﹣430.5 A．艾丁湖（湖面） B．珠穆朗玛峰 C．横沙岛 D．死海（海面） 【考点】有理数大小比较；正数和负数．版权所有 【分析】由已知可知8848.86＞2.8＞0＞﹣154.31＞﹣430.5，结合题意，最小的即为所求． 【解答】解：∵|﹣154.31|＝154.31，|﹣430.5|＝430.5， ∴8848.86＞2.8＞0＞﹣154.31＞﹣430.5， ∴海拔最低的是﹣430.5米． 故选：D． 【题型八】有理数的加法 【例1】（2025秋•新城区校级月考）某农户家准备出售5袋大米，称得质量如下：（单位：千克） 182，180，175，173，182． （1）填空：以180千克作为基准数，可用正、负数表示这5袋大米的质量与180的差为 　+2，0，﹣5，﹣7，+2　 ； （2）试计算这5袋大米的总质量是多少千克？ 【考点】有理数的加法；正数和负数．版权所有 【分析】（1）在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示； （2）根据有理数的混合计算解答即可． 【解答】解：（1）因为几次称得的质量都比较接近180，所以取180千克为基准数，超过180千克的记作正数，低于180千克的记作负数，那么各袋大米的质量分别为：+2，0，﹣5，﹣7，+2， 故取180千克为基准数，用正、负数表示这5袋大米的质量与180的差为：+2，0，﹣5，﹣7，+2； 故答案为：+2，0，﹣5，﹣7，+2； （2）这5袋大米的总质量为：180×5+（2+0﹣5﹣7+2）＝892（千克）， 答：这5袋大米的总质量是892千克． 【例2】（2025秋•新城区校级月考）已知a，b两数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A．a＞0 B．b＞0 C．a+b＜0 D．|a|＞|b| 【考点】有理数的加法；数轴；绝对值．版权所有 【分析】通过两数在数轴上的位置，判断数的正负，数式的正负． 【解答】解：由数轴可以看出，a、b都小于0，b距离原点比a远， 故答案为：C． 【变式1】（2025秋•紫阳县月考）如图，将2，﹣6，4，﹣3，7，﹣2，﹣1，3分别填入圆圈内，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等，现已将2，﹣6，4，﹣3，7这五个数填入圆圈内，则图中m+n＝（　　） A．﹣5或2 B．﹣3或2 C．﹣4或1 D．﹣4或﹣1 【考点】有理数的加法；有理数．版权所有 【分析】先求出横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和为2，再求出m的值，由此即可得n的值，代入计算即可得． 【解答】解：由题意得：﹣6+4﹣3+7 ＝﹣2﹣3+7 ＝﹣5+7 ＝2， ∴m+4+2﹣3＝2， m+3＝2， ∴m＝﹣1， ∵将2，﹣6，4，﹣3，7，﹣2，﹣1，3分别填入圆圈内， ∴n＝﹣2或3， 当m＝﹣1，n＝﹣2时，m+n＝﹣1﹣2＝﹣3， 当m＝﹣1，n＝3时，m+n＝﹣1+3＝2， 综上所述，m+n的值为﹣3或2， 故选：B． 【变式2】（2023秋•兰州校级期中）阅读下面文字： 对于，可以按如下方法计算： 原式， ， ． 上面这种方法叫做拆项法，仿照上面的方法，请你计算：． 【考点】有理数的加法．版权所有 【分析】根据题干给定的方法，利用拆项法进行计算即可． 【解答】解：原式 ． 【题型九】有理数的减法 【例1】（2025秋•新城区校级月考）计算： （1）（﹣12）﹣（﹣9）﹣（+15）﹣（+23）； （2）． 【考点】有理数的减法；绝对值．版权所有 【分析】（1）根据有理数减法运算法则计算即可求解； （2）先去绝对值，按照计算法则计算即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣12+9+（﹣15）+（﹣23） ＝﹣3+（﹣15）+（﹣23） ＝﹣41； （2）原式 ． 【变式1】（2025秋•新城区校级月考）已知|x|＝3，|y|＝2．若x＜y，求x﹣y的值． 【考点】有理数的减法；绝对值．版权所有 【分析】先依据绝对值的性质求得x、y的值，然后依据x＜y进行分类计算即可． 【解答】解：∵|x|＝3，|y|＝2， ∴x＝±3，y＝±2． ∵x＜y， ∴x＝﹣3，y＝2或x＝﹣3，y＝﹣2． ∴x﹣y＝﹣3﹣2＝﹣5或x﹣y＝﹣3﹣（﹣2）＝﹣1． 【变式2】（2025秋•新城区校级月考）学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，也即当a≥0时，|a|＝a，当a＜0时，|a|＝﹣a，根据以上内容完成下面的问题： （1）|2﹣3|＝ 　1　 ； （2）|3.14﹣π|＝ 　π﹣3.14　 ； （3）如果有理数a＜b，则|a﹣b|＝ 　b﹣a　 ； （4）请利用你探究的结论计算下面式子：． 【考点】有理数的减法；相反数；绝对值．版权所有 【分析】（1）原式利用绝对值的代数意义计算即可求出值； （2）原式利用绝对值的代数意义计算即可求出值； （3）判断a﹣b的正负，利用绝对值的代数意义计算即可求出值； （4）原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可求出值． 【解答】解：（1）|2﹣3|＝|﹣1|＝1， 故答案为：1； （2）∵π＞3.14， ∴3.14﹣π＜0， ∴|3.14﹣π|＝π﹣3.14， 故答案为：π﹣3.14； （3）∵a＜b，即a﹣b＜0， ∴|a﹣b|＝b﹣a， 故答案为：b﹣a； （4） ． 【题型十】有理数的加减混合运算 【例1】（2025秋•秦都区校级月考）计算.12+（﹣18）﹣（﹣7）﹣20． 【考点】有理数的加减混合运算．版权所有 【分析】将减法化为加法，然后利用有理数的加法法则从左往右依次计算即可． 【解答】解：原式＝12+（﹣18）+7+（﹣20） ＝﹣6+7+（﹣20） ＝1+（﹣20） ＝﹣19． 【例2】（2023秋•洋县校级月考）已知a、b互为相反数，c是最大的负整数，求a+b﹣c的值． 【考点】有理数的加减混合运算；相反数．版权所有 【分析】根据相反数的性质及负整数的定义求得a+b＝0，c＝﹣1，然后代入计算即可 【解答】解：∵a、b互为相反数，c是最大的负整数， ∴a+b＝0，c＝﹣1， ∴a+b﹣c ＝0﹣（﹣1） ＝0+1 ＝1． 【变式1】（2023秋•洋县校级月考）计算：（﹣3）+8﹣（﹣12）+（﹣5）． 【考点】有理数的加减混合运算．版权所有 【分析】先去括号，再利用有理数加减运算法则计算即可． 【解答】解：原式＝﹣3+8+12﹣5 ＝5+12﹣5 ＝12． 【变式2】（2025秋•紫阳县月考）已知a是﹣5的相反数，b比最小的正整数大3，c是最大的负整数的相反数，求a+b﹣c的值． 【考点】有理数的加减混合运算；相反数．版权所有 【分析】根据相反数及有理数的定义求出a、b、c，代入a+b﹣c即可求解． 【解答】解：∵a是﹣5的相反数， ∴a＝5， ∵b比最小的正整数大3，最小的正整数是1， ∴b＝1+3＝4， ∵c是最大的负整数的相反数，最大的负整数是﹣1， ∴c＝1， ∴a+b﹣c＝5+4﹣1＝8． 【题型十一】有理数的乘法、除法运算 【例1】（2025秋•紫阳县月考）如图，小明有3张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题： （1）若从中抽出2张卡片，且这2个数字的差最小，应如何抽取？并求出差的最小值； （2）若从中抽出2张卡片，且这2个数字的积最大，应如何抽取？并求出积的最大值． 【考点】有理数的乘法．版权所有 【分析】（1）先将数排大小得﹣8＜﹣1＜6，抽取最大数，最小数，且计算最小数与最大数的差，此时2个数字的差最小解答即可； （2）抽取同号两数，计算积解答即可． 【解答】解：（1）根据题意得：﹣8＜﹣1＜6，最大数是6，最小数是﹣8， 故差的最小值是：﹣8﹣6＝﹣8+（﹣6）＝﹣14， 故抽取的2张卡片是6、﹣8，它们差最小，最小值是﹣14． （2）根据题意得：﹣8＜﹣1＜6， 根据有理数的乘法法则可得： 同号数组为﹣8，﹣1，积为（﹣8）×（﹣1）＝8， 故抽取的2张卡片是﹣1、﹣8，它们积最大，最大值是8． 【例2】（2024秋•西安期中）计算：． 【考点】有理数的除法．版权所有 【分析】将除法转化为乘法，再根所乘法的运算法则计算即可． 【解答】解：原式 ＝2． 【变式1】（2024秋•延安月考）已知|a|＝3，b＝﹣2，ab＞0，求a+b的值． 【考点】有理数的乘法；绝对值；有理数的加法．版权所有 【分析】首先依据绝对值求得a＝±3，然后结合条件ab＞0即可求解， 【解答】解：因为|a|＝3， 所以a＝±3， 因为b＝﹣2，ab＞0， 所以a＝﹣3， 所以a+b＝﹣3+（﹣2）＝﹣5． 【变式2】（2024秋•南郑区校级月考）请利用绝对值的性质，解决下面问题： （1）已知a，b是有理数，当a＞0时，则　1　 ；当b＜0时，则　 　 ． （2）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值． 【考点】有理数的乘法；绝对值；有理数的加法．版权所有 【分析】（1）直接根据绝对值的性质求解即可； （2）a+b+c＝0，abc＜0可知三个数中必需有两个正数，一个负数，可设a＞0，b＞0，c＜0解答． 【解答】解：（1）∵a＞0，|a|＝a， ∴1； ∵b＜0， ∴|b|＝﹣b， ∴1． 故答案为：1，﹣1； （2）∵a+b+c＝0，abc＜0， ∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设a＞0，b＞0，c＜0， ∴a＝﹣（b+c），b＝﹣（a+c），c＝﹣（a+b）， ∴原式1﹣1+1＝﹣1． 【题型十二】有理数的混合运算 【例1】（2025秋•新城区校级月考）计算： （1）（﹣20）+（+8）+（﹣6）+（+2）； （2）； （3）（+15）+（﹣30）﹣（﹣12）﹣|2|； （4）4.25+（﹣2.18）﹣（﹣2.75）+5.18． 【考点】有理数的混合运算．版权所有 【分析】（1）利用加法的交换律与结合律，将正数、负数分别结合并计算，然后把结果相加即可； （2）将减法统一成加法，利用加法的交换律与结合律，把和为整数的两组数分别结合并计算，然后把结果相加即可； （3）先算绝对值，再将减法统一成加法，利用加法的交换律与结合律，将正数、负数分别结合并计算，然后把结果相加即可； （4）将减法统一成加法，利用加法的交换律与结合律，把和为整数的两组数分别结合并计算，然后把结果相加即可． 【解答】解：（1）原式＝[（﹣20）+（﹣6）]+[（+8）+（+2）] ＝﹣26+10 ＝﹣16； （2）原式＝5.75+4（﹣2.75）+（﹣7） ＝[5.75+（﹣2.75）]+[4（﹣7）] ＝3+（﹣3） ＝0； （3）原式＝15+（﹣30）+12﹣2 ＝15+（﹣30）+12+（﹣2） ＝（15+12）+[（﹣30）+（﹣2）] ＝27+（﹣32） ＝﹣5； （4）原式＝4.25+（﹣2.18）+2.75+5.18 ＝（4.25+2.75）+[（﹣2.18）+5.18] ＝7+3 ＝10． 【例2】（2025秋•秦都区校级月考）定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝b﹣a；当a＜b时，a⊕b＝b+a．按上述规定计算的值为　 　 ． 【考点】有理数的混合运算．版权所有 【分析】按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：（）+（﹣2）＝﹣2.5， 故答案为：﹣2.5． 【变式1】（2025秋•西安校级月考）计算： （1）20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13； （2）﹣2.4+3.5﹣4.6﹣3.5； （3）； （4）． 【考点】有理数的混合运算．版权所有 【分析】（1）从左到右依次计算即可； （2）运用加法交换律和结合律进行简算； （3）运用加法交换律和结合律进行简算； （4）运用乘法分配律进行简算． 【解答】解：（1）原式＝20﹣14+18﹣13 ＝6+18﹣13 ＝24﹣13 ＝11； （2）原式＝﹣（2.4+4.6）+（3.5﹣3.5） ＝﹣7+0 ＝﹣7； （3）原式 ＝﹣20+15 ＝﹣5； （4）原式 ＝﹣6+24﹣15 ＝18﹣15 ＝3． 【变式2】（2024秋•礼泉县期末）按如图所示的运算程序运算，若开始输入x的值为﹣2，则最终输出的结果是（　　） A．11 B．20 C．31 D．44 【考点】有理数的混合运算．版权所有 【分析】根据题意列式计算即可求解． 【解答】解：根据流程图列出算式可得：开始输入x的值为﹣2， 则（﹣2）2﹣5＝﹣1＜10，（﹣1）2﹣5＝﹣4＜10， ∴（﹣4）2﹣5＝11＞10， 故选：A． 【变式3】（2025秋•紫阳县月考）【问题情境】 如图1，送货员计划开车从货物集散中心出发送货（送货地点均在笔直的道路上）．为更直观地显示送货路线，可以将道路表示为如图2所示的以向东为正方向的数轴，货物集散中心在数轴上的原点处，数轴上1个单位长度表示实际距离为1km，送货员开车从货物集散中心出发，先向西行驶4km到达A村，继续向西行驶1km到达B村，最后向东行驶9km到达C村． 【问题发现】 （1）A、B、C三个村庄的位置在数轴上表示的数分别是点A、B、C，请在数轴上表示出点A、B、C的位置； 【初步探究】 （2）若送货员驾驶的汽车的耗油量为0.1升/千米，则该汽车从货物集散中心出发到达C村全程共耗油多少升？ 【拓展延伸】 （3）若在这条道路上有一个便民超市和一所学校，便民超市在数轴上表示的数是m，学校在数轴上表示的数是n，且n位于点B向西2km处的位置，m到点C的距离为3km，求mn的值． 【考点】有理数的混合运算；数轴．版权所有 【分析】（1）以货物集散中心O为原点，以向西的方向为负方向，表示出A村，B村的位置，向东为正表示出C村位置即可； （2）用货车每千米的耗油量乘这辆货车一共行驶的路程，求出这趟路货车共耗油多少升即可； （3）根据n位于点B向西2km处的位置，m到点C的距离为3km，求出m，n的值再求解即可． 【解答】解：（1）∵货车从货物集散中心出发，向西走了4千米到达A村， ∴A表示的数为：﹣4， ∵货车继续向西走1千米到达B村， ∴B表示的数为：（﹣4）+（﹣1）＝﹣5， ∵然后向东走了9千米到达C村， ∴C表示的数为：（﹣5）+（+9）＝+4， ∴A、B、C的位置如图， ； （2）∵货车所走的路程为：|﹣4|+|﹣1|+|+9|＝14（km）， 汽车的耗油量为0.1升/千米， ∴到达C村全程共耗油＝14×0.1＝1.4（升）， 答：到达C村全程共耗油1.4升； （3）∵B表示的数为﹣5，C表示的数为+4， n位于点B向西2km处的位置，m到点C的距离为3km， ∴n点位于﹣7的位置，m点位于1或7的位置， ∴当m＝1时，mn＝1×（﹣7）＝﹣7， 当m＝7时，mn＝7×（﹣7）＝﹣49， ∴mn的值为﹣7或﹣49． 【题型一】科学记数法—表示较大的数 【例1】（2024秋•碑林区校级期末）2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约2kg的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（　　） A．384×103 B．38.4×104 C．3.84×105 D．0.384×106 【考点】科学记数法—表示较大的数．版权所有 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：384000＝3.84×105． 故选：C． 【变式1】（2025•西乡县校级模拟）人口问题已经成为严峻的全球性问题，我国目前正面临着严峻的人口挑战，包括人口老龄化加剧，出生人口男女性别比偏高，大量的人口流动，总和生育率明显低于更替水平，总人口增速趋缓等．根据统计，2024年我国出生人口约为8822100人，则出生人口可以用科学记数法表示为（　　）人． A．882.2×104 B．882.21×104 C．8.821×106 D．8.8221×106 【考点】科学记数法—表示较大的数．版权所有 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：8822100＝8.8221×106． 故选：D． 【变式2】（2025•博罗县一模）由DeepSeek开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮，据国内AI产品榜统计数据，这款推理型AI聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（　　） A．0.2215×108 B．2.215×107 C．2.215×106 D．22.15×106 【考点】科学记数法—表示较大的数．版权所有 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：22150000＝2.215×107． 故选：B． 【课后练习】 1．（2024秋•鄠邑区期末）在﹣2，3.14，，0.1414，0.101001000…中，有理数的个数是（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【考点】有理数．版权所有 【分析】有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【解答】解：在﹣2，3.14，，0.1414，0.101001000…中，有理数的个数为﹣2，3.14，，0.1414，共4个， 故选：B． 2．（2024秋•雁塔区校级月考）若|m+2|与|n﹣2|互为相反数，则mn＝　 　 ． 【考点】非负数的性质：绝对值．版权所有 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|m+2|和|n﹣2|互为相反数， ∴|m+2|+|n﹣2|＝0， ∴m+2＝0，n﹣2＝0， ∴m＝﹣2，n＝2， ∴mn＝4， 故答案为：4． 3．（2024秋•汉滨区校级期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，2（a+b）+cd的值． 【考点】倒数；相反数．版权所有 【分析】根据相反数、倒数的定义得出a+b＝0，cd＝1，再代入计算即可． 【解答】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数， ∴a+b＝0，cd＝1， ∴2（a+b）+cd＝0+1＝1， 答：2（a+b）+cd的值为1． 4．（2024秋•新城区校级期中）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，p的绝对值等于2，则关于x的方程（a+b）x2+3cd•x﹣p2＝0的解是多少？ 【考点】倒数；相反数；绝对值．版权所有 【分析】直接利用倒数以及绝对值、相反数的定义得出答案． 【解答】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，p的绝对值等于2， ∴a+b＝0，cd＝1，p2＝4， ∴（a+b）x2+3cd•x﹣p2＝0， 整理得：3x﹣4＝0， 解得：x． 5．（2025秋•新城区校级月考）下列四个数中，绝对值最大的是（　　） A．﹣5 B．0 C．3 D． 【考点】有理数大小比较；绝对值．版权所有 【分析】先求出每个数的绝对值，再比较即可． 【解答】解：∵|﹣5|＝5，|0|＝0，|3|＝3，||， ∵03＜5， ∴绝对值最大的数是﹣5． 故选：A． 6．（2025秋•灞桥区校级月考）计算： （1）1+（﹣2）+|3|﹣5． （2）． 【考点】有理数的加减混合运算；绝对值．版权所有 【分析】（1）利用绝对值性质先化简，然后利用加法的交换律和结合律进行计算即可； （2）先利用绝对值性质先化简，然后去括号，最后利用加法的交换律和结合律进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝1﹣2+3﹣5 ＝1+3﹣2﹣5 ＝4﹣7 ＝﹣3； （2）原式（1） 1 1 ＝0． 7．（2024秋•雁塔区校级期中）小明家购置了一辆续航为350km（充满电时能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后，连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如表（单位：km，以40km为标准，超过部分记为“+”，不足部分记为“﹣”）： 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ﹣6 +2 +5 ﹣3 +8 ﹣6 +7 （1）这7天路程最多的一大比最少的一天多走 　14　 km； （2）小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余续航不足总续航的10%，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【考点】有理数的加减混合运算；正数和负数．版权所有 【分析】（1）观察表格可知：第五天行驶了48km，第一天和第六天行驶了34km，然后根据有理数的减法法则进行解答即可； （2）先求出新能源纯电汽车7天行驶的总路程，再求出用电量剩余15%时汽车所行驶的路程，然后进行比较即可判断． 【解答】解：（1）由表格可知：第五天行驶了48km，第一天和第六天行驶了34km， ∴最多的一大比最少的一天多走48﹣34＝14（km）． 故答案为：14； （2）由题意得：﹣6+2+5﹣3+8﹣6+7 ＝2+5+8+7﹣6﹣3﹣6 ＝22﹣15 ＝7（km）， 40×7+7 ＝280+7 ＝287（km）， 350﹣350×10% ＝350﹣35 ＝315（km）， ∵315＞287， ∴行车电脑不会发出充电提示． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $