第四章 一次函数（知识串讲+热考题型+真题训练）-2025-2026学年八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版新教材）

第四章 一次函数 【考点1】函数的概念 【考点2】函数解析式 【考点3】自变量取值范围 【考点4】从函数图像获取信息 【考点5】一次函数的性质 【考点6】一次函数的图像 【考点7】一次函数与一元一次方程 【考点8】一次函数的实际应用 【考点9】一次函数与几何综合 【考点10】一次函数-情景题 【知识点01】变量与函数 1.变量与函数 定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量． 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和 y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，y 是x 的函数．如果 当 x=a时，y=b ，那么b叫做当自变量 x的值为a 时的函数值． 2.函数的解析式 像这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式。 3.自变量取值范围和函数值 初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况： （1） 函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数； （2） 函数关系式为分式形式：分母0 （3） 函数关系式含算术平方根：被开方数0； （4）函数关系式含0指数：底数0。 【知识02】函数的图像 对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个图象就叫做平面直角坐标系）。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。 理解图像：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义（坐标），特别是图像的起点、拐点、交点 【知识03】一次函数的图像和性质 1.一次函数的图像与性质 （1）一次函数的图象是经过点和点的一条直线； （2）一次函数的k决定直线的增减性，b决定直线与y轴的交点纵坐标； 当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。 2.一次函数图像上点坐标的特征 牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质。 【知识04】一次函数与方程的关系 1、求直线与另一直线的交点，就是在求两条直线对应解析式联立所得方程（组）的交点； 【知识05】一次函数的实际应用 行程类： 1、行程问题中，一次函数中|k|通常对应行程问题中的速度 2、准确理解函数图象中出现的起点、拐点、终点的意义 销售类： 1、常用等量关系：总利润=单件利润×数量 2、利用函数的增减性得到最大利润 【考点1】函数的概念 1．下列各图中表示y是x的函数的是（     ） A．B． C． D． 2．随着暑期的到来，西瓜的价格也趋于稳定，小若去水果店买西瓜，如图是称西瓜所用的电子秤显示屏上的数据，则其中的自变量是（   ） A．数量 B．金额 C．单价 D．金额和数量 3．某居民小区电费标准为0.6元/千瓦时，收取的电费y（元）和所用电量x（千瓦时）之间的关系式为y= 0.6 x，则下列说法正确的是（　　） A．x是自变量，0.6是因变量 B．0.6是自变量，x是因变量 C．x是自变量，y是因变量 D．y是自变量，x是因变量 【考点2】函数解析式 1．一台拖拉机在开始工作前，油箱中有油40L，开始工作后，每小时耗油6L，写出油箱中的剩余油量（单位：L）与工作时间（单位：h）之间的关系式： ． 2．长方形相邻两边长分别为x，y，面积为30，则用含x的式子表示y为 ． 3．汽车开始行驶时，油箱中有油40升，如果每小时耗油6升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为 ． 4．某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时．按原价售出；超过2千克时，超过的部分打8折．设某人在本次超市端午节活动期间购买糯米数量为千克，付款金额为y元，则y关于x的函数解析式为 ． 【考点3】自变量取值范围 1．函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．函数中，自变量x的取值范围是 ． 【考点4】从函数图像获取信息 1．某天上午，小明从家出发跑步去公园，在公园停留了一会然后乘坐出租车回家．图中折线表示小明离开家的路程和所用时间之间的函数关系，下列说法中错误的是(   ) A．小明跑步的平均速度是 B．小明在公园休息了5分钟 C．小明乘出租车用了17分钟 D．出租车的平均速度是小明跑步的平均速度的5倍 2．如图，小明与家人乘车去惠州西湖游玩然后返回家中，小明与家的距离与所用时间的对应关系如图所示，以下说法错误的是（    ） A．小明全家去西湖时的平均速度为 B．小明全家返回时的平均速度为 C．小明全家停车游玩了小时 D．小明“乘车去西湖”和“从西湖返回家”的时间相同 3．如图的曲线表示一只风筝在五分钟内离地面的飞行高度随飞行时间的变化情况，则下列说法错误的是（   ） A．风筝最初的高度为30m B．1min时高度和5min时高度相同 C．3min时风筝达到最高高度为60m D．2min到4min之间，风筝飞行高度持续上升 4．在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（   ） A．电池能量最多可充 B．摩托车每行驶消耗能量 C．一次性充满电后，摩托车最多行驶 D．摩托车充满电后，行驶将自动报警 5．小明家、体育馆、文具店在同一直线上，如图中的图象反映的过程是：小明从家跑步去体育馆，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步回家．下列信息中正确的是（    ） A．小明在体育馆花了20分钟锻炼 B．小明从家跑步去体育场的速度是 C．体育馆与文具店的距离是 D．小明从文具店散步回家用了90分钟 【考点5】动点问题函数问题 1．如图1，直角梯形中，，，动点P从A点出发，由沿梯形的边运动，设点P运动的路程为x，的面积为y，关于y与x的函数图象如图2，则的长为（    ）   A．11 B．9 C．12 D．10 2．．如图1，四边形是长方形，动点E从点B出发，沿匀速运动，到达点A停止运动，速度为，设点E的运动时间为，的面积为，其中S与t的关系如图2所示，那么下列说法正确的是（　　） A． B．S的最大值为 C．当时， D．当时， 3．如图1，在中，．动点从的顶点出发，以的速度沿匀速运动回到点．图2是点运动过程中，线段的长度（单位：）随时间（单位：）变化的图象，其中点为曲线部分的最低点．则图2中的值为 ． 4．如图1，在长方形中，动点在边上沿的路径匀速运动．的面积与点走过的路程的关系图象如图2所示． (1)你能从图中获取哪些信息？（写出三条不同的信息） (2)探究与之间的关系表达式． 【考点6】一次函数的性质 1．关于函数，下列结论不正确的是（   ） A．函数图象过点 B．函数图象经过第一、三象限 C．y随x的增大而增大 D．不论x为何值，总有 2．已知正比例函数，则当时，函数的最大值为（   ） A． B． C．3 D．6 3．已知一个函数的函数值与自变量的几组对应值如表，这个函数的表达式可以是（    ） … 0 1 2 … … 0 3 6 … A． B． C． D． 4．关于函数，下列结论正确的是（    ） A．图象与x轴的交点是 B．y随x的增大而减小 C．图象经过第一、二、四象限 D．当时， 5．将直线向下平移3个单位长度得到的直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 6．已知直线过点和点，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 7．在平面直角坐标系中，一次函数的图象向上平移3个单位长度后经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 8．