专题07 一次函数实际应用题型汇编（四大高频题型）-2025-2026学年八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版新教材）

专题07 一次函数实际应用题型汇编 【题型1：分配方案问题】.....................................................................................1 【题型2：最大利润问题】.....................................................................................10 【题型3：行程问题】............................................................................................18 【题型4：情景问题（新颖题）】..............................................................................29 【题型1：分配方案问题】 1．周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足游客需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费； 乙方案：游客进园不需要购买门票，采摘的杨梅质量在10千克以内按原价收费，超过10千克后，超过部分按原价的五折收费． 设采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出，与之间的函数关系式； (2)当采摘多少千克时，两种方案的价格相同？ (3)若采摘量为30千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． 【答案】(1)，． (2)1.875千克或42.5千克 (3)甲方案更划算，理由见解析 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解答的关键． （1）根据两种方案分别求函数关系式即可； （2）分当时和当时两种情况，令，分别解一元一次方程即可求解； （3）分别求出时的，，比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：当采摘量超过10千克时，， 根据题意，得； ； （2）解：当时，， 令，则，解得； 当时，令，则，解得， 答：当采摘1.875千克或42.5千克时，两种方案的价格相同． （3）解：选择甲方案更划算．理由如下： 当时，． 因为，所以选择甲方案更划算． 2．A县和B县春季分别急需化肥100吨和60吨，C县和D县分别储存化肥110吨和50吨，全部调配给A县和B县．运费如下表所示： 出发地 运费（元/吨） 目的地          C县          D县 A县 40 45 B县 35 50 (1)设从C县运到A县的化肥为x吨，则从C县运往B县的化肥为 吨，从D县运往A县的化肥为 吨，从D县运往B县的化肥为 吨； (2)求总运费W（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)求最低总运费，并说明运费最低时的运送方案． 【答案】(1)，， (2) (3)最低运费6350元；从C县运到A县的化肥为50吨，从C县运往B县的化肥为60吨，D县的化肥全运往A县 【分析】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意和题目中的数据，可以写出总运费W（单位：元）关于x（单位：t）的函数解析式，并求出自变量x的取值范围； （3）根据（1）中的函数关系式和一次函数的性质，可以求得最低总运费和此时的运送方案． 【详解】（1）解：从C县运往B县的化肥：， 从D县运往A县的化肥：， 从D县运往B县的化肥：； （2）解：， A县的化肥全从C县运进，则， D县的化肥全运往A县，则， 所以自变量x的取值范围是； （3）解：由（2）知：， ∴w与x成一次函数，，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w最小， （元）， 从C县运到A县的化肥为50吨，从C县运往B县的化肥为吨，从D县运往A县的化肥为吨，D县的化肥全运往A县． 3．城有肥料200吨，城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往、两乡．从城运往、两乡运肥料的费用分别是每吨20元和25元，从城往、两乡运肥料的费用分别为每吨15元和24元，现在乡需要肥料240吨，乡需要肥料260吨． (1)若从城运往乡所需运费是从城运往乡所需运费的一半，求从A城运往D乡的肥料为多少吨？ (2)怎样调运化肥，可使总运费最少？最少运费是多少？ 【答案】(1)从城运往乡的化肥为110吨 (2)从城运往乡化肥0吨，从A城运往乡化肥200吨，从城运往乡化肥240吨，从城运往乡化肥60吨时，总运费最少，为10040元 【分析】本题考查了一次函数的应用，难点在于表示出运往各地的化肥吨数． （1）设从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，根据题意得：，求解即可． （2）设从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，总运费为y，然后根据总运费的表达式列式整理，再根据运往各地的肥料数不小于0列式求出x的取值范围，根据一次函数的增减性解答即可.. 【详解】（1）解：设从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨； 由题意得：，解得：， （吨） 答：从A城运往D乡的化肥为110吨： （2）解：设从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨； 由题意得：利润， ，随增大而增大． 又 当时，总运费最少，最少为（元） 答：从A城运往C乡化肥0吨，从A城运往D乡化肥200吨，从B城运往C乡化肥240吨，从B城运往D乡化肥60吨时，总运费最少，为10040元． 4．某市两个蔬菜基地得知四川两个灾民安置点分别急需蔬菜和的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知蔬菜基地有蔬菜，蔬菜基地有蔬菜，现将这些蔬菜全部调运两个灾民安置点，从地运往两处的费用分别为每吨元和元，从地运往两处的费用分别为每吨元和元．设从地运往处的蔬菜为吨． (1)请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时的值： 总计/ 总计/ (2)设两个蔬菜基地的总运费为元，求出与之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； (3)经过抢修，从地到处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少元（），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案． 【答案】(1)填表见解析，两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时的值为； (2)，调运方案见解析； (3)调运方案见解析． 【分析】（）根据题意，用减可得需要从处调运的数量，用减去可得从调研往处的数量，用减去即为从调运往处的数量； （）根据调运总费用等于四种调运单价分别乘以对应的吨数，易得与的函数关系，列不等式组可解； （）本题根据的取值范围不同而有不同的解，分、和三情况解答即可； 本题考查了一次函数在实际问题中的应用，根据题意，正确得出一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：（）填表如下：             总计/ 总计/ 依题意得：， 解得， ∴两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时，的值为； （2）解：与之间的函数关系为： 由题意得：， ∴， ∵在中，， ∴随的增大而增大， ∴当时，总运费最小， 此时调运方案为： 总计/ 总计/ （3）解：由题意得， ∴当时，（）中调运方案总费用最小； 当时，在的前提下调运方案的总费用不变； 当时，总费用最小，其调运方案如下： 总计/ 总计/ 5．国庆节期间，某水果公司组织20辆汽车装运A、B、C三种水果共120吨去外地销售，要求20辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每种水果的车辆都不少于3辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： A B C 每辆汽车载货量（吨） 7 6 5 每吨水果获利（元） 1200 1800 1500 (1)设装运A水果的车辆为x辆，装B水果的车辆为y辆，求y与x之间的函数关系式，并求出车辆安排共有几种方案． (2)用w来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出w的最大值． 【答案】(1)，共有6种方案 (2)装运A水果的车辆为3辆，装运B水果的车辆为14辆，装运C水果的车辆为3辆时，此次销售获利最大，最大利润为198900元 【分析】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，理清题目中的数量关系是解题的关键； （1）设装运A水果的车辆为x辆，装运B水果的车辆为y辆，则运C水果的车辆 辆，根据表格可列出等量关系式化简得，根据x为正整数，可得共有6种方案； （2）由利润=车辆数每车水果获利，可得w与x的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可； 【详解】（1）设装运A水果的车辆为x辆，装运B水果的车辆为y辆，则运C水果的车辆为辆． ； 由题意得： ， 解得： ， ∵x为正整数， 故共有6种方案； （2）， 即， ， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w有最大值198900元， ∴装运A水果的车辆为3辆，装运B水果的车辆为14辆，装运C水果的车辆为3辆时，此次销售获利最大，最大利润为198900元． 6．为了落实“乡村振兴”政策，两城决定向两乡运送水泥建设美丽乡村，已知两城分别有水泥200吨和300吨，从城往两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；从城往两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现乡需要水泥240吨，乡需要水泥260吨． (1)设从城运往乡的水泥吨．设总运费为元，写出与的函数关系式并求出最少总运费． (2)为了更好地支援乡村建设，城运往乡的运费每吨减少元，这时城运往乡的水泥多少吨时总运费最少？ 【答案】(1)，最少总运费为10040元； (2)城运往乡200吨，总运费最少． 【分析】（1）先求出x的取值范围，在求出y与x的函数解析式，最后根据一次函数的性质，求出最小值； （2）先列出城运往乡的运费每吨减少元时，总费w用关于x的函数关系式，再分类讨论，分别求出最小值． 【详解】（1）设从城运往乡肥料吨，则运往乡， 从城运往乡肥料吨，则运往乡吨， 设总运费为元，根据题意， 则：． ， 随的增大而增大， 当时，总运费最少，且最少的总运费为10040元． 答：与的函数关系式为， 最少总运费为10040元； （2）设减少运费后，总运费为元， 则： ， 分以下三种情况进行讨论： ①当时，， 此时随的增大而增大， 当时，；． ②当时，， 不管怎样调运，费用一样多，均为10040元； ③当时，， 此时随的增大而减小， 当时，； 综上可得： 当时，城运往乡0吨，总运费最少； 当时，无论从城运往乡多少吨肥料（不超过200吨），总运费都是10040元； 当时，城运往乡200吨，总运费最少． 【点睛】本题考差了一次函数解析式的求法，一次函数的性质，分类讨论思想是解题的关键． 7．某校为奖励本学年度表现优秀的学生，决定从某超市购买A、B两种商品，现有两种优惠购买方式如下：（不可同时参与） 方式一：标价为100元的A商品打7折，标价为120元的B商品打85折； 方式二：若所购商品达到或超过101件（不同商品可累计），则按标价打8折． 若学校购买A商品x件（x为正整数），购买B商品的件数比A商品件数的2倍还多2件，方式一付款金额为，方式二付款金额为． （1）请写出，与x之间的函数表达式； （2）该校应该如何选择优惠方式，才能获得最大优惠？请说明理由； （3）该单位购买A商品50件，B商品多少件？此时按最大优惠的付款金额为多少元？ 【答案】（1），；（2）当时，选择方式一可以获得获得最大优惠；当时，选择方式二可以获得获得最大优惠；（3）该单位购买A商品50件，B商品102件，此时按最大优惠的付款金额为13792元 【分析】（1）根据题目中给出的方式一和方式二可以写出w1，w2与x之间的函数表达式； （2）根据（1）中的函数解析式可以解答本题； （3）根据购买B商品的件数比A商品件数的2倍还多2件，可以求得B商品的件数，再根据（2）中的函数解析式即可求得按最大优惠的付款金额为多少元． 【详解】解：（1）由题意可得， ， 当时，得， 当时，， 当时，， 即，； （2）当时，，选择方式一可以获得获得最大优惠， 当时，，选择方式二可以获得获得最大优惠， （3）当时，， ∵， ∴按最大优惠的付款金额为：（元）， 答：该单位购买A商品50件，B商品102件，此时按最大优惠的付款金额为13792元 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 【题型2：最大利润问题】 1．某无人机配件销售公司有A和B两种配件，其进价和售价如表． 种类 A配件 B配件 进价（元件） a 80 售价（元件） 300 100 已知用12800元可购进A配件40件和B配件30件． (1)求的值； (2)若该无人机配件销售公司某次购进A种配件和B种配件共300件，并全部售出，且本次销售获得的总利润为y元，购进的A种配件为x件． （）请写出y与x之间的函数表达式；（利润售价－进价） （）根据市场销售分析，B种配件购进件数不低于A种配件的2倍，问怎样购进配件才能使本次销售获得的总利润最大？最大总利润是多少元？ 【答案】(1)a的值为260 (2)（）；（）购进A种配件100件、B种配件200件才能使本次销售获得的总利润最大，最大总利润是8000元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，正确理解题意，运用函数模型解题是关键． （1）根据题意列一元一次方程求解即可； （2）（）根据题意列出函数关系式即可； （）根据题意列不等式求出x的取值范围，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 答：a的值为260． （2）解：（）根据题意，得， 所以y与x之间的函数表达式为； （）根据题意，得， 解得， 由（）知， 因为， 所以y随x的增大而增大， 因为， 所以当时，值最大，，（件）， 答：购进A种配件100件、B种配件200件才能使本次销售获得的总利润最大，最大总利润是8000元． 2．“父亲节”即将来临，父亲的爱是伟大的！某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，康乃馨，玫瑰的进货单价分别为2元/枝、3元/枝，售价分别为8元/枝、6元/枝，某店主计划购进两种鲜花共300枝，其中康乃馨不大于200枝．设该花店计划购进康乃馨x枝，两种鲜花全部销售后可获利润y元． (1)求出y与x之间的函数关系式． (2)该花店如何进货才能获得最大利润？ 【答案】(1) (2)购进康乃馨200枝、玫瑰100枝时才能获得最大利润 【分析】（1）根据利润=销售康乃馨的利润+销售玫瑰的利润计算即可； （2）根据一次函数的增减性和x的取值范围计算即可． 本题考查一次函数的应用，写出y与x之间的函数关系式、掌握一次函数的增减性是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ∴y与x之间的函数关系式． （2）解：y与x之间的函数关系式，， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴当时y值最大， （枝）． 答：购进康乃馨200枝、玫瑰100枝时才能获得最大利润． 3．“中国乳都”呼和浩特，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌．其中酸奶是深受大众喜爱的乳制饮品之一．某超市销售甲、乙两种品牌酸奶，结合以下材料解决问题． 内容 材料一 某超市销售甲、乙两种品牌的酸奶，甲种酸奶的进价为8元/罐；乙种酸奶的进货总金额（单位：元）与进货量（单位：罐）之间的关系如图所示，经过试销，甲、乙两种品牌酸奶的销售价分别为12元/罐和15元/罐． 材料二 某日，该超市销售甲、乙两种品牌的酸奶共800罐，其中乙种品牌的销售量不低于150罐，且不高于400罐． 任务一 （1）根据图像求出与的函数关系式． 任务二 （2）若购进的两种酸奶全部售完，设销售完甲、乙两种品牌的酸奶所获得的总利润为元，求出（单位：元）与乙种品牌酸奶的进货量（单位：罐）之间的函数关系式，并为该超市设计出获得最大利润的销售方案． 【答案】（1）（2），甲品牌酸奶的进货量为400罐，乙品牌酸奶的进货量为400罐时，获得的利润最大 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设与的函数表达式为，代入即可求解； （2）设乙品牌酸奶的进货量罐，则甲品牌酸奶的进货量罐，用含的式子表示利润，根据一次函数的性质分析其最大值即可． 【详解】解：（1）依题意，设与的函数表达式为， 把代入解析式， 得， ∴与的函数表达式为； （2）依题意，乙品牌酸奶的进货量罐，则甲品牌酸奶的进货量罐， ∵乙品牌的收购量不低于150罐，且不高于400罐， ∴， 由（1）得， 则， ∵， ∴随的增大而增大， ∵， ∴当时，最大，最大值为元， （罐）， 即甲品牌酸奶的进货量为罐，乙品牌酸奶的进货量为罐时，获得的利润最大． 4．某经销商欲购进甲、乙两种产品，甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg，甲种产品进价为8元/kg，乙种产品的进货总金额（元）与乙种产品进货量（kg）之间的关系如图所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)若该经销商购进甲、乙两种产品共，并能全部售出，其中乙种产品的进货量不低于，且不高于甲种产品进货量的2倍．设销售完甲、乙两种产品所获总利润为（元），请求出与乙种产品进货量之间的函数表达式，并为该经销商设计出获得最大总利润的进货方案． 【答案】(1)与之间的函数表达式为： (2)与乙种产品进货量之间的函数表达式为： 当购进甲产品千克，乙产品千克时，总利润最大为元． 【分析】（1）先根据图像特点判断函数类型，再利用待定系数法对两段一次函数分别求解即可．注意分段函数的书写格式． （2）依据‘利润售价成本’，根据乙种产品进货量的不同范围，分别求出总利润的函数表达式，并根据一次函数的增减性，结合取值范围，求最大总利润，即可得到获得最大总利润的进货方案． 【详解】（1）解：（1）当时，设，根据题意可得，， 解得：； ． 当时，设， 根据题意可得，，解得：， ． 与之间的函数表达式为：． （2）根据题意可知，购进甲种产品千克， ，解得． 当时，， ， 随值的增大而减小． 当时，的最大值为元； 当时，， ， 随值的增大而增大． 当时，的最大值为元， 综上，与乙种产品进货量之间的函数表达式为：， 当购进甲产品千克，乙产品千克时，总利润最大为元． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数表达式、一次函数在利润问题中的应用，能够根据图像信息求出分段函数的表达式，利用乙产品进货量的范围求出总利润的函数表达式，并结合取值范围及一次函数增减性求得最值是解决本题的关键． 5．端午节是中国首个入选世界非遗的节日，日期是每年农历五月初五．民间有“赛龙舟”“吃粽子”等习俗．某商铺准备在端午节来临之际购进A，B两种粽子进行销售，若购进A种粽子100个，B种粽子200个，需要1800元；若购进A种粽子200个，B种粽子100个，需要2400元． (1)求购进A，B两种粽子的单价． (2)端午节前夕，粽子畅销，商铺决定购进这两种粽子共300个，其中A种粽子的数量不超过B种粽子数量的2倍，且每种粽子的进货单价不变，若A种粽子的销售单价在进价基础上提高40%，B种粽子的销售单价在进价基础上提高2元，试问购进A，B两种粽子各多少个时，全部售完后，获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)购进A，B两种粽子的单价分别为10元，4元 (2)A，B两种粽子分别购买200个，100个时，利润最大，最大利润为1000元 【分析】（1）设购进A，B两种粽子的单价分别为x元，y元，根据题意列出二元一次方程组，解之即可； （2）设购进A种粽子a个，则B种粽子个，根据不等关系可确定出a的取值范围；设两种粽子全部售完后的利润为W元，列出W关于a的函数关系式，即可求得最大利润． 【详解】（1）解：设购进A，B两种粽子的单价分别为x元，y元， 由题意得：， 解得：， 答：购进A，B两种粽子的单价分别为10元，4元； （2）解：设购进A种粽子a个，则B种粽子个， 根据不等关系得：， 解得：； 设两种粽子全部售完后的利润为W元， 由题意得：， 化简得：，其中， 当时，W取得最大值，且最大值为， 此时， 答：当A，B两种粽子分别购买200个，100个时，利润最大，最大利润为元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数与一元一次不等式的应用，正确理解题意，找到相应的数量关系是解题的关键． 6．某商业集团准备购进A，两款口袋打印机在甲、乙两个商场进行销售，这两款口袋打印机每台的利润如表： 打印机 利润 商场 甲商场 乙商场 A款（元/台） 95 60 款（元/台） 70 45 为迎接双十二，该商业集团新进了40台A款，60台款调配给甲，乙两个商场，其中70台给甲商场，30台给乙商场． (1)设该集团调配给甲商场A款台，求总利润与的函数关系式． (2)①若这100台口袋打印机全部销售出去，如何调配才能让商业集团的利润最大，并求出利润的最大值． ②为了促销，该商业集团决定对甲商场的A款，款每台分别让利元和元（），其他销售利润不变，当天结算时发现销售总利润与调配方案无关．当总利润最大时，求此时的值． 【答案】(1) (2)①要使商业集团的利润最大，这100台打印机的调配方案为：甲商场A款40台，B款30台，乙商场A款0台，B款30台，最大利润为7250元；② 【分析】（1）根据总利润等于单个的利润×总数量列出关系式即可； （2）①根据一次函数的增减性，结合x的取值范围求出结果即可； ②先列出y与x的函数关系式并整理得出，根据销售总利润与调配方案无关，得出，，根据当时，y的值最大，求出a的值即可． 【详解】（1）解：设该集团调配给甲商场A款x台，根据题意得， ， 即， ， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值，其最大值为（元）， ∴要使商业集团的利润最大，这100台打印机的调配方案为：甲商场A款40台，B款30台，乙商场A款0台，B款30台； ② ∵销售总利润与调配方案无关， ∴，， ∵， ∴当时，y的值最大， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是列出函数解析式，熟练掌握一次函数的增减性． 【题型3：行程问题】 1．已知两地之间有一条长的高速公路．甲、乙两车分别从两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以的速度匀速行驶与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程与甲车的行驶时间之间的函数关系如图所示． (1)________，________； (2)求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式； (3)当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程． 【答案】(1)2，5 (2) (3)甲车距A地的路程为 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，读懂图象是解答本题的关键． （1）先根据甲乙两车相遇时甲车行驶的路程除以速度可求出m的值，再用m的值加3即可得n的值； （2）由（1）得和，再运用待定系数法求解即可； （3）先求出乙车的行驶速度，从而可求出行驶时间，代入函数关系式可得结论． 【详解】（1）解：根据题意得，（时） （时） 故答案为：2，5； （2）由（1）得和， 设相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式为 则有：， 解得， 甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式 （3）甲乙两车相遇时，乙车行驶的路程为千米， ∴乙车的速度为：（千米/时） ∴乙车行完全程用时为： （时） ∵ ∴当时，千米， 即：当乙车到达A地时，甲车距A地的路程为千米． 2．某天早晨，张强从家跑步去体育场锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，张强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家（张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行进）．张强、妈妈两人距家的距离y（米）与张强出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： (1)张强返回时的速度是 米/分；妈妈比按原速返回提前 分钟到家． (2)求张强返回家时，张强离家的距离y（米）与x（分）之间的函数关系式． (3)请直接写出张强出发后与妈妈相距1000米的时间． 【答案】(1)150；10 (2) (3)张强出发分或分或35分后与妈妈相距1000米 【分析】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，掌握一次函数的解析式求解是解题关键． （1）直接根据图象求解即可； （2）利用待定系数法解答即可求解； （3）求出直线、的解析式，分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：张强返回时的速度是米/分； ∵米， ∴妈妈原来的速度为米/分， 分， 即妈妈比按原速返回提前10分钟到家； 故答案为：150；10 （2）解：观察图象得：点A的坐标为，点C的坐标为 设张强返回家时，张强离家的距离y（米）与x（分）之间的函数关系式为， ∴， 解得：， ∴张强返回家时，张强离家的距离y（米）与x（分）之间的函数关系式为； （3）解：如图， 设直线的解析式为， ∵， ∴点， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为， ∵张强出发后与妈妈相距1000米， ∴或或， 解得：或或， 即张强出发分或分或35分后与妈妈相距1000米． 3．已知A、B两地间有C地，客车由A地驶向C地，货车由B地经过C地去A地（客货车在A、C两地间沿同一条路行驶），两车同时出发，匀速行驶．货车的速度是客车速度的．图是客车、货车距C地的路程， 与行驶时间的函数关系的图象． (1)求客车的速度及A、B两地间的路程； (2)求货车距C地的路程与x的函数关系式； (3)请直接写出两车出发多长时间时相距的路程． 【答案】(1)客车的速度为，A、B两地间的路程为 (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． （1）根据函数图象中的数据，可以先计算出客车的速度，然后根据货车的速度是客车速度的，即可计算出货车的速度，然后再根据图象中的数据，即可计算出A、B两地间的路程； （2）根据函数图象中的数据，求出货车与的函数关系式即可； （3）先计算出客车与的函数关系式根据题意可知，分两种情况，相遇前和相遇后相距，然后列出相应的方程求解即可． 【详解】（1）解：由图象可得， 客车的速度：， 则货车速度：， A与B两地间路程为：， （2）当时，设货车与的函数关系式是， 货车的速度为，， 该函数过点，， ， 解得， 即当时，货车与的函数关系式是； 由于货车到达A地用时， ∴当时，设货车与的函数关系式是， 点，在该函数图象上， ， 解得， 即当时，货车与的函数关系式是； 由上可得，货车与的函数关系式是； （3）解：设客车与的函数关系式是， ， 解得， 即客车与的函数关系式是； 当时，，， ∴当两车相遇前相距时， ， 解得； 当两车相遇后相距时， ， 解得， 综上所述，出发后经过或，两车相距． 4．甲、乙两车从地驶向地，并以各自的速度匀速行驶甲车比乙车提早2h出发，并且甲车途中休息了1h，如图是甲乙两车行驶的距离与时间的函数图象． (1)求出图中______，______； (2)求出甲车行驶路程与时间的函数表达式，并写出相应的取值范围； (3)当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距． 【答案】(1)50，1 (2)； (3)当乙车行驶或时，两车恰好相距． 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． （1）根据图象及甲车休息的时间求出m的值；根据速度=路程÷时间求出甲车的速度，再由路程=速度×时间求出m的值即可； （2）按照x的取值范围，根据路程=速度×时间分别写出对应的函数表达式并最终写成分段函数的形式即可； （3）写出乙车行驶路程与时间的函数表达式，当两车相距时列出关于x的绝对值方程并求解，再根据乙出发时的时间计算乙车行驶的时间即可． 【详解】（1）解：， ∴， 甲车的速度为， 则， ∴． 故答案为：50，1； （2）解：当时，， 当时，， ， 当时，， ∴甲车行驶路程与时间的函数表达式及相应x的取值范围为： ； （3）解：乙车的速度为， 则， 当时，解得， ∴乙车行驶路程与时间的函数表达式为， 当两车恰好相距时，得， 解得或， ， ． 答：当乙车行驶或时，两车恰好相距． 5．小明和妈妈一起在一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点小明做了一会准备活动，妈妈先跑，当小明出发时，妈妈已经距离起点200米，他们距起点的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，根据图中给出的信息解答下列问题． (1)如图，小明出发之后，前70秒小明的速度是_________米/秒，前110秒妈妈的速度是_________米/秒； (2)求小明出发后，经过多长时间追上他妈妈，并求出此时小明距起点的距离是多少米？ (3)小明出发后的70秒内，多少秒时，小明与妈妈的距离为60米？ 【答案】(1)6，2 (2)50；300 (3)35秒或65秒 【分析】本题考查了函数的图象，一元一次方程的应用，一次函数的应用，看懂函数图象是解题的关键． （1）根据图象即可求解； （2）根据图象可知代表的数字是小明和妈妈第一次相遇时距离起点的距离，求出时间即可求出的值； （3）分第一次相遇前，两人第一次相距60米和第一次相遇后且时间不大于70秒，两人第二次相距60米两种情况解答即可求解； 【详解】（1）解：根据题意，得小明出发之后，前70秒小明的速度是米/秒，前110秒妈妈的速度是米/秒； 故答案为：6，2． （2）解：设小明的解析式为，根据题意，得， 解得， 故解析式为； 设妈妈运动的解析式为，根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 此时； 故经过50秒追上他妈妈，并此时小明距起点的距离是300米． （3）解：当两人相遇前，距离为60米时， 根据题意，得， 解得； 当两人相遇后，距离为60米，且时间不大于70秒时， 根据题意，得， 解得； 都符合题意， 故35秒或65秒时，小明与妈妈的距离为60米． 6．物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图①所示桌面长为，小球与木块（大小、厚度忽略不计）同时从出发向沿直线路径做匀速运动，速度较快的小球到达处的挡板后被弹回（忽略转向时间），沿原来路径和速度返回，遇到木块后又被反弹向挡板，如此反复，直到木块到达，同时停止．设小球的运动时间为，木块与小球之间的距离为，图②是与的部分函数关系图像，结合图像回答下列问题． (1)小球第一次到达挡板的时间是______s，小球的速度为______，木块的速度为______； (2)小球第一次返回时，求与的函数关系式； (3)当小球从出发至第一次、相遇时，小球与木块距离为时，直接写出的值为______． 【答案】(1)16；； (2) (3)当小球P从出发至第一次P、Q相遇时，小球P与木块Q距离为时，或． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，观察函数图象，可得，小球P第一次到达挡板l的时间是，进而可得小球P的速度为，求出速度和，然后计算出点的速度，故可判断得解； （2）先求解，再利用待定系数法计算可以得解； （3）依据题意，先求出小球P运动前的函数关系式，然后把代入解析式和（2）中解析式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，观察函数图象，可得， 小球P第一次到达挡板l的时间是， ∴小球P的速度为， 由题意，， 又， ∴， ∴木块Q的运动速度． 故答案为：16；； （2）解：由（1）得：， 设小球P第一次返回时，， 将，代入得， 解得， ∴． （3）解：由题意，设小球P运动前的函数关系式为， 函数过， ∴， ∴， ∴此时函数为， ，又令， ∴， 又当小球运动到后，结合（3）函数关系式为， ∴令， 解得， 综上，当小球P从出发至第一次P、Q相遇时，小球P与木块Q距离为时，或． 7．一条公路旁依次有、、三个村庄，甲、乙两人开车分别从村、村同时出发前往村，到达村后停止前行．已知甲、乙之间的距离与骑行时间之间的函数关系如图所示． (1)求甲乙两人开车的速度； (2)出发多长时间车距离为2千米？ 【答案】(1)甲开车的速度为，乙开车的速度为 (2)出发或或两车距离为千米 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． （1）设甲开车的速度为 ，乙开车的速度为，当两车途中相遇时得到 的数量关系，从而求出点的坐标，进而求出，最后求出即可； （2）分别讨论途中相遇前，途中相遇后至甲到达地前，甲到达地后，两车相距时对应的时间即可. 【详解】（1）设甲开车的速度为，乙开车的速度为， 根据题意，得 ， 则 ， ， ， ， 答：甲开车的速度为，乙开车的速度为； （2）解：途中相遇前，当两车相距时，得， 解得， 途中相遇后至甲到达地前，当两车相距时，得， 解得， 甲到达地后，当两车相距时，得 ， 解得， ∴出发或或两车距离为千米． 【题型4：情景问题】 1．如图1，可以用秤砣（即秤锤）到秤纽（即绳纽）的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的质量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为（厘米）时，秤钩所挂物重为（斤），则是关于的一次函数．表中为若干次称重时所记录的一些数据． （厘米） 1 2 4 5 8 10 （斤） 1.5 2 3 4 5 6 根据以上素材，解决下面问题： (1)表中有一对数据记录错误．观察判断_____是错误的； (2)求出这个一次函数的关系式； (3)当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为18厘米时，求秤钩所挂物重是多少斤？ 【答案】(1)4 (2) (3)秤钩所挂物重是10斤 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的求出函数表达式，是解题的关键： （1）观察可知，距离每增加1厘米，物重增加0.5斤，即可得出结果； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）把代入函数解析式，进行求解即可． 【详解】（1）解：观察表格中的数据可知：距离每增加1厘米，物重增加0.5斤， 故从4到5时，应该从3增加到3.5， 故是错误的； （2）设， 把代入函数解析式得， 解得：， ∴； （3）∵， ∴当时，； 答：秤钩所挂物重是10斤． 2．某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升． (1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； (2)根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长． 【答案】(1)血液中药物浓度上升阶段对应的函数解析式为，下降阶段的函数关系式是． (2)成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据函数图象中的数据，可以得到血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； （2）依据由题，令 ，结合（1）的解析式，分别求出的值，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为， 把 代入中得， ∴． ∴当时，与的函数关系式为； 当时，设与的函数关系式为， 把和代入中得， ∴， ∴当时，与的函数关系式为． 综上，血液中药物浓度上升阶段与之间的函数解析式为，下降阶段与之间的函数关系式是． （2）解：在中，当时，， 在中，当时，， 小时， 答：成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时． 3．某电信公司手机的A套餐收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须交月租费15元，另外，通话费按0.2元计算，B套餐收费标准如下：没有月租费，但通话费按0.25元计算： (1)分别写出A类、B类套餐每月应缴费用y(元)与通话时间之间的关系式； (2)某手机用户使用A套餐，这个月通话时间为，他应缴费多少元； (3)如果该手机用户本月预缴了125元的话费，那么该用户使用B套餐本月可通话多长时间？ (4)若某手机用户每月平均通话时间为，你觉得使用哪种套餐更划算？ 【答案】(1)A类套餐每月应缴费用，B类套餐每月应缴费用； (2)47元 (3) (4)使用B套餐更划算 【分析】本题考查了列函数关系式和求自变量和函数值，正确理解收费标准，列出函数解析式是关键． （1）根据套餐收费标准写出解析式即可； （2）将代入，求得的值即可； （3）将代入，求得的值即可； （4）分别将代入和求解比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得，A类套餐每月应缴费用， B类套餐每月应缴费用； （2）解：当时，（元）； 答：他应缴费47元． （3）解：当时，， 解得：． 答：该用户使用B套餐本月可通话； （4）解：当时，（元），（元）， ∵ ∴使用B套餐更划算． 4．如图1是甲，乙两个长方体水槽的横截面示意图，乙槽中有一圆柱形水位传感器立放其中（传感器的下底面完全落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲，乙两个水槽中水的深度与注水时间之间的关系如图2所示，根据图象解答下列问题： (1)水位传感器的高度为________； (2)记甲槽底面积为，乙槽底面积为，传感器底面积为，求； (3)当乙槽液面距离传感器上表面不超过，传感器会发出警报，求警报持续的时长． 【答案】(1)14 (2) (3)警报持续的时长为 【分析】本题考查了一次函数的应用，函数的图象，解题关键是从函数图象中获得正确信息，用待定系数法求一次函数解析式． （1）根据图象求解即可； （2）设注水的速度为，根据图像得出乙槽中水位变化，利用表示、、，进而得出答案； （3）由题意，求得直线的解析式，把代入解析式，得出的值；再求得直线的解析式，把代入解析式，得出的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：由函数图象得水位传感器的高度为， 故答案为：14； （2）解：依题意，反映甲水槽中水的深度与注水时间之间的关系，折线反映乙水槽中水的深度与注水时间之间的关系，甲槽中原水位高度为，下降到用时， 设注水的速度为， ∴，即， ∵水在乙槽中，在时，上升的高度为， ∴， ∴， ∵水在乙槽中，在时，上升的高度为， ∴ ∴，即， ∴，即， ∴． （3）解：设直线的解析式为，分别代入，得 ，解得 ∴直线的解析式为， 代入得， 设直线的解析式为，分别代入，得 ， 解得 ∴直线的解析式为， 代入得， ∴ 答：警报持续的时长为． 5．项目式学习 目前恒温直饮机是我校中小学比较流行的供学生饮水的设备，恒温直饮机有温水、开水两种按钮．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．数学课代表小裕同学，用的是的水杯，在日积月累的接水过程中，他发现了接满一杯水总时间y与接开水的时间x存在某种函数关系，并统计了部分数据如下表 开水用时x（分钟） 0 1 2 3 4 5 总时间y（分钟） 7.5 7 6.5 6 5.5 5 (1)小裕同学给班级同学出了这样一道数学题，请在平面直角坐标系中描点连线，判断这是一个什么函数？并求出y与x的函数关系式，写出自变量的取值范围． (2)物理课代表小俊看到小裕出的题以后，突发奇想，接着小裕的问题，给同学们出了一道题：如果用的水杯接水，那么想接满一杯的水，接开水时间要多少分钟呢？小俊给出了如下物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为： 开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度． 【答案】(1)图见解析；是一次函数；关系式为；自变量的取值范围为； (2)接开水时间为 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的应用，掌握一次函数的相关知识是解题的关键． （1）描点、连线即可画出函数图象，根据图象即可判断出函数的图象，利用待定系数法可求得函数解析式，并写出自变量的范围； （2）先求出开水与温水的体积，根据体积及两种水的流速即可求得时间，再把时间相加即可． 【详解】（1）解：描点连线得函数图象如下： 由图象知，是一次函数图象； 设函数解析式为， 把点代入上式得：，解得：， ∴y与x的函数关系式为，其中自变量的取值范围为； （2）解：设开水接了，则温水接了， 由题意得：， 解得：， 则温水接了； 接水的时间为： 6．“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． (1)如表是实验记录的圆柱体容器液面高度（厘米）与时间（小时）的数据： 时间（小时） 圆柱体容器液面高度（厘米） 在如图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接． (2)请根据（1）中的数据确定与之间的函数表达式． (3)如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到厘米时是______：______填写时间 【答案】(1)见解析 (2) (3)， 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握描点作图的方法、根据变量的变化规律写出函数关系式是解题的关键． （1）描点并连线即可； （2）根据表格中变量的变化规律即可； （3）当时，求出对应的值，从而求出具体的时间即可． 【详解】（1）解：描点并连线如图所示： （2）解：根据表格，时间增加小时，圆柱体容器液面高度增加厘米， 则， 与之间的函数表达式为． （3）解：当时，， 解得， 故， 当圆柱体容器液面高度达到厘米时是． 故答案为：，． 7．如图，是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小颖用后发现，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．设单层部分的长度为，双层部分的长度为，经测量得到如下数据： 单层部分的长度 … 4 6 8 10 … 双层部分的长度 … 75 74 73 72 … (1)求出y关于x的函数解析式，并求当时y的值； (2)根据小明的身高和习惯，挎带的长度为时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度； (3)设挎带的长度为，求t的取值范围． 【答案】(1)，2 (2) (3) 【分析】（1）根据变量的变化规律写出y关于x的函数解析式，当时，求出对应y的值即可； （2）根据列关于x的一元一次方程并求解即可； （3）根据挎带的长度=单层部分+双层部分长度写出t关于x的函数关系式，当时，求出对应x的值，即x的最大值，从而求出x的取值范围，进而求出t的取值范围即可． 【详解】（1）解：根据表格，x增加，y减小， 则， 关于x的函数解析式为， 当时，， 当时，的值为2； （2）解：根据题意，得，即， 解得， 答：此时单层部分的长度是； （3）解：， 当时，得， 解得， ， ， 的取值范围为． 【点睛】本题考查一次函数的应用，根据变量的变化规律写出y关于x的函数解析式、掌握一元一次方程及一元一次不等式的解法是解题的关键． 8．植物学家在研究两个不同品种的鸢尾花：山鸢尾（记作：类）与变色鸢尾（记作：类）时，测量并记录了花朵的花萼长度（单位：与花萼宽度（单位：．以为坐标的点在平面直角坐标系中的分布如图所示，人工智能可用线性分类器，即直线将这些点分类，分类原则为：直线上方的为类，直线下方的为类，正好落在直线上的也为类．图中给出了一条分类直线，根据图象回答下列问题： (1)若有一朵花的花萼长度与花萼宽度对应的点的坐标为，根据分类原则，试判断该花朵属于类还是类？请说明理由． (2)若保持（1）中直线的不变，为保证图中所有点被正确分类，的取值范围为　　 ． 【答案】(1)花朵属于类，理由见解析； (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，确定函数解析式是解题关键． （1）依据题意，首先求出直线的解析式，然后判断点的分类将代入直线方程可得直线上的值，说明在该直线下方，按题意应分到类； （2）设能保证图中所有点正确分类的函数解析式为，根据两个邻界点的值求出的取值范围． 【详解】（1）解：（1）该花朵属于类，理由如下： 由题意，图象过，， ． ． 当时，， 点在分类直线的下方的类， 故答案为：； （2）保持（1）中直线的不变， 则保证图中所有点被正确分类的函数解析式为， 对所有“”类点，必须在直线的下方或在直线上， 当时，， 解得； 所有“”类点，必须在直线的上方， 当时，， 解得：， 综上所述：的取值范围为． 故答案为：． 9．【问题背景】《九章算术》中记载，浮箭漏（如图）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成．箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间． 【实验操作】某学校科技研究小组以此为学习项目，仿制了一套浮箭漏并进行了如下实验探究． 下表是实验记录的箭尺读数与供水时间的数据： 供水时间 0 1 2 3 4 … 箭尺读数 6 12 18 24 30 … (1)如图，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，描出以上表中的数据为坐标的各点； (2)【建立模型】观察上述各点的分布规律，判断它们是否在一条直线上．若在一条直线上，则请你建立适当的函数模型，并求出函数解析式；若不在同一直线上，则请说明理由． (3)【模型应用】如果本次实验记录的开始时间是上午9：00，那么当箭尺读数是时是几点？ 【答案】(1)见解析 (2)一次， (3)下午 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）描点并连线即可； （2）根据画出的图象特征判断即可，运用待定系数法求出函数解析式； （3）将代入函数解析式，求出的值，并根据本次实验记录的开始时间计算当箭尺读数为时的时间即可． 【详解】（1）解：描点并连线如图所示： （2）解：观察描出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的一次函数． 故答案为：一次． 设与之间的函数解析式为、为常数，且． 将，和，分别代入， 得， 解得， 与之间的函数解析式为． （3）解：当时，得， 解得， 上午经过6小时是下午． 答：当箭尺读数为时是下午． 10．某商场叠放的购物车如图所示，小航尝试探究整齐叠放的购物车车身总长与购物车数量的关系． 下表是小航测得的一些数据． 购物车数量/辆 1 2 3 4 5 6 车身总长/ 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 根据上表回答下列问题： (1)随着购物车数量的增加，车身总长是怎样变化的？ (2)10辆购物车的总长大约是多少？50辆购物车的总长大约是多少？你是如何估计的？请写出你估计购物车总长的方法． 【答案】(1)购物车每增加一辆，车身总长增加 (2)10辆购物车的车身总长大约是米，50辆购物车的总长大约是是米．见解析 【分析】本题主要考查了列出函数关系式，求函数值，列出函数关系式是解题的关键． （1）直接观察表格，即可求解； （2）根据（1）中的结论，可得车身总长与购物车辆数之间是一次函数的关系，即可求解． 【详解】（1）解：购物车每增加一辆，车身总长增加． （2）解：10辆购物车的车身总长大约是2．8米，50辆购物车的总长大约是是10．8米 我的方法是：设购物车的数量是x辆，车身总长是y米． 由表格可知：． 当时， 当时， 所以10辆购物车的车身总长大约是米，50辆购物车的总长大约是是米． 11．综合与实践 【问题背景】 数学活动课上，某数学兴趣小组的同学探究在水速相同的条件下，往容器中注水时，注水时间与水面高度之间的函数关系，同学们制作了一个特殊的容器（如图①），这个特殊的容器由上、下两个高度相同的圆柱体组合而成，且上面的圆柱体底面圆的半径是下面圆柱体底面圆的半径的一半，已知这个特殊容器的高为20cm． 【实验过程】 注水前，容器内的水面高度是4cm，现向容器内匀速注水，当容器恰好注满时停止，每5s记录一次水面的高度（单位：cm），前5次数据如下表所示： 注水时间 0 5 10 15 20 … 水面高度 4 5 6 7 8 … 【问题解决】 (1)请你求出水面高度关于注水时间的函数解析式，写出自变量的取值范围，并在给定的平面直角坐标系（如图②）中，画出关于的函数图象； (2)求当注水时间满足时，水面高度的取值范围． 【答案】(1)，函数图象见解析 (2) 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握圆柱体的体积计算公式是解题的关键． （1）由表格得出下面容器中水面上升的速度并计算当下面容器注满水时所用时间及对应函数关系式，根据两圆柱体底面圆的半径的数量关系求出两圆柱体底面面积的数量关系，从而求得上面容器水面上升的速度并计算当上面容器注满水时所用时间及对应函数关系式，最终写成分段函数的形式即可； （2）分别计算当时对应h的值，从而得到水面高度h的取值范围． 【详解】（1）解：由题意知，两个圆柱的高都为， 由表知，时间每增加，高度增加， 则当下面的圆柱注满水时，所用时间为， 当时，； 由于上面的圆柱底面圆的半径是下面的圆柱底面圆的半径的一半， 上面的圆柱底面积是下面的圆柱底面积的， 每注水，上面的圆柱的水面高度增加， 当该特殊容器注满水时，注水时间， 当时，， 综上所述，水面高度关于注水时间的函数解析式为 画出函数图象如答图： （2）解：将代入中，得， 将代入中，得， 当注水时间满足时，水面高度的取值范围是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 一次函数实际应用题型汇编 【题型1：分配方案问题】.....................................................................................1 【题型2：最大利润问题】.....................................................................................5 【题型3：行程问题】............................................................................................8 【题型4：情景问题（新颖题）】..............................................................................12 【题型1：分配方案问题】 1．周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足游客需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费； 乙方案：游客进园不需要购买门票，采摘的杨梅质量在10千克以内按原价收费，超过10千克后，超过部分按原价的五折收费． 设采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出，与之间的函数关系式； (2)当采摘多少千克时，两种方案的价格相同？ (3)若采摘量为30千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． 2．A县和B县春季分别急需化肥100吨和60吨，C县和D县分别储存化肥110吨和50吨，全部调配给A县和B县．运费如下表所示： 出发地 运费（元/吨） 目的地          C县          D县 A县 40 45 B县 35 50 (1)设从C县运到A县的化肥为x吨，则从C县运往B县的化肥为 吨，从D县运往A县的化肥为 吨，从D县运往B县的化肥为 吨； (2)求总运费W（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)求最低总运费，并说明运费最低时的运送方案． 3．城有肥料200吨，城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往、两乡．从城运往、两乡运肥料的费用分别是每吨20元和25元，从城往、两乡运肥料的费用分别为每吨15元和24元，现在乡需要肥料240吨，乡需要肥料260吨． (1)若从城运往乡所需运费是从城运往乡所需运费的一半，求从A城运往D乡的肥料为多少吨？ (2)怎样调运化肥，可使总运费最少？最少运费是多少？ 4．某市两个蔬菜基地得知四川两个灾民安置点分别急需蔬菜和的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知蔬菜基地有蔬菜，蔬菜基地有蔬菜，现将这些蔬菜全部调运两个灾民安置点，从地运往两处的费用分别为每吨元和元，从地运往两处的费用分别为每吨元和元．设从地运往处的蔬菜为吨． (1)请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时的值： 总计/ 总计/ (2)设两个蔬菜基地的总运费为元，求出与之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； (3)经过抢修，从地到处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少元（），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案． 5．国庆节期间，某水果公司组织20辆汽车装运A、B、C三种水果共120吨去外地销售，要求20辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每种水果的车辆都不少于3辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： A B C 每辆汽车载货量（吨） 7 6 5 每吨水果获利（元） 1200 1800 1500 (1)设装运A水果的车辆为x辆，装B水果的车辆为y辆，求y与x之间的函数关系式，并求出车辆安排共有几种方案． (2)用w来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出w的最大值． 6．为了落实“乡村振兴”政策，两城决定向两乡运送水泥建设美丽乡村，已知两城分别有水泥200吨和300吨，从城往两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；从城往两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现乡需要水泥240吨，乡需要水泥260吨． (1)设从城运往乡的水泥吨．设总运费为元，写出与的函数关系式并求出最少总运费． (2)为了更好地支援乡村建设，城运往乡的运费每吨减少元，这时城运往乡的水泥多少吨时总运费最少？ 7．某校为奖励本学年度表现优秀的学生，决定从某超市购买A、B两种商品，现有两种优惠购买方式如下：（不可同时参与） 方式一：标价为100元的A商品打7折，标价为120元的B商品打85折； 方式二：若所购商品达到或超过101件（不同商品可累计），则按标价打8折． 若学校购买A商品x件（x为正整数），购买B商品的件数比A商品件数的2倍还多2件，方式一付款金额为，方式二付款金额为． （1）请写出，与x之间的函数表达式； （2）该校应该如何选择优惠方式，才能获得最大优惠？请说明理由； （3）该单位购买A商品50件，B商品多少件？此时按最大优惠的付款金额为多少元？ 【题型2：最大利润问题】 1．某无人机配件销售公司有A和B两种配件，其进价和售价如表． 种类 A配件 B配件 进价（元件） a 80 售价（元件） 300 100 已知用12800元可购进A配件40件和B配件30件． (1)求的值； (2)若该无人机配件销售公司某次购进A种配件和B种配件共300件，并全部售出，且本次销售获得的总利润为y元，购进的A种配件为x件． （）请写出y与x之间的函数表达式；（利润售价－进价） （）根据市场销售分析，B种配件购进件数不低于A种配件的2倍，问怎样购进配件才能使本次销售获得的总利润最大？最大总利润是多少元？ 2．“父亲节”即将来临，父亲的爱是伟大的！某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，康乃馨，玫瑰的进货单价分别为2元/枝、3元/枝，售价分别为8元/枝、6元/枝，某店主计划购进两种鲜花共300枝，其中康乃馨不大于200枝．设该花店计划购进康乃馨x枝，两种鲜花全部销售后可获利润y元． (1)求出y与x之间的函数关系式． (2)该花店如何进货才能获得最大利润？ 3．“中国乳都”呼和浩特，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌．其中酸奶是深受大众喜爱的乳制饮品之一．某超市销售甲、乙两种品牌酸奶，结合以下材料解决问题． 内容 材料一 某超市销售甲、乙两种品牌的酸奶，甲种酸奶的进价为8元/罐；乙种酸奶的进货总金额（单位：元）与进货量（单位：罐）之间的关系如图所示，经过试销，甲、乙两种品牌酸奶的销售价分别为12元/罐和15元/罐． 材料二 某日，该超市销售甲、乙两种品牌的酸奶共800罐，其中乙种品牌的销售量不低于150罐，且不高于400罐． 任务一 （1）根据图像求出与的函数关系式． 任务二 （2）若购进的两种酸奶全部售完，设销售完甲、乙两种品牌的酸奶所获得的总利润为元，求出（单位：元）与乙种品牌酸奶的进货量（单位：罐）之间的函数关系式，并为该超市设计出获得最大利润的销售方案． 4．某经销商欲购进甲、乙两种产品，甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg，甲种产品进价为8元/kg，乙种产品的进货总金额（元）与乙种产品进货量（kg）之间的关系如图所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)若该经销商购进甲、乙两种产品共，并能全部售出，其中乙种产品的进货量不低于，且不高于甲种产品进货量的2倍．设销售完甲、乙两种产品所获总利润为（元），请求出与乙种产品进货量之间的函数表达式，并为该经销商设计出获得最大总利润的进货方案． 5．端午节是中国首个入选世界非遗的节日，日期是每年农历五月初五．民间有“赛龙舟”“吃粽子”等习俗．某商铺准备在端午节来临之际购进A，B两种粽子进行销售，若购进A种粽子100个，B种粽子200个，需要1800元；若购进A种粽子200个，B种粽子100个，需要2400元． (1)求购进A，B两种粽子的单价． (2)端午节前夕，粽子畅销，商铺决定购进这两种粽子共300个，其中A种粽子的数量不超过B种粽子数量的2倍，且每种粽子的进货单价不变，若A种粽子的销售单价在进价基础上提高40%，B种粽子的销售单价在进价基础上提高2元，试问购进A，B两种粽子各多少个时，全部售完后，获得的利润最大？最大利润是多少元？ 6．某商业集团准备购进A，两款口袋打印机在甲、乙两个商场进行销售，这两款口袋打印机每台的利润如表： 打印机 利润 商场 甲商场 乙商场 A款（元/台） 95 60 款（元/台） 70 45 为迎接双十二，该商业集团新进了40台A款，60台款调配给甲，乙两个商场，其中70台给甲商场，30台给乙商场． (1)设该集团调配给甲商场A款台，求总利润与的函数关系式． (2)①若这100台口袋打印机全部销售出去，如何调配才能让商业集团的利润最大，并求出利润的最大值． ②为了促销，该商业集团决定对甲商场的A款，款每台分别让利元和元（），其他销售利润不变，当天结算时发现销售总利润与调配方案无关．当总利润最大时，求此时的值． 【题型3：行程问题】 1．已知两地之间有一条长的高速公路．甲、乙两车分别从两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以的速度匀速行驶与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程与甲车的行驶时间之间的函数关系如图所示． (1)________，________； (2)求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式； (3)当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程． 2．某天早晨，张强从家跑步去体育场锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，张强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家（张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行进）．张强、妈妈两人距家的距离y（米）与张强出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： (1)张强返回时的速度是 米/分；妈妈比按原速返回提前 分钟到家． (2)求张强返回家时，张强离家的距离y（米）与x（分）之间的函数关系式． (3)请直接写出张强出发后与妈妈相距1000米的时间． 3．已知A、B两地间有C地，客车由A地驶向C地，货车由B地经过C地去A地（客货车在A、C两地间沿同一条路行驶），两车同时出发，匀速行驶．货车的速度是客车速度的．图是客车、货车距C地的路程， 与行驶时间的函数关系的图象． (1)求客车的速度及A、B两地间的路程； (2)求货车距C地的路程与x的函数关系式； (3)请直接写出两车出发多长时间时相距的路程． 4．甲、乙两车从地驶向地，并以各自的速度匀速行驶甲车比乙车提早2h出发，并且甲车途中休息了1h，如图是甲乙两车行驶的距离与时间的函数图象． (1)求出图中______，______； (2)求出甲车行驶路程与时间的函数表达式，并写出相应的取值范围； (3)当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距． 5．小明和妈妈一起在一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点小明做了一会准备活动，妈妈先跑，当小明出发时，妈妈已经距离起点200米，他们距起点的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，根据图中给出的信息解答下列问题． (1)如图，小明出发之后，前70秒小明的速度是_________米/秒，前110秒妈妈的速度是_________米/秒； (2)求小明出发后，经过多长时间追上他妈妈，并求出此时小明距起点的距离是多少米？ (3)小明出发后的70秒内，多少秒时，小明与妈妈的距离为60米？ 6．物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图①所示桌面长为，小球与木块（大小、厚度忽略不计）同时从出发向沿直线路径做匀速运动，速度较快的小球到达处的挡板后被弹回（忽略转向时间），沿原来路径和速度返回，遇到木块后又被反弹向挡板，如此反复，直到木块到达，同时停止．设小球的运动时间为，木块与小球之间的距离为，图②是与的部分函数关系图像，结合图像回答下列问题． (1)小球第一次到达挡板的时间是______s，小球的速度为______，木块的速度为______； (2)小球第一次返回时，求与的函数关系式； (3)当小球从出发至第一次、相遇时，小球与木块距离为时，直接写出的值为______． 7．一条公路旁依次有、、三个村庄，甲、乙两人开车分别从村、村同时出发前往村，到达村后停止前行．已知甲、乙之间的距离与骑行时间之间的函数关系如图所示． (1)求甲乙两人开车的速度； (2)出发多长时间车距离为2千米？ 【题型4：情景问题】 1．如图1，可以用秤砣（即秤锤）到秤纽（即绳纽）的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的质量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为（厘米）时，秤钩所挂物重为（斤），则是关于的一次函数．表中为若干次称重时所记录的一些数据． （厘米） 1 2 4 5 8 10 （斤） 1.5 2 3 4 5 6 根据以上素材，解决下面问题： (1)表中有一对数据记录错误．观察判断_____是错误的； (2)求出这个一次函数的关系式； (3)当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为18厘米时，求秤钩所挂物重是多少斤？ 2．某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升． (1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； (2)根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长． 3．某电信公司手机的A套餐收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须交月租费15元，另外，通话费按0.2元计算，B套餐收费标准如下：没有月租费，但通话费按0.25元计算： (1)分别写出A类、B类套餐每月应缴费用y(元)与通话时间之间的关系式； (2)某手机用户使用A套餐，这个月通话时间为，他应缴费多少元； (3)如果该手机用户本月预缴了125元的话费，那么该用户使用B套餐本月可通话多长时间？ (4)若某手机用户每月平均通话时间为，你觉得使用哪种套餐更划算？ 4．如图1是甲，乙两个长方体水槽的横截面示意图，乙槽中有一圆柱形水位传感器立放其中（传感器的下底面完全落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲，乙两个水槽中水的深度与注水时间之间的关系如图2所示，根据图象解答下列问题： (1)水位传感器的高度为________； (2)记甲槽底面积为，乙槽底面积为，传感器底面积为，求； (3)当乙槽液面距离传感器上表面不超过，传感器会发出警报，求警报持续的时长． 5．项目式学习 目前恒温直饮机是我校中小学比较流行的供学生饮水的设备，恒温直饮机有温水、开水两种按钮．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．数学课代表小裕同学，用的是的水杯，在日积月累的接水过程中，他发现了接满一杯水总时间y与接开水的时间x存在某种函数关系，并统计了部分数据如下表 开水用时x（分钟） 0 1 2 3 4 5 总时间y（分钟） 7.5 7 6.5 6 5.5 5 (1)小裕同学给班级同学出了这样一道数学题，请在平面直角坐标系中描点连线，判断这是一个什么函数？并求出y与x的函数关系式，写出自变量的取值范围． (2)物理课代表小俊看到小裕出的题以后，突发奇想，接着小裕的问题，给同学们出了一道题：如果用的水杯接水，那么想接满一杯的水，接开水时间要多少分钟呢？小俊给出了如下物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为： 开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度． 6．“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． (1)如表是实验记录的圆柱体容器液面高度（厘米）与时间（小时）的数据： 时间（小时） 圆柱体容器液面高度（厘米） 在如图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接． (2)请根据（1）中的数据确定与之间的函数表达式． (3)如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到厘米时是______：______填写时间 7．如图，是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小颖用后发现，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．设单层部分的长度为，双层部分的长度为，经测量得到如下数据： 单层部分的长度 … 4 6 8 10 … 双层部分的长度 … 75 74 73 72 … (1)求出y关于x的函数解析式，并求当时y的值； (2)根据小明的身高和习惯，挎带的长度为时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度； (3)设挎带的长度为，求t的取值范围． 8．植物学家在研究两个不同品种的鸢尾花：山鸢尾（记作：类）与变色鸢尾（记作：类）时，测量并记录了花朵的花萼长度（单位：与花萼宽度（单位：．以为坐标的点在平面直角坐标系中的分布如图所示，人工智能可用线性分类器，即直线将这些点分类，分类原则为：直线上方的为类，直线下方的为类，正好落在直线上的也为类．图中给出了一条分类直线，根据图象回答下列问题： (1)若有一朵花的花萼长度与花萼宽度对应的点的坐标为，根据分类原则，试判断该花朵属于类还是类？请说明理由． (2)若保持（1）中直线的不变，为保证图中所有点被正确分类，的取值范围为　　 ． 9．【问题背景】《九章算术》中记载，浮箭漏（如图）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成．箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间． 【实验操作】某学校科技研究小组以此为学习项目，仿制了一套浮箭漏并进行了如下实验探究． 下表是实验记录的箭尺读数与供水时间的数据： 供水时间 0 1 2 3 4 … 箭尺读数 6 12 18 24 30 … (1)如图，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，描出以上表中的数据为坐标的各点； (2)【建立模型】观察上述各点的分布规律，判断它们是否在一条直线上．若在一条直线上，则请你建立适当的函数模型，并求出函数解析式；若不在同一直线上，则请说明理由． (3)【模型应用】如果本次实验记录的开始时间是上午9：00，那么当箭尺读数是时是几点？ 10．某商场叠放的购物车如图所示，小航尝试探究整齐叠放的购物车车身总长与购物车数量的关系． 下表是小航测得的一些数据． 购物车数量/辆 1 2 3 4 5 6 车身总长/ 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 根据上表回答下列问题： (1)随着购物车数量的增加，车身总长是怎样变化的？ (2)10辆购物车的总长大约是多少？50辆购物车的总长大约是多少？你是如何估计的？请写出你估计购物车总长的方法． 11．综合与实践 【问题背景】 数学活动课上，某数学兴趣小组的同学探究在水速相同的条件下，往容器中注水时，注水时间与水面高度之间的函数关系，同学们制作了一个特殊的容器（如图①），这个特殊的容器由上、下两个高度相同的圆柱体组合而成，且上面的圆柱体底面圆的半径是下面圆柱体底面圆的半径的一半，已知这个特殊容器的高为20cm． 【实验过程】 注水前，容器内的水面高度是4cm，现向容器内匀速注水，当容器恰好注满时停止，每5s记录一次水面的高度（单位：cm），前5次数据如下表所示： 注水时间 0 5 10 15 20 … 水面高度 4 5 6 7 8 … 【问题解决】 (1)请你求出水面高度关于注水时间的函数解析式，写出自变量的取值范围，并在给定的平面直角坐标系（如图②）中，画出关于的函数图象； (2)求当注水时间满足时，水面高度的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $