13.1 三角形的概念&13.2 与三角形有关的线段（课堂训练）-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

18.解：(1)，2×4=2，.2×2=2P.∴.221=25..2x+1=19,解得x=9. 边乘x一5，得3=3(x一5)一x,解得x=9.检验：当x=9时，x一5≠0..原分式方程的 (2)55+3-5+1=5·52-5·5=20·5,∴20·5=500.∴.5=25=52.∴x=2. 解是x=9. 19.解：(1)原式=x-32十x2+m2-3m2十r十龙2一3nx+n=x-32+(m+1)2+ (a-8m2+(m一3m)z+儿：展开后的结果中不含上和2项，m十1一0，解得 16格：原式-（之）·+受. 一(n-3) =-2(m+3)= 1n-3m=0, 一2m一6.一4<m<4,且m使原式有意义，即m≠2m≠3，m的值可以为1.当m m=一1 =1时，原式=一2×1一6=一8.（答案不唯一） (2)原式=n2一m2n十mn2十m2n一m2十=m2十72.当m=一1，月 =-3. 解，0①A+B-气+马÷专2号22-2②限影题意，得 18.解：(1)需要硬化的面积为(3a+b)(2a+b)-(a+b)2=6a+3ab十2ah+片-(a2+ 一3时，原式=(-1)2+(-3)3=-28. 2ab+6)-5a3+3ab(m2).(2)当a-5,b-2时，5a+3ab=5×52+3×5×2= 20.解：(1)：a-b-1.∴.(a-b)2-1..a2+分-2ab=1.a2+-9,∴9-2ab-1.解 马22产三=3方程两边乘工一2，得2红十4=3（红-2），解得x=10,检验：当x=10 er 155(m2).答：需要硬化的面积为155m2. 得ab=4.(2a+日=4，(e+）=d+2+2=16.d+合-14 时，x一2≠0.∴原分式方程的解是x=10.x的值为10 19.证明：(1)AB=AC,∴∠ABC-∠ACB.:BE和CD为△ABC的中线，BD= BD=CE, 21.解：(1)六15(2)原式=2+5×2×(-1)+10×2×(-1)2+10×22×(-1)1 18.解：设甲以平均每天修复公路xkm,则乙队平均每天修复公路(x十3)km根据题 +5×2×(一1)+（一1）°-(2一1)°一1.(3)三【解析】84-(7+1)，其厦开式除最 意，得2-3解得一6经检验一6是原分式方程的解，且符合据意.+3- AB,CE-号AC.BD-CE.在△BCD和△CBE中，∠DBC=∠ECB,△BCD BC-CB, 后一项外，均含有因数7，都能被7整除，其展开式的最后一项为1×1一1，所以从星 9.答：甲队平均每天修复公路6km,乙队平均每天修复公路9km ≌△CBE(SAS).CD=BE.(2):AB=AC,∠A=60',.△ABC为等边三角形 期二往后数8”天是星期三 450 ∴∠ABC=∠ACB=6O°，BE和CD为△ABC的中线，.∠ABE=∠CBE=∠BCD 第十七章质量评估 19.解：（)A品种玉米的单位面积产量是R如/m,B品种玉米的单位面积产量 =30°，CD⊥AB.∴，OB=OC,∠BDO=90°.在R△BOD中，∠BD0=90°，∠DBO 1.A2.C3.B4.A5.C6.A7.D8.A9.C 是xR二可kg/m,“R-1-(R-1)2=2(R-1)>0,0<(R-1)产<e-片 450 30°，.OB=2OD..OC=20D. 10.A【解析】x=-8,.x-4x2+4x2+1=x2(x2-4x+4)+1=x2(x-2)+1= 20.解：(1)设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是(x+30) [x(x-2)驴+1-[(-8)×(-8-2)尸+1-6401故选A 450 450 450 11.612.-313.0.27r “R可<xR·六A晶种玉米的单位面积产量商.(2)R幸 元根据题意，翔22四0-品×1.5，解得=148，经检酸=148是原分式方程的 14.士1【解析】：(a+)(a+b-6)+9=0,.(a十b)2-6(a十)+32=0..(a+b 碳曾碳×。严-告商的华位面职产量是纸的华位面积产 450 解，且符合题意，x十30=178.答：甲种点茶器其套装的单价是148元，乙种点茶器其 450 套装的单价是178元，(2)设学校购进乙种点茶器具套装m套.根据题意，得148(30 3)=0.a+b=3.a2-4ad+4=0,.(ab-2)2=0..ab=2..(a-b)2=(a+b)2 -4ab=32-4×2=1.a-b=士1. m)十178m≤500，解得m≤18子.”m为整数，m的最大值为18.答：学枚最多时以 15.解：(1)原式=4xy2·xy+4xy2·2xx-4xy2·3x=4xy(xy+2x-3x).(2)原式 购进乙种点茶器具套装18套， =-(25a2-20ab+46)=-[(5a)2-2×5a·2b+(2b)2]=-(5a-2b)2 20,解：1)320-2-5每枝A种花齐的价格为a元《2)根据题意，得票-)9， 10 工2x 21.(I)证明：，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC,∴，DE=DF.点D在 16.解：答案不唯一，如：(1)选取(x十y)2与x十y,(x+y)-(x十)-(x+y)(x+y 解得m=7.经检验，m=7是原分式方程的解，且符合题意.m=7。 1).(2)选取4a2与9,4a2-96=(2a十3b)(2a-3b). AD=AD,:Rt△AED≌ 17.解：1)原式=千×(25,3+78.6-3.9)=×100=25，(2)原式=9.8+2×9.8× 21解，是A+B-号+品+”可+昌 EF的垂直平分线上.在R△AED和Ri△APD中，{DE=DF, R△AFD(HL),.AE=AF,.点A在EF的垂直平分线上，.AD垂直平分EF. (2)解：过点D作DG⊥AB于点G,DH⊥BC于点H.在R△DHC中，：∠C=30°，CD 0.2+0.2=(9.8+0.2)1=10=100. 2号=2A与B互为和整分式，和整数值=之(0C+D-号+ x-2 18.解：△ABC是等服三角形.理由如下：a--ac十bc=0,.(a十b)(a一b)一(a =m,DH=2CD=受.在△ABC中，”∠ABC=80,∠C=30°，∠A=180°- b)e=0..(a-b)(a十b-c)=0.a十b-c>0,a-b=0,.a=6,.△ABC是等腰三 3红+2+=方T=T (x+2)(x-2) 3+2红二8+P.:C与D互为“和整分式”，且 ∠ABC-∠C=70,'BD平分∠ABC,DG⊥AB,DH⊥BC.∴DG=DH=,∠ABD 角形. “和整数值”6-3，C8岁-3，即3时+2红-8+P-3x+2-2.P 19.解：(1)：甲看错了a的值，分解的结果是(x+1)(x十9)=x十10x十9，，b=9. (x十2)(x一2》 =∠DBC=7∠ABC=40,·∠BDA=∠DBC+∠C=T0=∠A.AB=BD=元 乙看错了b的值，分解的结果是(x-2)(x一4)=x2-6x十8，a=一6.(2)由(1)知 3c+2c-2)-(8r+2红-8)-2红-4.@商1知P-2z-4D-- ∴Sao=之AB·DG=之n·=.(3)解：46°【解析】过点D作DE⊥AB,交AB 这个多项式是x2-6x十9..x2-6x+9=(x-3)2 20.解：(1)原式=m2-14m十49-49+24=(m一7)2-52=(m一7+5)(m一7-5)=(m (x+2)(x-2)=红+2)x2万=-x二2分式D的值为正整数，∴x-2=-1或x 一2x一4 -2(x+2) 的延长线于点E,作DF⊥AC,交AC的延长线于点F,作DG⊥BC于点G.:AD平分 ∠BAC..DF-DE.∠ACD=136°，∠BCD=44°，.∠ACB=∠ACD-∠BCD= 一2)(m-12).(2)原式=一(m一12m)-18=-(m2-12m十36-36)-18=-(m2 一2=一2，解得x=1成x=0.”x为正整数，x=1 92°，∠DCF=180°-∠ACD=44°=∠BCD..CD平分∠BCF.∴.DF=DG.∴.DE= 12m+36)十36一18=一(m一6)2十18.：无论m取何值，-(m-6)2都小于等于0， 期末质量评估 ∴一(m一6)1+18≤18，.一m+12m一18的最大值为18， DG,·BD平分∠CBE,∴∠DBE=2∠CBE,'AD平分∠BAC,·∠BAD= 21.解：(1)(a+b)2a2+2ab+a2+2ab+=(a+b)2(2)(a+2b)(b+2a) 1B2B3.C4A5.B6.D7.D8D9.B10.B11.221270 ∠BAC∠ADB=∠DBE-∠BAD=(∠CBE-∠BAC)=是∠ACB= (3)①a3+∥+3ab+3a=(a+b)°②由①知a3++3ab+3a=(a+b)',.a+ }-(a十b-3a2b-3a=(a+b)2-3ab(a+b》.a+b=5,ab=2,∴.a2+8=53-3 13.-号14.5 合×92”=46， ×2×5=95.③(a-26) 15.解：(1)原式=-1-5+1+9=4.(2)原式=x2-4y2+3y=x-y=(x+y)(x一y), 第十八章质量评估 16.解：原武-名2告2a+a-D-会：a+Da-》≠0士1 课堂训练 1.B2.D3.B4.C5.C6.D7.C8.B9.B10.A11.x≠3 第十三章三角形 12.年13.214.2或-3 a=-子当a=一时，原式=4=-8， 1 13.1三角形的橛念 -2 15.解：1原式-4y1·yt(-2红》-4y1+(-2a》=-号.(2)方程两 知识梳理 17.解：1)如图.△A'B'C即为所求.A(5,1),B(3,3).C(-1,-2).(2)6 首尾顺次相等相等 37 —38— 一39 针对调练 13.3.2三角形的外角 4.证明：AD=BC,∴AD-CD=BC-CD,即AC=BD.在△ACE和△BDF中， 1.C2.B3.B4.B 知识梳理 (AC=BD, 5.(1)EF E (2)ABC AB 延长线不相邻360 AE-BF,.△ACE2△BDF(SSS) 6.解：等腰三角形是△ABE,△ADE,△CDE.等边三角形是△ADE 针对训练 CE=DF. 13.2与三角形有关的线段 1.C2.D3.C4.∠2>∠1>∠A5.75 第4深时尺规作角及平行线 13.2.1三角形的边 6.解：根据三角形的外角的性质，得x+70=x+x+10,解得x=60..x十70=130.y 针对训练 知识梳理 =180-130-50. 1,解：如图所示。 大于小于 7.解：∠A=50°，∠BDC=68,.∠ABD=∠BDC-∠A=18°.：BD平分∠ABC, 针对训练 .∠ABC=2∠ABD=36,又：DE∥BC,.∠AED=∠ABC=36°. 1.A2.C3.C4.不合理三角形两边的和大于第三边5.6 第十四章全等三角形 6.解：(1)3十4-7>5，.能摆戚三角形.(2)8+7-15，不能摆成三角形.(3)：13 14,1全等三角形及其性质 +12=25>20,∴能摆成三角形.(4)5+5=10<11，，不能摆成三角形. 知识梳理 (第1题图) (第2题图) 7.解：(1)设第三边长为x,:三角形的一边长为9，另一边长为1，.9一1<x<9十1，即 完全重合完全重合全等于：对应边对应角相等相等 8<x<10.(2):第三边长为奇数，第三边长为9.，三角形的周长为9+1十9=19. 2.解：如图，△ABC即为所求. 针对训练 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 第5课时用“HL”判定直角三角形全等 1D2.C3.C4.A5.51 知识梳理 如识梳理 6.解：△ABD≌△ACE,∠BAD=∠CAE,即∠DAE十∠BAE=∠BAE+∠BAC 中点D中线AE垂线 一直角边H1 ∴.∠BAC=∠DAE=30°.'∠CAD=100°，.∠BAE=∠CAD-∠BAC-∠DAE=40, 针对调练 针对训练 14.2三角形全等的判定 1.B2.D3.A4.4 1.C2.C3.(1)AC-BD(2)AB=CD4.7 第1课时用“SAS”判定三角形全等 5.解：1)：∠CAB=90,AD是边BC上的高，S△me=号AB·AC=号BCAD. 5.证明：，BD,CE是△ABC的高，·∠BDC-∠CEB=9O°，在Rt△BDC和Rt△CEB 知识梳理 BC-CB. :AD-AB:AC-6X8=《,8(cm.(2):AE是边BC上的中线，∴BE=CE.÷AC+ 夹角SAS 中，BD=CE, '.Rt△BDC≌Rt△CEB(HL), BC 10 针对训练 CE十AE-(AB+BE+AE)=AC-AB=8-6=2(cm),即△ACE和△ABE的周长之 (AE-CF, 1.D2.C3.C 6.证明：(1)在Rt△ABE和R1△CBF中， .Rt△ABE≌Rt△CBF(HL,). 差是2cm AB-CB. 4.解：BE∥DF.理由如下：，AE=CF,AE十EF=EF+CF,即AF=CE.在△ADF 13.3三角形的内角与外角 .BE=BF,(2)由(I),知Rt△ABE≌R△CBF,.∠EAB=∠FCB.,∠FCB+∠F AD-CB. 13.3.1三角形的内角 90°，.∠EAB+∠F=90..∠FGA=90.∴.AG⊥CF. 和△CBE中，∠A=∠C,∴，△ADF≌△CBE(SAS).∴.∠AFD=∠CEB.∴，BE∥DF 第1谋时三角形的内角和 AF-CE. 14.3角的平分线 知识梳理 第1课时角的平分线的画法及性质 CB=CD, 180° 知识梳理 5.解：：C是BD的中点，CD=CB.在△ABC和△EDC中，∠ACB-∠ECD, 针对训练 相等 CA=CE, 1.B2.A3.B4.100 针对训练 .△ABC2△EDC(SAS》..AB=ED=42m.答：池塘AB的长为42m. 5.解：：∠B=42°，∠A+∠B+∠C=180°，∠A+10°=∠C.∠A+42°+∠A+10°= 1.B2.C3.A4.14 第2深时用“ASA"或“AAS"判定三角形全等 180°.∠A=64. 5.解：如图，BD,CE即为所求 知识梳理 6.解：(1)：∠B=66°，∠C=54°，.∠BAC=180°-∠B-∠C=60°.又AD平分 相等ASA相等对边AAS ∠BAC.÷∠BAD-∠CAD-号∠BAC-30.·∠ADC-180'-∠C-∠CAD-96. 针对训练 (2):DE⊥AC,.∠AED=90°..∠ADE=180°-∠AED-∠CAD=60° 1.C2.C3.73°4.3 第2课时直角三角形的性质与判定 5.证明：：∠3=∠1+∠B,∠4=∠2+∠D,∠1=∠2，∠3-∠4，∴.∠B-∠D.在 知识梳理 ∠1=∠2， 6.证明：：CD⊥AB,BE⊥AC,AO平分∠BAC,.OD=OE,∠BDO=∠CEO=90°.在 互余互余 △ACB和△ACD中，∠B=∠D,,△ACB≌△ACD(AAS) ∠BDO-∠CEO, 针对训练 AC-AC. △BOD和△COE中，OD=OE, .△BOD2△COE(ASA)..OB=OC. 1.B2.B3.B4.D5.60 ∠A=∠BEC, ∠BOD=∠COE, 6.证明，：ED⊥BD,.∠CDE=90.∴∠CED+∠DCE=90°.∠ACB=∠CED, 6.(I)证明：：AD∥BC,,∠ADB=∠EBC,在△ABD和△ECB中，AD=EB, 第2课时角的平分线的判定 ∴∠ACB+∠DCE=90°，·∠ACE=180-(∠ACB+∠DCE)=90..△ACE是直 ∠ADB=∠EBC, 知识梳理 角三角形. .△ABD2△ECB(ASA).(2)解：5 相等三条角平分线 7,解：：∠EFG=90°，∠E=28°，∠FGE=90°-∠E=62,:GE平分∠FGD, 第3深时用“SSS”判定三角形全等 针对训练 .∠FGD-2∠FGE-124°.AB∥CD,.∠BFG-180°-∠FGD=56°..∠EFB 针对训练 1.C2.B3.B4.7 S0°-∠BFG=34. 1.B2.AC=BD3.100 5.解：如图，点P即为所求， 40 一42第十三章三角形 13.1三角形的概念 √知识梳理 三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段 相接所组成的图形叫作三角形 等腰三角形和 有两边 的三角形叫作等腰三角形.三边都 的三角形叫作等边 等边三角形 三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形 三边都不相等的三角形 三角形按边分类 三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 针对训练 1.小强用三根火柴组成的图形如图所示， A.①对，②不对 B.②对，①不对 其中符合三角形概念的是 C.①②都不对 D.①②都对 X.八.△i 5.看图填空： 2.如图，图中三角形的个数是 A.4 B.3 C.2 D.1 (1)在△AEF中，顶点A所对的边是 ,边AF所对的顶点是 (2)∠ACB是△ 的内角，∠ACB （第2题图) (第3题图) 的对边是 3.如图，一个三角形只剩下一个角，则这个 6.如图，在△ABC中，D是AC上一点，E是 三角形为 BC上一点，AE=BE=AD=DE=CD,找 A.锐角三角形 B.钝角三角形 出图中的等腰三角形和等边三角形 C.直角三角形 D.以上都有可能 4.如图，两种图示均表示三角形的分类，则 正确的是 ( ) 三边都不相等 的三角形 等腰 直角 锐角 三角形 三角形三角形 等边 钝角 三角形 三角形 ① ② ·1· 13.2与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 √知识梳理 三角形的三边关系 三角形两边的和 第三边，三角形两边的差 第三边 三角形的性质 三角形具有稳定性 √针对训练 1.下列长度的三条线段首尾相连能组成三6.下列每组数分别是三根小木棒的长度， 角形的是 ( 用它们能摆成三角形吗？ A.5,6,10 B.2,5,8 (1)3cm,4cm,5cm; C.5,6,11 D.3,4,8 (2)8cm,7cm,15cm; 2.安装空调一般会采用如图所示的方法固 (3)13cm,12cm,20cm; 定，其依据的数学原理是 (4)5cm,5cm,11cm. A.两点确定一条直线 空调 B.两点之间线段最短 C.三角形具有稳定性 三角形支架 D.垂线段最短 3.下列说法不正确的是 A.三角形任意两边之差一定小于第三边 7.已知某三角形的一边长为9，另一边长 B.等边三角形一定是锐角三角形 为1. C.等腰三角形的底边一定大于腰 (1)求这个三角形的第三边长的取值范围； D.直角三角形的两直角边之和大于斜边 (2)当第三边长为奇数时，求三角形的周长」 4.如图，你觉得圆规的话合理吗？ (填“合理”或“不合理”)，理由是 虽然我腿长只有9cm, 但是我能画出半径为 20cm的圆. 5.若等腰三角形的两边长分别是3和6，则 第三边长是 ·2· 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 √知识梳理 内容 图例 连接△ABC的顶，点A和它所对的边BC的 定义 中线 所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线 重心 三角形三条 的交点叫作三角形的重心 画△ABC的∠A的平分线AE,交∠A所对的边BC于点E,所 角平分线 得线段 叫作△ABC的角平分线 B F ED 从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画 高 足为F,所得线段AF叫作△ABC的边BC上的高 解题策略 中线将三角形分为面积相等的两部分（等底同高） 针对训练 1.如图，CM是△ABC的中线，AM=4.如图，D是△ABC中AB边上的中点， 4cm,则BM的长是 ( 连接CD.若△ABC的面积为8，则 A.3 cm △ACD的面积为 B.4 cm 5.如图，已知AD,AE分别是△ABC的高 C.5 cm 和中线，AB=6cm,AC=8cm,BC= D.6 cm 10cm,∠CAB=90°. 2.下面四个图形中，线段BD是△ABC的 (1)求AD的长； (2)求△ACE和△ABE的周长之差. 高的是 D B 3.如图，AD是△ABC的角平分线，AE是 △ABD的角平分线.若∠BAC=80°，则 ∠EAD的度数是 ( ) A.20° B.30° C.45° D.60° D E B (第3题图) (第4题图) ·3·