对于函数，下列结论中正确的是（   ） A．它的图象经过点 B．它的图象经过第一、二、三象限 C．当时， D．y的值随x值的增大而减小 9．直线向上平移6个单位长度后与y轴交点坐标是（     ） A． B． C． D． 10．正比例函数的图象经过点，则 ． 11．将直线向上平移个单位长度，平移后直线的解析式为 ． 12．已知是一次函数图象上的两点，则与的大小关系是 ． 13．一次函数的图象过点，且y随x的增大而增大，则 ． 【考点7】一次函数的图像 1．正比例函数的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（   ） A．B．C．D． 2．一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知一次函数的图象经过一、三、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知一次函数的图象如图所示，则的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 6．已知直线与直线在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 7．如图，正方形，，，按图示放置，点，，，和，，，分别在直线和轴上，则点的纵坐标是 ． 【考点8】一次函数与一元一次方程 1．如图，直线过点，，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线过点和点，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 3．如图，一次函数为常数且与正比例函数为常数且的图象交于点，则关于的方程的解是 ． 4．若关于的方程的解为，则直线一定经过点 ． 5．将直线沿y轴向上平移4个单位后，与x轴的交点坐标是 ． 6．一次函数（k，b为常数，且）的图象如图所示，则关于x的方程的解为 ．    【考点9】一次函数的实际应用 1．共享电动车是一种新理念下的交通工具，现有甲、乙两种品牌的共享电动车，收费标准（元）与骑行时间（分）之间的函数关系如图所示，请根据图象信息，解答下列问题： (1)甲品牌共享电动车每分钟收费 元； (2)当骑行时间不低于10分钟时，求乙品牌共享电动车收费标准与之间的函数关系式； (3)已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，若小明需要骑共享电动车去上班，小明家到单位的距离为，那么两种品牌的共享电动车的费用相差多少元？ 2．洛邑古城是洛阳文旅热门打卡地，也带火了汉服体验，某旅行团计划租用若干件汉服供游客体验，已知甲乙两个汉服体验店租用单价分别是60元/件、80元/件，清明节期间为吸引更多的顾客，甲、乙两店各自推出了不同的优惠方案，具体如下： 甲汉服体验店：按原价的八折进行优惠； 乙汉服体验店：若租用不超过6件时，按原价收取租金；若租用6件以上，超出6件的部分按原价的五折进行优惠； 设该旅行团需要租用件汉服，选择甲店总租金为元，选择乙店总租金为元． (1)请分别求出关于的函数关系式； (2)若该旅行团租用40件汉服，选择哪家汉服体验店总租金更便宜？ 3．哈尔滨市移动通讯公司开设了两种通讯业务：种使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟，再付0.4元；种不缴月基础费，每通话1分钟，付话费0.6元（这里均指市内通话）．若一个市内通话时间为分钟，两种通讯方式的费用分别为元和元． (1)写出与的关系式； (2)一个月通话为多少分钟时，两种通讯方式的费用相同？ 4．某商店销售A，B两种商品，种商品的进价为每件20元，售价为每件30元；种商品的进价为每件35元，售价为每件50元．该商店计划购进A，B两种商品共100件，且购进的种商品不少于60件．设购进种商品件，销售完这100件商品的总利润为元． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)该商店如何进货才能使销售完这100件商品所获利润最大？最大利润是多少？ 5．如图，甲、乙两人分别从同一公路上的A、B两地同时出发骑车前往C地，两人行驶的路程与甲行驶的时间之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)求甲在的时间段内的函数关系式； (2)在的时间段内，当为何值时甲、乙两人相距5千米． 6．为了贯彻落实市政府提出的“精准扶贫”精神，某县特制定了一系列关于帮扶A，B两贫困村的计划．现决定从某地运送256箱鱼苗到A，B两村养殖，若用大、小货车共18辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗．已知这两种大、小货车的载货量分别为16箱/辆和12箱/辆，其运往A，B两村的运费如下表： A村（元/辆） B村（元/辆） 大货车 600 700 小货车 400 600 (1)这18辆车中大、小货车各多少辆？ (2)现安排其中9辆货车前往A村，其余前往B村，设前往A村的大货车为m辆，前往A，B两村的总费用为元，试求出与m的函数解析式； (3)在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于130箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用． 【考点10】一次函数与几何综合 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，点是线段上的一个动点（不与点和点重合），过作轴交直线于点，使，设点的横坐标为． (1)求点、点的坐标； (2)当时，求的值； (3)若点在直线上，且满足，求点的坐标． 2．建立模型：如图1，等腰中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 模型应用： (1)如图2，直线与轴、轴分别交于、两点，经过点和第一象限点的直线，且，求点、点和点的坐标； (2)在（1）的条件下，求的面积； (3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在轴左侧的平面内是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，直线分别与轴、轴相交于点和点，是线段上的一点．若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处． (1)求点的坐标； (2)点是直线上一动点，若的面积为，请求出点的坐标． 4．如图①，已知的顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，且．点A的坐标为，点B的坐标为，． (1)求点C的坐标； (2)如图②，过点C作直线轴交于点D，交y轴于点E． ①求线段的长； ②在坐标平面内，是否存在点M（除点B外），使得以点M、C、D为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点11】一次函数-情景题 1．根据以下素材，探索完成任务 探究通过维修路段的最短时长 素材 如图，某路段段需要维修，临时变成双向交替通行，故在，处各设置红绿灯指导交通仅设置红灯与绿灯． 素材 甲车先由通行，乙车再由通行，甲车经过，，段的时间分别为，，，它的路程与时间的关系如图所示；两车经过段的速度相等，乙车经过段的速度是． 素材 红绿灯，每秒一个循环，每个循环内红灯，绿灯的时长如图，且每次双向红灯时，已经进入段的车辆都能及时通过该路段． 问题解决 任务 甲车经过段的速度为______； 任务 在图中补全乙车通过维修路段时行驶的路程与时间之间的函数图象； 任务 丙车沿方向行驶，经过段的车速与乙车经过时的速度相同，在段等红灯时车辆开始行驶后速度为，等红灯时车流长度每秒增加，设红绿灯由绿灯变为红灯后的秒后丙车到达，丙车在段从开始等待至离开点需要秒，求关于的解析式； 2．在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图甲所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和．整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图乙所示． (1)图乙中，点对应状态______，点对应状态______，（“状态”后填写图形序号） ______， ______； (2)求线段对应的函数关系式． (3)已知弹簧测力计在状态③时显示的读数为，求圆柱体浸入水中的高度． 3.【问题背景】我国传统的计重工具——秤的应用，方便了人们的生活，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的质量（如图①），称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为（厘米）时，秤钩所挂物重为（千克）． 【记录数据】表中为若干次称重时，某数学兴趣小组所记录的一些数据． 厘米 0 1 2 3 4 千克 【探索发现】 （1）请你通过描点的方法，判断y与x是 函数的关系（请选填“一次”，“二次”，“反比例”）； （2）求出y与x之间的函数关系式； 【结论应用】（3）当秤钩所挂物重由千克变为7千克时，秤杆上秤砣移动的水平距离是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 一次函数 【考点1】函数的概念 【考点2】函数解析式 【考点3】自变量取值范围 【考点4】从函数图像获取信息 【考点5】一次函数的性质 【考点6】一次函数的图像 【考点7】一次函数与一元一次方程 【考点8】一次函数的实际应用 【考点9】一次函数与几何综合 【考点10】一次函数-情景题 【知识点01】变量与函数 1.变量与函数 定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量． 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和 y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，y 是x 的函数．如果 当 x=a时，y=b ，那么b叫做当自变量 x的值为a 时的函数值． 2.函数的解析式 像这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式。 3.自变量取值范围和函数值 初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况： （1） 函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数； （2） 函数关系式为分式形式：分母0 （3） 函数关系式含算术平方根：被开方数0； （4）函数关系式含0指数：底数0。 【知识02】函数的图像 对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个图象就叫做平面直角坐标系）。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。 理解图像：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义（坐标），特别是图像的起点、拐点、交点 【知识03】一次函数的图像和性质 1.一次函数的图像与性质 （1）一次函数的图象是经过点和点的一条直线； （2）一次函数的k决定直线的增减性，b决定直线与y轴的交点纵坐标； 当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。 2.一次函数图像上点坐标的特征 牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质。 【知识04】一次函数与方程的关系 1、求直线与另一直线的交点，就是在求两条直线对应解析式联立所得方程（组）的交点； 【知识05】一次函数的实际应用 行程类： 1、行程问题中，一次函数中|k|通常对应行程问题中的速度 2、准确理解函数图象中出现的起点、拐点、终点的意义 销售类： 1、常用等量关系：总利润=单件利润×数量 2、利用函数的增减性得到最大利润 【考点1】函数的概念 1．下列各图中表示y是x的函数的是（     ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查函数的概念，由题意，是的函数，依据函数的概念可知对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，以此进行分析判断即可． 【详解】解：根据函数的定义：在一个变化的过程中有两个变量和，对于的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说是的函数，因此D选项中的图象表示是的函数，其他三个选项均不表示是的函数． 故选：D． 2．随着暑期的到来，西瓜的价格也趋于稳定，小若去水果店买西瓜，如图是称西瓜所用的电子秤显示屏上的数据，则其中的自变量是（   ） A．数量 B．金额 C．单价 D．金额和数量 【答案】A 【分析】本题考查变量与常量，解答本题的关键要明确：变化的量叫变量，恒定不变的量叫常量． 根据变化的量叫变量，恒定不变的量叫常量逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，金额单价数量，单价不变，数量与金额是变化的量， ∴单价常量，数量与金额是变量，其中数量是自变量，金额是因变量， 故选：A． 3．某居民小区电费标准为0.6元/千瓦时，收取的电费y（元）和所用电量x（千瓦时）之间的关系式为y= 0.6 x，则下列说法正确的是（　　） A．x是自变量，0.6是因变量 B．0.6是自变量，x是因变量 C．x是自变量，y是因变量 D．y是自变量，x是因变量 【答案】C 【分析】本题考查了常量和变量，在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．根据常量和变量的定义来解答即可． 【详解】解：在这个问题中，x是自变量，y是因变量，0.6元/千瓦时是常数． 故选：C． 【考点2】函数解析式 1．一台拖拉机在开始工作前，油箱中有油40L，开始工作后，每小时耗油6L，写出油箱中的剩余油量（单位：L）与工作时间（单位：h）之间的关系式： ． 【答案】 【分析】本题考查的是列函数关系，由剩余油量等于总油量减去消耗的油量可得答案； 【详解】解：由题意可得：， ． 故答案为： ． 2．长方形相邻两边长分别为x，y，面积为30，则用含x的式子表示y为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，熟练掌握长方形的面积公式是解题关键．根据长方形的面积公式可得，由此即可得． 【详解】解：由题意得：， 则用含的式子表示为， 故答案为：． 3．汽车开始行驶时，油箱中有油40升，如果每小时耗油6升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，找准等量关系是解题关键．根据油箱内余油量油箱中原来的油量每小时耗油量行驶时间，列出函数关系式即可得，再求出行驶时间的取值范围，由此即可得． 【详解】解：由题意得：， 当时，，解得， 则油箱内余油量（升）与行驶时间（小时）的关系式为， 故答案为：． 4．某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时．按原价售出；超过2千克时，超过的部分打8折．设某人在本次超市端午节活动期间购买糯米数量为千克，付款金额为y元，则y关于x的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查列函数关系式，根据促销方案，付款金额等于2千克的费用加上超出部分的费用，列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意，得：， 整理，得：； 故答案为： 【考点3】自变量取值范围 1．函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查二次根式被开方数的非负性，正确理解代数式的形式列式计算是解题的关键． 根据二次根式的被开方数非负，列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】函数中，被开方数必须满足非负条件，即： 解得： ， 因此，自变量的取值范围是， 故选：B． 2．在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求自变量的取值范围，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据函数有意义，列出不等式求解． 【详解】解：∵函数有意义， ∴，解得：， 故选：A． 3．函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了根据分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件即可求得自变量的取值范围． 【详解】解：根据题意，得，解得且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了自变量的取值范围，涉及分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件，掌握以上知识是解题的关键． 【考点4】从函数图像获取信息 1．某天上午，小明从家出发跑步去公园，在公园停留了一会然后乘坐出租车回家．图中折线表示小明离开家的路程和所用时间之间的函数关系，下列说法中错误的是(   ) A．小明跑步的平均速度是 B．小明在公园休息了5分钟 C．小明乘出租车用了17分钟 D．出租车的平均速度是小明跑步的平均速度的5倍 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，关键是读懂函数图象，数形结合．A．根据速度路程时间计算即可；B、C．观察图象即可；D．根据速度路程时间求出出租车的平均速度，再由出租车的平均速度小明跑步的平均速度列式计算即可． 【详解】解：A、由图象知，小明10分钟跑了1800米，其跑步的速度为：(米/分)，故选项A正确，不符合题意； B、由图象知，小明在公园休息的时间为：(分钟)，故选项B正确，不符合题意； C、小明乘出租车的时间为：(分钟)，故C选项错误，符合题意； D、出租车2分钟行驶了1800米，出租车的平均速度为：(米/分钟)，， 出租车的平均速度是小明跑步的平均速度的5倍， 故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 2．如图，小明与家人乘车去惠州西湖游玩然后返回家中，小明与家的距离与所用时间的对应关系如图所示，以下说法错误的是（    ） A．小明全家去西湖时的平均速度为 B．小明全家返回时的平均速度为 C．小明全家停车游玩了小时 D．小明“乘车去西湖”和“从西湖返回家”的时间相同 【答案】D 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，解题关键是从图象中获取路程、时间信息，结合速度公式分析判断 ； 根据图象可知小明全家去西湖时花费1.5小时，路程为，回家时花费2小时，路程为，根据速度路程时间可判断A、B；小明全家在出发1.5小时后到西湖，在出发6小时后离开西湖，据此可判断C；小明全家出发后，根据离家时间和回家过程中两个时间进行比较，可判断D． 【详解】A． 小明全家去西湖时的平均速度为，原说法正确，不符合题意； B．小明全家返回时的平均速度为，原说法正确，不符合题意； C． 小明全家停车游玩了小时，原说法正确，不符合题意； D． 小明全家乘车去西湖的时间是，从西湖返回家的时间是，，时间不相同，该选项原说法错误，符合题意； 故选：D． 3．如图的曲线表示一只风筝在五分钟内离地面的飞行高度随飞行时间的变化情况，则下列说法错误的是（   ） A．风筝最初的高度为30m B．1min时高度和5min时高度相同 C．3min时风筝达到最高高度为60m D．2min到4min之间，风筝飞行高度持续上升 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象逐项判断即可得． 【详解】解：根据函数图象逐项判断如下： A、风筝最初的高度为，正确，不符合题意； B、时风筝的高度和时风筝的高度相同，均为，正确，不符合题意； C、时风筝达到最高高度为，正确，不符合题意； D、到之间，风筝飞行高度先上升后下降，故原说法错误，符合题意； 故选：D． 4．在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（   ） A．电池能量最多可充 B．摩托车每行驶消耗能量 C．一次性充满电后，摩托车最多行驶 D．摩托车充满电后，行驶将自动报警 【答案】C 【分析】本题考查了实际问题的函数图象，解题的关键是读懂函数图象，根据图象中的数据逐项求解判断即可． 【详解】由图象可得，当时，， ∴电池能量最多可充，故A错误； ， ∴摩托车每行驶消耗能量，故B错误； 由图象可得，当时，， ∴一次性充满电后，摩托车最多行驶，故C正确； ∴摩托车充满电后，行驶将自动报警，故D错误； 故选：C． 5．小明家、体育馆、文具店在同一直线上，如图中的图象反映的过程是：小明从家跑步去体育馆，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步回家．下列信息中正确的是（    ） A．小明在体育馆花了20分钟锻炼 B．小明从家跑步去体育场的速度是 C．体育馆与文具店的距离是 D．小明从文具店散步回家用了90分钟 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象，观察函数图象，逐一分析四条说法的正误即可解决问题． 【详解】解：A．小强在体育馆花了分钟锻炼，错误； B．小强从家跑步去体育场的速度是，正确； C．体育馆与文具店的距离是，错误； D．小强从文具店散步回家用了分钟，错误； 故选：B． 【考点5】动点问题函数问题 1．如图1，直角梯形中，，，动点P从A点出发，由沿梯形的边运动，设点P运动的路程为x，的面积为y，关于y与x的函数图象如图2，则的长为（    ）   A．11 B．9 C．12 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题中的函数图象的应用，勾股定理解三角形，合理分析图象及勾股定理的应用是解题关键． 作，由图2得，当点P运动到点D时路程为5，即，当点P运动到点C时路程为11，即，当点P运动到点B时路程为14，即，再在中，求出，即可求出． 【详解】解：如图，作， 由图2得，当点P运动到点D时路程为5，即， 当点P运动到点C时路程为11，即， 当点P运动到点B时路程为14，即， ，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ，， 在中，， ． 故选：D． 2．．如图1，四边形是长方形，动点E从点B出发，沿匀速运动，到达点A停止运动，速度为，设点E的运动时间为，的面积为，其中S与t的关系如图2所示，那么下列说法正确的是（　　） A． B．S的最大值为 C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象．根据图2中各个关键点的横坐标判断出动点在图1中的位置是解决本题的关键．理解当时，点可能在边上，也可能在边上是解决本题的易错点． 由图2中各个关键点的横坐标可得动点从点运动到点、、所用的时间，根据点的速度可得动点在相应时间内行走的路程，那么可得长方形各边长，即可判断A选项的正误；易得点在边上时，的面积最大，那么可得的最大值，可判断B选项的正误；当时，点在边上，可得的长，进而可得的值，可判断C选项的正误；当时，点可能在边上，也可能在边上，分别求得点的运动路程，除以速度即可得到t的值，即可判断D选项的正误． 【详解】解：由题意得：点从点运动到点、、所用的时间分别是， ∵点的速度为， ∴． ∴． ∵四边形是长方形， ∴．故A错误，不符合题意； 当点在边上时，的面积最大． ．故B正确，符合题意． 当时，点在边上，． ∴．故C错误，不符合题意． 当时，点可能在边上，也可能在边上． ①点在边上时， ， ， ②点在边上时， ∴点运动的路程为． ， 故D错误，不符合题意． 故选：B． 3．如图1，在中，．动点从的顶点出发，以的速度沿匀速运动回到点．图2是点运动过程中，线段的长度（单位：）随时间（单位：）变化的图象，其中点为曲线部分的最低点．则图2中的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查动点的函数图象，勾股定理，等腰三角形的性质，二次根式，根据图象可知，，当点在上，且时，，勾股定理求出的长，三线合一，求出的长，求出三角形的周长，再除以点的移动速度，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，当时，点与点重合， ∴， 当点在上，且时，最小，对应图象上的点，此时， 在中，， ∵，， ∴， ∴的周长为：， ∴； 故答案为：． 4．如图1，在长方形中，动点在边上沿的路径匀速运动．的面积与点走过的路程的关系图象如图2所示． (1)你能从图中获取哪些信息？（写出三条不同的信息） (2)探究与之间的关系表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了函数图象的动点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）直接观察函数图象，即可求解； （2）分三段：当点E在边上时，当点E在边上时，当点E在边上时，利用三角形的面积公式解答，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， ∴， ； （2）解：当点E在边上时，，此时， ； 当点E在边上时，此时， ∴； 当点E在边上时，，此时， ∴； 综上所述，． 【考点6】一次函数的性质 1．关于函数，下列结论不正确的是（   ） A．函数图象过点 B．函数图象经过第一、三象限 C．y随x的增大而增大 D．不论x为何值，总有 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，以及正比例函数的性质，根据正比例函数的性质逐项分析即可． 【详解】A、当时，， ∴函数图象过点，正确，不符合题意； B、， 函数图象经过第一、三象限，正确，不符合题意； C、， 随x的增大而增大；正确，不符合题意； D、∵当时，，例如当时，，原说法错误，符合题意； 故选：D． 2．已知正比例函数，则当时，函数的最大值为（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性是解答此题的关键．根据正比例函数的性质，当比例系数时，函数值随的增大而增大．因此，在区间内，函数的最大值出现在的最大值处． 【详解】解：∵时，函数y随x的增大而增大， ∴当时，取得最大值，， 故选：D． 3．已知一个函数的函数值与自变量的几组对应值如表，这个函数的表达式可以是（    ） … 0 1 2 … … 0 3 6 … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数解析式，读懂表格信息是关键； 观察表格可以发现，对于自变量x的每一个值，对于的函数y的值恰好是x的3倍，这是一个正比例函数，进而求解. 【详解】解：观察表格可以发现，对于自变量x的每一个值，对于的函数y的值恰好是x的3倍，这是一个正比例函数，且函数关系式是； 故选：A. 4．关于函数，下列结论正确的是（    ） A．图象与x轴的交点是 B．y随x的增大而减小 C．图象经过第一、二、四象限 D．当时， 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质．根据一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特点，对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、当时，，则图象与x轴的交点是，故本选项符合题意； B、函数中，，随的增大而增大，故本选项不符合题意； C、函数中，，，此函数的图象经过一、二、三象限，故本选项不符合题意； D、当时，，故本选项不符合题意； 故选：A． 5．将直线向下平移3个单位长度得到的直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．依据题意，根据“上加下减”的平移规律即可判断得解． 【详解】解：由题意，直线为， 根据“上加下减”的平移规律可知，将函数向下平移3个单位所得函数的解析式为，即． 故选：C． 6．已知直线过点和点，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键； 根据一次函数中可知，随的增大而减小，据此求解． 【详解】直线过点和点， ， 随的增大而减小， ， ， 故选：B． 7．在平面直角坐标系中，一次函数的图象向上平移3个单位长度后经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、一元一次方程的知识，结合题意，根据一次函数的性质可得：，原函数为，向上平移3个单位后得到，由各选项中点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值，取k值为负的选项即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数y随x的增大而减小， ∴， 原函数为，向上平移3个单位后得到 A．当，时，则，解得，不符合题意，故该选项不符合题意； B．当，时，则，解得，不符合题意，故该选项不符合题意； C．当，时，则，解得，不符合题意，故该选项不符合题意； D．当，时，则，解得，符合题意，故该选项符合题意； 故选：D． 8．对于函数，下列结论中正确的是（   ） A．它的图象经过点 B．它的图象经过第一、二、三象限 C．当时， D．y的值随x值的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析各选项的正误即可． 【详解】解：A．当时，， ∵， ∴函数的图象不经过点，选项A不符合题意； B．∵，， ∴函数的图象经过第一、二、四象限，选项B不符合题意； C．当时，， 解得：， ∴当时，，选项C不符合题意； D．∵， ∴y随x的增大而减小，选项D符合题意． 故选：D． 9．直线向上平移6个单位长度后与y轴交点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解题的关键． 先求出直线向上平移6个单位长度后的解析式，再令，求出的值即可． 【详解】解：原直线向上平移6个单位，新解析式为： 令代入平移后的解析式： 因此，与轴交点坐标为， 故选：D． 10．正比例函数的图象经过点，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是解题关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征即可求解． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴，解得：， 故答案为：． 11．将直线向上平移个单位长度，平移后直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的平移问题，根据一次函数图象平移的规律“上加下减”（对于，向上平移个单位时，解析式变为；向下平移个单位时，解析式变为），对直线进行平移． 【详解】解：直线向上平移个单位长度，根据“上加下减”原则，平移后直线的解析式为， 故答案为：． 12．已知是一次函数图象上的两点，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的增减性，掌握一次函数的增减性是解题的关键． 利用一次函数的增减性判断即可． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵是一次函数图象上的两点，且， ∴． 故答案为： 13．一次函数的图象过点，且y随x的增大而增大，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，函数性质，熟练掌握该知识点是关键．根据一次函数图象上点的坐标特征以及函数性质解答即可． 【详解】解：由条件可知， ， 随x的增大而增大， ， ， 故答案为： 【考点7】一次函数的图像 1．正比例函数的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】先根据正比例函数的函数值y随x的增大而增大判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论． 【详解】解：∵正比例函数的函数值y随x的增大而增大， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、三象限． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的图象：一次函数（k、b为常数，）的图象为直线，当，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，y随x的减小而减小；当，图象与y轴的正半轴相交；当，图象过原点；当，图象与y轴的负半轴相交． 2．一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数中和的符号判断图象所经过的象限． 【详解】解：根据题意得，， 所以，函数的图象图象经过第二、第三、第四象限，不经过第一象限． 故选：A． 3．已知一次函数的图象经过一、三、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的图象和性质得出看k-2＞0，b＜0，解不等式即可． 【详解】解：∵一次函数y=（k-2）x+b的图象经过第一、三、四象限， ∴k-2＞0，即k＞2； 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数y=kx+b（k≠0）的性质：当k＞0，图象经过第一、三象限；当k＜0，图象经过第二、四象限；当b＞0，图象与y轴的交点在x轴的上方；当b=0，图象过原点；当b＜0，图象与y轴的交点在x轴的下方． 4．若一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解一元一次不等式组，掌握一次函数的图象和性质是正确解答的前提，列不等式（组）是解题的关键． 由一次函数的图象不经过第二象限，可得，，列不等式组求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴ 解得：， 故选：D． 5．已知一次函数的图象如图所示，则的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是关键；由图象知，且，解不等式组即可求解． 【详解】解：由图象知，函数图象从左往右是上升的，即；且图象与y轴交点位于y轴负半轴上，即， ∴， 解得：， 故选：D． 6．已知直线与直线在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质，数形结合是本题的关键． 根据两个一次函数的图象逐一分析系数符号即可解决． 【详解】A、直线中，，，中，，，的取值相矛盾，故本选项不符合题意； B、直线中，，，中，，，、的取值一致，故本选项符合题意； C、直线中，，，中，，，的取值相矛盾，故本选项不符合题意； D、直线中，，，中，，，的取值相矛盾，故本选项不符合题意． 故选：B． 7．如图，正方形，，，按图示放置，点，，，和，，，分别在直线和轴上，则点的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型中点的坐标，根据点坐标的变化找出变化规律“点的坐标为”是解题的关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质即可得出点、、 的坐标，根据点坐标的变化找出点的坐标，依此即可得出结论． 【详解】解：当时，， 点的坐标为． 为正方形， 点的坐标为，点的坐标为． 同理，可得：，，， 点的坐标为， 点的纵坐标为， 点的纵坐标为． 故答案为：． 【考点8】一次函数与一元一次方程 1．如图，直线过点，，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，由直线过点即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵直线过点， ∴关于的方程的解是， 故选：C． 2．如图，直线过点和点，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握该知识点是关键． 先求出一次函数解析式，再计算时方程的解即可． 【详解】解：设直线解析式为，代入点得：， 解得， 直线解析式为， 方程转化为， 当时，， 解得． 故选：D． 3．如图，一次函数为常数且与正比例函数为常数且的图象交于点，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的交点问题． 根据交点作答即可． 【详解】解：一次函数为常数且与正比例函数（为常数且的图象交于点， 关于的方程的解是， 即关于的方程的解是． 故答案为：． 4．若关于的方程的解为，则直线一定经过点 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据方程可知当，，从而可判断直线经过点． 【详解】解：由方程可知：当时，， 故将代入直线，得， ∴直线的图象一定经过点． 故答案为：． 5．将直线沿y轴向上平移4个单位后，与x轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．根据“上加下减”的原则求得平移后的解析式，令，解得即可． 【详解】解：由“上加下减”的原则可知，将函数的图象向上平移4个单位长度所得函数的解析式为， ∵此时与x轴相交，则， ∴，即， ∴与x轴的交点坐标是． 故答案为： 6．一次函数（k，b为常数，且）的图象如图所示，则关于x的方程的解为 ．    【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，解题关键是运用数形结合思想求解． 结合函数图象得出一次函数图象经过点，即可求解． 【详解】解：方程的解就是一次函数函数值为时，自变量x的值，观察图象可知一次函数图象经过点， ∴的解为 故答案为：． 【考点9】一次函数的实际应用 1．共享电动车是一种新理念下的交通工具，现有甲、乙两种品牌的共享电动车，收费标准（元）与骑行时间（分）之间的函数关系如图所示，请根据图象信息，解答下列问题： (1)甲品牌共享电动车每分钟收费 元； (2)当骑行时间不低于10分钟时，求乙品牌共享电动车收费标准与之间的函数关系式； (3)已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，若小明需要骑共享电动车去上班，小明家到单位的距离为，那么两种品牌的共享电动车的费用相差多少元？ 【答案】(1) (2) (3)元 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确获取图象信息． （1）由20分钟收4元即可得甲品牌共享电动车每分钟收费； （2）用待定系数法可得乙品牌共享电动车在骑行时间不低于10分钟时y与x之间的函数关系式； （3）求出骑行时间，再把分别代入两函数解析式，可得答案． 【详解】（1）解：（元），即甲品牌共享电动车每分钟收费元； 故答案为：； （2）解：设乙品牌共享电动车收费标准与之间的函数关系式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴乙品牌共享电动车收费标准与之间的函数关系式为； （3）解：时分， 由（1）可知，甲品牌的共享单车每分钟收费元， ∴小明骑甲品牌的共享电动车的费用为（元）； 由（2）可知，乙品牌共享电动车收费标准与之间的函数关系式为； ∴小明乙甲品牌的共享电动车的费用为（元）； ∵（元）， 答：两种品牌的共享电动车的费用相差元． 2．洛邑古城是洛阳文旅热门打卡地，也带火了汉服体验，某旅行团计划租用若干件汉服供游客体验，已知甲乙两个汉服体验店租用单价分别是60元/件、80元/件，清明节期间为吸引更多的顾客，甲、乙两店各自推出了不同的优惠方案，具体如下： 甲汉服体验店：按原价的八折进行优惠； 乙汉服体验店：若租用不超过6件时，按原价收取租金；若租用6件以上，超出6件的部分按原价的五折进行优惠； 设该旅行团需要租用件汉服，选择甲店总租金为元，选择乙店总租金为元． (1)请分别求出关于的函数关系式； (2)若该旅行团租用40件汉服，选择哪家汉服体验店总租金更便宜？ 【答案】(1)， (2)选择乙汉服体验店总租金更便宜 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据优惠方案，列出函数关系式即可； （2）将代入两个函数关系式，求出值，进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意，； ； （2）解：当时，，， ∵， ∴选择乙汉服体验店总租金更便宜． 3．哈尔滨市移动通讯公司开设了两种通讯业务：种使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟，再付0.4元；种不缴月基础费，每通话1分钟，付话费0.6元（这里均指市内通话）．若一个市内通话时间为分钟，两种通讯方式的费用分别为元和元． (1)写出与的关系式； (2)一个月通话为多少分钟时，两种通讯方式的费用相同？ 【答案】(1) (2)250分钟 【分析】本题考查了一次函数的解析式、一元一次方程的解法，求出函数关系式是解题的关键． （1）根据“月缴纳的费用每分钟通话费用通话时间月租”就可以求出结论； （2）当时，建立方程求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，； （2）解：由题意，得：当时， ， 解得：． 答：一个月通话为分钟时，两种通讯方式的费用相同． 4．某商店销售A，B两种商品，种商品的进价为每件20元，售价为每件30元；种商品的进价为每件35元，售价为每件50元．该商店计划购进A，B两种商品共100件，且购进的种商品不少于60件．设购进种商品件，销售完这100件商品的总利润为元． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)该商店如何进货才能使销售完这100件商品所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)购进种商品60件，种商品40件，利润最大，最大利润为1200元 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，求出函数关系式是解题的关键； （1）根据总利润等于两种商品利润和即可列出函数关系式； （2）根据函数式及一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：， 整理得：， 由于购进A，B两种商品共100件，且购进的种商品不少于60件，则； ∴与的函数关系式为，自变量的取值范围为； （2）解：，且， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，函数取得最大利润，且最大利润为（元）， 此时购进B种商品为（件）； 答：购进种商品60件，种商品40件，利润最大，最大利润为1200元． 5．如图，甲、乙两人分别从同一公路上的A、B两地同时出发骑车前往C地，两人行驶的路程与甲行驶的时间之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)求甲在的时间段内的函数关系式； (2)在的时间段内，当为何值时甲、乙两人相距5千米． 【答案】(1) (2)当为3小时或5小时时甲、乙两人相距5千米 【分析】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想和分类讨论的思想是解答本题的关键． （1）根据函数图象中的数据，可以计算出甲在的时间段内y与x之间的函数关系式； （2）根据题意，可知存在两种情况甲、乙两人相距5千米，然后分别计算出即可． 【详解】（1）解：设甲在时，y与x之间的函数关系式是， ∵点在该函数图象上， ， 解得， 即甲在时，y与x之间的函数关系式是； （2）解：设乙在时，y与x之间的函数关系式是， ∵点在函数图象上， ∴， 解得． 即乙在时，y与x之间的函数关系式是， 相遇之前两人相距，则， 解得． 相遇之后且甲到达C地之前相距，则， 解得． 答：当为3小时或5小时时甲、乙两人相距5千米． 6．为了贯彻落实市政府提出的“精准扶贫”精神，某县特制定了一系列关于帮扶A，B两贫困村的计划．现决定从某地运送256箱鱼苗到A，B两村养殖，若用大、小货车共18辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗．已知这两种大、小货车的载货量分别为16箱/辆和12箱/辆，其运往A，B两村的运费如下表： A村（元/辆） B村（元/辆） 大货车 600 700 小货车 400 600 (1)这18辆车中大、小货车各多少辆？ (2)现安排其中9辆货车前往A村，其余前往B村，设前往A村的大货车为m辆，前往A，B两村的总费用为元，试求出与m的函数解析式； (3)在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于130箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用． 【答案】(1)大货车10辆，小货车8辆 (2)（，且m为整数） (3)6辆大货车和3辆小货车前往A村，4辆大货车和5辆小货车前往B村；10600元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设这18辆车中大货车x辆，则小货车辆，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）前往A村的大货车为m辆，则前往A村的小货车为辆， 前往B村的大货车为辆，前往B村的小货车为辆，即可根据题意列出函数解析式； （3）根据题意列出不等式，求出m的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得答案． 【详解】（1）解：设这18辆车中大货车x辆，则小货车辆， 根据题意，得， 解得， ， 答：设这18辆车中大货车10辆，则小货车8辆． （2）解： ， ， ，且m为整数； （3）解：由题意得，， 解得， ， ，且m为整数， 当时，最小， 此时最少费用为（元）， 货车调配方案：6辆大货车和3辆小货车前往A村，4辆大货车和5辆小货车前往B村． 【考点10】一次函数与几何综合 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，点是线段上的一个动点（不与点和点重合），过作轴交直线于点，使，设点的横坐标为． (1)求点、点的坐标； (2)当时，求的值； (3)若点在直线上，且满足，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质，面积问题，理解题意，综合运用一次函数的性质是解题关键． （1）根据题意，当时，当时，分别代入求解即可； （2）根据题意得出，再由题意确定，得出方程求解即可； （3）根据，可列出方程得到点的横坐标，进而可求解． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点A，B， 令，得：， 解得：； 令，得：， ，； （2）解：的横坐标为， ， 当时，， ． ， ， ， 即 解得：； （3）解： ， 当时，， 当时，， 或 2．建立模型：如图1，等腰中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 模型应用： (1)如图2，直线与轴、轴分别交于、两点，经过点和第一象限点的直线，且，求点、点和点的坐标； (2)在（1）的条件下，求的面积； (3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在轴左侧的平面内是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)10 (3)存在，点的坐标为或或，理由见解析 【分析】（1）过点C作轴于点H，根据直线解析式得出A、B坐标，根据直角三角形两锐角互余得出，利用“可证得”，得到，即可求解； （2）连接，由（1）中A、B、C的坐标可知，再利用 即可求解； （3）设，分情况计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作轴于点H， 直线与轴、轴分别交于、两点， 当时，；当时，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 点C的坐标为； （2）连接， 由（1）可知，， ， ； （3）存在，理由如下： 设， 当点P为直角顶点，Q在上方时，过点P作轴交x轴于点T，过点作交的延长线于点K，如图： 同（1）可证， ， ， 解得， ； 当点P为直角顶点，Q在下方时，过点P作轴交x轴于点T，过点作交的延长线于点K，如图： 可得， ， ， ； 当O为直角顶点，过点P作轴交y轴于点K，过点作于点T，如图： 可得， ， ， ； 综上所述，点Q的坐标为或或 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用以上知识点是解题的关键 3．如图，直线分别与轴、轴相交于点和点，是线段上的一点．若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处． (1)求点的坐标； (2)点是直线上一动点，若的面积为，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一次函数综合题，主要涉及图形的折叠，勾股定理，三角形面积的求法，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）先求出点、的坐标，从而得到，的长，进而用勾股定理求得， 根据折叠可知，，，得到的长，设点的坐标为，分别表示出和，结合列方程求解即可； （2）设点，易知，从而可知点位于、两侧，分两种情况：当点在点右侧时，和当点在点左侧时，利用三角形的面积之和或之差建立方程求解即可得出结论． 【详解】（1）解：直线分别与轴、轴相交于点和点， 令，则， 令，即，解得， 点、的坐标分别为、， ，， ， 将沿折叠，点恰好落在轴上的点处， ，， ， 设点的坐标为，则有，， ，解得， 点的坐标为； （2）解：如图，设点， 由（1）可知，， ， 的面积为，， 点位于、两侧， 当点在点右侧时，， 解得，此时， ， 当点在点左侧时，， 解得，此时， ， 综上，点的坐标为或． 4．如图①，已知的顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，且．点A的坐标为，点B的坐标为，． (1)求点C的坐标； (2)如图②，过点C作直线轴交于点D，交y轴于点E． ①求线段的长； ②在坐标平面内，是否存在点M（除点B外），使得以点M、C、D为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，或或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形全等的性质与判定等，解题关键是熟悉相关定理，要注意分类求解，避免遗漏． （1）先证明，则，即可求解； （2）①由（1）知，轴交于点D，则点D的纵坐标为1，将代入，得，即可求解；②存在，理由: 点M、C、D为顶点的三角形与全等，则M与B对应，有三种情况，分情况讨论即可． 【详解】（1）由题知，， ， 过作轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又在第二象限， 所以点C的坐标为． （2）①由（1）知， 轴交于点D， 点D的纵坐标为1，将代入，得， ， ； ②存在，点M、C、D为顶点的三角形与全等，则M与B对应， 有如下三种情况：当时， 则点和点B关于直线对称， 则M的坐标为； 当时， 则点和点B关于的中垂线对称， 故的坐标为； 当时， 则点和点关于对称， 故的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或或． 【考点11】一次函数-情景题 1．根据以下素材，探索完成任务 探究通过维修路段的最短时长 素材 如图，某路段段需要维修，临时变成双向交替通行，故在，处各设置红绿灯指导交通仅设置红灯与绿灯． 素材 甲车先由通行，乙车再由通行，甲车经过，，段的时间分别为，，，它的路程与时间的关系如图所示；两车经过段的速度相等，乙车经过段的速度是． 素材 红绿灯，每秒一个循环，每个循环内红灯，绿灯的时长如图，且每次双向红灯时，已经进入段的车辆都能及时通过该路段． 问题解决 任务 甲车经过段的速度为______； 任务 在图中补全乙车通过维修路段时行驶的路程与时间之间的函数图象； 任务 丙车沿方向行驶，经过段的车速与乙车经过时的速度相同，在段等红灯时车辆开始行驶后速度为，等红灯时车流长度每秒增加，设红绿灯由绿灯变为红灯后的秒后丙车到达，丙车在段从开始等待至离开点需要秒，求关于的解析式； 【答案】任务1：；任务2：见解析；任务3： 【分析】本题主要考查一次函数的应用、一次函数的性质，理清题意，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数是解题关键． 任务1、根据函数图象（图2）中的数据，即可作答； 任务2、根据函数图象（图2）中的数据，得出、、的路程，再结合图3中的红绿灯时间得出乙车行驶的总时间，进而求出经过、、时的时间，即可作图； 任务3、设红绿灯2由绿灯变成红灯后x秒丙车到达，则丙车需等待秒，记车在段等待红灯至离开点A需要y秒，则可得，再整理即可． 【详解】解：任务1：段的路程为：（米）， 甲车经过段的时间为：（秒）， 则甲车经过段的速度为：； 故答案为：8； 任务2：根据函数图象（图2）中的数据，可知：、、， 根据图4中可得乙车经过段的时间：， 乙车经过段的时间为：， 甲车经过段的速度为：， 则乙车经过段的速度为， 即乙车经过段的时间为： ∴， 即补全函数图象如图． 任务3：设红绿灯2由绿灯变成红灯后x秒丙车到达，则丙车需等待秒， 记车在段等待红灯至离开点A需要y秒， 则， 2．在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图甲所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和．整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图乙所示． (1)图乙中，点对应状态______，点对应状态______，（“状态”后填写图形序号） ______， ______； (2)求线段对应的函数关系式． (3)已知弹簧测力计在状态③时显示的读数为，求圆柱体浸入水中的高度． 【答案】(1)②，④，， (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）根据“圆柱体从刚刚接触水面到正好完全浸入水中，弹簧测力计读数一直在减小”和“弹簧测力计在状态和显示的读数分别为和”填空即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）当时，求出对应的值，根据“圆柱体浸入水中的高度圆柱体下降的高度从圆柱体开始下降到刚刚接触水面的高度”计算即可． 【详解】（1）解：∵圆柱体从刚刚接触水面到正好完全浸入水中，弹簧测力计读数一直在减小， 图乙中，点对应状态，点对应状态， 弹簧测力计在状态和显示的读数分别为和， ，． 故答案为：，，，． （2）设线段对应的函数关系式为、为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 线段对应的函数关系式为． （3）当时，得， 解得， ． 答：圆柱体浸入水中的高度为． 3.【问题背景】我国传统的计重工具——秤的应用，方便了人们的生活，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的质量（如图①），称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为（厘米）时，秤钩所挂物重为（千克）． 【记录数据】表中为若干次称重时，某数学兴趣小组所记录的一些数据． 厘米 0 1 2 3 4 千克 【探索发现】 （1）请你通过描点的方法，判断y与x是 函数的关系（请选填“一次”，“二次”，“反比例”）； （2）求出y与x之间的函数关系式； 【结论应用】（3）当秤钩所挂物重由千克变为7千克时，秤杆上秤砣移动的水平距离是多少？ 【答案】（1）一次；（2）；（3） 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握一次函数的图象特征和待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）描点，连线，根据这些点的分布情况判断函数类型即可. （2）利用待定系数法解答即可. （3）分别求出当和时对应x的值并求差即可． 【详解】解：（1）描点，连线如图所示： 这些点分布在同一条直线上， 与x是一次函数的关系． 故答案为：一次． （2）设y与x之间的函数关系式为、b为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 与x之间的函数关系式为. （3）当时，解得， 当时，解得， ∴. 答：秤杆上秤砣移动的水平距离是 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $