13.3.2 三角形的外角（ 分层作业）数学人教版2024八年级上册

13.3.2 三角形的外角 1．如图，△ABC的外角∠DAC＝100°，∠B＝60°，则∠C（　　） A．60° B．50° C．45° D．40° 2.马扎是中国传统手工艺制品，腿交叉，上面绷帆布或麻绳等，可以合拢，方便携带，如图，已知∠COD＝70°，∠ABE＝130°，则∠A的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 3.如图，点D，E分别在线段BC，AC上，连接AD，BE交于点F，若∠A＝25°，∠B＝35°，∠C＝70°，则∠AFE的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 第1题图 第2题图 第3题图 4．已知：如图，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，F是AD上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G．求证：∠EGH＞∠ADE． 老师在黑板上写下了以下证明过程： 证明：∵DE∥BC（已知） ∴∠ADE＝*（两直线平行，〇相等） ∵∠EGH＞△（&） ∴∠EGH＞∠ADE 下列判断正确的是（　　） A．*和△代表的内容不同 B．△代表∠ACB C．〇代表内错角 D．&代表三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 5．如图，在△ABC中，∠A＝30°，点D是AB延长线上一点，过点D作EF∥BC．若∠ADE＝70°，则∠C的度数为　 　 °． 6．如图，∠B＝20°，∠C＝31°，∠BPC＝123°，则∠A＝　 　 °． 7．将一副常规三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1＝　 　 °． 第5题图 第6题图 第7题图 8．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，E是AC上的一点，CD，BE相交于点F，∠A＝65°，∠ACB＝70°，∠2＝25°，求∠3的度数． 请完成下面的推理过程： 解：∵CD平分∠ACB，∠ACB＝70°， ∴∠1＝ 　 　 ∠ACB＝ 　 　 °． ∵∠4是△ACD的一个外角， ∴∠4＝∠A+　 　 ＝ 　 　 °． 在△BDF中，∠2+　 　 +∠4＝180°， ∴∠3＝180°﹣∠2﹣∠4＝ 　 　 °． 9．如图，CE平分△ABC的外角∠ACD，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠B＝32°，∠E＝36°，求∠BAC的度数； （2）试猜想∠BAC、∠B、∠E三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 10．（2021•河北）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B． 证法1：如图， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形内角和定理）， 又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定义）， ∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代换）． ∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性质）． 证法2：如图， ∵∠A＝76°，∠B＝59°， 且∠ACD＝135°（量角器测量所得） 又∵135°＝76°+59°（计算所得） ∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）． 下列说法正确的是（　　） A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B．证法1用严谨的推理证明了该定理 C．证法2用特殊到一般法证明了该定理 D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理 11．在△ABC中，∠A＝15°，∠C＝65°，点D在AC边上，连接BD，若△ABD为直角三角形，则∠DBC的度数为（　　） A．25° B．75° C．10°或25° D．20°或75° 12．如图所示，P是△ABC内一点，延长BP交AC于点D，连接PC． （1）∠1、∠2、∠A的大小关系是：　 　 ＞　 　 ＞　 　 ； （2）若∠3＝25°，∠A＝67°，∠4＝40°，嘉嘉想求∠1的度数，请你从下面两种思路中任选一种帮助嘉嘉完成求解． 思路一 先利用三角形内角和求出∠PBC+∠PCB的度数，再利用三角形内角和求出∠1的度数． 思路二 先利用三角形外角求出∠2的度数．再利用三角形外角求出∠1的度数． 13．（1）如图（1）所示，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，求证：∠BOC＝90°∠A； （2）如图（2）所示，∠ABC，∠ACD的平分线交于点O，求证：∠BOCA； （3）如图（3）所示，∠CBD，∠BCE的平分线交于点O，请直接写出∠BOC与∠A的关系． 14．如图①所示，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则称BD、BE分别为∠ABC的“三分线”，其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”． （1）如图②，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝75°，若∠ABC的邻AB三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝　 　 °； （2）如图③，在△ABC中，BP是∠ABC的邻AB三分线，CP是∠ACB的邻AC三分线，若∠A＝45°，求∠BPC 的度数； （3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角（如图④），∠ABC的三分线与∠ACD的邻AC三分线交于点P，若∠A＝m°，∠ABC＝n°，直接写出∠BPC的度数．（用含m、n的代数式表示） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.3.2 三角形的外角 1．如图，△ABC的外角∠DAC＝100°，∠B＝60°，则∠C（　　） A．60° B．50° C．45° D．40° 【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求解． 【解答】解：∵∠DAC是△ABC的外角，∠DAC＝100°，∠B＝60°， ∴∠C＝∠DAC﹣∠B＝40°． 故选：D． 【点评】本题主要考查了三角形三边之间的关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 2.马扎是中国传统手工艺制品，腿交叉，上面绷帆布或麻绳等，可以合拢，方便携带，如图，已知∠COD＝70°，∠ABE＝130°，则∠A的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【分析】先根据对顶角相等得到∠AOB＝∠COD＝70°，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【解答】解：∵∠COD＝70°，∠ABE＝130°， ∴∠AOB＝∠COD＝70°， ∴∠A＝∠ABE﹣∠AOB＝130°﹣70°＝60°． 故选：B． 【点评】此题考查了三角形外角的性质，对顶角、邻补角，熟知以上知识是解题的关键． 3.如图，点D，E分别在线段BC，AC上，连接AD，BE交于点F，若∠A＝25°，∠B＝35°，∠C＝70°，则∠AFE的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ADC的度数，再由三角形外角的性质得出∠BFD的度数，由对顶角相等即可得出结论． 【解答】解：∵∠A＝25°，∠C＝70°， ∴∠ADC＝180°﹣25°﹣70°＝85°， ∵∠ADC是△BDF的外角，∠B＝35°， ∴∠BFD＝∠ADC﹣∠B＝85°﹣35°＝50°， ∴∠AFE＝∠BFD＝50°． 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 4．已知：如图，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，F是AD上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G．求证：∠EGH＞∠ADE． 老师在黑板上写下了以下证明过程： 证明：∵DE∥BC（已知） ∴∠ADE＝*（两直线平行，〇相等） ∵∠EGH＞△（&） ∴∠EGH＞∠ADE 下列判断正确的是（　　） A．*和△代表的内容不同 B．△代表∠ACB C．〇代表内错角 D．&代表三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质逐项判断即可． 【解答】解：∵DE∥BC（已知）， ∴∠ADE＝∠ABC（两直线平行，同位角相等）， ∵∠EGH＞∠ABC（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）， ∴∠EGH＞∠ADE， 由证明过程可知：*代表∠ABC， △代表∠ABC， 〇代表同位角， &代表三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角， 故A，B，C选项错误； D选项正确； 故选：D． 【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 5．如图，在△ABC中，∠A＝30°，点D是AB延长线上一点，过点D作EF∥BC．若∠ADE＝70°，则∠C的度数为　40　 °． 【分析】由EF∥BC可得∠CBD＝∠ADE＝70°，再根据∠CBD＝∠A+∠C即可求解． 【解答】解：∵EF∥BC， ∴∠CBD＝∠ADE＝70°， ∵∠CBD＝∠A+∠C， ∴∠C＝∠CBD﹣∠A＝70°﹣30°＝40°， 故答案为：40． 【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，掌握其性质是解题的关键． 6．如图，∠B＝20°，∠C＝31°，∠BPC＝123°，则∠A＝　72　 °． 【分析】连接AP并延长至点D，利用∠BPD＝∠BAP+∠B，∠CPD＝∠CAP+∠C，得∠BPC＝∠BPD+∠CPD＝∠BAP+∠B+∠CAP+∠C＝123°，即∠BAC+∠B+∠C＝123°，代入∠B＝20°，∠C＝31°，即可求解． 【解答】解：如图，连接AP并延长至点D， 有由意可得： ∠BPC＝∠BPD+∠CPD＝∠BAP+∠B+∠CAP+∠C＝123°， ∴∠BAC+∠B+∠C＝123°， ∵∠B＝20°，∠C＝31°， ∴∠BAC＝123°﹣∠B﹣∠C＝72°， 故答案为：72． 【点评】本题考查三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 7．将一副常规三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1＝　75　 °． 【分析】由题意得∠A＝30°，∠DFE＝45°，EF⊥AC，求出∠DFA＝45°，再由三角形的外角性质即可得出答案． 【解答】解：如图， 由题意得：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠A＝30°，∠DFE＝45°，EF⊥AC， ∴∠EFA＝90°， ∴∠DFA＝∠EFA﹣∠DFE＝90°﹣45°＝45°， ∴∠1＝∠DFA+∠A＝45°+30°＝75°， 故答案为：75． 【点评】本题考查了三角形的外角性质、垂线等知识，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 8．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，E是AC上的一点，CD，BE相交于点F，∠A＝65°，∠ACB＝70°，∠2＝25°，求∠3的度数． 请完成下面的推理过程： 解：∵CD平分∠ACB，∠ACB＝70°， ∴∠1＝ 　　 ∠ACB＝ 　35　 °． ∵∠4是△ACD的一个外角， ∴∠4＝∠A+　∠1　 ＝ 　100　 °． 在△BDF中，∠2+　∠3　 +∠4＝180°， ∴∠3＝180°﹣∠2﹣∠4＝ 　55　 °． 【分析】由角平分线的定义可得，由三角形外角的定义及性质可得∠4＝∠A+∠1＝100°，再由三角形内角和定理计算即可得解． 【解答】解：∵CD平分∠ACB，E是AC上的一点，CD，BE相交于点F，∠ACB＝70°， ∴， ∵∠4是△ACD的一个外角， ∴∠4＝∠A+∠1＝100°， 在△BDF中，∠2+∠3+∠4＝180°， ∴∠3＝180°﹣∠2﹣∠4＝55°， 故答案为：；35；∠1；100；∠3；55． 【点评】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理，熟知以上知识是解题的关键． 9．如图，CE平分△ABC的外角∠ACD，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠B＝32°，∠E＝36°，求∠BAC的度数； （2）试猜想∠BAC、∠B、∠E三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 【分析】（1）先求解∠ECD＝∠B+∠E＝68°，可得∠ACE＝∠ECD＝68°，再利用三角形的外角的性质可得结论； （2）证明∠ACE＝∠ECD，结合∠ECD＝∠B+∠E，∠BAC＝∠ACE+∠E＝∠ECD+∠E，可得结论． 【解答】解：（1）由条件可知∠ECD＝∠B+∠E＝32°+36°＝68°， ∵EC平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠ECD＝68°， ∴∠BAC＝∠ACE+∠E＝68°+36°＝104°； （2）∠BAC＝∠B+2∠E，理由如下： 由条件可知∠ACE＝∠ECD， 又∵∠ECD＝∠B+∠E， ∴∠BAC＝∠ACE+∠E＝∠ECD+∠E ＝∠B+∠E+∠E ＝∠B+2∠E， 即∠BAC＝∠B+2∠E． 【点评】本题考查的是角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 10．（2021•河北）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B． 证法1：如图， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形内角和定理）， 又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定义）， ∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代换）． ∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性质）． 证法2：如图， ∵∠A＝76°，∠B＝59°， 且∠ACD＝135°（量角器测量所得） 又∵135°＝76°+59°（计算所得） ∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）． 下列说法正确的是（　　） A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B．证法1用严谨的推理证明了该定理 C．证法2用特殊到一般法证明了该定理 D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理 【分析】依据定理证明的一般步骤进行分析判断即可得出结论． 【解答】解：∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确，具有一般性，无需再证明其他形状的三角形， ∴A的说法不正确，不符合题意； ∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确， ∴B的说法正确，符合题意； ∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，不能用特殊情形来说明， ∴C的说法不正确，不符合题意； ∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，与测量次数的多少无关， ∴D的说法不正确，不符合题意； 综上，B的说法正确． 故选：B． 【点评】本题主要考查了三角形的外角的性质，定理的证明的一般步骤．依据定理的证明的一般步骤分析解答是解题的关键． 11．在△ABC中，∠A＝15°，∠C＝65°，点D在AC边上，连接BD，若△ABD为直角三角形，则∠DBC的度数为（　　） A．25° B．75° C．10°或25° D．20°或75° 【分析】分∠ADB＝90°、∠ABD′＝90°两种情况，根据直角三角形的性质、三角形的外角性质计算即可． 【解答】解：当∠ADB＝90°时，∠DBC＝90°﹣∠C＝90°﹣65°＝25°， 当∠ABD′＝90°时，∠AD′B＝90°﹣∠A＝90°﹣15°＝75°， ∵∠AD′B是△CD′B的外角， ∴∠D′BC＝∠AD′B﹣∠C＝75°﹣65°＝10°， 综上所述，∠DBC的度数为10°或25°， 故选：C． 【点评】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质，熟记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 12．如图所示，P是△ABC内一点，延长BP交AC于点D，连接PC． （1）∠1、∠2、∠A的大小关系是：　∠1　 ＞　∠2　 ＞　∠A　 ； （2）若∠3＝25°，∠A＝67°，∠4＝40°，嘉嘉想求∠1的度数，请你从下面两种思路中任选一种帮助嘉嘉完成求解． 思路一 先利用三角形内角和求出∠PBC+∠PCB的度数，再利用三角形内角和求出∠1的度数． 思路二 先利用三角形外角求出∠2的度数．再利用三角形外角求出∠1的度数． 【分析】（1）利用三角形的外角性质，可得出∠2＝∠3+∠A，∠1＝∠2+∠4，结合∠3＞0，∠4＞0，即可得出∠1＞∠2＞∠A； （2）（思路一）在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠PBC+∠PCB的度数，再在△PBC中，利用三角形内角和定理，即可求出∠1的度数； （思路二）由∠BDC是△ABD的外角，利用三角形的外角性质，可求出∠2的度数，由∠BPC是△CDP的外角，再利用三角形的外角性质，即可求出∠1的度数． 【解答】解：（1）∵∠BDC是△ABD的外角，∠BPC是△CDP的外角， ∴∠2＝∠3+∠A，∠1＝∠2+∠4， 又∵∠3＞0，∠4＞0， ∴∠1＞∠2＞∠A． 故答案为：∠1，∠2，∠A； （2）（思路一）在△ABC中，∠A+∠3+∠PBC+∠PCB+∠4＝180°， ∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠A﹣∠3﹣∠4＝180°﹣67°﹣25°﹣40°＝48°． 在△PBC中，∠1+∠PBC+∠PCB＝180°， ∴∠1＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣48°＝132°； （思路二）∵∠BDC是△ABD的外角， ∴∠2＝∠3+∠A＝25°+67°＝92°， ∵∠BPC是△CDP的外角， ∴∠1＝∠2+∠4＝92°+40°＝132°． 【点评】本题考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”及“三角形内角和是180°”是解题的关键． 13．（1）如图（1）所示，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，求证：∠BOC＝90°∠A； （2）如图（2）所示，∠ABC，∠ACD的平分线交于点O，求证：∠BOCA； （3）如图（3）所示，∠CBD，∠BCE的平分线交于点O，请直接写出∠BOC与∠A的关系． 【分析】（1）依据角平分线的定义，即可得出∠OBC+∠OCB＝90°∠A，再根据三角形内角和定理即可得到结论； （2）依据∠OCD是△BCO的外角，可得∠O＝∠2﹣∠1，再根据∠ACD是△ABC的外角，可得∠A＝∠ACD﹣∠ABC，进而得到∠O∠BAC； （3）根据角平分线的定义，即可得出∠2（∠A+∠ABC）、∠1（∠A+∠ACB），再根据三角形内角和定理即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线， ∴∠1∠ABC，∠2∠ACB， ∴∠1+∠2（∠ABC+∠ACB） （180°﹣∠A） ＝90°∠A， ∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2） ＝180°﹣（90°∠A） ＝90°∠A； （2）∵∠OCD是△BCO的外角， ∴∠O＝∠2﹣∠1， 又∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD， ∴∠1∠ABC，∠2∠ACD， ∴∠O（∠ACD﹣∠ABC）， ∵∠A＝∠ACD﹣∠ABC， ∴∠O∠BAC； （3）∵BO、CO为△ABC中∠ABC、∠ACB外角的平分线， ∴∠2∠BCE，∠1∠DBC， ∵∠BCE＝∠A+∠ABC，∠DBC＝∠A+∠ACB， ∴∠2（∠A+∠ABC）、∠1（∠A+∠ACB）， 由三角形内角和定理得， ∠BOC＝180°﹣∠1﹣∠2 ＝180°[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）] ＝180°（∠A+180°） ＝90°∠A． 【点评】本题考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的定义，掌握三角形内角和定理以及三角形外角性质是解决问题的关键． 14．如图①所示，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则称BD、BE分别为∠ABC的“三分线”，其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”． （1）如图②，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝75°，若∠ABC的邻AB三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝　70　 °； （2）如图③，在△ABC中，BP是∠ABC的邻AB三分线，CP是∠ACB的邻AC三分线，若∠A＝45°，求∠BPC 的度数； （3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角（如图④），∠ABC的三分线与∠ACD的邻AC三分线交于点P，若∠A＝m°，∠ABC＝n°，直接写出∠BPC的度数． （用含m、n的代数式表示） 【分析】（1）求得∠ABD∠ABC＝25°，利用三角形外角的性质即可求得； （2）由题意可知∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB，然后利用三角形内角和定理求得即可； （3）分两种情况，利用三角形外角的性质即可求解． 【解答】解：（1）已知∠ABC＝75°， ∵BD是∠ABC的邻AB三分线， ∴∠ABD∠ABC＝25°， ∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∠A＝45°， ∴∠BDC＝45°+25°＝70°， 故答案为：70； （2）在△ABC中，根据三角形内角和定理， ∠ABC+∠ACB＝180°﹣45°＝135°， ∵BP是∠ABC的邻AB三分线，CP是∠ACB的邻AC三分线， ∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB（∠ABC+∠ACB）135°＝90°， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣90°＝90°， （3）∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠ACD＝∠A+∠ABC＝m°+n°， 由于CP是∠ACD的邻AC三分线，有两种情况： 情况一：当BP是邻AB三分线时， ∠PBC∠ABC， ∠PCD∠ACD， 根据三角形外角性质，∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC， 情况二：当BP是邻BC三分线时， ∠PBC∠ABC， ∠PCD∠ACD， 根据三角形外角性质， ∠BPC＝PCD﹣∠PCB， 综上，∠BPC的度数为或． 【点评】本题以角的“三分线”为背景，对三角形内角和定理以及外角性质进行了深度考查，题目设置由浅入深．熟练掌握三角形内角以及外角性质是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$