第15章 轴对称 质量评估-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

等分点，分别过点E,F沿着平行于BA,CA的方向各剪一刀，14.如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的 入 第十五章质量评估 则剪下的△DEF的周长是 ( 中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时， (时间：90分钟 满分：100分) ∠CPE的度数是 电 A.3 R C.6 D.8 一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分.每小题均有A, 三、解答题（本大题共7题，共54分.解答应写出必要的文字说 7.如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE= B,C,D四个选项，其中只有一个选项正确) 明、证明过程或演算步骤) AD,则∠EDC的度数为 () 15.(本题满分6分)完成下面的证明过程，并写出推理依据 题号12 345 67 9 10 A.15° B.20° C.25 D.30 如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，点E在AD 答案 8.如图，CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为D,交AC于点E, 上.求证：∠1=∠2. 1.5G与AI时代已经来临，科技全面融人日常生活，推动社会各 ∠A=∠ABE.若AC=10,BC=6,则BD的长为 () 证明：：AB=AC,D是BC的中点， 领域智能化变革，深刻改变人们的生活与工作方式.下列设计 A.5 B.3 C.4 D.2 ∠BAD=∠ 的人工智能图标中，不是轴对称图形的是 AB=AC,AE=AE △ 2△ .∠1=∠2( (第8题图) (第9题图) (第10题图) 16.(本题满分6分)如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称， 2.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=65°，则∠C的度数是( 9.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，CM平分∠ACB,交AB于点 BC与DE的交点F在直线MN上，DE=4cm,CF=1cm, A.65 B.559 C.50° D.40° M,过点M作MN∥BC,交AC于点N,且MN平分∠AMC. ∠BAC=76°，∠EAC=58. 若AN=2,则BC的长为 ( ) (1)求BF的长； 的 A.12 B.16 C.20 D.8 (2)求∠CAD的度数. 10.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=40°，D,P分别是图中所 (第2题图) (第3题图) 作直线和射线与AB,CD的交点.根据图中尺规作图的痕迹 3.如图，△ABC和△AB'C关于直线l对称，且∠A=78°，∠C= 推断，下列结论错误的是 () 48°，则∠B的度数为 ( A.AD-CD B.∠ABP=∠CBP A48 B.54 C.749 D.78 C.∠BPC=115 D.∠PBC=∠ACD 4.在平面直角坐标系中，已知点A(2,m)和点B(n,一3)关于x轴 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 对称，则m十n的值是 11.命题“等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合”的逆 17.(本题满分8分)如图，已知∠ABC,点D在射线BC上，求作 A-1 B.1 C.5 D.-5 命题是 命题.（填“真”或“假”） 等腰三角形PBD,使线段BD为等腰三角形PBD的底边，点 最 5.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D,垂足为 12.由“○”和“☐”组成的轴对称图形如图所示，该图形的对称轴 P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等.（不写 E,CD平分∠ACB.若∠A=50°，则∠B的度数为( ) 是直线 (填“L”“L2”“l”或“1，”) 作法，保留作图痕迹) A.25° B.30 C.35 D.40 a (第12题图) (第13题图) (第14题图) (第5题图) (第6题图) (第7题图》 13.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,交BC于点D,AD= 6.如图，等边三角形纸片ABC的边长为8，点E,F是BC边的三 BD=5,∠ADC=72°，则AC的长是· 13 14 15 18.(本题满分8分)在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐20.（本题满分8分）在△ABC中，已知点D在BC上，且CD= 21.(本题满分10分)综合与探究 标系，规定在网格内（包括边界）横、纵坐标都是整数的点称为 AC,点E在CB的延长线上，BE=AB,连接AE. 【问题情境】在等边三角形ABC中，P是边AC上的一个定 格点.已知△ABC的三个顶点都是格点. (1)如图①，若∠BAC=120°，AB=AC,求∠DAE的度数： 点，M是直线BC上的一个动点，以PM为边在PM的右侧作 (1)画出△ABC关于x轴对称的△A'B'C',点A,B,C的对应 (2)如图②，若AB平分∠DAE,AC⊥CD于点C,求证：BE= 等边三角形PMN,连接CV. 点分别是点A',B,C,并写出点C的坐标； 2CD. 【特例研究】 (2)D是格点，且以点A,B,C,D为顶点的四边形是轴对称图 (1)如图①，当点M在BC边上时，过点P作PH∥AB,交BC 形，写出符合条件的点D的坐标. 于点H. ①此时△PHC的形状是 ;PH与PC之间的数 图① 图② 量关系是 ②试猜想PC,CN,CM之间的数量关系，并说明理由. 4-3-2- 【拓展探究】 (2)如图②，当点M在BC的延长线上时，(1)中的猜想是否依 然成立？请说明理由， 19.(本题满分8分)如图，在△ABC中，∠B=2∠C,AC的垂直 平分线交CB于点D,连接AD, 图① (1)判断△ABD的形状，并说明理由. (2)过点A作AE⊥BD,垂足为E.若△ABD的周长是10，求 CE的长. -16- —17 —1811.∠ABC=∠BAD(答案不唯一)12.(5，-3)13.1814.6 15.CAD等腰三角形“三线合一"：ABE ACE SAS全等三角形的对应角相等 18.解：(1)如图，△ABC‘即为所求.(2)点D的坐标为(1,1)，[或点D的坐标为(2,4) 15.解：：△ABC2△DEC,∴BC-CE-3,CD-AC-5..BD-BC+CD-8. 6.解：(1)由轴对称的性质，得BC-DE-4cm,CF-1cm,.BF-BC一CF-3cm. 或(2,2)] 16.解：不正确，理由知下：：AB在R△ABC中是斜边，在Rt△DAB中是直角边，.不满 (2)由轴对称的性质，得∠EAD-∠BAC-76.∠EAC-58,∴.∠CAD-∠EAD 足斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等的条件.，小萌的解答过程不正确. ∠EAC=18 AB-AD. 17,解：如图，等接三角形PBD即为所求。 17.解：连接AC.在△ABC和△ADC中，AC=AC,.△ABC2△ADC(SSS),∠B 18.解：(1)如图，△AB'C'即为所求.点C的坐标为(3,1).(2)点D的坐标为(0,1)或 BC=DC, (-5,0). =∠D. 19.解：(1)△ABD为等腰三角形.理由如下，：AC的垂直平分线交CB于点D,AD 18.(1)解：如图，AE即为所求.(2)证明：：AE平分∠BAC, =CD.∠C=∠CAD..∠ADB=∠C+∠CAD=2∠C.∠B=2∠C,∠ADB AC=AD. ∠B..AD=AB.∴△ABD为等厦三角形.(2)AD=AB,AE⊥BD,,DE=BE ∴∠CAE-∠DAE在△ACE和△ADE中，∠CAE=∠DAE, (第18题图) (第21题国) :△ABD的周长是10，∴AD+AB十DE+BE-10..AD十DE=5.由(1)知AD AE-AE. 19.解：(1)8(2)第二小组的方案可行，证明如下：：∠C=100°，∠ADC=65,.∠A CD,..CE-CD+DE-AD+DE-5. ,∴，△ACE≌△ADE(SAS).,∠ADE=∠C=90°，，DE⊥AB. -180°-∠C-∠ADC=15.·∠A-∠E.在△ACD与△ECB中， 19.解：(1)小明理由如下：：C是BD的中点，∴BC-CD.:BD⊥AB,BD⊥DE, 20.(1)解：∠BAC=120,AB=AC,∠C=∠ABC=(180'-∠BAC)=30 ∠A=∠E, ∠B-∠D, ∠C=∠C,.△ACD2△ECB(AAS)..AC=CE.又CB=CD,.AB=DE..只要 CD=AC,÷∠ADC=(180'-∠C)=75.BE=AB,·∠E=∠BAE- ∴∠B=∠D=90°，在△ABC和△EDC中， BC=DC, .△ABC≌△EDC CD-CB. ∠ACB=∠ECD, 是∠ABC=15.∠DAE=∠ADC-∠E=60,(2)证明：AB平分∠DAE.设 测得DE的长就能得到河宽AB,第二小组的方案可行， (ASA).∴AB=DE.小明的方案可行.(2)在平地上取一点O,使OB⊥AB,连接AO, ∠BAE=∠BAD=A.:BE=AB,∴·∠E=∠BAE=a.∴∠ABD=∠E+∠BAE=2A. 20.(1)证明：连接BE,CE.:AE平分∠BAC,EM⊥AB,EN⊥AC,.∠M-∠ENC- BO,在AB的延长线上取一点C,使得∠COB=∠AOB,测量BC的长即可.（客案不唯一） 20.证明：(1)：CF⊥AD,BE⊥AD,∠MAN=90°，.∠BEA=∠AFC=90°.∴.∠ABE CD=CA,ACLCD,,△ACD是等腰直角三角形.∠ADC=45”.又∠ADC= 9O',EM=EN.DE垂直平分BC,.BE=CE.在Rt△BEM和Rt△CEN中， ∠ABD+∠BAD=30,.38-45,解得8-15”.∠ABD-28-30°.∴.AB-2AC.CD BE=CE, +∠BAE=90°，∠BAE+∠CAF=90°.：∠ABE=∠CAF,在△ABE和△CAF中， ,Rt△BEM≌Rt△CEN(HL).,BM=CN.(2)解：在Rt△AME和 -AC.BE-AB..BE-2CD. EM-EN, ∠BEA-∠AFC, ∠ABE=∠CAF,∴.△ABE≌△CAF(AAS).(2)∠1=∠2=∠BAC,∠1 21,解：(1)①等边三角形PH=PC②CM=CN+PC,理由如下：，△PHC与 R△ANE中，/AE=AE, .Rt△AME≌Rt△ANE(HL),.AM=AN,设BM=CN= △PMN是等边三角形，.∠CPH=∠MPN=6O°，PM=PN,PH=PC=CH. EM=EN, AB=CA. ∠BAE+∠ABE,∠BAC=∠BAE十∠CAF,∠2=∠ACF+∠CAF,:∠ABE= PM=PN. x,则AM-AB+BM-2+x,AN-AC-CN-8-x.x十2-8-x,解得x-3..BM =3. ∠ABE=∠CAF, ∠MPH=∠NPC.在△MPH和△NPC中，∠MPH=∠NPC,.△MPH≌ ∠CAF,∠BAE=∠ACF.在△ABE和△CAF中，AB=CA, 21.解：(1)D(2)8或16(3)①如图所示.②在射线AD上截取DE-AD,连接BE. ∴.△ABE2 PH=PC. ∠BAE=∠ACF, △NPC(SAS)..MH=CN,∴.CM=MH+CH=CN+PC.(2)不成立.理由如下：过点 :P是△ABC关于顶点A的均分点，直线AP与BC交于点D,D是BC的中点 △CAF(ASA). P作PH∥AB,交BC于点H.易得△PHC是等边三角形.：△PHC和△PMN是等 AD=ED, 21.(1)证明：EF⊥AB,∠AFE=90°，：∠AEF=50°，∴∠EAF=90°-∠AEF= 边三角形，∴.∠CPH=6O°，PH-PC-CH,PM-PN,∠MPN-6O°，∠CPH+ YBC=1O,·.CD=BD=2BC=5.在△ACD和△EBD中，∠ADC=∠EDB, 40°，，∠BAD=100°，.∠DAE=180°-∠BAD-∠EAF=40°=∠EAF,.AE平分 ∠CPM-∠MPN十∠CPM,即∠MPH-∠NPC.在△MPH和△NPC中， CD-BD. ∠FAD.(2)证明：过点E作EM⊥AD于点M,EN⊥BC于点N,:BE平分∠ABC PM-PN. ,△ACD≌△EBD(SAS),∴.AC=BE,∠CAD=∠BED.,AC∥BE.∠BAC十 EF⊥AB,∴，EF=EN.:AE平分∠DAF,EF⊥AB,∴EF=EM.∴，EM=EN.EM ∠MPH=,∠NPC,∴，△MPH≌△NPC(SAS).∴，CN=MH=CH+CM=CP+CM ∠ABE=180°.：∠BAC=90°，.∠ABE=90°..∠BAC-=∠ABE.在△CAB和 AD,EN⊥CD,DE平分∠ADC.(3)解：Sam-SaE+SaaE,2AD·EM+ PH=PC. AC=BE. (1)中的猜想不成立 △EBA中，∠BAC=∠ABE,△CAB≌△EBA(SAS).AE=BC=10..AD=5 zCD:EN-15,即2(aD+CD)·EM-15.:AD-4.CD-8EM-受EF 期中质量评估 AB-BA. 多，∴Sam-2AB,EF-}XTX号-5 1.A2.C3.D4.A5.D6.D7.A8.C9.A10.A AB=5,·AB=AD=BD.∴△ABD是等边三角形.∠ABD=60°，P是△ABD 11.BD=AC(客案不唯一)12.313.32 第十五章质量评估 关于顶点B的均分点P是AD的中点.∴BP平分∠ABD.∠ABP=立∠ABD=30, 14.5【解析】连接BP.易得BP=CP.∴PD+PC=PD+PB.当点B,P,D在同 1.D2.A3.B4.C5.B6.D7.A8.D9.A10.D11.真12.413.5 直线上时，PB十PD的值最小，最小值为线段BD的长，：△ABD是等边三角形，∴，BD 第十六章质量评估 14.60°【点接】如图，连接BE,交AD于点P,此时PE+PC最小.易证BE平分 =AB=5..PD+PC的最小值为5. 1.B2.B3.A4.D5.D6.A7.D8.C9.B10.A ∠ABC,PB=PC,由此可得∠CPE的度数。 15.证明：：DE∥AC,.∠EDA=∠CAD.:AE=DE,,∠EAD=∠EDA.∠EAD 11.-6a312.-113.7x14.c=a2b =∠CAD.AB=AC,AD⊥BC 15.解：(1)原式=a·(一8a8)=-8(a·a)(·∥)=-8a.(2)原式=2x2+ 16.解：(1)4或6(2)BC∥DE,∠ADE-∠B-60.∠CED-105,∴.∠A 2xy+x+y-3xy-3y=2x-xy+:-2y. ∠CED-∠ADE=45 16.解：原式=[4x2-y2-(4x2-12xy+9y2)]÷2y=(4x2-y2-4x2+12xy-9y2)÷ 17.解：客案不唯一，如：①②④③证明如下：AD∥BC,∠A=∠C.AE=CF, 2y=(12xy-10y)+2y=6x-5y.当x=1,y■一2时，原式=6×1-5×(-2)=16. AD=CB, 17.解：(1)A·B+13的值不可能为负数.理由如下：A·B+13=(2t+3)(2r-3)+13 ∴.AE+EF=CF+EF,即AF=CE.在△AFD和△CEB中，∠A=∠C,△AFD≌ =4一9+13=4+4.：4≥0，∴4+4>0，.A·B+13的值不可能为负数.(2)A9 AF-CE, 一B一(2+3)2一(21一3)=24.：4为整数，.24t一定能被24整除.当t为整数 第】4用 (第18题图) △CEB(SAS).DF=BE 时，A一形的值一定能被24整除 35 36