专题06 一次函数与几何压轴题型汇编（八大高频题型）-2025-2026学年八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版新教材）

专题06 一次函数与几何压轴题型汇编 【题型1：一函数中面积问题】...........................................................................1 【题型2：一次函数中等腰三角形的存在性问题】.............................................4 【题型3：一次函数中直角三角形的存在性问题】................................................7 【题型4：一次函数中等腰直角三角形的存在性问题】.....................................10 【题型5：一次函数中平行四边形存在性问题】................................................14 【题型6：一次函数中菱形的存在性问题】.........................................................19 【题型7：一次函数与将军饮马问题】...............................................................22 【题型8：一次函数中角度问题】..........................................................................24 【题型1 一函数中面积问题】 1．如图，直线分别与x轴、y轴交于点E，F，已知点E的坐标为，点A的坐标为． (1)求k的值； (2)若点是该直线上的一个动点，且在第二象限内运动，则当点P运动到什么位置时，的面积为？请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线交轴于点． (1)求出的值； (2)求直线的解析式； (3)若点在轴上，当的面积为时，求点的坐标． 3．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点，点是线段上的任意一点，过点作直线轴，直线交直线于点，交直线于点． (1)求直线的函数表达式； (2)当时，求的面积． 4．如图，将一块长方形纸板摆放在平面直角坐标系中，使长方形纸版的一个直角顶点与坐标原点重合，两条边与坐标轴重合，已知，．    (1)求直线的解析式； (2)将长方形纸板的一个直角沿折叠，使点恰好落在线段上的处，折痕交边于点（图），求点坐标； (3)在的条件下，直线上是否存在一点，使得？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请简要说明理由． 【题型2：一次函数中等腰三角形的存在性问题】 1．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，并与直线相交于点． (1)______，______； (2)点D是线段上一动点，过点D作y轴的平行线，交直线于点E，交直线于点F． ①若，求点D的坐标； ②若点D坐标是，M是直线上一点，当是等腰三角形，请直接写出点M的坐标． 2．已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，点从点出发，沿轴以每秒个单位长度的速度向左运动，设运动时间为． (1)当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ (2)当为何值时，是以为腰的等腰三角形？求点的坐标？ 3．如图（含备用图），在直角坐标系中，已知直线与轴相交于点，与轴交于点． (1)求的值及的面积； (2)点在轴上，若是以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标； (3)点在轴上，若点是直线上的一个动点，当的面积与的面积相等时，求点的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点． (1)求m和b的值； (2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒2个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①点A的坐标为 ，点D的坐标为 ； ②若点P在线段上，且的面积为10时，求t的值； ③直接写出t为何值时，为等腰三角形． 5．如图，直线与直线交于点E．    (1)求E点坐标； (2)若P为直线上一点，当面积为6时，求P的坐标； (3)若点M是x轴上一点，当为等腰三角形时，直接写出点M的坐标． 6．如图，已知点是正方形的一个顶点，E是的中点，点P是直线上一点． (1)求点E的坐标和直线的解析式； (2)若的面积为21，求此时P点坐标； (3)若点P是直线在第一象限的一个动点，连接，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P点坐标：若不存在，请说明理由． 【题型3：一次函数中直角三角形的存在性问题】 1．已知：直线与轴、轴分别相交于点和点，点在线段上．将沿折叠后，点恰好落在边上点处． (1)求出、两点的坐标； (2)求出的长； (3)点是坐标轴上一点，若是直角三角形，求点坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．    (1)求m和的值； (2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①当的面积为6时，求t的值； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 3．如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与x轴交于点，直线与x轴交于点C． (1)填空：　 　，　 　，　 　； (2)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F． ①求线段的长度； ②当点E落在y轴上时，求点E的坐标； ③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点D的坐标． 4．如图，已知直线经过点，交x轴于点，直线交直线于点B． (1)求直线的函数表达式和点B的坐标； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在点C，使得是直角三角形？若存在，求出点C的坐标：若不存在，请说明理由． 【题型4：一次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点在轴的正半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)如图1，求点、两点的坐标； (2)如图2，求直线的表达式； (3)点是轴上一动点，若，求点的坐标； (4)连接，在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．【模型呈现】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：． 【模型应用】 （2）如图2，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点．求点的坐标． 【模型迁移】 （3）如图3，在（2）的条件下，点的坐标为，是轴上一个动点，是直线上一个动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． (1)的长为______，点D的坐标是______． (2)求点C的坐标； (3)点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标； (4)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图1，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与和x轴相交于点A，与y轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)如图2，若直线与y轴交于点C，判断的形状，并说明理由； (3)如图3，D是的中点，坐标为，将直线向上平移，使其经过点B，记为直线．若点M为y轴正半轴上一点，点N为直线上一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点N的坐标． 5．如图，矩形OABC摆放在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点C在x轴上，OA=6，AB=4，点D在BC上，BD=2，过点A的直线交x轴于点E，连接DE，且． （1）△ADE是 三角形，直线AE的解析式为 ； （2）如图，点F是DE的中点，请在直线AE上找一点G，使得△DFG的周长最小，并求出此时点G的坐标和△DFG周长的最小值； （3）如图，将直线AE进行平移，记平移后的直线为l，直线l与直线DE相交于点M，与x轴相交于点N，是否存在这样的点M、N，使得△DMN是等腰直角三角形．若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 6．如图，平面直角坐标系中，直线m交x轴于点A，交y轴于点B．且点A ，∠BAO＝60°．点C为AB中点，过点C作直线 n 垂直于m，交 x轴于点 D． （1）请直接写出B、C、D的坐标． （2）在x轴上找一点E，使得S△BCE＝6，求点E的坐标． （3）直线m上有一点 M，y轴上有一点N，若△DMN 是等腰直角三角形，求出点M的坐标． 【题型5：一次函数中平行四边形存在性问题】 1．如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B，一次函数的图象经过点，并与轴交于点，点是直线上的一个动点． (1)求直线的表达式和点的坐标； (2)若点在轴上方，且的面积为18，求点坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线，交直线于点Q．M是x轴上一点，在直线上是否存在点N，使四边形是平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 2．如图，已知直线与x轴，y轴的交点分别为A，B，直线与y轴交于点C，直线与直线的交点为E，且点E的横坐标为2． (1)求实数b的值和点A的坐标； (2)设点为x轴上的动点，过点D作x轴的垂线，分别交直线l与直线于点M、N，若以点B、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求a的值． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（－2，0）、（1，0），直线经过点A，B． (1)求直线AB的函数表达式； (2)设点D与点A、B、C构成平行四边形，直接写出所有符合条件的点D的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与x轴，y轴分别相交于点B，A，直线与x轴交于点，与直线相交于点E，点E在第二象限． （1）求b的值； （2）若的面积为72，求直线的表达式； （3）在（2）的条件下，点P是直线上一点，点Q是坐标轴上一点，如果四边形是平行四边形，请直接写出点P，Q的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（﹣2，0）, 交y轴于点B（0，4），直线y＝kx+b经过点B且交x轴正半轴于点C，已知△ABC面积为10． （1）点C的坐标是（ 　 　，　 　），直线BC的表达式是 　 　； （2）如图1，点E为线段AB中点，点D为y轴上一动点，以DE为直角边作等腰直角三角形△EDF，且DE＝DF，当点F落在直线BC上时，求点D的坐标； （3）如图2，若G为线段BC上一点，且满足S△ABG＝S△ABO，点M为直线AG上一动点，在x轴上是否存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由； 6．如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B． （1）求直线l2对应的函数解析式； （2）求△ABC的面积； （3）请你找到图象中直线l1在直线l2上方的部分，直接写出此时自变量x的取值范围； （4）在坐标平面内是否存在点P，使以点A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．在平面直角坐标系中，矩形纸片AOBC按如图方法放置，点A、B分别在y轴和x轴上，已知OA=2，OB=4，点D在边AC上，且AD=1． 解答下列问题． （1）点C的坐标为 _______； （2）在x轴上有一点E，使得△CDE的周长最短，求出点E的坐标及直线CE的解析式． （3）在平面直角坐标系内是否存在点P，使得以C、D、P、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【题型6：一次函数中菱形的存在性问题】 1．综合探究：如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，且与直线交于点． (1)已知是线段上的点，且的面积为，求的坐标； (2)在（1）的条件下，设是射线上的点，在平面内存在点，使以为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标． 2．如图，直线与直线相交于轴上一点，点是直线上的一个动点（不与点C重合），过点P作轴交直线于点M．设点P的横坐标为m． （1）直接写出点P，M的坐标P ，M （用含m的式子表示）； （2）若的面积为，求的值； （3）试探究在坐标平面内是否存在点N，使得以O，C，M，N为顶点的四边形是以CM为边的菱形？若存在，求出m的值，并直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 3．如图，已知平面直角坐标系中，A（1，0），C（0，2），现将线段CA绕A点顺时针旋转90°得到点B，连接AB． （1）求出直线BC的解析式； （2）若动点M从点B出发，沿线段BC以每秒个单位的速度运动，过点M作MN∥AB交y轴于N，连接AN．设运动时间为t秒，当四边形ABMN为平行四边形时，求t的值； （3）P为直线BC上一点，若在坐标平面内存在点Q，使得四边形OBPQ为菱形，请直接写出点Q的坐标． 4．如图，矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于点、，且．点是直线上的一个动点． （1）求的值； （2）连结，若三角形的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标； （3）设点是平面内的一点，以、、、为顶点的四边形是菱形，直接写出的坐标． 【题型7：一次函数与将军饮马问题】 1．如图，平面直角坐标系中，已知点，，点M在坐标轴上． (1)直接写出A，B两点到y轴的距离分别为______和______； (2)若点M在y轴上，求的最小值； (3)若点M在x轴，当最大时，求点M的坐标． 2．如图，点A（1，4）在正比例函数的图象上，点B（3，n）在正比例函数的图象上． (1)求m，n的值； (2)在x轴找一点P，使得PA＋PB的值最小，请求出PA＋PB的最小值． 3．如图，已知，P是y轴上一动点，线段PA绕着点P按逆时针方向旋转至线段PB位置，连接AB、OB． （1）设P点坐标为，请求出B点坐标； （2）求BO+BA的最小值． 4．如图，在平面直角坐标系中，将等腰三角形ABC的底边AB放在x轴上，顶点C放在y轴正半轴上，已知AB＝8，AC＝5．点D为线段BC上一动点，分别过D作DE⊥x轴，DF⊥y轴，垂足分别为E、F． （1）直接写出点C坐标，并求出直线BC的解析式； （2）当四边形OEDF是正方形时，求动点D的坐标； （3）P为y轴上一动点，在（2）的结论下，连接PD、PB，当PB+PD取最小值时，求动点P的坐标． 【题型8：一次函数中角度问题】 1．【模型建立】 如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：． 【模型应用】 （1）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，和所在直线分别为x轴、y轴，若，，请解答下列问题： ①点C的坐标是________，点A的坐标是________； ②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标：________； （2）如图3，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点B旋转至直线，求直线的函数表达式． 2．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与直线交于点． (1)求m的值； (2)点D是直线上一动点． ①如图2，当点D恰好在的角平分线上时，求直线的函数表达式； ②是否存在点D，使得，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 3．新人教版八年级下册课本第30页介绍：美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，直线过等腰直角的直角顶点：过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：． (1)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，，，点的坐标为，点的坐标为，求点坐标； (2)如图3，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式； 4．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，C点在x轴上A点的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D，点P为直线上一动点． (1)求点D坐标； (2)若，请求出P点的坐标； (3)若，请直接写出点P坐标． 5．定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图1，一次函数：的图象分别交轴、轴于点、． (1)请写出一次函数的“逆反函数”的解析式______；点在的函数图象上，则的值是______． (2)一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ①求出点坐标； ②求出的面积． (3)如图2，过点作轴的垂线段，垂足为，为轴上的一点，且，请直接写出直线的解析式． 6．如图，一次函数与一次函数交于x轴上的同一点A，且一次函数交y轴于点B，一次函数交y轴于点C． (1)求k的值； (2)若点E是x轴上的一个动点，是以为腰的等腰三角形，求点E的坐标； (3)若点P是上的一个动点，若，求点P的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、点，直线交轴于点． (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图1，过点的直线交线段于点，且满足与的面积比为，点和点分别是直线和轴上的两个动点，当的值最小时，求出的最小值． (3)如图2，已知点，在轴上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标． 8．如图，直线和直线与轴分别相交于两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点，．    (1)求出直线的函数表达式； (2)在轴上有一点，使得最小，求点的坐标； (3)若是直线上方且位于轴上一点，满足，请求出点的坐标，判断的形状并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 一次函数与几何压轴题型汇编 【题型1：一函数中面积问题】...........................................................................1 【题型2：一次函数中等腰三角形的存在性问题】.............................................9 【题型3：一次函数中直角三角形的存在性问题】................................................22 【题型4：一次函数中等腰直角三角形的存在性问题】.....................................32 【题型5：一次函数中平行四边形存在性问题】................................................53 【题型6：一次函数中菱形的存在性问题】.........................................................74 【题型7：一次函数与将军饮马问题】...............................................................85 【题型8：一次函数中角度问题】..........................................................................93 【题型1 一函数中面积问题】 1．如图，直线分别与x轴、y轴交于点E，F，已知点E的坐标为，点A的坐标为． (1)求k的值； (2)若点是该直线上的一个动点，且在第二象限内运动，则当点P运动到什么位置时，的面积为？请说明理由． 【答案】(1) (2)点P运动到点，的面积为，见解析 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质与函数图象上的点的特征是解题的关键， （1）将点代入，即可得到答案； （2）设点P坐标为，根据的面积为，可求得，由于点P在一次函数上，代入求出，从而得到答案． 【详解】（1）解：∵直线过点， ∴， 解得． （2）解：∵点A的坐标为， ∴， 设当点P运动到点，即点P坐标为时，其面积， 即． 解得， 即或（舍去）， ∴， 解得． 故点P运动到点，的面积为． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线交轴于点． (1)求出的值； (2)求直线的解析式； (3)若点在轴上，当的面积为时，求点的坐标． 【答案】(1) ； (2) ； (3)或． 【分析】本题主要考查了一次函数与几何的综合、用待定系数法求一次函数解析式． 把点的坐标代入直线的解析式，可得关于的一元一次方程，解方程求出的值即可； 把点、的坐标代入，可得关于、的方程组，解方程组求出、的值，即可得到直线的解析式； 根据三角形的面积公式可得：，当时，可得，解方程求出的值即为点的横坐标，从而可得，解方程求出的值即可． 【详解】（1）解：把点的坐标代入直线的解析式， 可得：， ； （2）解：由可知点的坐标为， 把点和点的坐标代入直线， 可得：， 解得：， 直线的解析式为； （3）解：如下图所示，过点作轴， 则的面积为， 解得：， 当时，可得， 解得：， 点的坐标为， 设点的坐标为， 则有， ， 解得：或， 点的坐标为或． 3．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点，点是线段上的任意一点，过点作直线轴，直线交直线于点，交直线于点． (1)求直线的函数表达式； (2)当时，求的面积． 【答案】(1)； (2)的面积是或； 【分析】本题主要考查了待定系数法求直线关系式，一次函数与几何图形． （1）把代入，求出直线的关系式，再求出点，然后根据待定系数法求出直线的关系式； （2）先设点，可表示，，再根据纵坐标的差表示，然后根据，求出m的值，接下来分两种情况求出，即可得出面积． 【详解】（1）解：把代入，得 ， 解得， ∴直线的关系式为． 当时，， ∴点． 将点和点代入直线的关系式，得 ， 解得， 所以直线的关系式； （2）解：设，则，， ∴． ∵， ∴， 解得或． 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴． 综上所述，的面积是或． 4．如图，将一块长方形纸板摆放在平面直角坐标系中，使长方形纸版的一个直角顶点与坐标原点重合，两条边与坐标轴重合，已知，．    (1)求直线的解析式； (2)将长方形纸板的一个直角沿折叠，使点恰好落在线段上的处，折痕交边于点（图），求点坐标； (3)在的条件下，直线上是否存在一点，使得？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请简要说明理由． 【答案】(1)； (2)点的坐标为； (3)点的坐标为或． 【分析】（1）根据矩形的性质得到点、的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式； （2）利用勾股定理求出线段的长度，设，则，在中，利用勾股定理得到关于的方程解方程求出的值，即可得到点的坐标； （3）由（2）可知的长度，从而可得的面积，根据可得，根据相等关系可以求出的长度，然后再分点在点右侧和点左侧两种情况求解． 【详解】（1）解：，， ，， 设的解析式为， 将点、的坐标代入，得：， 解得：， 则直线的解析式为； （2）解：在中，由勾股定理得：， 由翻折的性质可知：，，， ，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 点的坐标为； （3）解：如图（1）所示：过点作，垂足为，   ， ， ， ， 即， 解得：， 点的纵坐标， 将代入得：． 解得：． 点的坐标为； 如图（2）所示：过点作，垂足为，   由可知：， 点的纵坐标， 将代入， 得到：． 解得：， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、求一次函数解析式、勾股定理、折叠的性质．解决本题的关键是利用待定系数法求出函数的解析式，再综合利用矩形的性质和一次函数的解析式确定点的坐标． 【题型2：一次函数中等腰三角形的存在性问题】 1．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，并与直线相交于点． (1)______，______； (2)点D是线段上一动点，过点D作y轴的平行线，交直线于点E，交直线于点F． ①若，求点D的坐标； ②若点D坐标是，M是直线上一点，当是等腰三角形，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1)， (2)①或；②或或或 【分析】本题考查了一次函数的应用、等腰三角形的定义、利用平方根解方程等知识，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）先利用待定系数法求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）①设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，再根据建立方程，解方程即可得； ②先设点的坐标为，再分三种情况：，和，分别建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：将点代入得：， ∴， 将点，代入得：， 解得， 故答案为：，． （2）解：①由题意，画出图形如下： 由（1）已得：直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得或，均符合题意， ∴点的坐标为或． ②∵点坐标是，是直线上一点，轴， ∴可设点的坐标为， ∵， ∴， ， ， 当时，是等腰三角形， 则，即，解得， 此时点的坐标为； 当时，是等腰三角形， 则，即，解得或， 此时点的坐标为或； 当时，是等腰三角形， 则，即，解得， 此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或． 2．已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，点从点出发，沿轴以每秒个单位长度的速度向左运动，设运动时间为． (1)当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ (2)当为何值时，是以为腰的等腰三角形？求点的坐标？ 【答案】(1) (2)时，或时， 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，图形与坐标，解题关键是掌握直角三角形的性质，等腰三角形的性质． （1）当时，是以为斜边的直角三角形，在中，分别令，，求出相应的与，从而可得，再根据点P沿轴以每秒个单位长度的速度向左运动，求出时间； （2）分、，分别求出点的坐标． 【详解】（1）解：当时，是以为斜边的直角三角形， 在中，分别令，， 得，． ， 点P沿轴以每秒个单位长度的速度向左运动， ； （2）第一种情况： 当时，是以为腰的等腰三角形， 在直角三角形中，， ， ， ． ． 第二种情况： 当时，是以为腰的等腰三角形， ， ， ，． 3．如图（含备用图），在直角坐标系中，已知直线与轴相交于点，与轴交于点． (1)求的值及的面积； (2)点在轴上，若是以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标； (3)点在轴上，若点是直线上的一个动点，当的面积与的面积相等时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或或 (3)或 【分析】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用． 将点的坐标代入函数解析式求得的值，根据直线方程求得点的坐标，然后求得相关线段的长度，由三角形的面积公式解答； 根据等腰三角形的性质和两点间的距离公式解答； 分类讨论：点在轴的上方和下方，两种情况，利用三角形的面积公式和已知条件，列出方程，利用方程求得点的坐标即可． 【详解】（1）解：将点代入直线，得 ， 解得， ． 当时，． ，． 当时，， ， ，， ； （2）如图， 当时，点与点关于轴对称，故C符合题意； 当时，由，得到，由得到、． 综上所述，符合条件的点的坐标是或或； （3）， ， ． 由知，， ； 当点在轴下方时，， ， 点在轴下方， ． 当时，代入得，， 解得． ； 当点在轴上方时，， ， 点在轴上方， ． 当时，代入得，， 解得． ． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点． (1)求m和b的值； (2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒2个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①点A的坐标为 ，点D的坐标为 ； ②若点P在线段上，且的面积为10时，求t的值； ③直接写出t为何值时，为等腰三角形． 【答案】(1)， (2)①，；②；③为等腰三角形时，t的值为4或或或6 【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）将点代入，求出m的值，再代入中求出b即可； （2）把代入直线解析式，即可求得； 利用面积公式列出方程进行求解即可； 分三种情况： ，和分别求t的值即可． 【详解】（1）解：在中， 当时，， 当时，， ，， 点在直线上， ， ， 又点也在直线上， ， 解得，， ，； （2）解： 直线与轴相交于点， 由（1）得， ， 解得， 点的坐标为， 由（1）得点的坐标为； 故答案为：，； 过点作于点，即为的高，如图所示， ，， ， 的面积为， ，， ，， ， 设，则， ， 解得； 为等腰三角形有三种情况： 过作于，如图1所示， 则，， ， ， 第一种情况：当时，， ， 此时，解得； 第二种情况：当时，和分别在点两侧，如图2所示， 则， ， ， 或，解得或； 第三种情况：当时，如图3所示， 设，则， ， ， 解得，， 与重合，， ， ，解得； 答：为等腰三角形时，的值为或或或． 5．如图，直线与直线交于点E．    (1)求E点坐标； (2)若P为直线上一点，当面积为6时，求P的坐标； (3)若点M是x轴上一点，当为等腰三角形时，直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)P的坐标为或 (3)点M的坐标为或或或． 【分析】本题考查两条一次函数图象交点以及围成图形面积问题，等腰三角形的性质． （1）直接联立两直线的解析式，解方程组即可； （2）根据P的不同位置情况进行分类讨论即可； （3）分或或三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：联立，解得：， ∴； （2）解：由两直线解析式可得，， ， ①当P点在x轴下方时，， 即：， 则， 解得：或（舍去）， 将代入，解得：， ∴； ②当P点在x轴上方时，， 即：， 则， 解得：或（舍去）， 将代入，解得：， ∴； 综上，P的坐标为或．      （3）解：当时，， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰三角形， ∴或或． 当时，可知点M的坐标为或； 当时，由等腰三角形三线合一可知，即点M的坐标为； 当时，设， 则， 解得：，即点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或或或． 6．如图，已知点是正方形的一个顶点，E是的中点，点P是直线上一点． (1)求点E的坐标和直线的解析式； (2)若的面积为21，求此时P点坐标； (3)若点P是直线在第一象限的一个动点，连接，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P点坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点E的坐标为，直线的解析式为 (2)或 (3)或或 【分析】本题考查题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程、以及勾股定理，掌握待定系数法是解题的关键． （1）先根据正方形的性质求出点E和C的坐标，利用待定系数法求函数解析式即可； （2）设点P的坐标为，利用列方程解题； （3）设点P的坐标为，分为，和三种情况，利用勾股定理计算即可解题． 【详解】（1）解：∵点是正方形的一个顶点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， （2）解：设点P的坐标为， ∴， 解得：， 当时，； 当时，； ∴点P的坐标为或； （3）解：设点P的坐标为， 当时，，解得：，， ∴点P的坐标为或（舍去）； 当时，，即，解得， ∴点P的坐标为； 当时，解得：（舍去）或， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 【题型3：一次函数中直角三角形的存在性问题】 1．已知：直线与轴、轴分别相交于点和点，点在线段上．将沿折叠后，点恰好落在边上点处． (1)求出、两点的坐标； (2)求出的长； (3)点是坐标轴上一点，若是直角三角形，求点坐标． 【答案】(1)点坐标为，点坐标为 (2)3 (3)或或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）令和令，可求、两点的坐标； （2）由勾股定理求出的长，再由轴对称的性质，用含的式子分别表示、的长，在中根据勾股定理列方程求出的长； （3）分三组情况讨论，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别相交于点和点 时；时 点坐标为，点坐标为． （2）解：由折叠得，，，， ，， ， ， ， ， 解得：； 故长为． （3）解：当时，则点； 当时，， 如图，设， ∴ 解得： ∴点； 当时， 如图，设， ∴ 解得： ∴点， 综上所述：点E的坐标为或或． 2．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．    (1)求m和的值； (2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①当的面积为6时，求t的值； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①11；②存在，或 【分析】（1）把点代入函数求出m的值即可得到点坐标，把点C的坐标代入即可求出b的值； （2）①求出A的坐标为，点D的坐标为，得到，由题意得：，则，过点C作轴，垂足为点F，根据题意列出关于t的方程，解方程即可得到答案； ②先写出使得为直角三角形时的值，然后利用分类讨论的方法分别求得当和对应的的值即可； 本题考查了一次函数的性质、三角形的面积、动点问题，平面直角坐标系两点间距离坐标公式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思相解答． 【详解】（1）解：把点代入函数， 得： 所以点坐标为 把点代入函数，得：， 所以； （2）①当时，，所以 所以函数的图象与轴的交点A的坐标为， 由（1）得：   ∴函数的表达式为 当时，， ∴， ∴函数的图象与轴的交点D的坐标为， ∴ 由题意得：，则， 过点C作轴，垂足为点F，    ∵， ∴ 当的面积为6时，即，      ∴， 解之得：， 所以当t的值为11时，的面积为6 存在，或． 理由：当时，， 所以函数的图象与y轴的交点B的坐标为， ∵，， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， 解得； 当，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上，当或时，为直角三角形． 3．如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与x轴交于点，直线与x轴交于点C． (1)填空：　 　，　 　，　 　； (2)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F． ①求线段的长度； ②当点E落在y轴上时，求点E的坐标； ③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点D的坐标． 【答案】(1)8，， (2)①；②点E的坐标为；③点D的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）①过点A作轴于点H，作轴于点G，根据勾股定理得到，于是得到结论； ②利用勾股定理求出，可得，即可得答案； ③分两种情况讨论，当时，求出，得，得，得点D坐标；当时，设，则，由勾股定理得：，求出，得点D坐标． 【详解】（1）解：把代入， ∵， ∴， ∴直线：， 把代入， ∴， ∴， 把代入， ∵， ∴． 故答案为：8，，； （2）解：①∵直线：， ∴点C的坐标为， 如下图，过点A作轴于点H，作轴于点G，则，， ∵翻折得到 ∴， ∴ ②当E点落在y轴上时， 在中， ∵ ∴， ∴， ∴点E的坐标为； ③如下图， 当时，由翻折得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； 如下图， 当时，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴点D的坐标为， 综上，点D的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合题，勾股定理，角平分线的性质，直角三角形的性质和判定，翻折的性质，解题的关键是作辅助线． 4．如图，已知直线经过点，交x轴于点，直线交直线于点B． (1)求直线的函数表达式和点B的坐标； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在点C，使得是直角三角形？若存在，求出点C的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数求出直线的函数表达式，再联立直线，的函数表达式，可得点B的坐标； （2）根据，即可求解； （3）根据题意可得当是直角三角形时，需分和两种情况，即可求解． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为． ∵图象经过点，， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为． 联立，解得， ∴点B的坐标为； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵点C在x轴上， ∴， ∴当是直角三角形时，需分和两种情况． ①当时，点C在图中的位置： ∵点A和点均在x轴上， ∴轴． ∵， ∴； ②当时，点C在图中的位置： 设 ∵， ∴， ∴． 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得， ∴． 综上可知，在x轴上存在点C，使得是直角三角形，点C的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，勾股定理，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 【题型4：一次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点在轴的正半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)如图1，求点、两点的坐标； (2)如图2，求直线的表达式； (3)点是轴上一动点，若，求点的坐标； (4)连接，在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4)存在，或. 【分析】（1）先求出，，即可得到点A，B的坐标； （2）根据勾股定理求出，根据折叠得出，，则可求出，即可求出点B的坐标，在中，根据勾股定理得出，解方程求出点的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （3）计算，可得，点是轴上一动点，设，可得，再进一步求解即可； （3）分两种情况讨论：①，；②，；然后根据全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，，解得， ∴，， （2）解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 设直线解析式为， ∴ ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵点是轴上一动点，设， ∴， ∴或； ∴或； （4）解：如图，过作，使，则为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 取的中点，连接， ∴，为等腰直角三角形， ∴，即， 综上：的坐标为：或. 【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数的综合应用，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的定义等知识，明确题意，添加合适辅助线，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 2．【模型呈现】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：． 【模型应用】 （2）如图2，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点．求点的坐标． 【模型迁移】 （3）如图3，在（2）的条件下，点的坐标为，是轴上一个动点，是直线上一个动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）见解析，（2）的坐标为，（3）点的坐标为或 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，一次函数与几何综合，等腰三角形的性质，待定系数法； （1）由可判定，即可得证； （2）过点作轴于点，同理可证，由全等三角形的性质得，，可求出，由待定系数法可求直线的函数解析式为，令，即可求解； （3）过点作轴于点，过点作于点，设，，①当在点左侧时，同理可证，由全等三角形的性质得，，即可求解；②当在点右侧时，同理可求； 掌握全等三角形的判定及性质，能熟练利用待定系数法求解，同时能根据点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵，， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴（）． （2）解：过点作轴于点，如图1      在中， 令得， 令得， ∴，， ∴，， 由（1）同理可证：， ∴， ， ∴ ， ∴， 设直线的函数解析式为，则有 ， 解得， 直线的函数解析式为， 令， 解得， 点的坐标为． （3）解：过点作轴于点，过点作于点，设点，， ①当在点左侧时，如图2 是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ， ， 由（1）同理可证：， ， ． ∴， 解得， ； ②当在点右侧时，如图3 同理可得点． 综上所述，点的坐标为或． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． (1)的长为______，点D的坐标是______． (2)求点C的坐标； (3)点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标； (4)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5， (2) (3)为或 (4)第一象限内存在点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【分析】（1）根据勾股定理可得，根据轴对称的性质可得，则可得，进而可得； （2）设，则，在中,根据勾股定理列方程求出x的值，即可得C点的坐标． （3）设，则，根据列方程求出m的值，即可得到点M的坐标； （4）分三种情况讨论：①当，；②当，；③当，，根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ，， ， ∵将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． ， ． 故答案为：5，． （2）解：，则， 在中, ， ∴， 解得， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ， ， ， ∴， 解得，． ∴M点的坐标为或． （4）解：存在，理由如下： ①当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点P作轴于G点, 则， ∵， ∴， 又∵ ， 在和中， ， ， ，， ． ∴P点的坐标为． ②当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点P作轴于H点， 同理得， ，， ∴P点的坐标为． ③当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点P作轴于点M，轴于点N， 则， ∴， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 设点P的坐标为，， 则，，， 解得：， ∴点P的坐标为． 综上可知，第一象限内存在点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，绝对值方程，作辅助线构造全等三角形，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 4．如图1，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与和x轴相交于点A，与y轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)如图2，若直线与y轴交于点C，判断的形状，并说明理由； (3)如图3，D是的中点，坐标为，将直线向上平移，使其经过点B，记为直线．若点M为y轴正半轴上一点，点N为直线上一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点N的坐标． 【答案】(1)的解析式为 (2)为等腰三角形，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及了待定系数法、一次函数的平移、一次函数与等腰直角三角形、等腰三角形的判定等知识点，掌握函数的相关性质是解题关键． （1）令可得；设直线的解析式为：，将代入即可求解； （2）求出，分别计算即可判断； （3）由题意得直线的解析式为：、；可推出点与点重合，设，根据即可求解； 【详解】（1）解：令，解得：； ∴ ∵直线与y轴相交于点 设直线的解析式为：； 将代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为： （2）解：为等腰三角形，理由如下： 令，可得：； ∴ 则，， ∴ 故为等腰三角形 （3）解：如图所示： ∵，D是的中点， ∴ ∵向上平移得到直线． ∴ ∴点与点重合 通过平移可知：直线的解析式为：； 设， ∵ ∴， 解得：或； ∴或 故点N的坐标为或 5．如图，矩形OABC摆放在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点C在x轴上，OA=6，AB=4，点D在BC上，BD=2，过点A的直线交x轴于点E，连接DE，且． （1）△ADE是 三角形，直线AE的解析式为 ； （2）如图，点F是DE的中点，请在直线AE上找一点G，使得△DFG的周长最小，并求出此时点G的坐标和△DFG周长的最小值； （3）如图，将直线AE进行平移，记平移后的直线为l，直线l与直线DE相交于点M，与x轴相交于点N，是否存在这样的点M、N，使得△DMN是等腰直角三角形．若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）等腰直角，；（2）G（）周长最小为；（3）存在，或 【分析】（1）证明 结合已知条件即可得证； （2）作点D关于直线AE对称点，连接，，过作轴于点，根据题意计算根据求得 （3）使得△DMN是等腰直角三角形有两种情况，①当在轴上方，根据已知条件求得 的解析式，继而求得点的坐标，根据题意求得的解析式，联立的解析式求得点的坐标，②当在轴下方时，交与点，先根据已知条件求得点的坐标，继而求得的坐标，即可求得的坐标，根据题意求得的解析式，联立的解析式求得点的坐标． 【详解】（1）四边形是矩形， OA=6，AB=4，BD=2， ， ，， ， ， ， ， 在与中， ， （ASA）， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， 设直线AE的解析式为：， 将代入，得： ， 解得， 设直线AE的解析式为：， 故答案为 ：等腰直角，， （2）作点D关于直线AE对称点，连接，，过作轴于点， 则垂直平分，， ，， ， ， 点F是DE的中点， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 是DE的中点， ， ， ， ∴周长最小值， 在直线AE上， 将代入， 解得， 则， ∴周长最小值，此时， （3）使得△DMN是等腰直角三角形有两种情况， ①当在轴上方，由图可知是直线与直线的交点， 由（1）可知 ， 设的解析式为：， 将坐标代入得： ， 解得， 的解析式为：， 设的解析式为：， 将坐标代入得： ， 解得， 的解析式为：， 在 轴上， 令，解得， ， 是等腰直角三角形， ， ， 的解析式为：， 设的解析式为，将代入得： ， 联立， 解得：， ， ②当在轴下方时，如图，交与点， △DMN是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 设的解析式为， 将 代入得： ， 解得， ， 在轴上， 令， 解得， ， ， 的解析式为：， 设的解析式为，将代入得： ， 联立， 解得：， ， 综合①②可知点的坐标为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，待定系数法求解析式，线段和最值问题，掌握以上知识是解题的关键． 6．如图，平面直角坐标系中，直线m交x轴于点A，交y轴于点B．且点A ，∠BAO＝60°．点C为AB中点，过点C作直线 n 垂直于m，交 x轴于点 D． （1）请直接写出B、C、D的坐标． （2）在x轴上找一点E，使得S△BCE＝6，求点E的坐标． （3）直线m上有一点 M，y轴上有一点N，若△DMN 是等腰直角三角形，求出点M的坐标． 【答案】（1）B（ 0，6），C（， 3 ），D（， 0）；（2）E（，0）；（3）M 或 或或或 【分析】（1）根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半可求出AB的长，在利用勾股定理即可求出BO的长，因点B在轴上，即可求出点B的坐标，根据中点坐标公式可求点C的坐标，同时根据待定系数法可求得直线的解析式，利用直线与直线垂直，可求直线的斜率，再利用待定系数法求出直线的解析式，即可求点D坐标； （2）分两种情况：①当点E 在点A的左侧，②当点E在点A的右侧时，可根据三角形的面积公式，分别表示出和的面积，再利用即可求得点E的坐标； （3）根据题意设出点M的坐标，分三种情况：①当点D为直角顶点时；②当点M为直角顶点时；③当点N为直角顶点时；再利用等腰三角形的性质，两点间距离公式，勾股定理即可解答． 【详解】（1）直线交轴于点A（），交轴于点B 在中，由勾股定理得： 点B的坐标为： 点C为AB的中点 点C的横坐标为： 点C的纵坐标为： 点C的坐标为： 设直线的解析式为： 解得： 直线的解析式为：， 直线n垂直于直线m，垂足为C ，为直角三角形 ，点C为AB的中点， 点D的坐标为： （2）①E在A的左侧时，设E（m，0） ， 解得： ∴ E（，0） ②E在A的右侧时，设点E（n，0）    解得：     ∴E（ ，0）   （3）当D 为直角顶点时，设M坐标为： 在中，由勾股定理得： N点坐标为（0、） 在中由勾股定理可得： 解得：或 点M的坐标为： 或 同理：当M为直角顶点时，点M的坐标为：或 当N 为直角顶点时，点M的坐标为： 【点睛】本题主要考查的是一次函数与几何应用，熟练掌握含角直角三角形的性质，待定系数法求解析式，中点坐标公式，等腰三角形的性质，勾股定理，两点间距离公式是解题关键． 【题型5：一次函数中平行四边形存在性问题】 1．如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B，一次函数的图象经过点，并与轴交于点，点是直线上的一个动点． (1)求直线的表达式和点的坐标； (2)若点在轴上方，且的面积为18，求点坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线，交直线于点Q．M是x轴上一点，在直线上是否存在点N，使四边形是平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积，勾股定理，待定系数法，平行四边形的性质． （1）根据坐标轴上点的坐标特征求点和点坐标，再将点坐标代入一次函数即可求解； （2）过点作轴于，设点，则，根据可得的值，即可求解． （3）推导出，，，设点，根据四边形是平行四边形可以得到到与到的平移方式一致，据此求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得， ∴点坐标为； 当时，，则点坐标为； 将 代入一次函数得：， 直线的表达式为， 当时，，解得，则点坐标为； （2）解：过点作轴于，如图1， 设点， ∵点在轴上方， ， 点坐标为，点坐标， ， ， ， ， 解得； 存在，点的坐标为； （3）解：当时，， ∵过点P作x轴的垂线，交直线于点Q，， ， ∴向下移动3个单位长度到， 设点， 如图： ∵四边形是平行四边形， ∴且， ∴到与到平移方式一致， 即向下移动3个单位长度到， ∵M是x轴上一点， ∴，解得， 点的坐标为． 2．如图，已知直线与x轴，y轴的交点分别为A，B，直线与y轴交于点C，直线与直线的交点为E，且点E的横坐标为2． (1)求实数b的值和点A的坐标； (2)设点为x轴上的动点，过点D作x轴的垂线，分别交直线l与直线于点M、N，若以点B、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求a的值． 【答案】(1)， (2)a的值为5或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象点的坐标特征、待定系数法、平行四边形的判定等知识．用含a的式子表示出的长是解题的关键． （1）将点E的横坐标2代入求出点E的坐标，再代入中可求出b的值，然后令解之即可得出A点坐标； （2）由题可知，，只需再求出当时的a值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点E在直线上，且点E的横坐标为2， 则当时，， ∴点E的坐标为， ∵点E在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，有， 解得：， ∴点A的坐标为； （2）解：如图所示， 当时，，， ∴， 当时，， ∴． ∵， ∴当时，以点B、O、M、N为顶点的四边形为平行四边形， 此时， 解得：或． ∴当以点B、O、M、N为顶点的四边形为平行四边形，a的值为5或． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（－2，0）、（1，0），直线经过点A，B． (1)求直线AB的函数表达式； (2)设点D与点A、B、C构成平行四边形，直接写出所有符合条件的点D的坐标． 【答案】(1) (2)符合题意的点D有（3,3），（-3,3），（-1,3）． 【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A、B代入求解即可得出结果； （2）根据题意进行分类讨论，然后利用平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质即可得出结果． 【详解】（1）解：设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A、B代入可得： ， 解得：， ∴直线AB的解析式为y=； （2）解：由图象可得，BC=3， 当AD=BC且AD∥BC时， AD=BC=3， ∴D（3,3）； 当AD=CB且AD∥CB时，如图所示： AD=CB=3， ∴D（-3,3）； 如图所示，四边形ABDC为平行四边形，过点D作DH⊥x轴， ∴BD∥AC， ∴∠DBC=∠ACB，BD=AC， ∵∠DHB=∠AOC=90°， ∴∆AOC≅∆DHB， ∴BH=OC=1，DH=AO=3， ∴D（-1,3）， 综上可得，符合题意的点D有（3,3），（-3,3），（-1,3）． 【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定一次函数解析式及平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些性质是解题关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与x轴，y轴分别相交于点B，A，直线与x轴交于点，与直线相交于点E，点E在第二象限． （1）求b的值； （2）若的面积为72，求直线的表达式； （3）在（2）的条件下，点P是直线上一点，点Q是坐标轴上一点，如果四边形是平行四边形，请直接写出点P，Q的坐标． 【答案】（1）6；（2）；（3）P（，4），Q（，0）或P′（8，6），Q′（0，-2） 【分析】（1）直接将（2，4）代入求出b的值即可； （2）首先求出图象与坐标轴交点，进而利用三角形面积求出E点纵坐标，即可得出其坐标，进而利用待定系数法求一次函数解析式； （3）分别利用Q在x轴以及y轴上分别得出答案． 【详解】解：（1）∵直线y=-x+b经过点C（2，4）， ∴4=-2+b， 解得：b=6； （2）连接AD， 当x=0，则y=6，故A（0，6）， 当y=0，x=6，故B（6，0）， ∵点D（18，0）， ∴BD=12， ∴S△ABD=×6×12=36， 设E点坐标为：（x，h） ∴S△EBD=×h×12=6h， ∵S△EAD=S△EBD-S△ABD=6h-36=72， 解得：h=18， ∴18=-x+6， 解得：x=-12， ∴E（-12，18）， 设直线DE的解析式为：y=ax+c， 故， 解得：， ∴直线DE的表达式为：； （3）①当Q在x轴上时， 当CP∥BQ，则P点纵坐标为：4， 故， 解得：， ∴P（，4）， ∵四边形BPCQ是平行四边形， ∴BC是对角线，P（，4）， ∴Q（，0）， ②当Q在y轴上时， 由平行四边形的性质结合B（6，0），C（2，4）， 故P′横坐标为：6+2=8， 则P′坐标为：（8，6）， 故Q′的纵坐标为：4-6=-2， 故Q′的坐标为：（0，-2）， ∴符合题意的坐标为：P（，4），Q（，0）或P′（8，6），Q′（0，-2）． 【点睛】此题主要考查了一次函数综合以及平行四边形的性质和三角形面积和待定系数法求一次函数解析式等知识． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（﹣2，0）, 交y轴于点B（0，4），直线y＝kx+b经过点B且交x轴正半轴于点C，已知△ABC面积为10． （1）点C的坐标是（ 　 　，　 　），直线BC的表达式是 　 　； （2）如图1，点E为线段AB中点，点D为y轴上一动点，以DE为直角边作等腰直角三角形△EDF，且DE＝DF，当点F落在直线BC上时，求点D的坐标； （3）如图2，若G为线段BC上一点，且满足S△ABG＝S△ABO，点M为直线AG上一动点，在x轴上是否存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由； 【答案】（1），；（2）或；（3）存在，或或 【分析】（1）由△ABC面积为10，可得AC＝5，即可求C点坐标，再将点B与C代入y＝kx+b，解二元一次方程组可求y＝﹣x+4； （2）当D点在E上方时，过点D作MN⊥y轴，过E、F分别作ME、FN垂直与x轴，与MN交于点M、N，由△EDF是等腰直角三角形，可证得△MED≌△NDF（AAS），设D（0，y），F（m，﹣m+4），E（﹣1，2），由ME＝y﹣2，MD＝1，DN＝y﹣2，NF＝1，得到m＝y﹣2，y＝1+（﹣m+4）＝5﹣m，求出D（0，）；当点D在点E下方时，过点D作PQ⊥y轴，过P、Q分别作PE、FQ垂直与x轴，与PQ交于点P、Q，同理可证△PED≌△QDF（AAS），设D（0，y），F（m，﹣m+4），得到PE＝2﹣y，PD＝1，DQ＝2﹣y，QF＝1，所以m＝2﹣y，1＝﹣m+4﹣y，求得D（0，﹣1）； （3）连接OG，由S△ABG＝S△ABO，可得OG∥AB，求出AB的解析式为y＝2x+4，所以OG的解析式为y＝2x，可求出G（ ，），进而能求出AG的解析式为y＝x+，设M（t，t+），N（n，0），①当BC、MN分别为对角线时，BC的中点为（，2），MN的中点为（，t+），求得N（﹣，0）；②当BM、CN分别为对角线时，BM的中点为（，t+），CN的中点为（，0），求得N（﹣，0）；③当BN、CM分别为对角线时，BN的中点为（，2），CM的中点为（，t+），求得N（，0）． 【详解】解：（1）∵△ABC面积为10， ∴×AC×OB＝×AC×4＝10， ∴AC＝5， ∵A（﹣2，0）， ∴C（3，0）， 将点B与C代入y＝kx+b，可得, ∴， ∴y＝﹣x+4， 故答案为（3，0），y＝﹣x+4； （2）当D点在E上方时，过点D作MN⊥y轴，过E、F分别作ME、FN垂直与x轴，与MN交于点M、N， ∵△EDF是等腰直角三角形， ∴∠EDF＝90°，ED＝DF， ∵∠MDE+∠NDF＝∠MDE+∠MED＝90°， ∴∠NDF＝∠MED， ∴△MED≌△NDF（AAS）， ∴ME＝DN，MD＝FN， 设D（0，y），F（m，﹣m+4）， ∵E是AB的中点， ∴E（﹣1，2）， ∴ME＝y﹣2，MD＝1， ∴DN＝y﹣2，NF＝1， ∴m＝y﹣2，y＝1+（﹣m+4）＝5﹣m， ∴m＝， ∴D（0，）； 当点D在点E下方时，过点D作PQ⊥y轴，过P、Q分别作PE、FQ垂直与x轴，与PQ交于点P、Q， ∵△EDF是等腰直角三角形， ∴∠EDF＝90°，ED＝DF， ∵∠PDE+∠QDF＝∠PDE+∠PED＝90°， ∴∠QDF＝∠PED， ∴△PED≌△QDF（AAS）， ∴PE＝DQ，PD＝FQ， 设D（0，y），F（m，﹣m+4） ∵E是AB的中点， ∴E（﹣1，2）， ∴PE＝2﹣y，PD＝1， ∴DQ＝2﹣y，QF＝1， ∴m＝2﹣y，1＝﹣m+4﹣y， ∴m＝3， ∴D（0，﹣1）； 综上所述：D点坐标为（0，﹣1）或（0，）； （3）连接OG， ∵S△ABG＝S△ABO， ∴OG∥AB， 设AB的解析式为y＝kx+b， 将点A（﹣2，0），B（0，4）代入，得， 解得， ∴y＝2x+4， ∴OG的解析式为y＝2x， ∴2x＝﹣x+4， ∴x＝， ∴G（ ，）， 设AG的解析式为y＝k1x+b1， 将点A、G代入可得， 解得， ∴y＝x+， ∵点M为直线AG上动点，点N在x轴上， 则可设M（t，t+），N（n，0）， 当BC、MN分别为对角线时， BC的中点为（，2），MN的中点为（，t+）， ∴，t+=2， ∴t＝，n＝﹣， ∴N（﹣，0）； 当BM、CN分别为对角线时， BM的中点为（，t+），CN的中点为（，0）， ∴，t+=0， ∴t＝﹣，n＝﹣， ∴N（﹣，0）； ③当BN、CM分别为对角线时， BN的中点为（，2），CM的中点为（，t+）， ∴，t+=2， ∴t＝，n＝， ∴N（，0）； 综上所述：以点B，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，N点坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，（2）中注意D点的位置有两种情况，避免丢解，同时解题时要构造K字型全等，将D点、F点坐标联系起来，（3）中利用平行四边形对角线互相平分的性质，借助中点坐标公式解题，能简便运算，快速求解． 6．如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B． （1）求直线l2对应的函数解析式； （2）求△ABC的面积； （3）请你找到图象中直线l1在直线l2上方的部分，直接写出此时自变量x的取值范围； （4）在坐标平面内是否存在点P，使以点A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣2x+6；（2）12；（3）x＞1；（4）存在，（﹣1，﹣4）或（7，4）或（﹣5，4）． 【分析】（1）求出C（1，4），用待定系数法即可得到直线l2对应的函数解析式为y＝﹣2x+6； （2）过点C作CD⊥x轴于点D，由解析式可得B（﹣3，0），故AB＝6，根据C（1，4），即得△ABC的面积为12； （3）数形结合即得x＞1； （4）设P（m，n），分三种情况：①以AB、CP为对角线，则AB的中点与CP的中点重合，，即得P（﹣1，﹣4）；②以AC、BP为对角线，同理可得：，故此时P（7，4）；③以AP、BC为对角线，同理可得：，从而P（﹣5，4）． 【详解】解：（1）把x＝1代入y＝x+3，得y＝4， ∴C（1，4）， 设直线l2对应的函数解析式为y＝kx+b， 则由点C（1，4）、A（3，0）得：， 解得：， ∴直线l2对应的函数解析式为y＝﹣2x+6； （2）过点C作CD⊥x轴于点D，如图： 当y＝0时，x+3＝0，解得  x＝﹣3， ∴B（﹣3，0）， 又A（3，0）， ∴AB＝6， ∵C（1，4）， ∴CD＝4， ∴， 故△ABC的面积为12； （3）由图可得：直线l1在直线l2上方时，x＞1； （4）存在，理由如下： 设P（m，n），而A（3，0），B（﹣3，0），C（1，4），以点A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况： ①以AB、CP为对角线，则AB的中点与CP的中点重合，如图： ∴， 解得， ∴P（﹣1，﹣4）； ②以AC、BP为对角线，如图： 同理可得：， 解得：， ∴P（7，4）； ③以AP、BC为对角线，如图： 同理可得：， 解得：， ∴P（﹣5，4）； 综上所述：以点A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，P的坐标为：（﹣1，﹣4）或（7，4）或（﹣5，4）． 【点睛】本题考查一次函数及综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、比较函数值大小、平行四边形性质及判定等知识，解题的关键是根据平行四边形对角线互相平分列方程组解决问题． 7．在平面直角坐标系中，矩形纸片AOBC按如图方法放置，点A、B分别在y轴和x轴上，已知OA=2，OB=4，点D在边AC上，且AD=1． 解答下列问题． （1）点C的坐标为 _______； （2）在x轴上有一点E，使得△CDE的周长最短，求出点E的坐标及直线CE的解析式． （3）在平面直角坐标系内是否存在点P，使得以C、D、P、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）（4，2）；（2）点E的坐标为（，0）；直线的解析式为；（3）在平面直角坐标系内存在点P1(，0)或P2(−，0)或P3(，4)，使得以C、D、P、E为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】（1）由OB及OA长度可写出C点的坐标； （2）作C点关于x轴的对称点F，连接FD交OB于E，进而求出E点坐标； （3）分别以CD为平行四边形的边，CD为对角线求出P点的坐标即可． 【详解】解：（1）∵OA=2，OB=4，且点C在第一象限， ∴点C的坐标为（4，2）； 故答案为：（4，2）； （2）过点D(1，2)作关于x轴的对称点D1(1，−2)， 连接D1C交x轴于点E，由轴对称性知D1E=DE，由两点之间线段最短得D1C=D1E+EC=DE+CE最短，即ΔCDE的周长最短． 设直线D1C的解析式为y=kx+b，把D1(1，−2)和C(4，2)分别代入得： ，解得， ∴直线CE的解析式为． ∵点E在x轴上， ∴当y=0时，x=，点E的坐标为（，0）； （3）设P(x，0)， ∵四边形AOBC是矩形， ∴AC=OB=4． ∵AD=1， ∴DC=AC−AD=4−1=3． 分情况讨论： ①当CD为平行四边形的边时， ∵以点C、D、P、E为顶点的四边形是平行四边形， ∴PE//CD且PE=CD． ∴=3， ∴x−=3或x−=−3， ∴x1=， x2=−， ∴P1(，0)或P2(−，0)； ②当CD为平行四边形的对角线时， ∵四边形是以点C、D、P、E为顶点的平行四边形，并且点E在x轴上， ∵OE=， ∴点P在AC的上方，且EP⊥DC． ∴P3(，4)． 综上所述，在平面直角坐标系内存在点P1(，0)或P2(−，0)或P3(，4)， 使得以C、D、P、E为顶点的四边形是平行四边形． ． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式和平行四边形的判定和分类，解决问题的关键是熟悉“将军饮马”模型和平行四边形分类的方法． 【题型6：一次函数中菱形的存在性问题】 1．综合探究：如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，且与直线交于点． (1)已知是线段上的点，且的面积为，求的坐标； (2)在（1）的条件下，设是射线上的点，在平面内存在点，使以为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）根据在直线上，设出点坐标，表示出的面积，把已知面积代入求出的值，即可确定点的坐标； （2）在（1）的条件下，设是射线上的点，在平面内存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，如图所示，分三种情况考虑：①当四边形为菱形时，由，得到四边形为正方形；②当四边形为菱形时；③当四边形为菱形时；分别求出坐标即可． 【详解】（1）解：∵直线分别与轴、轴交于点， 当时，得：；当时，得：， ∴，， ∴， ∵是线段上的点，直线的解析为，设， 又∵的面积为， ∴， 解得：， ∴； （2）设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵在平面内存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形， 如图所示，分三种情况考虑： ①当四边形为菱形时， ∵， ∴得到四边形为正方形， ∴，， ∴； ②当四边形为菱形时， ∴与互相垂直且平分，， ∵， ∴点的纵坐标为， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，得：， ∴； ③当四边形为菱形时，交轴于点， ∴，，即轴， ∴点在直线上，设， ∴，， 在中，， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴； 综上所述，点的坐标是或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了坐标与图形，一次函数与坐标轴的交点，待定系数法确定一次函数解析式，菱形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理等知识点，分类讨论思想的运用是解题的关键． 2．如图，直线与直线相交于轴上一点，点是直线上的一个动点（不与点C重合），过点P作轴交直线于点M．设点P的横坐标为m． （1）直接写出点P，M的坐标P ，M （用含m的式子表示）； （2）若的面积为，求的值； （3）试探究在坐标平面内是否存在点N，使得以O，C，M，N为顶点的四边形是以CM为边的菱形？若存在，求出m的值，并直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）存在，或或，N的坐标为或或 【分析】（1）根据点P，M所在的直线函数解析式，即可得到答案； （2）过点作于点，用含m的表达式表示CE，PM的长，列出方程即可求解； （3）分两种情况：①当以OC为对角线时；②当以为对角线时，分别列出方程求解，即可． 【详解】解：（1）∵点P的横坐标为m， ∴，， 故答案是：，； （2）过点作于点．则，，依题意得，， ∴； （3）存在点N，使得以O，C，M，N为顶点的四边形是以CM为边的菱形． ①当以OC为对角线时，则MN垂直平分OC， ∴， ∴，，． ②当以为对角线时，则，过点作轴上于点， 在中，由勾股定理得，，即， ∴， ∴或， 综上所述，当或或时，以O，C，M，N为顶点的四边形是以CM为边的菱形．点N的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查一次函数与平面几何的综合，掌握函数图像上点的坐标特征，菱形的性质，是解题的关键． 3．如图，已知平面直角坐标系中，A（1，0），C（0，2），现将线段CA绕A点顺时针旋转90°得到点B，连接AB． （1）求出直线BC的解析式； （2）若动点M从点B出发，沿线段BC以每秒个单位的速度运动，过点M作MN∥AB交y轴于N，连接AN．设运动时间为t秒，当四边形ABMN为平行四边形时，求t的值； （3）P为直线BC上一点，若在坐标平面内存在点Q，使得四边形OBPQ为菱形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）； （2） ；（3）满足条件的点Q的坐标为或． 【分析】（1）如图1，过点B作轴于点H，可证明，可得BH=OA=1，AH=OC=2，可求出点B坐标，再利用待定系数法即可解决问题； （2）利用平行四边形的性质求出点N的坐标，再求出AN，BM，CM即可解决问题； （3）根据在坐标平面内存在点Q，使得四边形OBPQ为菱形，如图3中，OB为菱形的边，可得菱形OBP1Q1，菱形OBP2Q2，分别求解即可解决问题． 【详解】（1）如图1，过点B作轴于点H， ∵A（1，0），C（0，2）， ∴OA=1，OC=2， ∵线段CA绕A点顺时针旋转90°得到点B， ∴ ，AC=AB， ∴ ， ， ∴， ∴ ， ∴BH=OA=1，AH=OC=2， ∴OH=OA+AH=3， ∴B（3，1）， 设直线的解析式为 ，则 ，解得： ， ∴直线BC的解析式为 ； （2） ∵四边形ABMN是平行四边形， ∴AN//BM， 可设 ， ∵A（1，0），代入得： ，即 ， ∴直线AN的解析式为： ， ∴N（0， ），即 ， ∴ ∴ ， ∴ ， ∴ 时，四边形ABMN时平行四边形； （3）如图， ∵P为直线BC上一点，若在坐标平面内存在点Q，使得四边形OBPQ为菱形， ∴OB为菱形的边，可得菱形OBP1Q1，菱形OBP2Q2， ∴ ， ∴直线 的解析式为 ， ∵ 设， 过点 作 轴于点 ，则 ， ∴，解得： 或-3， 则有，， 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 4．如图，矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于点、，且．点是直线上的一个动点． （1）求的值； （2）连结，若三角形的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标； （3）设点是平面内的一点，以、、、为顶点的四边形是菱形，直接写出的坐标． 【答案】（1）b＝2；（2）（，）或（-，）；（3）（−2，1）或(，)或(，)或(，)． 【分析】（1）利用矩形的性质，用b表示点E的坐标，再利用待定系数法即可解决问题； （2）首先求出四边形OAED的面积，再分两种情况求出△ODM的面积，即可解决问题； （3）由以、、、为顶点的四边形是菱形，分三种情况讨论：①当OD为菱形对角线时，当OM为菱形对角线时，③当DM为菱形对角线时，分别求出M的坐标，进而即可求解． 【详解】解：（1）中，令x＝0，解得y＝b，则点D的坐标是（0，b），OD＝b， ∵OD＝BE， ∴BE＝b， 则点E的坐标为（2，3−b）， 把E点坐标代入，得：3−b＝−1＋b， 解得b＝2； （2）∵S四边形OAED＝（OD＋AE）•OA＝×（2＋1）×2＝3， ∵△ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3， ∴当点M在线段DE上时，S△ODM＝，当点M在线段ED的延长线上时，S△ODM＝， 设点M的横坐标是a，则•2a＝或•2×(-a)＝ 解得a＝或-， 把x＝a＝或-代入，得：y＝或， ∴点M的坐标是（，）或（-，）； （3）①当OD为菱形对角线时，如图，点M的纵坐标是1． 把y＝1代入直线，得，解得x＝2， 则点M的坐标是（2，1）， ∵四边形OMDN是菱形， ∴M、N关于y轴对称， ∴点N的坐标是（−2，1）； ②当OM为菱形对角线时，如图，则DM=DO=2 设M(m，)， ∴，解得：或， ∴M(，)或M(，)， 设N(x，y)， ∴x=，y=-2=或x=，y=-2=， ∴N(，)或N(，)； ③当DM为菱形对角线时，如图，则MO=DO=2， 同理：，解得：或m=0（舍去）， ∴M(，)， 设N(x，y)， ∴x=，y=+2=， ∴N(，)． 综上所述：点N的坐标是（−2，1）或(，)或(，)或(，)． 【点睛】本题考查一次函数综合题、矩形的性质、菱形的性质、四边形的面积等知识，解题的关键是掌握菱形的性质进行分类讨论，掌握一次函数图像上点的坐标特征，用点的坐标表示线段长，属于中考压轴题． 【题型7：一次函数与将军饮马问题】 1．如图，平面直角坐标系中，已知点，，点M在坐标轴上． (1)直接写出A，B两点到y轴的距离分别为______和______； (2)若点M在y轴上，求的最小值； (3)若点M在x轴，当最大时，求点M的坐标． 【答案】(1)1，2 (2)的最小值为． (3) 【分析】（1）根据点到y轴的距离为即可得出答案； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时达到最小，且最小为，过点作轴的平行线，过点作轴的垂直线，两线相交于点，然后利用勾股定理求得答案即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时，那么达到最大，且最大值为，然后用待定系数法求出直线的解析式，然后再求出直线与轴的交点即可． 【详解】（1）解：已知点，， 到y轴的距离为，到y轴的距离为2； （2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，如图所示： 关于轴对称，， ，， ， 取得最小值，且最小值为， 过点作轴的平行线，过点作轴的垂直线，两线相交于点， ， ，， ，， ， 的最小值为． （3）解： 作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时，那么达到最大，且最大值为， 关于轴对称，， ， 设直线为，代入， ， ， 直线为， 当时，，解得， 故． 【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，轴对称的性质，两点之间线段最短，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 2．如图，点A（1，4）在正比例函数的图象上，点B（3，n）在正比例函数的图象上． (1)求m，n的值； (2)在x轴找一点P，使得PA＋PB的值最小，请求出PA＋PB的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解m、n值即可； （2）作点A关于x轴对称的点，连接，交x轴于点P，此时PA＋PB的值最小， 最小值为PA＋PB＝．过点作∥x轴，过点B作∥y轴，和相交于点H，求出的长即可． 【详解】（1）解：∵点A（1，4）在正比例函数的图象上，点B（3，n）在正比例函数的图象上． ∴ ∴ ． （2）解：作点A（1，4）关于x轴对称的点，连接，交x轴于点P，此时PA＋PB的值最小， PA＋PB＝． 过点作∥x轴，过点B作∥y轴，和相交于点H， 在Rt△中，∠H＝90°， 则， ∴PA＋PB的最小值为 ． 【点睛】本题考查正比例函数图象上点的坐标特征、最短路径问题、坐标与图形变化、勾股定理，熟练掌握最短路径的解题方法是解答的关键． 3．如图，已知，P是y轴上一动点，线段PA绕着点P按逆时针方向旋转至线段PB位置，连接AB、OB． （1）设P点坐标为，请求出B点坐标； （2）求BO+BA的最小值． 【答案】（1）B点坐标为（m，m+8）；（2）BO+AB的最小值为 【分析】（1）作BC⊥y轴于点C，利用△BPC≌△PAO求得BC＝OP，PC＝AO，即可求出B点坐标； （2）设直线y＝x+8与x轴交于点E，与y轴交于点F，作点O关于y＝x+8的对称点D，连接DE，DF，DA，DB，则EF垂直平分OD，转化为“轴对称—最短距离”模型即可求出BO+BA的最小值． 【详解】解：（1）如图，作BC⊥y轴于点C， ∵线段PA绕着点P按逆时针方向旋转90°至线段PB位置， ∴PA＝PB，∠BPA＝90°， ∵BC⊥y轴，∠POA＝90°， ∴∠BCP＝∠POA＝90°， ∴∠OAP+∠OPA＝90°，∠CPB+∠OPA＝90°， ∴∠CPB＝∠OAP， ∴△BPC≌△PAO（AAS）， ∴BC＝OP，PC＝AO， ∵P（0，m），A（8，0）， ∴BC＝OP＝m，PC＝AO＝8， ∴B点坐标为（m，m+8）； （2）如图， ∵B（m，m+8） ∴B点在直线y＝x+8上， 设直线y＝x+8与x轴交于点E，与y轴交于点F，作点O关于y＝x+8的对称点D，连接DE，DF，DA，DB，则EF垂直平分OD， ∴BD＝BO， ∴OB+AB＝BD+AB≥AD， ∴BD+AB的最小值为AD，即BO+AB的最小值为AD， ∵OE＝OF＝8， ∴∠FEO＝∠EFO＝45°， ∴四边形DEOF为正方形， ∴∠DEA＝90°，DE＝8，EA＝16， ∴AD＝， ∴BO+AB的最小值为． 【点睛】本题主要考查一次函数与几何综合，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称－最短路线问题，添加合适的辅助线，构造全等三角形和轴对称图形，是解题的关键. 4．如图，在平面直角坐标系中，将等腰三角形ABC的底边AB放在x轴上，顶点C放在y轴正半轴上，已知AB＝8，AC＝5．点D为线段BC上一动点，分别过D作DE⊥x轴，DF⊥y轴，垂足分别为E、F． （1）直接写出点C坐标，并求出直线BC的解析式； （2）当四边形OEDF是正方形时，求动点D的坐标； （3）P为y轴上一动点，在（2）的结论下，连接PD、PB，当PB+PD取最小值时，求动点P的坐标． 【答案】（1）C点坐标为（0，3），y＝﹣x+3；（2）D（，）；（3）P（0，） 【分析】（1）由等腰三角形的性质，可知，由待定系数法可求直线的解析式为； （2）设，由四边形是正方形，则，可得，即可求，； （3）连接交轴于点，此时值最小为，由待定系数法求出直线的解析式为，则可求． 【详解】解：（1）是等腰三角形，，， ，轴， ， 点坐标为， ， ， 设直线的解析式为， 则有， ， ； （2）点为线段上一动点， 设， 四边形是正方形， ， ， ， ，； （3）连接交轴于点， 与关于轴对称， ，此时值最小， 设直线的解析式为， 则有， ， ， 令，则， ． 【点评】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象及性质，熟练应用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【题型8：一次函数中角度问题】 1．【模型建立】 如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：． 【模型应用】 （1）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，和所在直线分别为x轴、y轴，若，，请解答下列问题： ①点C的坐标是________，点A的坐标是________； ②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标：________； （2）如图3，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点B旋转至直线，求直线的函数表达式． 【答案】模型建立：见解析；模型应用：（1）①，；②或；（2） 【分析】（1）利用证明即可； （2）①根据即可得到点C的坐标，根据全等三角形的性质即可得到，，从而得到，即可得到点A的坐标； ②分M在原点右侧和在原点左侧两种情况讨论求解即可； （3）过点A作交于点C，过点C作轴，求出，，然后证明出，，，求出，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】模型建立：解：①∵，， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴； （1）解：①∵，，， ∴，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴点A的坐标为； ②如图所示，当M在原点右边时，连接，，以O、A、B、M为顶点的四边形的面积为S， ∴ ∴， ∴点M的坐标为； 如图所示，当点M在原点左侧时，连接，， ∴ ， ∴， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或； （2）如图所示，过点A作交于点C，过点C作轴 ∵直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当时， ∴ ∴ 当时， 解得 ∴ ∴， ∵将直线绕点B旋转至直线， ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴设直线表达式为 ∴ 解得 ∴设直线表达式为． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质和判定，坐标与图形等等，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 2．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与直线交于点． (1)求m的值； (2)点D是直线上一动点． ①如图2，当点D恰好在的角平分线上时，求直线的函数表达式； ②是否存在点D，使得，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)①；②存在，或 【分析】（1）把代入，可得答案； （2）①过点作，垂足为点．求解直线表达式为．可得．证明，过作，垂足为点．证明．可得，则，从而可得答案； ②若点在射线上时，如图．过作轴，交轴于点，过作，交的延长线于点．证明．可得，结合点B坐标为，可得点的坐标为．若点在的延长线上时，如图．过作轴，交轴于点，过作，交的延长线于点．同理．从而可得答案． 【详解】（1）解：将代入，得； （2）解：①过点作，垂足为点．   ． ， ． ． 点在直线上， ． 直线表达式为． 把代入中， 得 ． ． ． 在中，． ， ． 过作，垂足为点． ． ． 又平分， ． ， ． ． 在直线上，令，得， ， 设直线的函数表达式为． 把代入，得． 直线的表达式为． ②存在． 若点在射线上时，如图．    过作轴，交轴于点，过作，交的延长线于点． ． ． 又， ． ． ， 为等腰直角三角形， ． ． ． 点B坐标为 ． ． 点的坐标为． 若点在的延长线上时，如图．    过作轴，交轴于点，过作，交的延长线于点． 同理． ． 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识并灵活运用是解本题的关键． 3．新人教版八年级下册课本第30页介绍：美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，直线过等腰直角的直角顶点：过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：． (1)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，，，点的坐标为，点的坐标为，求点坐标； (2)如图3，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质和一次函数的性质， 过点B作轴于E，则，进一步证明，结合点坐标可知，，则，即可求得点B； 过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D，则，结合题意知，由（1）的模型可得，则，，即可知，设直线的解析式为，利用待定系数法即可求得答案． 【详解】（1）解：如图2，过点B作轴于E， 则， ∵点C的坐标为，A点的坐标为， ∴，， ∵等腰，，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：如图3，过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D， ∵， ∴， ∵与轴，轴交于点， ∴， ∴， 由（1）的模型可得，则，， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ，解得， ∴； 4．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，C点在x轴上A点的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D，点P为直线上一动点． (1)求点D坐标； (2)若，请求出P点的坐标； (3)若，请直接写出点P坐标． 【答案】(1)点D的坐标为 (2)点P的坐标为或 (3)点P的坐标为或 【分析】（1）由点A的坐标及，可求得点C的坐标；直线与正比例函数的图象平行，设直线解析式为，把点C坐标代入可求得直线解析式；把点A代入中，可求得其解析式；再解二元一次方程组即可求得点D的坐标； （2）由点D的坐标可求得，由已知则得；点P在点D的下方与上方两种情况计算即可； （3）当点P在点D上方时，过D作于F，过C作轴交于点H，过F作于E，过D作于G，设；易证明，则，，而，即可求得m、n的值，求得点F的坐标，进而求得的解析式，最后解方程组求出点P的坐标；当点P在点D下方时，同理可求得． 【详解】（1）解：点及， ， ， 故点C的坐标为； 直线与正比例函数的图象平行， 故设直线解析式为， 把点C坐标代入可求得直线解析式，得：， 解得：， 即直线解析式为； 过点A， 把点A代入中，得， 即， ； 解二元一次方程组，得， 即点D的坐标为； （2）解：点D的坐标为， ， ， ； 当点P在点D的下方时，如图； ， 点在线段上； ； ， ； 则，即， 此时； 当点P在点D的上方时， ； ， ； 则，即， 此时； 综上，点P的坐标为或； （3）解：如图，当点P在点D上方时，过D作于F，过C作轴交于点H，过F作于E，过D作于G； 设，则； ，， ，； ， ， ， ， ，， 而， ， 即，解得：， 点F的坐标为； 设的解析式为， 把C、F的坐标代入得，解得：， 即的解析式为； 解方程组得， 点P的坐标为； 当点P在点D下方时，同理可求得点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数与几何的综合，考查了待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点坐标，两直线与坐标轴围成的图形面积，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，有一定的综合性，注意分类讨论． 5．定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图1，一次函数：的图象分别交轴、轴于点、． (1)请写出一次函数的“逆反函数”的解析式______；点在的函数图象上，则的值是______． (2)一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ①求出点坐标； ②求出的面积． (3)如图2，过点作轴的垂线段，垂足为，为轴上的一点，且，请直接写出直线的解析式． 【答案】(1)；； (2)①；②； (3)，． 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、新定义、面积的计算，分类求解是解题的关键． （1）由新定义求出函数表达式，即可求解； （2）①一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，即可求解； ②由的面积，即可求解； （3）当点M在点E的上方时，证明，得到，即可求解；当在点E下方时，则直线和关于对称，则的表达式为，即可求解． 【详解】（1）由新定义知，的解析式 ， 把点C的坐标代入上式得：，则， 故答案为：，； （2）①∵一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， 则点D是两个函数的交点，即，则，即点； ②由两个函数表达式知，点A、C的坐标分别为：、，则 则的面积； （3）设直线交y轴于点K， 当点M在点E的上方时， 过点K作交的延长线于点N，过点N作y轴的平行线， 过点K作x轴的平行线交过点K和x轴的平行线于点G，交过点的延长线于点H， 由直线的表达式知，，即， ∵， 则，则为等腰直角三角形，设点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，，即且， 解得：，， 即点， 由点D、N的坐标得，直线的表达式为：， 当在E下方时， 则直线和关于对称，则的表达式为： 综上所述，或． 6．如图，一次函数与一次函数交于x轴上的同一点A，且一次函数交y轴于点B，一次函数交y轴于点C． (1)求k的值； (2)若点E是x轴上的一个动点，是以为腰的等腰三角形，求点E的坐标； (3)若点P是上的一个动点，若，求点P的坐标． 【答案】(1)的值为 (2)点的坐标为或 (3)的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，关键是根据已知分类讨论求出所有可能的情况． （1）先求点的坐标，再把点的坐标代入求出的值； （2）由已知为腰，分或两种情况讨论求解； （3）分当在直线右侧和当在左侧两种情况讨论分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，令得, ∴， 把代入得： 解得， ∴的值为； （2）解：设, 在中，令得， ∴, 在中，令得， ∴， ∴，，； 当，为腰时，， 方程无解，这种情况不存在； 当，为腰时，， 解得或， ∴是以为腰的等腰三角形时，点的坐标为或 （3）解：当在直线右侧时，如图： ∵， ∴轴， 在中，令得， 解得， ∴； 当在左侧时，设交轴于，如图： ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， 由，得直线解析式为， 联立， 解得， ∴； 综上所述，的坐标为或． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、点，直线交轴于点． (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图1，过点的直线交线段于点，且满足与的面积比为，点和点分别是直线和轴上的两个动点，当的值最小时，求出的最小值． (3)如图2，已知点，在轴上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)的最小值为 (3)或 【分析】（1）通过直线的解析式可求出点的坐标，已知点的坐标，用待定系数法可求出直线的解析式． （2）过点分别作和的垂线，分别交和于点和点．由面积条件得与的高相等，得出点在的角平分线上，即射线是的角平分线，在射线上截取，点到轴的距离，即为的最小值． （3）分两种情况讨论：若在轴正半轴上，作在轴上，由等腰三角形的性质和三角形外角的定义，运用勾股定理即可求解；若在轴负半轴上，同理可求． 【详解】（1）解：∵直线分别交轴，轴于点，点． ∴令，得． ∴点的坐标为． 设直线的解析式为． 代入点和点． 得． 解得：． ∴直线的解析式为． （2）解：过点分别作和的垂线，分别交和于点和点． ∵点和点． ∴． ∵点是直线与轴的交点， ∴令，解得：． ∴点的坐标为． ∴，，即， ∴． ∵与的面积比为． ∴， 即， ∴点在的角平分线上， 在射线上取点，使得，连接，过点作轴的垂线，交轴于点， 则， ∴， 在和中． ， ， ， 则． 解得：． ， 故的最小值为． （3）解：存在，理由： 若在轴正半轴， 如图，由图可知，作在轴上， ， 又∵， ， ， ，， ， 则， ， ； 若在轴负半轴，与（1）同理，， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数的解析式，角平分线的判定，点到直线的距离垂线段最短，全等三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是：会用待定系数法求—次函数的解析式；能够通过角平分线找到已知点的对称点，熟练应用点到直线的距离垂线段最短；熟悉两点间的距离公式，等腰三角形的性质，能够用分类讨论和数形结合思想解答． 8．如图，直线和直线与轴分别相交于两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点，．    (1)求出直线的函数表达式； (2)在轴上有一点，使得最小，求点的坐标； (3)若是直线上方且位于轴上一点，满足，请求出点的坐标，判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，的形状为：等腰直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量值，一次函数交点问题，轴对称求最短路径问题，等腰直角三角形判定及性质等． （1）先求出，再将和代入中得到的函数表达式； （2）过点作轴的对称点，连接交轴于，此时有最小值，再求出，再设直线解析式为：，求出后令即可得到本题答案； （3）设直线与轴交于，过点作轴，证明和全等，继而得到，即可求出，再将，，，即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵与轴交于点， ∴令，即，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线与轴相交于点， ∴设直线的解析式为：， 将和代入中得： ，解得：， ∴， ∴直线的函数表达式：； （2）解：过点作轴的对称点，连接交轴于，此时有最小值，   ， ∵， ∴， ∵，的函数表达式：， ∴，解得：， ∴， ∴设直线解析式为：， ∴将，代入中得， ，解得：， ∴， ∵轴上有一点， ∴令，即， ∴点的坐标：； （3）解：是等腰直角三角形，理由如下： 设直线与轴交于，过点作轴，   ， ∴，轴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $