13.3.2 三角形的外角-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

13.3.2三角形的外角 A分点训练 。夯实基础 20° △+20) <130 知识点个三角形的外角的定义 x+80) 1.如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上， 10 图① 图② △CEF的顶点E在AB上，下列说法错误 (1)如图①，x的值为 的是 ( (2)如图②，x的值为 A.∠ACF不是△ABC的外角 7.如图，DF分别交△ABC的边AB,AC于点 B.∠ACD是△ABC的外角 D,E,交BC的延长线于点F.若∠A=50°， C.∠AEC是△BCE的外角 ∠ACF=105°，∠F=25°，求∠BDF的度数. D.图中没有角是△ACE的外角 (第1题图) (第2题图)（第3题图） 知识点2三角形的外角的性质 2.如图，在△ABC中，∠A=40°，外角∠ACD= 100°，则∠B的度数是 ( A.100°B.80° C.60° D.40° 8.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ABC=70°， 3.如图，在△ABC中，∠BAC=80°，∠B=30°， △ABC的外角∠BCD的平分线CE交AB AD平分∠BAC,则∠ADC的度数为( 的延长线于点E A.90° B.95°C.70° D.50° (1)求∠BCE的度数； 4.(教材P17习题T6变式)如图，AB∥CD (2)过点D作DF∥CE,交AB的延长线于点 MN⊥AC于点N,∠NMB=118°，则∠DCE F,求∠F的度数. 的度数为 ( A.22 B.28 C.32° D.38 E D D B (第4题图) (第5题图) 5.如图，∠A=50°，∠ACE=110°，则∠ABD的 度数为 6.(教材P16练习变式)直接写出下列各图中x 的值： 9数学八年级上册人教版 B综合运用 。提升能力 (2)求∠AFB的度数. 9.一副三角尺拼成的图形如图所示，则∠CEB 的度数为 A.90° B.100° C.105° D.110° 10.学科融合光的折射如图，一束平行于主光 轴（图中的虚线）的光线经凸透镜折射后，其 折射光线与一束经过光心O的光线相交于 点P,F为焦点.若∠1=150°，∠2=25°，则 ∠3的度数为 ( C.55° D.45 C创新拓展 。发展素养 A.75° B.65° 14.(1)如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC,P 为线段AD上一点，PE⊥AD于点P,交 3 2人56以 直线BC于点E.若∠B=50°，∠BCA= (第10题图) (第11题图) 70°，则∠PED的度数为 11.如图，∠1=∠2=25°，∠3=∠4，∠5=∠6， (2)如图②，AD平分△ABC的外角 则∠7的度数为 ∠CAF,P为线段AD上一点，PE⊥ 12.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB,E是 AD,交直线BC,AB,AC于点E,F,G AC上一点，CD,BE相交于点F,∠A= 若∠B=a,∠BCA=B,求∠PED的度 65°，∠ACB=70°，∠ABE=25°，求∠BFD 数.（用含a,B的式子表示） 的度数. 图① 图② 13.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D, ∠DAC=10°，AE是△ABC的外角∠MAC 的平分线，交BC的延长线于点E,BF平分 ∠ABC,交AE于点F,交AC于点G (1)求∠ACB的度数； 提示 请完成几何专练（一） 第十三章三角形10参考答案 12.解：(1)∠C=47°，∠CAE=22",∴.∠AEC=180°-（∠C+∠CAE)=111 ∠ABC-∠BCE-20'.DF∥CE,∴.∠F-∠BEC-20 .∠AEB-180°-∠AEC-69.∠CBD-30°，∴∠BFE-180°-∠AEB-∠CBD- 9.C10.C11.100 第十三章三角形 81°.(2)：∠BFE=81°，.∠AFB=180°-∠BFE=99,:∠BAF=2∠ABF,∠BAF 12.解：CD平分∠ACB,∠ACD=号∠ACB=35,∠BDF=∠A+∠ACD= 13.1三角形的概念 +∠ABF+∠AFB=180°，∴3∠ABF+99'=180..∠ABF=27 13.(1)解：120°(2)证明：由题意，得∠ABC+∠ACB=180°-∠A.,∠BPC=90°， 100°.∴∠BFD=180°-∠ABE-∠BDF=55 1.C2.(1)△ABO.△ABC,△ABD△BOC,△ABC(2)∠OBC OB3.14 13.解：(1)AD1BC,∴.∠ADC=90°.：∠DAC=10°，∴∠ACB=90°-∠DAC=80°. 4.(1)△ABC,△ADB,△ACE,△ADE(2)△ADE5.C6.3 .∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC=90,'∠ABP=∠ABC-∠PBC,∠ACP= 7.解：(1)△ABC△BPD,△CPD,△BAD,△CAD△BPA,△CPA(2)等腰三角 ∠ACB-∠PCB,·∠ABP+∠ACP=∠ABC-∠PBC+∠ACB-∠PCB=(∠ABC (2)FAE是∠MAC的平分线，BF平分∠ABC,·∠MAE=专∠MAC,∠ABF= 形是△ABC,△ABP,△ACP,△BPC;等边三角形是△ABC. +∠ACB)-(∠PBC+∠PCB)=180°-∠A-90°=90°-∠A.(3)解：①30°②∠O 8.(1)3△ABD,△ACD,△BCD(2)9△ABD,△ABE,△BCD,△BCE,△BDE -Z∠A+45.【解析】由题意，易得∠A+∠ACP-∠P+∠ABP,∴∠ACP-∠ABP 合∠ABC.:∠MAE,∠MAC分别是△ABF,△ABC的外角，∠ME=∠ABF+ 13.2与三角形有关的线段 =90°-∠A.同理可得∠O+∠OBA=∠A+∠ACO,∴.∠O=∠A十∠ACO-∠OBA, ∠AFB,∠MAC-∠ABC+∠ACB.·∠AFB-∠MAE-∠ABF-∠MAC- 13.2.1三角形的边 'BO,CO分别平分∠ABP,∠ACP,∴∠OBA=∠ABP,∠ACO=号∠ACR.∴∠O ∠ABC-(∠MAC-∠ABC)=Z∠ACB=40 1.C2.A3.4(答案不唯一) 4.解：(1)3<x<7(2)第三边的长为奇数，且3<x<7,.x-5..三角形的周长为 -∠A+号∠ACP-2∠ABP-∠A+2(90'-∠A)-2∠A+45. 14.解：(1)10°(2)：∠B=g,∠BCA-B∴∠CAF-a十RAD平分∠CAF, 5十5十2=12(cm),:两条边的长为5cm,另外一条边的长为2cm,.这个三角形是底 第2课时直角三角形的性质与判定 ÷∠DAC=∠CAF=2(a+B.'∠BCA=∠D+∠DAC,∠D=∠BCA 边和腰不相等的等腰三角形， 1.D2.C3.D 5.三角形的稳定性6.D7.C8.2b-2a ∠DAC=B2(a+D=2(g-.PE⊥AD,∴∠DPE=90.∠PED=90-∠D 4.解：ADLBC,∠ADB=∠ADC=90.∠1+∠2=90°.∠1=∠2+4°，∴.∠2 9.解：(1)设底边长为acm,则稷长为3acm.由题意，得3a十3a十a=21,解得a=3. +4°+∠2=90°..∠2=43°.：∠C=64°，∴.∠DAC=90°-∠C=26°.∴∠BAC=∠2 -90-2(日a. ∴3a=9.∴.等腰三角形的三边长分别为3cm,9cm,9cm.(2)①当等厦三角形的底边 +∠DAC=-69°. 长为6cm时，腰长为(21一6)÷2=7,5(cm),期等腰三角形的三边长分别为6cm, 专题特训与三角形的双角平分线有关的解题模型【教材延伸】 5.直角6.D7.120°8.120 7.5cm,7.5cm,能构成三角形：②当等稷三角形的腰长为6cm时，底边长为21一2× 母题：解：：∠A=100°，∴，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=80°，即∠1+∠2+∠3+∠4 9.(1)解：：∠A=30°，∠B=60°，∴.∠ACB=180°-∠A-∠B=90°.CE平分 6=9(cm),则等腰三角形的三边长分别为6cn,6cm,9cm,能构成三角形.故等腰三角 -80°.∠1-∠2，∠3-∠4，.2∠2+2∠4-80.∠2+∠4=40°，.x-180°- 形其他两边的长为7.5cm,7,5cm或6cm,9cm ∠ACB,·∠ACE=号∠ACB=45.(2)证期：CDLAB,∠B=60',∴∠BCD=90°- (∠2+∠4)=140°，即x=140. 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 ∠B-30.:CE平分∠ACB,·∠BCE-∠ACE=45'.∠DCF-∠BCE-∠BCD= 【延伸问】解，：∠A=n',∠ABC+∠ACB=180°一∠A=180°一n,即∠1+∠2+∠3 1.B2.A3.204.C5.D6.B7.A8.5【变式题4.89.C10.45 15°..∠DCF十∠CDF=90°.△CFD是直角三角形. +∠4-180°-m°.∠1-∠2，∠3-∠4，.2∠2+2∠4-180°-n.∠2+∠4-90 专题特训三角形的角平分线与高的夹角问题【一图多变·一题一课】 -2.∴x=180°-（∠2+∠4）=90+2，即x=90+2m 11.3 母题：解：∠B-30°，∠ACB-110°，∠BAC-180°-∠B-∠ACB=40°.AE平分 12.解：EF是△BDE的角平分线.理由如下：：DE∥AC,EF∥AD,∴∠BED= 【变式题1】解：(1)：∠ACB=70°，∴∠ACD=180°-∠ACB=110°.：B0平分 ∠BAC,∠BEF=∠BAD.:AD平分∠BAC,·∠BAD=∠BAC.÷∠BEF= ∠BAC,·∠BAE=2∠BAC=20,”AD是BC边上的商，·∠D=90,·∠BAD= ∠ABC,C0平分∠ACD,∴∠CB0=号∠ABC=30°，∠DC0=号∠ACD=55.·∠0 90°-∠B=60.÷∠DAE-∠BAD-∠BAE=40. ?∠BED,即EF平分∠BED.EF是△BDE的角平分线. 【变式题1】解：(1)：∠B=36°，∠C=70°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=74°，AD平 -∠DC0-∠CB0-25,(2)∠0-壹∠A理由知下：B0平分∠ABC,C0平分 13.解：(1)如图所示.(2)AD为△ABC的中线，BC-10,S△0 分∠BAC,∠CAD=÷∠BAC-37'AELBC,∠AEC=90,∴∠CAE-90-∠C∠ACD,·.∠DC0=号∠ACD,∠CBO=号∠ABC..∠0=∠DC0-∠CB0= =7SaAc=20,BD=5.同理可得5Ae=含56@=10.：Sam =20,∠DAE=∠CAD-∠CAE=17.(2)AD平分∠BAC,∠CAD= (∠AcD-∠ABC)=含∠A -合BD,EF六壹X5EF-10.∴EP-4. 是∠BAC-是180-∠C-∠B.:AE1BC,∠ABC-9g.∴∠CAE-90-∠C 【变式题2】解：(1)：∠C=70°，.∠CAB+∠CBA=180°-∠C=110°..∠EAB+ ∴∠DAE-∠CAD-∠CAE-ZI80-∠C-∠B)-(90'-∠O-Z(∠C-∠B)-10, ∠FBA=360°-（∠CAB+∠CBA)-250,:AD,BD是△ABC的外角平分线， 14.48【变式题】36 微专题与三角形中线有关的面积问题【一图多变】 ∴∠DAB+∠DBA=(∠EAB+∠FBA)=125.·∠D=180°-（∠DAB+∠DBA) 【变式题2】解：猜想：∠DEF=(∠C-∠B).证明如下：过点A作AG⊥BC于点G. 1.A【延伸同132.(1)号(2)4 :EF⊥BC,∴.AG∥ER.∴∠DAG=∠DER.易得∠DAG=号（∠C-∠B),∠DEF =55.(2)∠D=90-专∠C.理由如下：∠CAB+∠CBA=180-∠C,六∠EAB+ 13.3三角形的内角与外角 ∠FBA=360°-（∠CAB+∠CBA)=360°-(180°-∠C)=180°+∠C.:AD,BD是 13.3.1三角形的内角 =2(∠C-∠B. △ABC的外角平分线，∠DAB+∠DBA-是（∠EAB+∠FBA)-Z(180'+∠C 第1课时三角形的内角和 【拓展应用1)∠F-(∠C-∠B围)（2)32(3)2z 1.A2.B3.B4.B5.606.23 =90+2∠C∴∠D=180-(∠DAB+∠DRA)=180-(90+7∠C)=90-7∠C 13.3.2三角形的外角 7.解：(1)∠BAC=95°，∠B=25°，.∠C=180°-∠BAC-∠B=60°.(2)：∠CAD= 1.B2.30°60° 1.D2.C3.C4.B5.120°6.(1)60(2)40 75°，.∠ADC=180°-∠CAD-∠C=45 3.解：延长BM,CN交于点A.∠BMN=130,∠CNM=100°，∠AMN=180° 7.解：：∠A=50°，∠ACF=105,.∠B=∠ACF-∠A=55..∠BDF=180-∠B 8.B9.D10.50 ∠BMN=50°，∠ANM=180°-∠CNM=80°.∴∠A=180°-（∠AMN+∠ANM)= -∠F=100°， 11.解：由题意，得∠DAB=85°，∠BCE=45,∠ACE=50°.∴.∠ACB=∠ACE+ 8.解：(1)∠A=30°，∠ABC-70°，.∠BCD=∠A+∠ABC=100°.CE是∠BCD 50.:BD平分∠MBC,CD平分∠NCE,·∠DBC-∠ABC,∠DCE-Z∠ACE ∠BCE=95.:AD∥CE,∴∠DAC=∠ACE=50°.，∠CAB=∠DAB-∠DAC 35.在△ABC中，∠B=180°-∠CAB-∠ACB=50°. 的平分线，∠BCE=号∠BCD=50.(2:∠BCE=50,∠ABC=70,∠BEC= ∴∠D=∠DCE-∠DBC=Z(∠ACE-∠ABC=2∠A=25 1 2 一3