重难点培优03 列联表与独立分析（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优03 列联表与独立分析 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 用2×2列联表分析两分类变量间的关系（★★） 2 题型二 有关“相关与无关的检验”（★★★） 7 题型三 独立性检验的综合应用（★★★） 10 03 实战检测・分层突破验成效 12 检测Ⅰ组 重难知识巩固 12 检测Ⅱ组 创新能力提升 18 独立性检验 1.分类变量和列联表 （1）分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量． （2）列联表： ①定义：列出的两个分类变量的频数表称为列联表． ②2×2列联表． 一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表（称为2×2列联表）为 总计 总计 从列表中，依据与的值可直观得出结论：两个变量是否有关系． 2.等高条形图 （1）等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图表示列联表数据的频率特征． （2）观察等高条形图发现与相差很大，就判断两个分类变量之间有关系． 3.独立性检验 （1）定义：利用独立性假设、随机变量来确定是否有一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验． （2）公式：，其中为样本容量． （3）独立性检验的具体步骤如下： ①计算随机变量的观测值，查下表确定临界值： 0.5 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ②如果，就推断“与有关系”，这种推断犯错误的概率不超过；否则，就认为在犯错误的概率不超过的前提下不能推断“与有关系”． 4.应用独立性检验解决实际问题的大致步骤 (1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释； (2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较； (3)根据检验规则得出推断结论； (4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律． 题型一 用2×2列联表分析两分类变量间的关系 【技巧通法·提分快招】 一般步骤： (1)作2×2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别．计算时要准确无误． (2)利用2×2列联表分析两个分类变量间的关系时，首先要根据题中数据获得2×2列联表，然后根据频率特征，即将与 的值相比，直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，但方法较粗劣． 1．（2025·天津·三模）为加强素质教育，提升学生综合素养，某中学为学生提供了“科技”和“艺术”两门选修课.为了解选择“科技”或“艺术”是否与性别有关，现随机抽取了100人. (1)补全下面列联表： 性别 科技 艺术 共计 男生 40 50 女生 共计 30 (2)是否有95%的把握认为选择“科技”或“艺术”与性别有关？ 参考公式：，其中. 参考附表： 0.100 0.050 0.025 2.706 3.841 5.024 2．（2025·天津河东·模拟预测）晨跑是指在早晨以跑步为主的进行身体锻炼的一种运动方式．某机构采用有放回简单随机抽样的方法对某高中学生的运动爱好者进行问答调查．得到成对样本观测数据的分类统计结果，已知被调查的运动爱好者中男生有40人，其中不喜欢晨跑的男生有10人；被调查的运动爱好者中女生有60人，其中不喜欢晨跑的女生有30人． (1)填表：将所给数据进行整理，填到如下2×2列联表中 喜欢晨跑 不喜欢晨跑 合计 男生 10 40 女生 60 合计 100 (2)计算，并依据小概率值的独立性检验推断喜欢晨跑与性别有关？ (3)若从该校的运动爱好者中，采用分层随机抽样的方法随机抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取4人，设抽取的4人中男生的人数为X，求X的分布列和数学期望． 参考公式及数据： ，其中n=a+b+c+d． α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 3．（2025·天津西青·调研）社会生活日新月异，看纸质书的人越来越少，更多的年轻人(35岁以下)喜欢阅读电子书籍，他们认为电子书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者(35岁以上)更喜欢阅读纸质书、现在某书店随机抽取60名顾客进行调查，得到了如下列联表： 年轻人 年长者 总计 喜欢阅读电子书 6 30 喜欢阅读纸质书 18 总计 60 (1)请将上面列联表填写完整； (2)依据小概率值的独立性检验，分析上表中的抽样数据，能否据此推断喜欢阅读电子书与年龄有关联； (3)现从年长者中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽选2人，求抽到至少1人为喜欢阅读纸质书年长者的概率. 下表是x²独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式： ，其中. 4．（2025·天津西青·联考）随着电影《哪吒之魔童闹海》热映，其不仅标志着我国动漫电影的技术水平达到行业领先地位，进一步激发了观众的爱国情怀，更为国产动漫产业发展注入强劲动力．为探究观众对该电影的喜好是否与性别相关，某影院对200名观众（男女各100人）展开调查，结果显示喜欢该电影的观众共有140人，其中喜欢该电影的男生人数比女生少20人． (1)完成下面的2×2列联表； 喜欢 不喜欢 总计 男生 女生 总计 (2)根据小概率值的独立性检验，分析调查的数据，能否据此推断是否喜欢该电影与性别有关联？ 附：．临界值表如下： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 5．（2025·天津·模拟预测）“马街书会”是流行于河南省宝丰县的传统民俗活动，为国家级非物质文化遗产之一．每年农历正月十三来自省内外的说书艺人负鼓携琴，汇集于此，说书亮艺，河南坠子、道情、曲子、琴书等曲种应有尽有，规模壮观．为了解人们对该活动的喜爱程度，现随机抽取人进行调查统计，得到如下列联表： 不喜爱 喜爱 合计 男性 ________ 女性 ________ ________ 合计 ________ ________ 附：，其中． (1)完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与对该活动的喜爱程度有关联？ (2)为宣传曲艺文化知识，当地文化局在书会上组织了戏曲知识竞赛活动．活动规定从道备选题中随机抽取道题进行作答．假设在道备选题中，戏迷甲正确完成每道题的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响；戏迷乙只能正确完成其中的道题． ①求戏迷甲至少正确完成其中道题的概率； ②设随机变量表示戏迷乙正确完成题的个数，求的分布列及数学期望． 6．（2025·天津南开·联考）为了探究某次数学测试中成绩达到优秀等级是否与性别存在关联，小华进行了深入的调查，并绘制丁下侧所示的2×2列联表(个别数据暂用字母表示)： 数学成绩 性别 合计 男 女 优秀 27 70 非优秀 58 110 合计 180 临界值表如下： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 经计算得：，参照右上表，有如下结论：①，②；③可以在犯错误的概率不超过5%的前提下认为“数学达到优秀等级与性别有关”；④没有充分的证据显示“数学达到优秀等级与性别有关”，则以上结论中正确的为（    ） A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 7．（2025·天津滨海新·期末）某校团委对“喜欢吃水果和学生性别是否有关”进行了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的，男生喜欢吃水果的人数占被调查的男生人数的，女生喜欢吃水果的人数占被调查的女生人数的，若有的把握认为喜欢吃水果和学生性别有关，则被调查的男生至少有（    ）(参考数据：) A．30人 B．24人 C．18人 D．12人 8．（2025·天津·调研）目前中国的新能源汽车技术日新月异，老百姓购买时参考的参数有所不同，一部分人更看重汽车动力、扭矩、悬挂、底盘等技术参数，可以称为“技术流”；另一部分人更看重电池续航、内饰材料、智能化程度等，可以称为“体验流”．现随机抽取100名车主，针对他们对汽车的偏好进行问卷调查，得到下表： 性别 对汽车的偏好 体验流 技术流 总计 男 30 50 女 40 总计 100 小组成员甲用该列联表中的数据进行独立性检验，小组成员乙将该列联表中的所有数据都缩小为原来的后再进行独立性检验，则下列说法正确的是（    ） A．若在样本中的女性中按分层随机抽样的方法再抽取10人，则应从“体验流”中抽取6人 B．小组成员甲认为对汽车的偏好与性别无关 C．小组成员甲、乙计算出的值相同，他们得出的结论也相同 D．小组成员甲、乙计算出的值不同，他们得出的结论也不同 题型二 有关“相关与无关的检验” 【技巧通法·提分快招】 独立性检验的具体做法 ①根据实际问题的需要确定允许推断“两个分类变量有关系”犯错误的概率的上界α，然后查表确定临界值xα. ②利用公式χ2＝计算χ2. ③如果χ2＞xα，则“X与Y有关系”这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够的证据支持结论“X与Y有关系”． 1．（2026·天津·开学考试）根据分类变量与的观测数据，计算得到，依据小概率值（）的独立性检验，则（    ） A．变量与不独立 B．变量与独立 C．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1 D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1 2．（2025·天津·开学考试）某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如下表： 性别 作业量 大 不大 总计 男 18 9 27 女 8 15 23 总计 26 24 50 则推断“学生的性别与认为作业量大有关”的把握为（    ） 附表： A． B． C． D． 3．（2025·天津西青·期末）某医疗研究所为了检验某种血清能起到预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，利用列联表计算得的观测值. 附表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 则作出“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过（    ） A． B． C． D． 4．（2025·天津河西·二模）为了研究高中学生中性别与对乡村音乐态度（喜欢和不喜欢两种态度）的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，得到的结论是有99%的把握认为性别与喜欢乡村音乐有关系，则的值可以为（    ） A．2.853 B．3.841 C．6.758 D．6.451 5．（2025·天津·期末）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有（    ） 参考数据及公式如下：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 A．12人 B．11人 C．10人 D．18人 6．（2025·天津武清·联考）每年的毕业季都是高校毕业生求职和公司招聘最忙碌的时候，甲和乙两家公司今年分别提供了2个和3个不同的职位，一共收到了100份简历，具体数据如下表． 公司 求职者（专业/性别） 文史/男 文史/女 理工/男 理工/女 甲 10 10 20 10 乙 15 20 10 5 0.400 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0.708 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 分析毕业生的选择意愿与性别的关联知，对应的的观测值；分析毕业生的选择意愿与专业的关联知，的观测值．则下列说法中正确的是（    ）． A．有99.9%的把握认为毕业生的选择意愿与专业相关联 B．毕业生在选择甲、乙公司时，选择意愿与专业的关联性比与性别的关联性更大 C．理工专业的毕业生更倾向于选择乙公司 D．女性毕业生更倾向于选择甲公司 7．（2025·天津滨海新·联考）为了解是否喜欢羽毛球运动与性别的关系，某数学兴趣小组经统计得到如下数据，若要使是否喜欢羽毛球运动与性别无关的可能性最大，则（    ） 性别 羽毛球 喜欢 不喜欢 女生 男生 50 100 附：，其中． A．4 B．2 C．1 D． 8．（2025·天津·调研）为了解喜爱钓鱼是否与性别有关，某同学随机在人群中抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性人数的2倍，男性喜爱钓鱼的人数占男性人数的，女性喜爱钓鱼的人数占女性人数的，若有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关，则被调查的男性至少有（    ）（参考数据：） A．8人 B．10人 C．15人 D．20人 题型三 独立性检验的综合应用 【技巧通法·提分快招】 (1)解答此类题目的关键在于正确利用χ2＝计算χ2的值，再用它与临界值xα的大小作比较来判断假设检验是否成立，从而使问题得到解决． (2)此类题目规律性强，解题比较格式化，填表计算分析比较即可，要熟悉其计算流程，不难理解掌握． 1．（2025·天津滨海新·调研）在性别与吃零食这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（    ） ①若的观测值为，我们有的把握认为吃零食与性别有关系，那么在100个吃零食的人中必有99人是女性； ②从独立性检验可知有的把握认为吃零食与性别有关系时，我们说某人吃零食，那么此人是女性的可能性为； ③若从统计量中求出有的把握认为吃零食与性别有关系，是指有的可能性使得出的判断出现错误. A．①② B．①③ C．②③ D．③ 2．（2025·天津·模拟预测）下列说法中，正确的是（ ） A．经验回归直线是由成对样本数据中的两点确定的 B．如果两个变量的相关程度越强，则相关系数越接近于1 C．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5% 3．（2025·天津西青·二模）调查某医院一段时间内婴儿出生的时间（白天与晚上）和性别（男与女）的关联性，对样本数据分析统计，计算得到，依据小概率值的独立性检验，下列说法正确的是（    ）（附：） A．婴儿90%在白天出生 B．婴儿性别与出生时间无关联 C．有0.1的把握认为婴儿性别与出生时间有关联 D．婴儿性别与出生时间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1 4．（2025·天津河西·三模）已知某校为提高学生课外锻炼的积极性，开展了丰富的课外活动，为了解学生对开展的课外活动的满意程度，该校随机抽取了350人进行调查，整理得到如下列联表，则认为该校学生对课外活动的满意情况与性别有关联的把握为（    ） 性别 满意情况 满意 不满意 总计 男 150 100 250 女 50 50 100 总计 200 150 350 A．5% B．90% C．95% D．99% 5．（2025·天津·一模）为了考察某种营养液对有机蔬菜的增产效果，某研究所进行试验，获得数据，经过计算得到，其中，那么可以认为该营养液对有机蔬菜的增产有效果的把握为（    ） A．以上 B．以上 C．以上 D．以下 6．（2025·天津武清·联考）为考察药物A对预防疾病B的效果，在两个不同规模的动物种群中分别进行了试验，根据种群一的试验结果得到如下列联表： 药物A 疾病B 合计 未患病 患病 未服用 28 22 50 服用 34 16 50 合计 62 38 100 计算得到．假设种群二试验结果对应的列联表中，每个单元格的数据都为上表对应单元格数据的5倍，则根据小概率值的独立性检验，（    ） 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 A．当时，种群一中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过5% B．当时，种群一中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过10% C．当时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过1% D．当时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过0.5% 7．（2025·天津滨海新·联考）利用独立性检验的方法调查某校高中生的性别与爱好数学是否相关，通过随机调查3000名高中生，并利用列联表，计算可得，参照临界值表：下列叙述正确的是（ ） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A．某学生是该校女生，那么她有的可能爱好数学 B．某学生是该校男生，那么他有的可能爱好数学 C．在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别无关” D．在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别有关” 8．（2025·天津·模拟预测）某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20，则下列结论正确的是（   ） 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：，其中． A．依据小概率值的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 B．依据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 C．根据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 D．是否接受去外地长时间出差与性别无关 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·天津·二模）已知某社区有200人计划暑假去云南或河南旅游，他们每人从云南与河南中选择一个省份去旅游，将这200人分为东、西两小组，经过统计得到如下列联表： 去云南旅游 去河南旅游 合计 东小组 60 40 100 西小组 70 30 100 合计 130 70 200 由表中数据可知，这200人选择去云南旅游的频率为 （用百分数表示）， （填入“有”或“没有”）的把握认为游客的选择与所在的小组有关. 参考公式：. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 2．（2025·天津和平·二模）某单位为了调查性别与对工作的满意程度是否具有相关性，随机抽取了若干名员工，所得数据统计如下表所示，其中，且，若有的把握可以认为性别与对工作的满意程度具有相关性，则x的值可以是 ．（横线上给出一个满足条件的x的值即可） 对工作满意 对工作不满意 男 5x 5x 女 4x 6x 附：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 3．（2025·天津河东·二模）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若有95%的把握认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有 人. 参考数据及公式如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 4．（2024·天津·模拟预测）某校团委对“学生性别和喜欢网络游戏是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢网络游戏的人数占男生人数的，女生喜欢网络游戏的人数占女生人数的.若根据独立性检验认为喜欢网络游戏和性别有关，且此推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05，则被调查的学生中男生可能有 人.（请将所有可能的结果都填在横线上） 附表：，其中. 0.050 0.010 3.841 6.635 5．（2024·天津河东·一模）为了调查高中学生参加课外兴趣活动选篮球和舞蹈是否与性别有关，现随机调查了30名学生，得到如下图列联表： 篮球 舞蹈 合计 男 13 7 20 女 2 8 10 合计 15 15 30 根据表中的数据，及观测值(其中)的参考数据： 0.05 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635 则在犯错误的概率不超过 前提下，认为选择舞蹈与性别有关． 6．（2025·全国·模拟预测）2020年12月31日，国务院联防联控机制发布，国药集团中国生物的新型冠状病毒灭活疫苗已获国家药监局批准附条件上市．在新型冠状病毒疫苗研发过程中，需要利用基因编辑小鼠进行动物实验．现随机抽取100只基因编辑小鼠对某种新型冠状病毒疫苗进行实验，得到如下2×2列联表（部分数据缺失）： 被新型冠状病毒感染 未被新型冠状病毒感染 合计 注射疫苗 10 50 未注射疫苗 30 50 合计 30 100 计算可知，在犯错误的概率最多不超过 的前提下，可认为“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防新型冠状病毒感染的效果”． 参考公式：，． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.481 5.024 6.635 7.879 10.828 7．（2025·天津河西·模拟预测）某驾驶员培训学校为对比了解“科目二”的培训过程采用大密度集中培训与周末分散培训两种方式的效果，调查了105名学员，统计结果为：接受大密度集中培训的55个学员中有45名学员一次考试通过，接受周末分散培训的学员一次考试通过的有30个．根据统计结果，认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过 ． 附： 0.05 0.025 0.010 0.001 3.841 5.024 6.635 10.828 8．（2025·天津北辰·三模）在独立性检验中，统计量K2有两个临界值：3.841和6.635.当K2＞3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当K2＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，当K2≤3.841时，认为两个事件无关.在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了2000人，经计算K2＝20.87.根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病之间是 的(有关、无关). 9．（2025·天津·三模）某公司对100名员工进行了工作量的调查，数据如表： 认为工作量大 认为工作量不大 合计 男士 40 20 60 女士 20 20 40 合计 60 40 100 若推断“员工的性别与认为工作量大有关”，则这种推断犯错误的概率不超过（    ） 附： 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A．0.1 B．0.05 C．0.025 D．0.01 10．（2025·天津·二模）某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20.下列结论正确的是（    ） 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：，其中. A．依据小概率值的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 B．依据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 C．有的把握认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 D．是否接受去外地长时间出差与性别无关 11．（2025·天津·二模）某实验中学为调查本校高三学生的学习成绩是否与坚持体育锻炼有关，随机选取了高三300名学生的某次联考成绩进行统计，得到如下表格： 分数 锻炼 合计 坚持锻炼 不坚持锻炼 分数 100 80 180 分数<600 50 70 120 合计 150 150 300 依据小概率值的独立性检验，可以认为高三学生的学习成绩与坚持进行体育锻炼有关，则m的值可能是（   ） 附：，． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．0.001 B．0.005 C．0.01 D．0.05 12．（2024·天津·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．一组数据的标准差为0，则这组数据中的数均相等. B．两组数据的标准差相等，则这两组数据的平均数相等. C．若两个变量的相关系数越接近于0，则这两个变量的相关性越强. D．已知变量，由它们的样本数据计算得到的观测值，则在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为变量没有关系. 的部分临界值如表： 0.1 0.05 0.025 0.01 2.706 3.841 5.024 6.635 13．（2025·天津·模拟预测）在研究“温度是否影响庄稼生长”时，对实验数据利用2×2列联表进行独立性检验，计算得实验数据的统计量的值为.已知，则（    ） A．的值小于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长” B．的值大于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长” C．的值越大，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越小 D．的值越小，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越大 14．（2024·天津·模拟预测）为了检测某种新药的效果，现随机抽取100只小白鼠进行试验，得到如下列联表： 未治愈 治愈 合计 服用药物 10 40 50 未服用药物 20 30 50 合计 30 70 100 则下列说法一定正确的是（    ） 附：（其中）. 临界值表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关” B．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药无关” C．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关” D．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药无关” 15．（2025·天津·开学考试）下列说法错误的是（    ） A．某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200 B．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10 C．在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2024·天津·一模）下列说法正确的是（    ） A．一组数据的第80百分位数为17； B．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05； C．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0； D．若随机变量满足，则． 2．通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到如下列联表： 跳绳 性别 合计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计 60 50 110 已知，，根据小概率值的独立性检验，以下结论正确的为（    ） A．爱好跳绳与性别有关 B．爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C．爱好跳绳与性别无关 D．爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 3．（2025·天津·模拟预测）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力．有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件“学生报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，． 性别活动 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 报名参加答题活动 合计 100 (1)根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？ (2)网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定：每轮均设置道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第m道题答完，本轮答题结束．已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为． ①当时，求甲在一轮答题过程中答题数量的数学期望； ②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分．记甲答题累计得分为n的概率为，求． 参考公式与数据：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 4．（2025·天津·模拟预测）2025年4月24日是第十个中国航天日. 十年来，中国航天事业蒸蒸日上，中国人在太空的印记不断被刷新. 某校部分学生十分关注中国航天的发展，若将累计关注中国航天发展的消息达到次及以上者称为“航天达人”，未达到次者称为“非航天达人”. 现从该校随机抽取人进行分析，得到数据如表所示： 性别 是否航天达人 合计 航天达人 非航天达人 男 女 合计 (1)补全列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为“航天达人”与性别有关联? (2)现从抽取的“航天达人”中，按性别采用分层抽样的方法抽取人，然后从这人中随机抽取人，记这人中女“航天达人”的人数为，求的分布列和数学期望； (3)为进一步提高学生对航天事业的关注度，该学校组织了“航天知识竞赛”活动，竞赛共设置道题目， 其中道题目是小明能答对的， 规定每位参赛者从道题中随机抽取道作答，则要使小明恰好答对道题目的概率最大，那么取多少？ 附： 5．（2025·天津·模拟预测）某校开设劳动教育课程，共设置了两类课程：家政和园艺，共有400名学生参加.学校对选择了这两类课程的学生人数的分布进行了统计，相关数据记录在如下表格中，但其中有缺失.已知男生中选择家政课的比例为. 课程 性别 合计 男 女 家政 160 园艺 120 合计 400 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为学生选择不同劳动教育课程与性别有关联？ (2)学校对某一课程中教授同一知识点教师的教授时长与学生任务完成率进行了跟进，授课时长（分钟）和学生任务完成率的对应数据如下： 时长 20 24 28 32 36 40 完成率 50 70 60 66 72 84 在任务完成率不全相等的条件下，学校为了调研是否存在学生任务完成率与平均完成率偏差过大的情况，需计算偏差系数，现给出以下两种数据处理方式： 甲：，乙：，已知偏差系数越大的处理方式，对于数据中大偏差数据的存在体现得越明显. ①用两种处理方式分别计算学生任务完成率的偏差系数，并指出哪一种数据处理方式对大偏差数据的存在体现更明显； ②判断此后学校每次调研均采用①中对大偏差数据的存在体现更明显的数据处理方式是否合理，并证明你的判断. 附：. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 6．（2025·天津·三模）“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你!我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧！”DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手"，AI大模型正在改变着我们的工作和生活.为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ (2)某校组织“AI模型”知识竞赛，分成了甲、乙、丙三组进行挑战赛，其规则如下：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，且被挑战方拥有下一次的挑战权，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为，若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为，；若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为，.已知按此规则进行了多次挑战. ①前3次挑战后，求乙组拥有挑战权的次数的分布列与数学期望； ②定义：已知数列，若对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，（是一个确定的实数），则称数列为“收敛数列”.经过次挑战后，挑战权在甲组的概率为，求证：数列为“收敛数列”. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 7．（2025·天津·二模）“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式.为了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 单位：人 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ (2)某公司组织“AI模型”知识应用竞赛，将参与活动的员工分成了、、三组进行，其规则：竞赛发起权在哪一组，该组都可向另外两组发起竞赛，则下一次竞赛发起权移交给被挑战的那组.首先由组先发起竞赛，组挑战组、组的概率均为，若组挑战组，则下次竞赛发起权在组，若组挑战组，则下次竞赛发起权在组；若竞赛发起权在组，则挑战组、组的概率分别为和；若竞赛发起权在组，则挑战组、组的概率分别为和. ①经过3次挑战赛后，求竞赛发起权在组的次数的分布列与数学期望； ②定义：已知数列，若对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，（是一个确定的实数），则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点.经过次竞赛后，竞赛发起权在组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点的值. 附：，. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优03 列联表与独立分析 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 用2×2列联表分析两分类变量间的关系（★★） 2 题型二 有关“相关与无关的检验”（★★★） 12 题型三 独立性检验的综合应用（★★★） 17 03 实战检测・分层突破验成效 22 检测Ⅰ组 重难知识巩固 22 检测Ⅱ组 创新能力提升 32 独立性检验 1.分类变量和列联表 （1）分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量． （2）列联表： ①定义：列出的两个分类变量的频数表称为列联表． ②2×2列联表． 一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表（称为2×2列联表）为 总计 总计 从列表中，依据与的值可直观得出结论：两个变量是否有关系． 2.等高条形图 （1）等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图表示列联表数据的频率特征． （2）观察等高条形图发现与相差很大，就判断两个分类变量之间有关系． 3.独立性检验 （1）定义：利用独立性假设、随机变量来确定是否有一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验． （2）公式：，其中为样本容量． （3）独立性检验的具体步骤如下： ①计算随机变量的观测值，查下表确定临界值： 0.5 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ②如果，就推断“与有关系”，这种推断犯错误的概率不超过；否则，就认为在犯错误的概率不超过的前提下不能推断“与有关系”． 4.应用独立性检验解决实际问题的大致步骤 (1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释； (2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较； (3)根据检验规则得出推断结论； (4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律． 题型一 用2×2列联表分析两分类变量间的关系 【技巧通法·提分快招】 一般步骤： (1)作2×2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别．计算时要准确无误． (2)利用2×2列联表分析两个分类变量间的关系时，首先要根据题中数据获得2×2列联表，然后根据频率特征，即将与 的值相比，直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，但方法较粗劣． 1．（2025·天津·三模）为加强素质教育，提升学生综合素养，某中学为学生提供了“科技”和“艺术”两门选修课.为了解选择“科技”或“艺术”是否与性别有关，现随机抽取了100人. (1)补全下面列联表： 性别 科技 艺术 共计 男生 40 50 女生 共计 30 (2)是否有95%的把握认为选择“科技”或“艺术”与性别有关？ 参考公式：，其中. 参考附表： 0.100 0.050 0.025 2.706 3.841 5.024 【答案】(1)列联表见解析； (2)有95%的把握认为选择“科技”或“艺术”与性别有关. 【分析】（1）根据题意与表中数据即可完成列联表； （2）根据公式求出，再对照临界值表，即可得出结论. 【详解】（1）补全列联表如下， 性别 科技 艺术 共计 男生 40 10 50 女生 30 20 50 共计 70 30 100 （2）根据列联表数据，得 ， 所以有的把握认为选择“科技”或“艺术”与性别有关. 2．（2025·天津河东·模拟预测）晨跑是指在早晨以跑步为主的进行身体锻炼的一种运动方式．某机构采用有放回简单随机抽样的方法对某高中学生的运动爱好者进行问答调查．得到成对样本观测数据的分类统计结果，已知被调查的运动爱好者中男生有40人，其中不喜欢晨跑的男生有10人；被调查的运动爱好者中女生有60人，其中不喜欢晨跑的女生有30人． (1)填表：将所给数据进行整理，填到如下2×2列联表中 喜欢晨跑 不喜欢晨跑 合计 男生 10 40 女生 60 合计 100 (2)计算，并依据小概率值的独立性检验推断喜欢晨跑与性别有关？ (3)若从该校的运动爱好者中，采用分层随机抽样的方法随机抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取4人，设抽取的4人中男生的人数为X，求X的分布列和数学期望． 参考公式及数据： ，其中n=a+b+c+d． α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)联表见解析；(2)喜欢晨跑与性别无关；(3)分布列见解析，. 【分析】（1）先根据条件概率求得人数完善列联表； （2）再代入公式求出，将该值与临界值比较即可求解； （3）先根据分层抽样确定抽取的男生人数和女生人数，再写出的所有可能取值并计算相应的概率，列出分布列并根据数学期望公式可得出答案. 【详解】（1）填列联表为： 喜欢晨跑 不喜欢晨跑 合计 男生 30 10 40 女生 30 30 60 合计 60 40 100 （2）， 因此，依据小概率值的独立性检验推断喜欢晨跑与性别无关； （3）由（1）知，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生， 其中男生人数为，女生人数为． 随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4. ， . 故随机变量的分布列如下： 0 1 2 3 4 则. 3．（2025·天津西青·调研）社会生活日新月异，看纸质书的人越来越少，更多的年轻人(35岁以下)喜欢阅读电子书籍，他们认为电子书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者(35岁以上)更喜欢阅读纸质书、现在某书店随机抽取60名顾客进行调查，得到了如下列联表： 年轻人 年长者 总计 喜欢阅读电子书 6 30 喜欢阅读纸质书 18 总计 60 (1)请将上面列联表填写完整； (2)依据小概率值的独立性检验，分析上表中的抽样数据，能否据此推断喜欢阅读电子书与年龄有关联； (3)现从年长者中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽选2人，求抽到至少1人为喜欢阅读纸质书年长者的概率. 下表是x²独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式： ，其中. 【答案】(1)列联表见详解 (2)喜欢阅读电子书与年龄有关联 (3) 【分析】（1）根据题意结合表中数据完善列联表； （2）零假设：喜欢阅读电子书与年龄无关，求，并与临界值比较大小，结合独立性检验思想分析判断； （3）根据分层抽样求各层人数，结合对立事件概率公式运算求解. 【详解】（1）由题意可得列联表如下表所示： 年轻人 年长者 总计 喜欢阅读电子书 24 6 30 喜欢阅读纸质书 18 12 30 总计 42 18 60 （2）零假设：喜欢阅读电子书与年龄无关， 因为， 依据小概率值的独立性检验可知零假设不成立， 所以可以推断喜欢阅读电子书与年龄有关联，且犯错的概率不超过. （3）因为抽取的喜欢阅读电子书人数为；抽取的喜欢阅读纸质书人数为； 记“抽到至少1人为喜欢阅读纸质书年长者”为事件A， 所以. 4．（2025·天津西青·联考）随着电影《哪吒之魔童闹海》热映，其不仅标志着我国动漫电影的技术水平达到行业领先地位，进一步激发了观众的爱国情怀，更为国产动漫产业发展注入强劲动力．为探究观众对该电影的喜好是否与性别相关，某影院对200名观众（男女各100人）展开调查，结果显示喜欢该电影的观众共有140人，其中喜欢该电影的男生人数比女生少20人． (1)完成下面的2×2列联表； 喜欢 不喜欢 总计 男生 女生 总计 (2)根据小概率值的独立性检验，分析调查的数据，能否据此推断是否喜欢该电影与性别有关联？ 附：．临界值表如下： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) 喜欢 不喜欢 总计 男生 60 40 100 女生 80 20 100 总计 140 60 200 (2)是否喜欢该电影与性别有关联 【分析】（1）根据题目信息，完成表格即可； （2）根据表格数据，和公式，求出的值，推断是否有关联即可. 【详解】（1） 喜欢 不喜欢 总计 男生 60 40 100 女生 80 20 100 总计 140 60 200 （2）将表格数据代入公式，可得. 由小概率值的独立性检验可知，是否喜欢该电影与性别有关联； 5．（2025·天津·模拟预测）“马街书会”是流行于河南省宝丰县的传统民俗活动，为国家级非物质文化遗产之一．每年农历正月十三来自省内外的说书艺人负鼓携琴，汇集于此，说书亮艺，河南坠子、道情、曲子、琴书等曲种应有尽有，规模壮观．为了解人们对该活动的喜爱程度，现随机抽取人进行调查统计，得到如下列联表： 不喜爱 喜爱 合计 男性 ________ 女性 ________ ________ 合计 ________ ________ 附：，其中． (1)完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与对该活动的喜爱程度有关联？ (2)为宣传曲艺文化知识，当地文化局在书会上组织了戏曲知识竞赛活动．活动规定从道备选题中随机抽取道题进行作答．假设在道备选题中，戏迷甲正确完成每道题的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响；戏迷乙只能正确完成其中的道题． ①求戏迷甲至少正确完成其中道题的概率； ②设随机变量表示戏迷乙正确完成题的个数，求的分布列及数学期望． 【答案】(1)无关，理由见解析 (2)①；②分布列答案见解析，. 【分析】（1）补全列联表，提出零假设性别与对该活动的喜爱程度没有关联，计算出的观测值，结合零界值表可得出结论； （2）①利用独立重复试验的概率公式可求出所求事件的概率； ②分析可知，随机变量的可能取值有、、、，利用超几何分布可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【详解】（1）补全的列联表如下： 不喜爱 喜爱 合计 男性 女性 合计 提出零假设性别与对该活动的喜爱程度没有关联， 根据表中数据，计算得到， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此我们可以认为成立，即认为对该场活动的喜爱程度与性别无关． （2）①由题意可知，戏迷甲至少正确完成其中道题的概率为； ②由题意可知，随机变量的可能取值有、、、， 则，，， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 因此. 6．（2025·天津南开·联考）为了探究某次数学测试中成绩达到优秀等级是否与性别存在关联，小华进行了深入的调查，并绘制丁下侧所示的2×2列联表(个别数据暂用字母表示)： 数学成绩 性别 合计 男 女 优秀 27 70 非优秀 58 110 合计 180 临界值表如下： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 经计算得：，参照右上表，有如下结论：①，②；③可以在犯错误的概率不超过5%的前提下认为“数学达到优秀等级与性别有关”；④没有充分的证据显示“数学达到优秀等级与性别有关”，则以上结论中正确的为（    ） A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】利用列联表中数据计算出的值，结合和卡方的临界值表可判断③④. 【详解】由列联表可知，所以：，①正确. 又因为，，所以，②正确. 因为，所以没有充分的证据显示“数学达到优秀等级与性别有关，故③错误，④正确. 故选：B 7．（2025·天津滨海新·期末）某校团委对“喜欢吃水果和学生性别是否有关”进行了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的，男生喜欢吃水果的人数占被调查的男生人数的，女生喜欢吃水果的人数占被调查的女生人数的，若有的把握认为喜欢吃水果和学生性别有关，则被调查的男生至少有（    ）(参考数据：) A．30人 B．24人 C．18人 D．12人 【答案】C 【分析】设被调查的男生人数为，根据题意可得列联表，由卡方的计算公式以及独立性检验的原理可得，运算求解即可. 【详解】设被调查的男生人数为，则被调查的女生人数为，得到列联表如下： 学生性别 喜欢吃水果情况 喜欢 不喜欢 总计 男生 女生 总计 则，解得， 又因为男、女生人数均为整数，所以被调查的男生至少有18人． 故选：C 8．（2025·天津·调研）目前中国的新能源汽车技术日新月异，老百姓购买时参考的参数有所不同，一部分人更看重汽车动力、扭矩、悬挂、底盘等技术参数，可以称为“技术流”；另一部分人更看重电池续航、内饰材料、智能化程度等，可以称为“体验流”．现随机抽取100名车主，针对他们对汽车的偏好进行问卷调查，得到下表： 性别 对汽车的偏好 体验流 技术流 总计 男 30 50 女 40 总计 100 小组成员甲用该列联表中的数据进行独立性检验，小组成员乙将该列联表中的所有数据都缩小为原来的后再进行独立性检验，则下列说法正确的是（    ） A．若在样本中的女性中按分层随机抽样的方法再抽取10人，则应从“体验流”中抽取6人 B．小组成员甲认为对汽车的偏好与性别无关 C．小组成员甲、乙计算出的值相同，他们得出的结论也相同 D．小组成员甲、乙计算出的值不同，他们得出的结论也不同 【答案】D 【分析】对于A，由题可完善列联表，据此可判断选项正误；对于BCD，由题意及独立性检验知识可判断选项正误. 【详解】对于A，由题意，补充完整的列联表如下： 性别 对汽车的偏好 体验流 技术流 总计 男 20 30 50 女 40 10 50 总计 60 40 100 则在样本中的女性中，按分层随机抽样的方法再抽取10人，应从“体验流”中抽取（人）．故A错误； 对于BCD，对于成员甲有， 故小组成员甲有99%的把握认为对汽车的偏好与性别有关； 对于成员乙有， 故小组成员乙认为对汽车的偏好与性别无关． 综上，小组成员甲、乙计算出的值不同，他们得出的结论也不同．故B错误，C错误，D正确. 故选：D 题型二 有关“相关与无关的检验” 【技巧通法·提分快招】 独立性检验的具体做法 ①根据实际问题的需要确定允许推断“两个分类变量有关系”犯错误的概率的上界α，然后查表确定临界值xα. ②利用公式χ2＝计算χ2. ③如果χ2＞xα，则“X与Y有关系”这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够的证据支持结论“X与Y有关系”． 1．（2026·天津·开学考试）根据分类变量与的观测数据，计算得到，依据小概率值（）的独立性检验，则（    ） A．变量与不独立 B．变量与独立 C．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1 D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1 【答案】B 【分析】根据独立性检验的概念可得正确的选项. 【详解】因为，所以在显著性水平下， 没有充分证据拒绝原假设，因此我们认为变量与是独立的， 故选：B 2．（2025·天津·开学考试）某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如下表： 性别 作业量 大 不大 总计 男 18 9 27 女 8 15 23 总计 26 24 50 则推断“学生的性别与认为作业量大有关”的把握为（    ） 附表： A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由独立性检验知识可判断选项正误. 【详解】由独立性检验公式得， 所以推断“学生的性别与认为作业量大有关”的把握为． 故选：A 3．（2025·天津西青·期末）某医疗研究所为了检验某种血清能起到预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，利用列联表计算得的观测值. 附表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 则作出“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由独立性检验的原理的理解辨析可判断. 【详解】由题意知观测值，所以对照题中的附表可作出“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过的结论. 故选：B 4．（2025·天津河西·二模）为了研究高中学生中性别与对乡村音乐态度（喜欢和不喜欢两种态度）的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，得到的结论是有99%的把握认为性别与喜欢乡村音乐有关系，则的值可以为（    ） A．2.853 B．3.841 C．6.758 D．6.451 【答案】C 【分析】由题意，对比选项即可得解. 【详解】有的把握认为性别与喜欢乡村音乐有关系，则． 故选：C． 5．（2025·天津·期末）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有（    ） 参考数据及公式如下：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 A．12人 B．11人 C．10人 D．18人 【答案】A 【分析】设男生人数为，根据独立性检验的原理，列出不等式，求出x的范围，结合题意确定其值，即可求得答案. 【详解】设男生人数为，则女生人数为,依题意可得列联表如下： 性别 追星 合计 喜欢追星 不喜欢追星 男生 女生 合计 若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则， 由，解得， 因为，为整数，所以若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关， 则x至少为12，即男生至少有12人. 故选：A. 6．（2025·天津武清·联考）每年的毕业季都是高校毕业生求职和公司招聘最忙碌的时候，甲和乙两家公司今年分别提供了2个和3个不同的职位，一共收到了100份简历，具体数据如下表． 公司 求职者（专业/性别） 文史/男 文史/女 理工/男 理工/女 甲 10 10 20 10 乙 15 20 10 5 0.400 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0.708 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 分析毕业生的选择意愿与性别的关联知，对应的的观测值；分析毕业生的选择意愿与专业的关联知，的观测值．则下列说法中正确的是（    ）． A．有99.9%的把握认为毕业生的选择意愿与专业相关联 B．毕业生在选择甲、乙公司时，选择意愿与专业的关联性比与性别的关联性更大 C．理工专业的毕业生更倾向于选择乙公司 D．女性毕业生更倾向于选择甲公司 【答案】B 【分析】对于A，通过比较进行判断，对于B，通过比较，进行判断，对于CD，根据表中数据分析判断. 【详解】对于A，与专业关联的的观测值，明显大干7.879，小于10.828， 所以有99.5%的把握认为毕业生的选择意愿与专业相关联，故A不正确． 对于B，因为，故B正确． 对于CD，根据表中数据可知，理工专业的毕业生更倾向于选择甲公司，女性毕业生更倾向于选择乙公司，故C，D均不正确， 故选：B． 7．（2025·天津滨海新·联考）为了解是否喜欢羽毛球运动与性别的关系，某数学兴趣小组经统计得到如下数据，若要使是否喜欢羽毛球运动与性别无关的可能性最大，则（    ） 性别 羽毛球 喜欢 不喜欢 女生 男生 50 100 附：，其中． A．4 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】结合，只需，即可求得答案. 【详解】要使是否喜欢羽毛球运动与性别无关的可能性最大，则，所以， 所以． 故选：D 8．（2025·天津·调研）为了解喜爱钓鱼是否与性别有关，某同学随机在人群中抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性人数的2倍，男性喜爱钓鱼的人数占男性人数的，女性喜爱钓鱼的人数占女性人数的，若有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关，则被调查的男性至少有（    ）（参考数据：） A．8人 B．10人 C．15人 D．20人 【答案】B 【分析】设被调查的男性有人，由题可得列联表，由卡方计算公式可得，然后结合选项及可被10整除可得答案. 【详解】设被调查的男性有人，则女性有人，根据题意，可得列联表如下： 钓鱼 性别 男性 女性 总计 喜欢钓鱼 不喜欢钓鱼 总计 则，本次调查得出“有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关”的结论，可得，解得， 又因为列联表中相关人数需为整数，则，， 所以结合选项，被调查的男性至少有10人． 故选：B 题型三 独立性检验的综合应用 【技巧通法·提分快招】 (1)解答此类题目的关键在于正确利用χ2＝计算χ2的值，再用它与临界值xα的大小作比较来判断假设检验是否成立，从而使问题得到解决． (2)此类题目规律性强，解题比较格式化，填表计算分析比较即可，要熟悉其计算流程，不难理解掌握． 1．（2025·天津滨海新·调研）在性别与吃零食这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（    ） ①若的观测值为，我们有的把握认为吃零食与性别有关系，那么在100个吃零食的人中必有99人是女性； ②从独立性检验可知有的把握认为吃零食与性别有关系时，我们说某人吃零食，那么此人是女性的可能性为； ③若从统计量中求出有的把握认为吃零食与性别有关系，是指有的可能性使得出的判断出现错误. A．①② B．①③ C．②③ D．③ 【答案】D 【分析】由独立性检验相关概念可得答案. 【详解】①若的观测值为，我们有的把握认为吃零食与性别有关系，那么在100个吃零食的人中必有99人是女性，故①不正确； ②独立性检验是用来考察两个分类变量是否具有关联性，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度， 而不是给出事件的概率，故②不正确； ③若从统计量中求出有的把握认为吃零食与性别有关系，是指有的可能性使得出的判断出现错误，③正确。 故选：D 2．（2025·天津·模拟预测）下列说法中，正确的是（ ） A．经验回归直线是由成对样本数据中的两点确定的 B．如果两个变量的相关程度越强，则相关系数越接近于1 C．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5% 【答案】C 【分析】根据回归方程、相关系数的意义、残差平方和、独立性检验的知识对选项逐一判断即可. 【详解】对于A，经验回归直线是通过最小二乘法，使所有样本点到直线的误差平方和最小来确定的， 并非由成对样本数据中的两点确定，所有A错误； 对于B，如果两个变量的相关程度越强，当是正相关时，相关系数越接近于1； 当是负相关时，相关系数越接近于，并非只接近1，所以B错误； 对于C，残差平方和是衡量回归模型拟合效果的一个重要指标，残差平方和越小， 说明模型对数据的拟合效果越好，所以C正确； 对于D，在独立性检验中，计算得到，而， 因为，所以不能推断出犯错误的概率不超过0.5%，所以D错误. 故选：C. 3．（2025·天津西青·二模）调查某医院一段时间内婴儿出生的时间（白天与晚上）和性别（男与女）的关联性，对样本数据分析统计，计算得到，依据小概率值的独立性检验，下列说法正确的是（    ）（附：） A．婴儿90%在白天出生 B．婴儿性别与出生时间无关联 C．有0.1的把握认为婴儿性别与出生时间有关联 D．婴儿性别与出生时间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1 【答案】D 【分析】求出并与比较即可求解. 【详解】因为， 依据小概率值的独立性检验， 所以婴儿性别与出生时间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1． 故选：D． 4．（2025·天津河西·三模）已知某校为提高学生课外锻炼的积极性，开展了丰富的课外活动，为了解学生对开展的课外活动的满意程度，该校随机抽取了350人进行调查，整理得到如下列联表，则认为该校学生对课外活动的满意情况与性别有关联的把握为（    ） 性别 满意情况 满意 不满意 总计 男 150 100 250 女 50 50 100 总计 200 150 350 A．5% B．90% C．95% D．99% 【答案】B 【分析】根据题表中数据，得到，根据检验得到结果 【详解】根据题表中数据，得到， 故有的把握认为该校学生对课外活动的满意情况与性别有关联． 故选：B 5．（2025·天津·一模）为了考察某种营养液对有机蔬菜的增产效果，某研究所进行试验，获得数据，经过计算得到，其中，那么可以认为该营养液对有机蔬菜的增产有效果的把握为（    ） A．以上 B．以上 C．以上 D．以下 【答案】B 【分析】根据独性检验的相关概念可得答案. 【详解】因为，所以认为该营养液对有机蔬菜的增产有效果的把握为以上． 故选：B. 6．（2025·天津武清·联考）为考察药物A对预防疾病B的效果，在两个不同规模的动物种群中分别进行了试验，根据种群一的试验结果得到如下列联表： 药物A 疾病B 合计 未患病 患病 未服用 28 22 50 服用 34 16 50 合计 62 38 100 计算得到．假设种群二试验结果对应的列联表中，每个单元格的数据都为上表对应单元格数据的5倍，则根据小概率值的独立性检验，（    ） 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 A．当时，种群一中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过5% B．当时，种群一中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过10% C．当时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过1% D．当时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过0.5% 【答案】C 【分析】设各项数据变为原来的5倍后，根据题意计算对应出的值，参考数据逐项分析即可得出答案. 【详解】对于A,B，因为， 所以当时，无法推断种群一中药物A对预防疾病B有效，故A,B错误； 对于C,由，将各项数据变为原来的5倍， 则， 所以当时，则种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过.故C正确； 对于D,因为， 所以当时，无法推断种群二中药物A对预防疾病B有效，故D错误. 故选：C. 7．（2025·天津滨海新·联考）利用独立性检验的方法调查某校高中生的性别与爱好数学是否相关，通过随机调查3000名高中生，并利用列联表，计算可得，参照临界值表：下列叙述正确的是（ ） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A．某学生是该校女生，那么她有的可能爱好数学 B．某学生是该校男生，那么他有的可能爱好数学 C．在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别无关” D．在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别有关” 【答案】D 【分析】根据与临界值比较即可得出答案. 【详解】因为， 所以在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别有关”， 故选：D. 8．（2025·天津·模拟预测）某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20，则下列结论正确的是（   ） 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：，其中． A．依据小概率值的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 B．依据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 C．根据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 D．是否接受去外地长时间出差与性别无关 【答案】B 【分析】求得卡方值，比对临界值，逐个判断即可. 【详解】由题意，列出列联表： 接受 不接受 合计 男 40 60 100 女 20 80 100 合计 60 140 200 零假设为：是否接受去外地长时间出差与性别相互独立，即是否接受去外地长时间出差与性别无关， 所以， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为是否接受去外地长时间出差与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005. 故选：B. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·天津·二模）已知某社区有200人计划暑假去云南或河南旅游，他们每人从云南与河南中选择一个省份去旅游，将这200人分为东、西两小组，经过统计得到如下列联表： 去云南旅游 去河南旅游 合计 东小组 60 40 100 西小组 70 30 100 合计 130 70 200 由表中数据可知，这200人选择去云南旅游的频率为 （用百分数表示）， （填入“有”或“没有”）的把握认为游客的选择与所在的小组有关. 参考公式：. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】 没有 【分析】由表中数据，利用古典概型，可得空1的答案；由表中数据，根据独立性检验的解题思想，可得空2的答案. 【详解】由表中数据可知，这200人选择去云南旅游的频率为. 因为， 所以没有的把握认为游客的选择与所在的小组有关. 故答案为：，没有. 2．（2025·天津和平·二模）某单位为了调查性别与对工作的满意程度是否具有相关性，随机抽取了若干名员工，所得数据统计如下表所示，其中，且，若有的把握可以认为性别与对工作的满意程度具有相关性，则x的值可以是 ．（横线上给出一个满足条件的x的值即可） 对工作满意 对工作不满意 男 5x 5x 女 4x 6x 附：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】14（答案不唯一） 【分析】根据卡方公式求出x的取值范围，再根据且，即可得解. 【详解】由题意得，故， 所以. 故答案为：14（答案不唯一）. 3．（2025·天津河东·二模）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若有95%的把握认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有 人. 参考数据及公式如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】12 【分析】设男生人数为，得到列联表，根据题意得到，列出不等式，求得的取值范围，结合，为整数，即可求解. 【详解】设男生人数为，依题 意可得列联表如下： 喜欢追星 不喜欢追星 总计 男生 女生 总计 若在犯错误的概率不超过95%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则， 由，解得，因为，为整数， 所以若在犯错误的概率不超过95%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关， 则男生至少有12人. 故答案为：. 4．（2024·天津·模拟预测）某校团委对“学生性别和喜欢网络游戏是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢网络游戏的人数占男生人数的，女生喜欢网络游戏的人数占女生人数的.若根据独立性检验认为喜欢网络游戏和性别有关，且此推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05，则被调查的学生中男生可能有 人.（请将所有可能的结果都填在横线上） 附表：，其中. 0.050 0.010 3.841 6.635 【答案】45，50，55，60，65 【分析】利用独立性检验表达列联表及观测值可解得答案. 【详解】设男生有x人，由题意可得列联表如下， 喜欢 不喜欢 合计 男生 x 女生 x 合计 若认为喜欢网络游戏和性别有关，且该推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05， 则. ∵， ∴，解得， 又x为5的整数倍，∴被调查的学生中男生可能人数为45，50，55，60，65. 故答案为：45，50，55，60，65. 5．（2024·天津河东·一模）为了调查高中学生参加课外兴趣活动选篮球和舞蹈是否与性别有关，现随机调查了30名学生，得到如下图列联表： 篮球 舞蹈 合计 男 13 7 20 女 2 8 10 合计 15 15 30 根据表中的数据，及观测值(其中)的参考数据： 0.05 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635 则在犯错误的概率不超过 前提下，认为选择舞蹈与性别有关． 【答案】0.025 【分析】由列联表中的数据，计算的值，对照表中的参考数据，比较即可得到答案． 【详解】由列联表中的数据可得， 所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为选择舞蹈与性别有关． 故答案为：0.025． 6．（2025·全国·模拟预测）2020年12月31日，国务院联防联控机制发布，国药集团中国生物的新型冠状病毒灭活疫苗已获国家药监局批准附条件上市．在新型冠状病毒疫苗研发过程中，需要利用基因编辑小鼠进行动物实验．现随机抽取100只基因编辑小鼠对某种新型冠状病毒疫苗进行实验，得到如下2×2列联表（部分数据缺失）： 被新型冠状病毒感染 未被新型冠状病毒感染 合计 注射疫苗 10 50 未注射疫苗 30 50 合计 30 100 计算可知，在犯错误的概率最多不超过 的前提下，可认为“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防新型冠状病毒感染的效果”． 参考公式：，． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.481 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】0.05/5％ 【分析】根据题中信息完善2×2列联表，然后结合表中数据计算出，对比临界值即可得出结论. 【详解】完善2×2列联表如下： 被新型冠状病毒感染 未被新型冠状病毒感染 合计 注射疫苗 10 40 50 未注射疫苗 20 30 50 合计 30 70 100 因为，所以在犯错误的概率最多不超过0.05的前提下，可认为“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防新型冠状病毒感染的效果”． 故答案为：0.05. 7．（2025·天津河西·模拟预测）某驾驶员培训学校为对比了解“科目二”的培训过程采用大密度集中培训与周末分散培训两种方式的效果，调查了105名学员，统计结果为：接受大密度集中培训的55个学员中有45名学员一次考试通过，接受周末分散培训的学员一次考试通过的有30个．根据统计结果，认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过 ． 附： 0.05 0.025 0.010 0.001 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】0.025 【分析】根据列联表计算，再根据临界值参考数据比较大小即可得出结论． 【详解】 集中培训 分散培训 合计 一次考过 45 30 75 一次未考过 10 20 30 合计 55 50 105 ， 故答案为：0.025． 8．（2025·天津北辰·三模）在独立性检验中，统计量K2有两个临界值：3.841和6.635.当K2＞3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当K2＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，当K2≤3.841时，认为两个事件无关.在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了2000人，经计算K2＝20.87.根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病之间是 的(有关、无关). 【答案】有关 【解析】根据K2的值与所给临界值表中数据进行比较，即可判断有关. 【详解】K2＝20.87＞6.635时，有99%的把握说明打鼾与患心脏病有关. 故答案为：有关 9．（2025·天津·三模）某公司对100名员工进行了工作量的调查，数据如表： 认为工作量大 认为工作量不大 合计 男士 40 20 60 女士 20 20 40 合计 60 40 100 若推断“员工的性别与认为工作量大有关”，则这种推断犯错误的概率不超过（    ） 附： 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A．0.1 B．0.05 C．0.025 D．0.01 【答案】A 【分析】首先根据列联表计算，再和参考数据比较，即可求解. 【详解】，因为， 所以这种推断犯错误的概率不超过. 故选：A. 10．（2025·天津·二模）某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20.下列结论正确的是（    ） 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：，其中. A．依据小概率值的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 B．依据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 C．有的把握认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 D．是否接受去外地长时间出差与性别无关 【答案】B 【分析】求得卡方值，比对临界值，逐个判断即可. 【详解】由题意，列出列联表： 接受 不接受 合计 男 40 60 100 女 20 80 100 合计 60 140 200 零假设为：是否接受去外地长时间出差与性别相互独立，即是否接受去外地长时间出差与性别无关， 所以， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为是否接受去外地长时间出差与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005. 故选：B. 11．（2025·天津·二模）某实验中学为调查本校高三学生的学习成绩是否与坚持体育锻炼有关，随机选取了高三300名学生的某次联考成绩进行统计，得到如下表格： 分数 锻炼 合计 坚持锻炼 不坚持锻炼 分数 100 80 180 分数<600 50 70 120 合计 150 150 300 依据小概率值的独立性检验，可以认为高三学生的学习成绩与坚持进行体育锻炼有关，则m的值可能是（   ） 附：，． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．0.001 B．0.005 C．0.01 D．0.05 【答案】D 【分析】先求出的值，结合独立性检验的结论求解即可. 【详解】由题意，， 结合表格数据及选项，可以认为高三学生的学习成绩与坚持进行体育锻炼有关， 则m的值可能是0.05. 故选：D. 12．（2024·天津·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．一组数据的标准差为0，则这组数据中的数均相等. B．两组数据的标准差相等，则这两组数据的平均数相等. C．若两个变量的相关系数越接近于0，则这两个变量的相关性越强. D．已知变量，由它们的样本数据计算得到的观测值，则在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为变量没有关系. 的部分临界值如表： 0.1 0.05 0.025 0.01 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】A 【分析】根据标准差定义可判断A项；通过取反例可排除B项；利用相关系数的概念易排除C项；利用独立性检验的规定，可判断D结论不成立. 【详解】对于A，根据标准差定义，一组数据的标准差时，显然有故A正确； 对于B，两组数据的标准差相等，这两组数据的平均数未必相等，如都为1和都为2的两组数据，它们的标准差均为0，但它们的平均数分别为1和，故B错误； 对于C，两个变量的相关系数越接近于0，两个变量的相关性越弱，故C错误； 对于D，，根据独立性检验原理，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为变量有关系，故D错误. 故选：A 13．（2025·天津·模拟预测）在研究“温度是否影响庄稼生长”时，对实验数据利用2×2列联表进行独立性检验，计算得实验数据的统计量的值为.已知，则（    ） A．的值小于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长” B．的值大于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长” C．的值越大，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越小 D．的值越小，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越大 【答案】B 【分析】根据独立性检验判断各个选项即可. 【详解】因为，则的值大于3.841， 就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长”，A选项错误，B选项正确； 的值的大小不能说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差，C，D选项错误. 故选：B. 14．（2024·天津·模拟预测）为了检测某种新药的效果，现随机抽取100只小白鼠进行试验，得到如下列联表： 未治愈 治愈 合计 服用药物 10 40 50 未服用药物 20 30 50 合计 30 70 100 则下列说法一定正确的是（    ） 附：（其中）. 临界值表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关” B．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药无关” C．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关” D．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药无关” 【答案】A 【分析】根据表中数据求出的值，即可得答案. 【详解】解：由列联表中数据，计算， 且， 所以有的把握认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关” 所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关”. 故选：A. 15．（2025·天津·开学考试）下列说法错误的是（    ） A．某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200 B．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10 C．在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 【答案】C 【分析】利用分层抽样计算判断A；求出第75百分位数判断B；利用线性相关系数的意义判断C；利用独立性检验的思想判断D. 【详解】对于A，该校高一年级女生人数是，A正确； 对于B，由，得第75百分位数为，B正确； 对于C，线性回归方程中，线性相关系数绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，C错误； 对于D，由，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，D正确. 故选：C 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2024·天津·一模）下列说法正确的是（    ） A．一组数据的第80百分位数为17； B．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05； C．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0； D．若随机变量满足，则． 【答案】B 【分析】A选项，由百分位数的定义得到答案；B选项，，得到结论；C选项，由相关系数的性质得到C错误；D选项，由方差的性质得到D错误. 【详解】A选项，，故从小到大排列，第8个数和第9个数的平均数作为第80百分位数， 即，A错误； B选项，由于，得到与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，B正确； C选项，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，C错误； D选项，若随机变量满足，则，D错误. 故选：B 2．通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到如下列联表： 跳绳 性别 合计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计 60 50 110 已知，，根据小概率值的独立性检验，以下结论正确的为（    ） A．爱好跳绳与性别有关 B．爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C．爱好跳绳与性别无关 D．爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 【答案】C 【分析】由列联表中正确读取的数值后，根据公式去计算，将所得结果与10.828进行比较即可解决. 【详解】，，， ，，， 根据小概率值的独立性检验，爱好跳绳与性别无关， 故选：C. 3．（2025·天津·模拟预测）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力．有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件“学生报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，． 性别活动 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 报名参加答题活动 合计 100 (1)根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？ (2)网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定：每轮均设置道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第m道题答完，本轮答题结束．已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为． ①当时，求甲在一轮答题过程中答题数量的数学期望； ②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分．记甲答题累计得分为n的概率为，求． 参考公式与数据：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，能； (2)①；②. 【分析】（1）根据题设，结合条件概率的定义求出数据，进而完成列联表，再计算出的值判断即可. （2）①首先列出的概率表达式，然后用数学期望公式将它的数学期望表达式列出来，即可求解；②根据题意可得，，时，，再利用构造法求出. 【详解】（1）由，得报名参加答题活动人数为， 由，得报名参加答题活动的男生人数为， 报名参加答题活动的女生人数为， 又，由样本中男生人数为，女生人数为50， 得到列联表为： 性别 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 20 35 55 报名参加答题活动 30 15 45 合计 50 50 100 零假设为：学生报名参加答题活动与性别无关， 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005. （2）①设甲完成一轮答题，答题数量为随机变量，则的所有可能取值为， 其中，， 因此. ②每轮比赛甲得1分的概率为，得2分的概率为， 依题意，，，当时，则， 因为，且， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 于是，又，且， 则数列是各项均为1的常数列，即， 于是，解得. 4．（2025·天津·模拟预测）2025年4月24日是第十个中国航天日. 十年来，中国航天事业蒸蒸日上，中国人在太空的印记不断被刷新. 某校部分学生十分关注中国航天的发展，若将累计关注中国航天发展的消息达到次及以上者称为“航天达人”，未达到次者称为“非航天达人”. 现从该校随机抽取人进行分析，得到数据如表所示： 性别 是否航天达人 合计 航天达人 非航天达人 男 女 合计 (1)补全列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为“航天达人”与性别有关联? (2)现从抽取的“航天达人”中，按性别采用分层抽样的方法抽取人，然后从这人中随机抽取人，记这人中女“航天达人”的人数为，求的分布列和数学期望； (3)为进一步提高学生对航天事业的关注度，该学校组织了“航天知识竞赛”活动，竞赛共设置道题目， 其中道题目是小明能答对的， 规定每位参赛者从道题中随机抽取道作答，则要使小明恰好答对道题目的概率最大，那么取多少？ 附： 【答案】(1)列联表见解析，认为“航天达人”与性别无关 (2)分布列见解析，1 (3) 【分析】（1）根据题意，补全的列联表，求得，结合附表，即可得到结论； （2）根据题意，得到随机变量X的所有可能取值为0，1，2，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. （3）求出小明恰好答对道题目的概率，设，通过分类讨论分析的单调性，求得的最大值即可得解 【详解】（1）补全列联表如下表： 性别 是否航天达人 合计 航天达人 非航天达人 男 40 20 60 女 20 20 40 合计 60 40 100 零假设：假设“航天达人”与性别无关，根据表中的数据计算得到，     查表可知，    所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，因此“航天达人”与性别无关； （2）抽取的男航天达人有人，女航天达人有人， 所有可能取值为：. 则，，， 所以的分布列如下： 0 1 2 的数学期望为. （3）从道题目中取道题，恰有道小明会做的题目概率， 设， 当时，， ， 当时，， 当时，，因此， 而，则， 所以当时，小明答对道题目的可能性最大. 5．（2025·天津·模拟预测）某校开设劳动教育课程，共设置了两类课程：家政和园艺，共有400名学生参加.学校对选择了这两类课程的学生人数的分布进行了统计，相关数据记录在如下表格中，但其中有缺失.已知男生中选择家政课的比例为. 课程 性别 合计 男 女 家政 160 园艺 120 合计 400 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为学生选择不同劳动教育课程与性别有关联？ (2)学校对某一课程中教授同一知识点教师的教授时长与学生任务完成率进行了跟进，授课时长（分钟）和学生任务完成率的对应数据如下： 时长 20 24 28 32 36 40 完成率 50 70 60 66 72 84 在任务完成率不全相等的条件下，学校为了调研是否存在学生任务完成率与平均完成率偏差过大的情况，需计算偏差系数，现给出以下两种数据处理方式： 甲：，乙：，已知偏差系数越大的处理方式，对于数据中大偏差数据的存在体现得越明显. ①用两种处理方式分别计算学生任务完成率的偏差系数，并指出哪一种数据处理方式对大偏差数据的存在体现更明显； ②判断此后学校每次调研均采用①中对大偏差数据的存在体现更明显的数据处理方式是否合理，并证明你的判断. 附：. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】(1)能认为学生选择不同劳动教育课程与性别有关联 (2)①甲的计算公式计算为，乙的计算公式计算为，乙；②是，证明见解析 【分析】（1）根据所给条件计算出列联表中各项数据，再计算卡方统计量并与临界值比较判断零假设是否成立. （2）①算出甲、乙的偏差系数.先求数据均值，再按甲、乙公式分别计算偏差系数，比较大小后发现乙对大偏差数据体现更明显. ②证明乙处理方式合理，也就是证.设，构造函数，由得二次函数判别式，进而推出不等式，令，最终证得. 【详解】（1）设男生有人，故，解得， 故男生中选择园艺课的人数为40人，又因为其有400人参加课程､ 所以女生有200人，女生中选择家政课的人数为80人. 完善列联表，单位：人 课程 性别 合计 男 女 家政 160 80 140 园艺 40 120 160 合计 200 200 400 零假设为：选择不同劳动教育课程与性别无关联. 因为， 故依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生选择不同劳动教育课程与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001. （2）①， 根据甲的计算公式计算：，故； 根据乙的计算公式计算：， 易知，因此乙的偏差系数大，从而乙对大偏差数据的存在体现更明显. ②采用①中对大偏差数据的存在体现更明显的数据处理方式，即乙的处理方式是合理的. 证明：不妨设，只需证明恒成立. 不妨设，为任意实数， 则，，欲证，则证即可， 即证即可，故证即可， 设函数， 结合完全平方公式得，则二次函数的， 可得，即， 从而对于原式，不妨令，得到，， 得到，即恒成立， 故此后学校每次调研均采用①中对大偏差数据的存在体现更明显的数据处理方式是合理的. 6．（2025·天津·三模）“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你!我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧！”DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手"，AI大模型正在改变着我们的工作和生活.为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ (2)某校组织“AI模型”知识竞赛，分成了甲、乙、丙三组进行挑战赛，其规则如下：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，且被挑战方拥有下一次的挑战权，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为，若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为，；若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为，.已知按此规则进行了多次挑战. ①前3次挑战后，求乙组拥有挑战权的次数的分布列与数学期望； ②定义：已知数列，若对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，（是一个确定的实数），则称数列为“收敛数列”.经过次挑战后，挑战权在甲组的概率为，求证：数列为“收敛数列”. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)不能认为DeepSeek的使用情况与学历有关 (2)①分布列见解析，；②证明见解析 【分析】（1）根据二阶表计算，再由独立性检验可判断； （2）①根据题意的可能取值为0，1，2，根本计算出概率，写出分布列并计算期望即可； ②根据题意列出数量递推式，构造数列得到通项，利用“收敛数列”定义即可证明. 【详解】（1）零假设为：DeepSeek的使用情况与学历无关， 根据列联表中的数据，得， 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即不能认为DeepSeek的使用情况与学历有关. （2）①的可能取值为0，1，2. ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 ②设第次挑战后挑战权在乙、丙组的概率分别记为，， 当时，，，， 则， 解得， ， ，是以为首项，为公比的等比数列， ，. ，函数在上单调递减， 且当时，， 对于任意给定的正数（不论它多么小）， 总存在正整数（其中表示取整函数）， 使得当时，，即数列为“收敛数列”. 7．（2025·天津·二模）“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式.为了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 单位：人 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ (2)某公司组织“AI模型”知识应用竞赛，将参与活动的员工分成了、、三组进行，其规则：竞赛发起权在哪一组，该组都可向另外两组发起竞赛，则下一次竞赛发起权移交给被挑战的那组.首先由组先发起竞赛，组挑战组、组的概率均为，若组挑战组，则下次竞赛发起权在组，若组挑战组，则下次竞赛发起权在组；若竞赛发起权在组，则挑战组、组的概率分别为和；若竞赛发起权在组，则挑战组、组的概率分别为和. ①经过3次挑战赛后，求竞赛发起权在组的次数的分布列与数学期望； ②定义：已知数列，若对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，（是一个确定的实数），则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点.经过次竞赛后，竞赛发起权在组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点的值. 附：，. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)认为DeepSeek的使用情况与学历无关 (2)①分布列见解析，；②证明见解析， 【分析】（1）先假设DeepSeek的使用情况与学历无关，再根据卡方的计算式计算出卡方的结果，和6.635去比，根据独立性检验的理论即可做出判断； （2）①对于一道题而言，先分析竞赛发起权在组的次数的可能情况并求出概率，即可知道比赛结束后甲获胜的所有可能情况，再计算概率即可； ②根据题干列出等式进而求出数列的通项公式，由通项公式即可证明结论，即可求出聚点A的值. 【详解】（1）零假设为：DeepSeek的使用情况与学历无关， 根据列联表中的数据，可得， 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为DeepSeek的使用情况与学历无关； （2）①依题意可知，可取0，1，2， 则， ， ， 0 1 2 所以次数的数学期望. ②第次挑战后挑战权在，组的概率分别是，，时，则 ②+③得：，由①得， ，，， ，，其中， 是以为首项，为公比的等比数列， ，， 由聚点数列的定义：， 由指数函数的单调性可知：当时， 所以对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，， 所以数列为“聚点数列”；. 34 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $