重难点培优02 一元线性回归模型及应用（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优02一元线性回归模型及应用 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 求回归直线方程（★★） 3 题型二 利用回归直线方程对总体进行估计（★★★） 8 题型三 线性回归分析（★★★★） 13 题型四 残差分析与相关指数的应用（★★★★★） 17 题型五 非线性回归分析（★★★★） 22 03 实战检测・分层突破验成效 27 检测Ⅰ组 重难知识巩固 27 检测Ⅱ组 创新能力提升 36 一、线性回归 1.线性回归 线性回归是研究不具备确定的函数关系的两个变量之间的关系（相关关系）的方法． 对于一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归方程的求法为 其中，，，（，）称为样本点的中心． 2.残差分析 对于预报变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值等于残差，称为相应于点的残差，即有．残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． （1）残差图 通过残差分析，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精确度越高；反之，不合适． （2）通过残差平方和分析，如果残差平方和越小，则说明选用的模型的拟合效果越好；反之，不合适． （3）相关指数 用相关指数来刻画回归的效果，其计算公式是：． 越接近于，说明残差的平方和越小，也表示回归的效果越好． 二、非线性回归 解答非线性拟合问题，要先根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，通过换元将陌生的非线性回归方程化归转化为我们熟悉的线性回归方程． 求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，还原后即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算要细心，避免计算错误． 1.建立非线性回归模型的基本步骤： （1）确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量； （2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性关系）； （3）由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型等）； （4）通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型； （5）按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程； （6）消去新元，得到非线性回归方程； （7）得出结果后分析残差图是否有异常．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等． 【常用结论】 常见的非线性回归模型 （1）指数函数型（且，） 两边取自然对数，，即， 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，． （2）对数函数型 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，． （3）幂函数型 两边取常用对数，，即， 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，． （4）二次函数型 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，． （5）反比例函数型型 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，． 题型一 求回归直线方程 【技巧通法·提分快招】 求线性回归方程的一般步骤 1．（2025·天津西青·期末）下列说法中正确的有（    ） ①线性回归方程至少经过一个样本点； ②可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大则两个变量的相关程度越强； ③在回归分析中，决定系数的模型比的模型拟合效果要好； ④残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据线性回归方程和相关系数及残差分析即可判断正误. 【详解】线性回归方程可以不经过任何一个样本点，①错， 值越大则两个变量的相关程度越强，②错， 决定系数越大，模型拟合效果越好，③对， 残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，④对. 故选：B. 2．（2025·天津·调研）下对于两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：，，，，则下列说法正确的是（    ） ①由样本数据得到的回归直线必经过样本点中心 ②用来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好 ③残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 ④用相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱时，越接近于，相关性越弱； A．①② B．①③④ C．①②③ D．①③ 【答案】D 【分析】根据回归方程的基本特征，相关系数与线性关系的强弱，残差及决定系数与模型拟合效果的关系，对每一个命题逐项判断即可. 【详解】解：由题意得： 样本中心点在回归直线上，故①正确； 越大拟合效果越好，故②不正确； 残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故③正确； 用相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱时，越接近于，相关性越强，故④不正确． 故选：D 3．（2025·天津滨海新·模拟预测）以下四个命题，其中正确的个数有（    ） ①在独立性检验中，随机变量的观测值越大，“认为两个分类变量有关”，这种判断犯错误的概率越小. ②在线性回归方程时，变量与具有负的线性相关关系； ③随机变量服从正态分布，若，则； ④两个随机变量相关性越强，则相关系数的值越接近于1. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用随机变量的观测值越大，说明两个变量有关系的可能性越大判断①； 根据回归方程一次项系数的正负判断②； 根据正态分布的性质判断③； 利用线性相关的概念判断④. 【详解】①：在独立性检验中，因为随机变量的观测值越大，说明两个变量有关系的可能性越大，即犯错误的概率越小，故①正确； ②：回归方程的一次项系数为-0.35<0，故变量x与y具有负的线性相关关系，故②正确； ③：随机变量X服从正态分布， 则， 由对称性可知，，故③错误； ④：两个随机变量的线性相关关系越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，故④错误. 正确的选项有2个. 故选：B 4．（2025·天津河西·期末）由数据，，…，可得关于的线性回归方程为，若，则（    ） A．48 B．52 C．56 D．80 【答案】A 【分析】根据回归直线方程必过样本中心即可求出结果. 【详解】因为，所以，所以，所以. 故选：A. 5．（2025·天津北辰·三模）为了了解家庭月收入（单位：千元）与月储蓄（单位：千元）的关系，从某居民区随机抽取10个家庭，根据测量数据的散点图可以看出与之间具有线性相关关系，其回归直线方程为，若该居民区某家庭月收入为7千元，据此估计该家庭的月储蓄为 千元. 【答案】 【分析】直接代入即得答案. 【详解】由于，代入，于是得到，故答案为1.7. 6．（2025·天津·二模）已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 50 60 70 根据上表可得回归方程，计算得，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为 A．75万元 B．85万元 C．99万元 D．105万元 【答案】B 【详解】分析：根据表中数据求得样本中心，代入回归方程后求得，然后再求当的函数值即可． 详解：由题意得， ∴样本中心为． ∵回归直线过样本中心， ∴，解得， ∴回归直线方程为． 当时，， 故当投入10万元广告费时，销售额的预报值为85万元． 故选B． 7．下图是某地区2010年至2019年污染天数（单位：天）与年份的折线图．根据2010年至2014年数据，2015年至2019年的数据，2010年至2019年的数据分别建立线性回归模型，，，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据折线图中各阶段的数据，计算其样本中心纵坐标、极差，并结合数据的变化趋势画出近似回归直线，即可确定回归方程参数之间的大小关系. 【详解】根据2010年至2014年数据，2015年至2019年的数据，2010年至2019年的数据分别建立线性回归模型，，， ∴由图知：2010年至2014年数据为； 2015年至2019年数据为； 2010年至2019年数据为；均成递减趋势. 又，，，且极差分别为6、51、65， 三条回归方程的直线大致图象，如下图示： ∴回归方程的斜率大小关系为，且截距. 故选：C. 8．（2025·天津·模拟预测）假设变量与变量的对观测数据为，，…，，两个变量满足一元线性回归模型要利用成对样本数据求参数的最小二乘估计，即求使取最小值时的的值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平方公式展开，再利用累加求和公式展开，即可得一个关于的二次函数，从而可得到时，取到最小值. 【详解】由， 把上式看成关于的二次函数，可知当且仅当时，取到最小值. 故选：A. 题型二 利用回归直线方程对总体进行估计 【技巧通法·提分快招】 此类题已知y与x是线性相关关系，所以可求出回归方程进行估计和预测．否则，若两个变量不具备相关关系或它们之间的相关关系不显著，即使求出回归方程也毫无意义. 1．（2025·天津·开学考试）近年来，我国云计算市场规模持续增长．某科技公司云计算市场规模与年份代码的关系可以用模型拟合，设，2018年至2022年的数据统计如表所示： 年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 年份代码 1 2 3 4 5 云计算市场规模 7 20 71 200 510 0.85 1.3 1.85 2.3 2.7 若根据上表得到经验回归方程，则该科技公司2025年云计算市场规模约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，后，根据线性回归方程的性质求得，即回归方程为，可求得2025年即时，，即可求解. 【详解】由题表知，，， 将，代入回归方程，可得， 即，所以z关于x的回归方程为， 2025年时即当时，，此时． 故选：B． 2．（2025·天津和平·联考）电视剧《狂飙》于2023年1月在央视八套黄金档首播，承载着深厚的历史底蕴的《狂飙》取景拍摄地之一的江门三十三墟街即成网红打卡地，吸引了大量游客前来打卡，寻觅剧中的足迹.某文创商店为了了解游客人流量x（单位：百人次）与文创产品销售额y（单位：百元）的关系，对文创商店近期的销售情况作了统计，如下表： 2 3 4 5 6 3.8 6.1 7.8 9.9 12.4 由表中的数据得到了y关于x的线性回归方程，其中已知，由此当预测游客人流量为700人次时，文创产品的销售额大约为（   ） A．1430元 B．1420元 C．1455元 D．1416元 【答案】A 【分析】由题意可得，，代入回归方程可得，从而得，即可求解. 【详解】由题意可得，， 则，解得，所以方程， 所以当时，，即元，故A正确. 故选：A. 3．（2025·天津和平·期末）某产品的广告费用与销售利润的统计数据如下表，由表中数据用最小二乘法求得广告费用与销售利润满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（    ） 5 7 8 9 11 16 22 24 27 31 A．与有正相关关系 B． C．当时，残差为-0.5 D．当广告投入金额为10万元时，该产品的销售利润大约为29万元 【答案】C 【分析】由回归系数，可判定A正确；求得样本中心，代入回归直线方程，求得，可判定B正确；当时，求得，求得残差值，可判定C错误；令，求得万元，可判定D正确. 【详解】对于A中，由回归方程，可得回归系数，所以与有正相关关系，所以A正确； 对于B中，由表格中的数据，可得，，所以数据的样本中心为， 将代入回归方程，可得，解得，所以B正确； 对于C中，当时，可得，所以残差为，所以C错误； 对于D中，当广告投入金额为10万元时，可得万元，所以D正确. 故选：C. 4．（2025·天津武清·模拟预测）某学校数学学习兴趣小组利用信息技术手段探究两个数值变量之间的线性关系，随机抽取8个样本点，由于操作过程的疏忽，在用最小二乘法求经验回归方程时只输入了前6组数据，得到的线性回归方程为，其样本中心为.后来检查发现后，输入8组数据得到的新的线性回归方程为，新的样本中心为，已知，则以下结论中正确的个数是（    ） ①新的样本中心仍为； ②新的样本中心为； ③两个数值变量具有正相关关系； ④. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由平均数的求法，根据样本中心的定义，利用回归直线方程的斜率，结合样本估计总体及最小乘法原理，逐项检验，可得答案. 【详解】对于①②，由题意可得，，则新的样本中为，故①错误，②正确； 对于③，将代入回归直线，可得，解得，故③正确； 对于④，根据样本估计总体及最小乘法原理，利用组数据所得经验回归程是与样本点“距离”平方和最小的直线方程，故④错误. 故选：C. 5．（2025·天津·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．数据7，5，3，10，2的第40百分位数是3 B．已知随机变量，σ越小，表示随机变量X的分布越分散 C．已知一组数据的方差为3，则的方差为3 D．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其经验回归方程为，若其中一个点为，则实数 【答案】C 【分析】求出第40百分位数判断A；利用正态分布性质判断B；利用方差的意义判断C；利用经验回归方程的意义判断D. 【详解】对于A，将数据从小到大排列为：2，3，5，7，10，，该数据的第40百分位数是=4，A错误； 对于B，根据正态分布的特点，σ越小，表示随机变量X分布越集中，B错误； 对于C，由方差的概念知，的方差为3，C正确； 对于D，散点不一定在经验回归直线上，则不一定成立，D错误. 故选：C 6．（2025·天津·三模）已知两个变量与对应关系如下表： 若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（   ） A．与负相关 B．在处的残差为 C．经验回归直线过点 D．变量每增加一个单位，实际值一定增加个单位 【答案】C 【分析】根据回归直线的斜率可判断A选项；利用残差的定义可判断B选项；求出的值，代入回归直线方程，可判断C选项；根据经验回归方程的意义可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为回归直线的斜率为，所以与正相关，A错； 对于B选项，当处的残差为，B错； 对于C选项，，则， 故经验回归直线过点，C对； 对于D选项，变量每增加一个单位，实际值增加个单位左右，D错. 故选：C. 7．（2024·天津·一模）为了判断某地超市的销售额与广告支出之间的相关关系，现随机抽取6家超市，得到其广告支出与销售额数据如下表，则下列说法中正确的是（   ） 超市 A B C D E F 广告支出x万元 1 2 4 6 13 10 销售额y万元 14 21 29 30 43 37 A．广告支出数据的极差为9 B．销售额数据的第80百分位数为43 C．若销售额y与广告支出c之间的经验回归方程为，则 D．若去掉超市A这一组数据，则销售额y与广告支出x之间的线性相关程度会减弱 【答案】C 【分析】对于A，根据极差的定义即可求解，对于B，根据百分位数的定义即可求解，对于C，求出样本中心点即可求解，对于D，根据相关程度定义即可求解. 【详解】对于A，极差为，故A错误； 对于B，销售额数据按照从小到大的顺序排列为共个数据， 因为，所以销售额数据的第百分位数为，故B错误； 对于C，，， 样本中心点恒过线性回归方程， 因为，所以， 所以，故C正确； 对于D，若去掉超市A这一组数据，因为超市的数据偏离其他数据较远，去掉后其他数据更集中， 所以相关程度会更高，故D错误. 故选：C. 8．（2025·天津·二模）某书店为了分析书籍销量与宣传投入之间的关系，对宣传投入x（千元）和书籍销量y（百本）的情况进行了调研，并统计得到表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） x 3 4 5 6 y 5 6.2 7.4 m A．变量x、y之间呈正相关 B．预测当宣传投入2千元时，书籍销量约为400本 C． D．拟合误差 【答案】C 【分析】根据线性回归方程即可判断；将代入线性回归方程即可判断；由在线性回归方程上，即可求解；根据拟合误差计算公式求解即可. 【详解】因为线性回归方程为，， 所以变量x、y之间呈正相关，故正确； 当时，（百本），所以书籍销量约为400本，故正确； 由表中数据可得，， 所以，解得，故错误； 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 所以，故正确. 故选：. 题型三 线性回归分析 【技巧通法·提分快招】 1.解答线性回归问题，应通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，并利用残差图或相关指数R2来分析函数模型的拟合效果，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行分析． 2.刻画回归效果的三种方法 ①残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适． ②残差平方和法：残差平方和 (yi－i)2越小，模型的拟合效果越好． ③决定系数法：R2＝1－越接近1，表明回归的效果越好． 1．（2025·天津静海·期中）下列说法正确的是（   ） A．样本数据点的中心不一定在线性回归直线上 B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 D．如果两个变量的相关性越强，则相关系数就越接近于1 【答案】B 【分析】根据线性回归直线的性质可判断选项ABC；根据相关系数的性质可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于选项A：样本数据点的中心一定在线性回归直线上，故A错误； 对于选项B：残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故B正确； 对于选项C：线性回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，故C错误； 对于选项D：如果两个变量的相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1，故D错误； 故选：B. 2．（2025·天津·调研）变量关于变量的经验回归方程为.若时，的实际观测值为8，则此时的残差为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据回归方程求出估计值，然后由残差定义即可得解. 【详解】当时，， 又时，的实际观测值为8，所以此时的残差为. 故选：C 3．（2025·天津·联考）下列说法正确的是（   ） A．一组数据1，1，2，3，5，8，13，21的第60百分位数为4 B．设且，则 C．两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近于1 D．在回归分析模型中，若决定系数越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越差 【答案】D 【分析】根据百分位数的定义可判断A，根据正态分布的对称性求解可判断B，根据相关系数的性质可判断C，根据决定系数的性质可判断D． 【详解】对于A，因为，所以数据的第60百分位数为5，故A错误； 对于B，因为且，则， 所以，故B错误； 对于C，两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数的绝对值越接近于1，故C错误； 对于D，在回归分析模型中，若决定系数越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越差，故D正确. 故选：D. 4．（2026·天津南开·开学考试）某公司研发新产品投入金额（单位：万元）与该产品的收益（单位：万元）的5组统计数据如下表所示．由表中数据用最小二乘法求得投入金额与收益满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（   ） 5 7 8 9 11 16 22 24 27 31 A． B．时，残差为 C．与有正相关关系 D．当新产品投入金额为5万元时，该产品的收益大约为万元 【答案】B 【分析】根据线性回归和最小二乘法知识进行求解即可. 【详解】根据表中数据可求得： ，. 因为经验回归方程经过点，得. 解得，所以A正确； 所以经验回归方程为. 当时，， 所以残差为，所以B错误； 因为经验回归方程为，，所以正相关，所以C正确； 令，则，所以D正确. 故选：B. 5．（2024·天津·模拟预测）下列命题正确的是（    ） A．线性回归直线必过样本数据的中心点； B．当相关系数时，两个变量负相关； C．甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好； D．残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高； 【答案】A 【分析】利用回归直线的性质,相关系数和决定系数的规定及残差分析的分析方式，逐项判断即可. 【详解】选项A:回归直线的定义规定回归直线必过样本数据的中心点，所以选项A正确； 选项B：当相关系数时，说明两个变量正相关，所以选项B错误； 选项C:模型的决定系数越大，说明残差平方和越小，拟合效果越好,, 所以模型甲的拟合效果更好，所以选项C错误； 选项D:残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，说明观测值与预报值之间的差距越大，数据分布越分散， 因此回归方程的预报精确度就越差，所以选项D错误． 故选：A. 6．（2024·天津·二模）已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为．若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差为（    ） A．0.1 B．0.2 C．-0.2 D．-0.1 【答案】A 【分析】先求出新增数据后的样本中心点，从而得到修正后的回归直线，得到的估计值为即可求出残差. 【详解】因，则，则， 则新增数据后，，， 因新的回归直线过点，且修正后的回归直线的斜率为2.1， 则，则修正后的回归直线为：， 则的估计值为，则数据的残差为. 故选：A 7．（2025·全国·模拟预测）某种高科技产品开发的支出成本（单位：万元）与市场销售额（单位：万元）之间有如下表所示的线性相关关系，与的经验回归方程为，当支出成本为8万元时，残差为（    ） x 2 4 5 6 8 y 40 50 70 60 80 A． B．1.5 C． D．0.5 【答案】D 【分析】根据经验回归方程计算支出成本时，市场销售额的预测值，结合表中数据，根据残差定义计算即可. 【详解】因为与的经验回归方程为， 所以当时，， 由表知当支出成本为8万元时，销售额为80万元，所以残差为. 故选：D 8．（2025·天津·开学考试）将收集到的6组数据对制作如图所示的散点图（点旁数据为该点坐标），由最小二乘法计算得回归直线方程：，相关系数为，相关指数为；残差分析确定点对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的5组数据计算得回归直线方程：，相关系数为，相关指数为.则以下结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用回归方程的性质，利用相关系数和相关指数分析判断即可. 【详解】从散点图可以看出，两个变量是正相关，故A正确； 从散点图可以看出，回归直线的斜率是正数，且的斜率大于的斜率，故 B和C正确； 从散点图可以看出，去掉“离群点”后，相关性更强，拟合的效果更好， 值越大，模型的拟合效果越好，所以，故D错误； 故选：D. 题型四 残差分析与相关指数的应用 【技巧通法·提分快招】 对于预报变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值等于残差，称为相应于点的残差，即有．残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． 1．（2024·天津和平·二模）已知某企业对新品按事先拟定的价格进行试销，得到以下数据 单价/元 40 50 60 70 80 90 /件 45 39 38 35 30 23 由表中数据，求得经验回归方程为，下列说法错误的是（　　） A．产品的销售量和单价呈负相关 B．该经验回归直线过点 C．样本点的残差为 D．当单价定为100元时，销量估计为21件 【答案】C 【分析】由线性回归方程中的回归系数，即可判断选项A；由表中数据求得，，所以该经验回归直线必过样本中心点，即可判断选项B；由，解得，所以.当时，结合残差定义即可判断选项C；令时求出对应的即可判断选项D. 【详解】由线性回归方程中的回归系数，可知产品的销售量和单价呈负相关，故选项A正确； 由表中数据得，，所以该经验回归直线过点，故选项B正确； 由得，解得，所以. 当时，所以样本点的残差为，故选项C错误； 当时，所以当单价定为100元时，销量估计为21件，故选项D正确. 故选：C. 2．（2025·天津河北·二模）某厂进行技术改造后，生产产品过程中记录的时间x（单位：天）与相应的生产能耗y（单位：吨）的几组数据，如下表所示.若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） 时间x 1 2 3 4 5 生产能耗y/吨 5 4.5 4 3.5 2.5 A．由题中数据可知，变量y与x负相关 B．线性回归方程中 C．当时，残差为- D．可以预测当时能耗约为2.2吨 【答案】D 【分析】对于A，由回归方程可判断变量y与x的负相关；对于B，利用回归方程过可判断选项正误；对于C，由回归方程及残差定义可判断选项正误；对于D，由回归方程可得预测值. 【详解】对于A，因回归方程斜率为负值，则变量y与x负相关，故A正确； 对于B，，， 因回归方程过，则，故B正确； 对于C，当时，由B分析，，则残差为： 故C正确； 对于D，当，由B分析，，故D错误. 故选：D 3．（2025·天津和平·一模）某智能机器人公司从某年起7年的利润情况如下表所示，y关于x的回归直线方程是，则该智能机器人公司第4年利润的残差是（    ） 第x年 1 2 3 4 5 6 7 利润y/亿元 m A．亿元 B．亿元 C．亿元 D．亿元 【答案】A 【分析】计算出，根据回归方程，得到，从而得到方程，求出，再计算出当时，，求出残差. 【详解】由题意，，关于的回归直线方程为， 所以，故，解得， 所以当时，，则． 故选：A 4．（2025·天津·三模）下列说法中，正确的是（ ） A．经验回归直线是由成对样本数据中的两点确定的 B．如果两个变量的相关程度越强，则相关系数越接近于1 C．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5% 【答案】C 【分析】根据回归方程、相关系数的意义、残差平方和、独立性检验的知识对选项逐一判断即可. 【详解】对于A，经验回归直线是通过最小二乘法，使所有样本点到直线的误差平方和最小来确定的， 并非由成对样本数据中的两点确定，所有A错误； 对于B，如果两个变量的相关程度越强，当是正相关时，相关系数越接近于1； 当是负相关时，相关系数越接近于，并非只接近1，所以B错误； 对于C，残差平方和是衡量回归模型拟合效果的一个重要指标，残差平方和越小， 说明模型对数据的拟合效果越好，所以C正确； 对于D，在独立性检验中，计算得到，而， 因为，所以不能推断出犯错误的概率不超过0.5%，所以D错误. 故选：C. 5．（2025·天津西青·联考）已知在一定范围内，水稻对氮元素的吸收量与它的根长度具有线性相关关系．某盆栽水稻实验中，在确保土壤肥力及灌溉条件相对稳定的情况下，统计了根长度（单位：cm）与氮元素吸收量（单位：mg/天）的相关数据，如下表所示： 9.9 12.1 14.8 18.2 19.9 21.8 25.1 27.7 30.4 32.1 0.30 0.34 0.42 0.50 0.55 0.60 0.71 0.74 0.78 0.86 根据表中数据可得及经验回归方程为，则（   ） A． B．变量和变量的样本相关系数 C．当时，残差为0 D．水稻根长度每增加1cm，一天的氮元素吸收量一定增加mg 【答案】C 【分析】利用样本中心在回归直线上求参数判断A；根据回归直线一次项系数判断B；计算残差判断C；由回归直线的实际意义判断D. 【详解】由题设，所以，可得，故A错误； 所以，又，即与正相关，则样本相关系数，故B错误； 由时，，残差为，故C正确； 由回归方程说明随变化值的变化趋势，不能说变量每增加一个单位，的值一定增加个单位，故D错误. 故选：C 6．（2024·天津滨海新·二模）对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：，则下列说法中不正确的是（    ） A．若变量y和x之间的相关系数为，则变量y和x之间具有线性相关关系 B．用决定系数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好 C．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 D．在残差图中，若残差点比较均匀地落在水平带状区域中，则说明选用的模型比较合适 【答案】B 【分析】由回归分析的相关知识逐一判断各个选项即可得解. 【详解】当的值大于0.9时，表示两个变量具有高度线性相关关系，A正确； 越大，拟合效果越好，B不正确； 残差平方和越小的模型，拟合效果越好，C正确； 根据残差图与回归直线的关系可判断D正确. 故选：B. 7．（2025·全国·模拟预测）某同学用收集到的6组数据对制作成如图所示的散点图（点旁的数据为该点坐标），并由最小二乘法计算得到回归直线的方程：，相关系数为，决定系数为；经过残差分析，确定点E为“离群点”（对应残差过大的点），把它去掉后，再用剩下的5组数据计算得到回归直线的方程：相关系数为，决定系数为．则以下结论中，正确的是（    ）．    ①        ②        ③        ④ A．①② B．①②③ C．②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】利用回归方程的性质，利用相关系数和相关指数分析解答. 【详解】由散点图可知，x，y之间是正相关关系，所以，故①正确； 由散点图可知，回归直线的斜率是正数，且的斜率大于的斜率， 所以，故②③正确： 由散点图可知，去掉“离群点”E后，相关性更强，拟合的效果更好， 所以，故④错误． 故选：B． 8．（2025·天津·调研）已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，去除两个样本点和后，得到新的回归直线的斜率为3．则在新的经验回归方程下，样本的残差为（   ） A． B． C．0.1 D．0.2 【答案】B 【分析】利用线性回归方程必过样本中心点这个性质来求解，结合残差为实际值减去预测值，即可作出判断. 【详解】由回归直线方程为必过点，所以， 由于去掉两个样本点和后， 得到新的样本数据的平均数为： 因为新的回归直线的斜率为3，根据必过点， 可得回归直线方程为：，即， 当时，， 在新的经验回归方程下，样本的残差为， 故选：B. 题型五 非线性回归分析 【技巧通法·提分快招】 建立非线性回归模型的基本步骤： （1）确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量； （2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性关系）； （3）由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型等）； （4）通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型； （5）按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程； （6）消去新元，得到非线性回归方程； （7）得出结果后分析残差图是否有异常．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等． 1．（2024·天津·二模）下列说法中，正确的命题的是（    ） A．一台晩会有个节目，其中有个小品，如果个小品不连续演出，共有不同的演出顺序种 B．已知随机变量服从正态分布，，则 C．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则、的值分别是和 D．若样本数据、、、的方差为，则数据、、、的方差为 【答案】C 【分析】利用插空法可判断A选项；利用正态密度曲线的对称性可判断B选项；利用对数的运算可判断C选项；利用方差的性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，一台晩会有个节目，其中有个小品，如果个小品不连续演出， 只需先将其余个节目全排，然后将个小品插入另外个节目形成的个空位中的两个即可， 因此，不同的演出顺序种数为，A错； 对于B选项，已知随机变量服从正态分布，， 则，B错； 对于C选项，以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设， 则， 所以，，解得，C对； 对于D选项，因为样本数据、、、的方差为， 则数据、、、的方差为，D错. 故选：C. 2．（2025·天津·期中），两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的一组坐标信息．小组根据表中数据，直接对作线性回归分析，得到：回归方程，决定系数．小组先将数据按照变换，进行整理，再对，作线性回归分析，得到：回归方程，决定系数．根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由统计学知识可知，越大，拟合效果越好，由此可得回归方程，整理得结论． 【详解】由统计学知识可知，越大，拟合效果越好， 又小组的决定系数，小组的决定系数， 小组的拟合效果好，则回归方程为， 又，即． 故选：C． 3．（2025·天津·期末）下列说法： （1）分类变量与的随机变量越大，说明与相关的把握性越大； （2）以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和0.7； （3）若随机变量，且，则． 以上正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据独立性检验原理可判断（1）；由，两边取对数，根据对数的运算性质和线性方程可判断（2）；利用正态曲线的对称性求解可判断（3）. 【详解】根据独立性检验原理，分类变量与的随机变量越大，说明与相关的把握性越大，故（1）正确； 由，两边取对数得，即， 设，可得，又， ∴，即，故（2）正确； 若随机变量，则正态曲线关于对称， 则，故（3）正确， 所以正确的个数是3． 故选：D． 4．（2025·全国·调研）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.已知某科技公司年至年云计算市场规模数据，且市场规模与年份代码的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，得到数据统计表如下： 年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 年份代码 1 2 3 4 5 云计算市场规模千万元 7.4 11 20 36.6 55 2 2.4 3.0 3.6 4.0 由上表可得经验回归方程，则年该科技公司云计算市场规模的估计值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出、的值，代入回归方程求出的值，可得出关于的回归方程，然后在回归方程中令可得出的值，即可求得的值，即可得解. 【详解】由题意可得，， 将代入回归方程可得， 所以，关于的回归方程为， 当时，，此时，. 故选：B. 5．（2025·天津·联考）下列说法错误的是（    ） A．对两个变量x，y进行线性相关检验，得线性相关系数，对两个变量u，v进行线性相关检验，得线性相关系数，则变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强 B．若随机变量服从两点分布，且，则 C．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是，0.5 D．回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点； 【答案】D 【分析】对于A，由越接近于1时，成对样本数据的线性相关程度越强， 越接近于0时，成对样本数据的线性相关程度越弱，可判断正确； 对于B，由两点分布的期望与方差公式，和，可判断； 对于C，由对数的运算性质可求c，k的值； 对于D，由回归直线相关知识可判断. 【详解】A：，，，因此A正确． B：由题可知： ，，．因此B正确． C：对两边同时取对数，得到， 设，则，即，，因此C正确． D： 回归直线方程恒过样本中心点，但不一定过样本点．因此D错误． 故选：D 6．（2025·天津·期末）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图．根据散点图判断，下面四个回归模型中，最适合的是（    ） A．y＝bx＋a B． C． D． 【答案】C 【分析】根据样本点分布的分布情况和函数的图象特征判断. 【详解】解：由散点图看出，样本点分布在开口向右的抛物线（上支）附近， 整体趋势递增，单位增长率逐渐变小， 所以函数较适宜， 故选：C 7．（2025·天津·调研）观察变量x与y的散点图发现可以用指数型模型拟合其关系，为了求出回归方程，设，求得z关于x的线性回归方程为，则a与k的值分别为（    ） A．3，2 B．2，3 C．，2 D．，3 【答案】D 【分析】根据题意得到求解. 【详解】解：因为，且z关于x的线性回归方程为， 所以，则， 故选：D 8．云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y与年份代码x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，得到数据统计表如下： 年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 年份代码x 1 2 3 4 5 云计算市场规模y/千万元 7.4 11 20 36.6 66.7 2 2.4 3 3.6 4 由上表可得经验回归方程，则2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可得线性回归方程，再由回归方程求出2025年的预测值，代入即可得解. 【详解】因为， 所以， 即经验回归方程， 当时，， 所以， 即2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为， 故选：B 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·天津宁河·模拟预测）下列说法中，正确的有（    ） ①回归直线恒过点，且至少过一个样本点： ②根据列列联表中的数据计算得出，而，则有的把握认为两个分类变量有关系，即有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误； ③在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好； ④某项测量结果服从正态分布，若，则 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】利用回归直线的特点可判断①；利用独立型检验可判断②；利用决定系数与模型拟合效果的关系可判断③；利用正态分布可判断④.即可得出合适的选项. 【详解】对于①，回归直线恒过点，不一定过样本点，①错； 对于②，根据列列联表中的数据计算得出，而， 则有的把握认为两个分类变量有关系， 即有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误，②对； 对于③，在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果， 若越大，则说明模型拟合的效果越好，③对； 对于④，某项测量结果服从正态分布，若， 则，④对. 故选：C. 2．（2025·天津和平·三模）下列结论中不正确的是（   ） A．已知随机变量，若，则 B．用决定系数来刻画回归的效果时，的值越接近1，说明模型拟合的效果越好 C．用0，1，2，3四个数字，组成有重复数字的三位数的个数为30 D．经验回归直线至少经过样本数据点中的一个点 【答案】D 【分析】由二项分布的期望与方差公式即可判断A；由决定系数的概念即可直接判断B；由分布乘法计数原理及间接法即可判断C；由经验回归方程有关性质即可直接判断D. 【详解】对于A，由二项分布的方差公式可知， 所以，所以， 所以二项分布的期望为，故A正确； 对于B，用来刻画回归效果，的值越接近于1，说明模型的拟合效果越好，的值越接近于0，说明模型的拟合效果越差，故B正确； 对于C，百位数字不能为0，有3种选择，个位和十位各有4种选择，利用分布乘法计数原理可得组成三位数的个数有种方法，其中没有重复数字的三位数的个数有种方法，所以组成有重复数字的三位数的个数为，故C正确； 对于D，在回归分析中，回归直线一定经过样本中心点，但不一定会经过样本数据点中的任何一个，故D错误； 故选：D. 3．（2025·天津红桥·二模）由表格数据得到的线性回归方程为，则表格中的m值为 . x 3 4 5 6 y 2.5 m 4 4.5 【答案】 【分析】计算出样本的中心点坐标，将其代入可求得m的值. 【详解】，， 线性回归方程恒过， 所以，解得：. 故答案为：. 4．（2025·天津·二模）小明研究温差（单位：）与本单位当天新增感冒人数（单位：人）的关系，他记录了5天的数据： 3 4 5 6 7 16 20 25 28 36 由表中数据求得温差与新增感冒人数满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（   ） A．与正相关 B．经验回归直线经过点 C．当时，残差为1.8 D． 【答案】C 【分析】观察数据或者求得，可知正相关，从而判定A；利用样本中心点在回归直线上，可以判定B；求出的估计值，进而计算残差，从而判定CD. 【详解】选项A：观察数据，增大时也增大，说明正相关，故A正确； 选项B： 易得，，样本中心点为，回归直线方程经过样本中心点，故B正确； 对于CD：将样本中心点坐标代入回归直线方程得 ，故D正确. 计算预测值，实际值， 残差. 题目中残差为1.8（未考虑符号），故C错误， 故选：C 5．（2025·天津·一模）下列说法中，不正确的是（   ） A．在1，3，6，7，9，10，12，15这组数据中，第50百分位数为8 B．分类变量A与B的统计量越大，说明“A与B有关系”的可信度越大 C．根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的经验回归方程为，若，，，则 D．两个模型中，残差平方和越大的模型拟合的效果越好 【答案】D 【分析】求数据的第50百分位数，判断A的真假；根据的意义，判断B的真假；根据线性回归方程必过求判断C的真假；根据残差平方和的意义判断D的真假. 【详解】对A：因为，所以这组数据的第50百分位数为：，故A选项内容正确； 对B：根据统计量的意义可知，B选项内容正确； 对C：根据线性回归方程必过得：，故C选项内容正确； 对D：因为残差平方和越小，模型拟合的效果越好，故D选项内容错误. 故选：D 6．（2025·天津河东·二模）2024年12月26日，Deep Seek—V3首个版本正式上线，截至2025年2月9日，Deep Seek APP的累计下载量已超1.1亿次，AI成为当下的热门话题.立德中学高中数学社团以16至40岁人群使用Deep Seek频率为课题，分小组自主选题进行调查研究，下列说法正确的是（    ） A．甲小组开展了Deep Seek每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数，可以推断两个变量正线性相关，但相关程度很弱 B．乙小组利用最小二乘法得到Deep Seek每周使用频次y关于年龄x的经验回归方程为，可以推断年龄为30岁的群体每周使用频次一定为17次 C．丙小组用决定系数来比较模型的拟合效果，经验回归方程①和②的分别约为0.733和0.998，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①的好很多 D．丁小组研究性别因素是否影响Deep Seek使用频次，根据小概率值的独立性检验，计算得到，可以认为不同性别的Deep Seek使用频次没有差异 【答案】C 【分析】由相关系数，回归方程，决定系数，卡方的检验逐项判断即可. 【详解】对于A，由的绝对值越接近1，相关性越强可得A错误，故A错误； 对于B，回归方程为给出的是预测值，实际值会有随机误差，所以年龄为30岁的群体每周使用频次不一定为17次，故B错误； 对于C，表示模型对因变量的解释比例，大说明经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①的好很多，故C正确； 对于D，，可以认为不同性别的Deep Seek使用频次有差异，故D错误. 故选：C 7．（2025·天津宁河·一模）下列说法不正确的是（   ） A．对具有线性相关关系的变量、，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 B．若随机变量服从正态分布，且，则 C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 D．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 【答案】D 【分析】利用线性回归方程中的基本量即可判断选项A，利用正态分布的性质即可判断选项B，根据线性相关系数的性质即可判断选项C， 利用百分位数的定义即可判断选项D. 【详解】对A：样本点的中心为，所以，， 因为满足线性回归方程，所以，所以，A正确. 对B：若随机变量服从正态分布，且， 则，则，B正确； 对C：若线性相关系数越接近，则两个变量的线性相关性越强，C正确； 对于D，因为，所以第百分位数为，D错误； 故选：D. 8．（2025·天津河东·一模）下列说法中，正确的有（    ） ①回归直线恒过点，且至少过一个样本点； ②根据列列联表中的数据计算得出，而，则有的把握认为两个分类变量有关系，即有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误； ③是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当的值很小时可以推断两类变量不相关； ④某项测量结果服从正态分布，若，则. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据回归直线的特征即可判断①，理解独立性检验的基本思想即可判断②，正确把握卡方值的含义即可判断③，利用正态曲线的对称性可判断④. 【详解】回归直线的性质是恒过样本点的中心，但不一定会经过任何一个具体的样本点.所以说法①错误. 在独立性检验中，我们先提出一个假设.当根据列联表中的数据计算得出，且时，这意味着在假设成立的条件下，出现这样的值是一个小概率事件.小概率事件在一次试验中几乎不可能发生，但现在却发生了，所以我们有理由拒绝假设，从而有的把握认为两个分类变量有关系，同时也就意味着有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误，所以说法②正确. 是用于判断两个分类变量是否相关的随机变量.当的值很小时，只能说明我们有较小的把握认为两类变量相关，但不能就此推断两类变量不相关.因为即使值小，也有可能是由于样本量等因素的影响，不能绝对地得出两类变量无关的结论，所以说法③错误. 已知某项测量结果服从正态分布，正态分布具有对称性，其对称轴为.又因为，这表明与关于对称轴对称.根据正态分布的对称性可知，与之和为，已知，那么，所以说法④正确. 故选：B. 9．（2024·天津河北·二模）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长. 已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模与年份代码的关系可以用模型（其中为自然对数的底数）拟合，设，得到数据统计表如下： 年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 年份代码 1 2 3 4 5 2 2.4 3 3.6 4 由上表可得经验回归方程，则2026年该科技公司云计算市场规模的估计值为（    ） （参考公式：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可得线性回归方程，再由回归方程求出2026年z的预测值，代入即可得解. 【详解】因为 所以 即经验回归方程 当时， 所以 即2026年该科技公司云计算市场规模y的估计值为. 故选：C. 10．（2024·天津河东·二模）下列说法中正确的是（   ） A．具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本的中心，则 B．数据3，4，2，8，1，5，8，6的中位数为5 C．将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差变大 D．若甲、乙两组数据的相关系数分别为和0.89，则甲组数据的线性相关性更强 【答案】D 【分析】把样本点的中心坐标代入线性回归方程，求出判断A；由中位数的计算公式即可判断B；由方差的性质即可判断C；由相关系数的意义即可判断D． 【详解】对于A,把代入，可得，解得，故A错误； 对于B，数据3，4，2，8，1，5，8，6，即1，2，3，4，5，6，8，8的中位数为，故B错误； 对于C，将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差不变，故C错误； 对于D，若甲、乙两组数据的相关系数分别为和0.89，，因为，则甲组数据的线性相关性更强，故D正确． 故选：D． 11．（2024·天津·模拟预测）下列说法正确的序号是（    ） ①在回归直线方程中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.8个单位； ②利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得最小的原理； ③已知X，Y是两个分类变量，若它们的随机变量的观测值k越大，则“X与Y有关系”的把握程度越小； ④已知随机变量服从正态分布，且，则. A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①②④ 【答案】D 【分析】根据回归方程的定义和性质即可判断①②；随机变量的观测值越小，则“与有关系”的把握程度越小，即可判断③；根据正态曲线的对称性即可判断④ 【详解】对于①，在回归直线方程中， 当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加0.8个单位，故①正确； 对于②，用随机误差的平方和，即， 并使之达到最小，这样回归直线就是所有直线中取最小值的那一条， 由于平方又叫二乘，所以这种使 “随机误差的平方和为最小”的方法叫做最小二乘法， 所以利用最小二乘法求回归直线方程， 就是使得最小的原理，故②正确； 对于③，对分类变量与，对它们的随机变量的观测值越小， 则“与有关系”的把握程度越小，故③错误； 对于④，随机变量服从正态分布，且， 则，故④正确. 故选：D. 12．（2024·天津·二模）有人通过调查统计发现，儿子成年时的身高与父亲的身高呈线性相关，且儿子成年时的身高（单位：）与父亲的身高（单位：）的经验回归方程为，根据以上信息，下列判断正确的为（    ）． A．儿子成年时的身高与父亲的身高的样本相关系数 B．父亲的身高为，儿子成年时的身高一定在到之间 C．父亲的身高每增加，儿子成年时的身高平均增加 D．儿子在成年时的身高一般会比父亲高 【答案】C 【分析】根据题意，由线性回归方程的性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为，且， 即与不一定相等，故A错误； 当父亲身高为时，孩子身高可能在到之间， 而不是一定，故B错误； 因为，即父亲的身高每增加， 儿子成年时的身高平均增加，故C正确； 由回归方程可知，是否比父亲高还得取决于父亲身高，因此判断不了儿子成年时一般比父亲高，故D错误； 故选：C 13．（2024·天津·一模）已知变量x和y满足经验回归方程，且变量x和y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（    ） 6 8 10 12 7 4 3 A．变量x和y呈负相关 B．当时， C． D．该经验回归直线必过点 【答案】C 【分析】对A：借助回归方程的斜率即可得；对B：将代入方程计算即可得；对C、D：借助线性回归方程必过点计算即可得. 【详解】对A：由可得，故变量x和y呈负相关，故A正确； 对B：当时，，故B正确； 对C：由表可得，， 故，解得，故C错误； 对D：由，，故D正确. 故选：C. 14．（2024·天津河西·一模）随着居民家庭收入的不断提高，人们对居住条件的改善的需求也在逐渐升温．某城市统计了最近5个月的房屋交易量，如下表所示： 时间 1 2 3 4 5 交易量（万套） 0.8 1.0 1.2 1.5 若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则下列说法错误的是（    ） A．根据表中数据可知，变量与正相关 B．经验回归方程中 C．可以预测时房屋交易量约为（万套） D．时，残差为 【答案】D 【分析】首先求出、，根据回归方程必过样本中心点求出参数，从而得到回归方程，再一一判断即可. 【详解】对于B，依题意，， 所以，解得，所以，故B正确； 对于A，因为经验回归方程，， 所以变量与正相关，故A正确； 对于C，当时，， 所以可以预测时房屋交易量约为（万套），故C正确； 对于D，当时，， 所以时，残差为，故D错误. 故选：D 15．（2025·天津北辰·三模）下列命题中 ①根据经验回归方程所得到的预报值就是响应变量的精确值 ②若随机变量满足，则 ③两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 ④设且，则 其中错误命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】依次分析每个命题的正确性，根据经验回归方程、随机变量的方差性质、相关系数的意义以及正态分布的性质来判断. 【详解】经验回归方程所得到的预报值是响应变量的估计值，而不是精确值，所以命题①错误. 若随机变量满足，根据方差的性质（其中、为常数）， 可得，而不是，所以命题②错误. 根据相关系数的意义，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于， 所以命题③正确. 已知，则正态曲线关于对称. 因为，所以. 那么，所以， 所以命题④错误. 综上，错误的命题有①②④，共个. 故选：B. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2024·天津北辰·模拟预测）下列命题中，不正确的是（   ） A．若随机变量，则 B．若随机变量，且，则 C．若，，则的最小值为 D．两个随机变量的相关系数越大，两个变量的线性相关性越强 【答案】D 【分析】对于A，由二项分布方差公式计算即可；对于B，由正态分布的对称性计算即可；对于C，由基本不等式计算即可；对于D，根据相关系数的意义即可判断. 【详解】对于A，随机变量，由二项分布方差公式得，故A正确； 对于B，随机变量，由正态分布的对称性得，故B正确； 对于C，由，则， 所以 当且仅当，则或取等号，故C正确； 对于D，线性相关系数的范围在到之间，有正有负，相关有正相关和负相关， 相关系数的绝对值的大小越接近于，两个变量的线性相关性越强； 反之，线性相关性越弱，故D错误. 故选：D. 2．（2023·天津和平·三模）下列说法中，正确的个数为（    ） ①样本相关系数的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度； ②用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好； ③随机变量服从正态分布，若，则； ④随机变量服从二项分布，若方差，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据相关系数的性质，二项分布的性质，拟合效果的衡量以及正态分布的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】相关系数的绝对值越接近于1，成对样本数据之间线性相关的程度越强，故①正确； 用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好，故②正确； 已知随机变量服从正态分布，若，则，故③正确； 若随机变量服从二项分布，则方差，所以， 所以，所以或，故④错误. 故选：C. 3．（2023·天津和平·三模）①一组数据的第三四分位数为8； ②若随机变量，且，则； ③具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本的中心，则； ④如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有180种不同的着色方法. 以上说法正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】将数据从小到大排列，再根据百分位数的计算规则计算①，根据正态分布的性质判断②，根据回归直线必过样本中心点判断③，按照分步乘法计数原理判断④. 【详解】对于①：将数据从小到大排列为、、、、、、、、、， 所以，则第三四分位数为，故①错误； 对于②：因为，且， 所以，所以，故②正确； 对于③：因为线性回归方程为，且样本的中心， 所以，解得，故③正确； 对于④：首先涂I有种，第二步涂II有种，第三步涂III有种，第四步涂IV有种， 按照分步乘法计数原理可得一共有种涂色方法，故④正确； 故选：C 4．（2025·上天津·二模）植物社团的同学观察一株植物的生长情况，为了解植物高度（单位：厘米）与生长期（单位：天）之间的关系，随机统计了某4天的植物高度，并制作了如下对照表： 生长期 3 9 11 17 植物高度 2.4 3.4 3.8 5.2 由表中数据可得回归方程中，试预测生长期是30天时，植物高度约为 厘米. 【答案】 【分析】根据表中数据求出线性回归方程，再代入即可. 【详解】由题意可得，， 所以， 所以回归方程为， 所以预测生长期是30天时，植物高度约为厘米. 故答案为：. 5．（2025·全国·模拟预测）害虫防控对于提高农作物产量具有重要意义.已知某种害虫产卵数（单位：个）与温度（单位：）有关，测得一组数据，可用模型进行拟合，利用变换得到的线性回归方程为.若，则的值为 . 【答案】 【分析】将非线性模型两边同时取对数可得，再将样本中心点代入回归方程可得，即可计算出. 【详解】对两边同时取对数可得； 即，可得 由可得， 代入可得，即，所以. 故答案为： 6．（2025·天津·模拟预测）一只红铃虫产卵数和温度有关，现测得一组数据，可用模型拟合，设，其变换后的线性回归方程为，若，，为自然常数，则 . 【答案】 【分析】经过变换后将非线性问题转化为线性问题，在求样本点的中心，回归直线一定过该点，即可求出参数. 【详解】经过变换后，得到，根据题意，故，又，故，，故，于是回归方程为一定经过，故，解得，即，于是. 故答案为：. 7．（2024·全国·模拟预测）某种新型产品用于推广营销的费用x（单位：万元）与该产品的销售收入y（单位：万元）在某个销售周期内的统计数据如下表： 推广营销费用x 2 3 4 5 6 销售收入y 14 18 32 37.5 41 根据上表可得到y关于x的线性回归方程，则当该产品的销售收入为80万元时，用于推广营销的费用约为 万元．（结果精确到0.01） 【答案】11.36 【分析】根据回归直线一定过样本点的中心待定系数得，进而再代入计算求解即可. 【详解】由题中统计数表可知，，． 因为回归直线一定过样本点的中心，代入可得，解得， 于是可得线性回归方程为， 当该产品的销售收入为80万元时，，解得． 故答案为： 8．（2025·天津·二模）用模型拟合一组数据，若，，设，得变换后的线性回归方程为，则ak= . 【答案】 【分析】先求出，因为在回归直线上，求出，将化简为，代入即可得出答案. 【详解】由题意得，因为在回归直线上，所以，由得与比较得：，a. 故答案为：. 9．（2024·天津·三模）已知某种商品的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 50 60 70 根据上表可得回归方程，其中，据此估计，当投入10万元广告费时，销售额为 万元； 【答案】85 【分析】根据表中数据求得样本中心，代入回归方程后求得，然后再求当 的函数值即可． 【详解】由上表可知：. 得样本点的中心为，代入回归方程，得. 所以回归方程为， 将代入可得：. 故答案为：85 10．（2025·天津·调研）下列说法正确的是 ①设回归方程为，则变量增加一个单位时，平均增加3个单位； ②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1； ③随机变量服从二项分布，则； ④若，则； ⑤， 【答案】（2）（4） 【分析】对各个命题分别判断. 【详解】①回归方程为，则变量增加一个单位时，平均减少3个单位； ②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1； ③随机变量服从二项分布，则； ④若，则 ； ⑤，.. 综上所述，只有②④正确． 故答案为：②④． 34 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优02一元线性回归模型及应用 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 求回归直线方程（★★） 3 题型二 利用回归直线方程对总体进行估计（★★★） 5 题型三 线性回归分析（★★★★） 8 题型四 残差分析与相关指数的应用（★★★★★） 10 题型五 非线性回归分析（★★★★） 12 03 实战检测・分层突破验成效 15 检测Ⅰ组 重难知识巩固 15 检测Ⅱ组 创新能力提升 18 一、线性回归 1.线性回归 线性回归是研究不具备确定的函数关系的两个变量之间的关系（相关关系）的方法． 对于一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归方程的求法为 其中，，，（，）称为样本点的中心． 2.残差分析 对于预报变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值等于残差，称为相应于点的残差，即有．残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． （1）残差图 通过残差分析，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精确度越高；反之，不合适． （2）通过残差平方和分析，如果残差平方和越小，则说明选用的模型的拟合效果越好；反之，不合适． （3）相关指数 用相关指数来刻画回归的效果，其计算公式是：． 越接近于，说明残差的平方和越小，也表示回归的效果越好． 二、非线性回归 解答非线性拟合问题，要先根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，通过换元将陌生的非线性回归方程化归转化为我们熟悉的线性回归方程． 求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，还原后即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算要细心，避免计算错误． 1.建立非线性回归模型的基本步骤： （1）确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量； （2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性关系）； （3）由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型等）； （4）通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型； （5）按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程； （6）消去新元，得到非线性回归方程； （7）得出结果后分析残差图是否有异常．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等． 【常用结论】 常见的非线性回归模型 （1）指数函数型（且，） 两边取自然对数，，即， 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，． （2）对数函数型 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，． （3）幂函数型 两边取常用对数，，即， 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，． （4）二次函数型 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，． （5）反比例函数型型 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，． 题型一 求回归直线方程 【技巧通法·提分快招】 求线性回归方程的一般步骤 1．（2025·天津西青·期末）下列说法中正确的有（    ） ①线性回归方程至少经过一个样本点； ②可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大则两个变量的相关程度越强； ③在回归分析中，决定系数的模型比的模型拟合效果要好； ④残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025·天津·调研）下对于两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：，，，，则下列说法正确的是（    ） ①由样本数据得到的回归直线必经过样本点中心 ②用来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好 ③残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 ④用相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱时，越接近于，相关性越弱； A．①② B．①③④ C．①②③ D．①③ 3．（2025·天津滨海新·模拟预测）以下四个命题，其中正确的个数有（    ） ①在独立性检验中，随机变量的观测值越大，“认为两个分类变量有关”，这种判断犯错误的概率越小. ②在线性回归方程时，变量与具有负的线性相关关系； ③随机变量服从正态分布，若，则； ④两个随机变量相关性越强，则相关系数的值越接近于1. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2025·天津河西·期末）由数据，，…，可得关于的线性回归方程为，若，则（    ） A．48 B．52 C．56 D．80 5．（2025·天津北辰·三模）为了了解家庭月收入（单位：千元）与月储蓄（单位：千元）的关系，从某居民区随机抽取10个家庭，根据测量数据的散点图可以看出与之间具有线性相关关系，其回归直线方程为，若该居民区某家庭月收入为7千元，据此估计该家庭的月储蓄为 千元. 6．（2025·天津·二模）已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 50 60 70 根据上表可得回归方程，计算得，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为 A．75万元 B．85万元 C．99万元 D．105万元 7．下图是某地区2010年至2019年污染天数（单位：天）与年份的折线图．根据2010年至2014年数据，2015年至2019年的数据，2010年至2019年的数据分别建立线性回归模型，，，则（ ） A．， B．， C．， D．， 8．（2025·天津·模拟预测）假设变量与变量的对观测数据为，，…，，两个变量满足一元线性回归模型要利用成对样本数据求参数的最小二乘估计，即求使取最小值时的的值，则（    ） A． B． C． D． 题型二 利用回归直线方程对总体进行估计 【技巧通法·提分快招】 此类题已知y与x是线性相关关系，所以可求出回归方程进行估计和预测．否则，若两个变量不具备相关关系或它们之间的相关关系不显著，即使求出回归方程也毫无意义. 1．（2025·天津·开学考试）近年来，我国云计算市场规模持续增长．某科技公司云计算市场规模与年份代码的关系可以用模型拟合，设，2018年至2022年的数据统计如表所示： 年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 年份代码 1 2 3 4 5 云计算市场规模 7 20 71 200 510 0.85 1.3 1.85 2.3 2.7 若根据上表得到经验回归方程，则该科技公司2025年云计算市场规模约为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·天津和平·联考）电视剧《狂飙》于2023年1月在央视八套黄金档首播，承载着深厚的历史底蕴的《狂飙》取景拍摄地之一的江门三十三墟街即成网红打卡地，吸引了大量游客前来打卡，寻觅剧中的足迹.某文创商店为了了解游客人流量x（单位：百人次）与文创产品销售额y（单位：百元）的关系，对文创商店近期的销售情况作了统计，如下表： 2 3 4 5 6 3.8 6.1 7.8 9.9 12.4 由表中的数据得到了y关于x的线性回归方程，其中已知，由此当预测游客人流量为700人次时，文创产品的销售额大约为（   ） A．1430元 B．1420元 C．1455元 D．1416元 3．（2025·天津和平·期末）某产品的广告费用与销售利润的统计数据如下表，由表中数据用最小二乘法求得广告费用与销售利润满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（    ） 5 7 8 9 11 16 22 24 27 31 A．与有正相关关系 B． C．当时，残差为-0.5 D．当广告投入金额为10万元时，该产品的销售利润大约为29万元 4．（2025·天津武清·模拟预测）某学校数学学习兴趣小组利用信息技术手段探究两个数值变量之间的线性关系，随机抽取8个样本点，由于操作过程的疏忽，在用最小二乘法求经验回归方程时只输入了前6组数据，得到的线性回归方程为，其样本中心为.后来检查发现后，输入8组数据得到的新的线性回归方程为，新的样本中心为，已知，则以下结论中正确的个数是（    ） ①新的样本中心仍为； ②新的样本中心为； ③两个数值变量具有正相关关系； ④. A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2025·天津·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．数据7，5，3，10，2的第40百分位数是3 B．已知随机变量，σ越小，表示随机变量X的分布越分散 C．已知一组数据的方差为3，则的方差为3 D．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其经验回归方程为，若其中一个点为，则实数 6．（2025·天津·三模）已知两个变量与对应关系如下表： 若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（   ） A．与负相关 B．在处的残差为 C．经验回归直线过点 D．变量每增加一个单位，实际值一定增加个单位 7．（2024·天津·一模）为了判断某地超市的销售额与广告支出之间的相关关系，现随机抽取6家超市，得到其广告支出与销售额数据如下表，则下列说法中正确的是（   ） 超市 A B C D E F 广告支出x万元 1 2 4 6 13 10 销售额y万元 14 21 29 30 43 37 A．广告支出数据的极差为9 B．销售额数据的第80百分位数为43 C．若销售额y与广告支出c之间的经验回归方程为，则 D．若去掉超市A这一组数据，则销售额y与广告支出x之间的线性相关程度会减弱 8．（2025·天津·二模）某书店为了分析书籍销量与宣传投入之间的关系，对宣传投入x（千元）和书籍销量y（百本）的情况进行了调研，并统计得到表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） x 3 4 5 6 y 5 6.2 7.4 m A．变量x、y之间呈正相关 B．预测当宣传投入2千元时，书籍销量约为400本 C． D．拟合误差 题型三 线性回归分析 【技巧通法·提分快招】 1.解答线性回归问题，应通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，并利用残差图或相关指数R2来分析函数模型的拟合效果，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行分析． 2.刻画回归效果的三种方法 ①残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适． ②残差平方和法：残差平方和 (yi－i)2越小，模型的拟合效果越好． ③决定系数法：R2＝1－越接近1，表明回归的效果越好． 1．（2025·天津静海·期中）下列说法正确的是（   ） A．样本数据点的中心不一定在线性回归直线上 B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 D．如果两个变量的相关性越强，则相关系数就越接近于1 2．（2025·天津·调研）变量关于变量的经验回归方程为.若时，的实际观测值为8，则此时的残差为（    ） A． B． C．1 D．2 3．（2025·天津·联考）下列说法正确的是（   ） A．一组数据1，1，2，3，5，8，13，21的第60百分位数为4 B．设且，则 C．两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近于1 D．在回归分析模型中，若决定系数越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越差 4．（2026·天津南开·开学考试）某公司研发新产品投入金额（单位：万元）与该产品的收益（单位：万元）的5组统计数据如下表所示．由表中数据用最小二乘法求得投入金额与收益满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（   ） 5 7 8 9 11 16 22 24 27 31 A． B．时，残差为 C．与有正相关关系 D．当新产品投入金额为5万元时，该产品的收益大约为万元 5．（2024·天津·模拟预测）下列命题正确的是（    ） A．线性回归直线必过样本数据的中心点； B．当相关系数时，两个变量负相关； C．甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好； D．残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高； 6．（2024·天津·二模）已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为．若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差为（    ） A．0.1 B．0.2 C．-0.2 D．-0.1 7．（2025·全国·模拟预测）某种高科技产品开发的支出成本（单位：万元）与市场销售额（单位：万元）之间有如下表所示的线性相关关系，与的经验回归方程为，当支出成本为8万元时，残差为（    ） x 2 4 5 6 8 y 40 50 70 60 80 A． B．1.5 C． D．0.5 8．（2025·天津·开学考试）将收集到的6组数据对制作如图所示的散点图（点旁数据为该点坐标），由最小二乘法计算得回归直线方程：，相关系数为，相关指数为；残差分析确定点对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的5组数据计算得回归直线方程：，相关系数为，相关指数为.则以下结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四 残差分析与相关指数的应用 【技巧通法·提分快招】 对于预报变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值等于残差，称为相应于点的残差，即有．残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． 1．（2024·天津和平·二模）已知某企业对新品按事先拟定的价格进行试销，得到以下数据 单价/元 40 50 60 70 80 90 /件 45 39 38 35 30 23 由表中数据，求得经验回归方程为，下列说法错误的是（　　） A．产品的销售量和单价呈负相关 B．该经验回归直线过点 C．样本点的残差为 D．当单价定为100元时，销量估计为21件 2．（2025·天津河北·二模）某厂进行技术改造后，生产产品过程中记录的时间x（单位：天）与相应的生产能耗y（单位：吨）的几组数据，如下表所示.若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） 时间x 1 2 3 4 5 生产能耗y/吨 5 4.5 4 3.5 2.5 A．由题中数据可知，变量y与x负相关 B．线性回归方程中 C．当时，残差为- D．可以预测当时能耗约为2.2吨 3．（2025·天津和平·一模）某智能机器人公司从某年起7年的利润情况如下表所示，y关于x的回归直线方程是，则该智能机器人公司第4年利润的残差是（    ） 第x年 1 2 3 4 5 6 7 利润y/亿元 m A．亿元 B．亿元 C．亿元 D．亿元 4．（2025·天津·三模）下列说法中，正确的是（ ） A．经验回归直线是由成对样本数据中的两点确定的 B．如果两个变量的相关程度越强，则相关系数越接近于1 C．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5% 5．（2025·天津西青·联考）已知在一定范围内，水稻对氮元素的吸收量与它的根长度具有线性相关关系．某盆栽水稻实验中，在确保土壤肥力及灌溉条件相对稳定的情况下，统计了根长度（单位：cm）与氮元素吸收量（单位：mg/天）的相关数据，如下表所示： 9.9 12.1 14.8 18.2 19.9 21.8 25.1 27.7 30.4 32.1 0.30 0.34 0.42 0.50 0.55 0.60 0.71 0.74 0.78 0.86 根据表中数据可得及经验回归方程为，则（   ） A． B．变量和变量的样本相关系数 C．当时，残差为0 D．水稻根长度每增加1cm，一天的氮元素吸收量一定增加mg 6．（2024·天津滨海新·二模）对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：，则下列说法中不正确的是（    ） A．若变量y和x之间的相关系数为，则变量y和x之间具有线性相关关系 B．用决定系数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好 C．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 D．在残差图中，若残差点比较均匀地落在水平带状区域中，则说明选用的模型比较合适 7．（2025·全国·模拟预测）某同学用收集到的6组数据对制作成如图所示的散点图（点旁的数据为该点坐标），并由最小二乘法计算得到回归直线的方程：，相关系数为，决定系数为；经过残差分析，确定点E为“离群点”（对应残差过大的点），把它去掉后，再用剩下的5组数据计算得到回归直线的方程：相关系数为，决定系数为．则以下结论中，正确的是（    ）．    ①        ②        ③        ④ A．①② B．①②③ C．②④ D．②③④ 8．（2025·天津·调研）已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，去除两个样本点和后，得到新的回归直线的斜率为3．则在新的经验回归方程下，样本的残差为（   ） A． B． C．0.1 D．0.2 题型五 非线性回归分析 【技巧通法·提分快招】 建立非线性回归模型的基本步骤： （1）确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量； （2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性关系）； （3）由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型等）； （4）通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型； （5）按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程； （6）消去新元，得到非线性回归方程； （7）得出结果后分析残差图是否有异常．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等． 1．（2024·天津·二模）下列说法中，正确的命题的是（    ） A．一台晩会有个节目，其中有个小品，如果个小品不连续演出，共有不同的演出顺序种 B．已知随机变量服从正态分布，，则 C．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则、的值分别是和 D．若样本数据、、、的方差为，则数据、、、的方差为 2．（2025·天津·期中），两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的一组坐标信息．小组根据表中数据，直接对作线性回归分析，得到：回归方程，决定系数．小组先将数据按照变换，进行整理，再对，作线性回归分析，得到：回归方程，决定系数．根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·期末）下列说法： （1）分类变量与的随机变量越大，说明与相关的把握性越大； （2）以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和0.7； （3）若随机变量，且，则． 以上正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2025·全国·调研）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.已知某科技公司年至年云计算市场规模数据，且市场规模与年份代码的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，得到数据统计表如下： 年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 年份代码 1 2 3 4 5 云计算市场规模千万元 7.4 11 20 36.6 55 2 2.4 3.0 3.6 4.0 由上表可得经验回归方程，则年该科技公司云计算市场规模的估计值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·天津·联考）下列说法错误的是（    ） A．对两个变量x，y进行线性相关检验，得线性相关系数，对两个变量u，v进行线性相关检验，得线性相关系数，则变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强 B．若随机变量服从两点分布，且，则 C．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是，0.5 D．回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点； 6．（2025·天津·期末）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图．根据散点图判断，下面四个回归模型中，最适合的是（    ） A．y＝bx＋a B． C． D． 7．（2025·天津·调研）观察变量x与y的散点图发现可以用指数型模型拟合其关系，为了求出回归方程，设，求得z关于x的线性回归方程为，则a与k的值分别为（    ） A．3，2 B．2，3 C．，2 D．，3 8．云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y与年份代码x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，得到数据统计表如下： 年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 年份代码x 1 2 3 4 5 云计算市场规模y/千万元 7.4 11 20 36.6 66.7 2 2.4 3 3.6 4 由上表可得经验回归方程，则2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为（    ） A． B． C． D． 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·天津宁河·模拟预测）下列说法中，正确的有（    ） ①回归直线恒过点，且至少过一个样本点： ②根据列列联表中的数据计算得出，而，则有的把握认为两个分类变量有关系，即有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误； ③在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好； ④某项测量结果服从正态分布，若，则 A．个 B．个 C．个 D．个 2．（2025·天津和平·三模）下列结论中不正确的是（   ） A．已知随机变量，若，则 B．用决定系数来刻画回归的效果时，的值越接近1，说明模型拟合的效果越好 C．用0，1，2，3四个数字，组成有重复数字的三位数的个数为30 D．经验回归直线至少经过样本数据点中的一个点 3．（2025·天津红桥·二模）由表格数据得到的线性回归方程为，则表格中的m值为 . x 3 4 5 6 y 2.5 m 4 4.5 4．（2025·天津·二模）小明研究温差（单位：）与本单位当天新增感冒人数（单位：人）的关系，他记录了5天的数据： 3 4 5 6 7 16 20 25 28 36 由表中数据求得温差与新增感冒人数满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（   ） A．与正相关 B．经验回归直线经过点 C．当时，残差为1.8 D． 5．（2025·天津·一模）下列说法中，不正确的是（   ） A．在1，3，6，7，9，10，12，15这组数据中，第50百分位数为8 B．分类变量A与B的统计量越大，说明“A与B有关系”的可信度越大 C．根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的经验回归方程为，若，，，则 D．两个模型中，残差平方和越大的模型拟合的效果越好 6．（2025·天津河东·二模）2024年12月26日，Deep Seek—V3首个版本正式上线，截至2025年2月9日，Deep Seek APP的累计下载量已超1.1亿次，AI成为当下的热门话题.立德中学高中数学社团以16至40岁人群使用Deep Seek频率为课题，分小组自主选题进行调查研究，下列说法正确的是（    ） A．甲小组开展了Deep Seek每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数，可以推断两个变量正线性相关，但相关程度很弱 B．乙小组利用最小二乘法得到Deep Seek每周使用频次y关于年龄x的经验回归方程为，可以推断年龄为30岁的群体每周使用频次一定为17次 C．丙小组用决定系数来比较模型的拟合效果，经验回归方程①和②的分别约为0.733和0.998，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①的好很多 D．丁小组研究性别因素是否影响Deep Seek使用频次，根据小概率值的独立性检验，计算得到，可以认为不同性别的Deep Seek使用频次没有差异 7．（2025·天津宁河·一模）下列说法不正确的是（   ） A．对具有线性相关关系的变量、，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 B．若随机变量服从正态分布，且，则 C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 D．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 8．（2025·天津河东·一模）下列说法中，正确的有（    ） ①回归直线恒过点，且至少过一个样本点； ②根据列列联表中的数据计算得出，而，则有的把握认为两个分类变量有关系，即有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误； ③是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当的值很小时可以推断两类变量不相关； ④某项测量结果服从正态分布，若，则. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2024·天津河北·二模）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长. 已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模与年份代码的关系可以用模型（其中为自然对数的底数）拟合，设，得到数据统计表如下： 年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 年份代码 1 2 3 4 5 2 2.4 3 3.6 4 由上表可得经验回归方程，则2026年该科技公司云计算市场规模的估计值为（    ） （参考公式：） A． B． C． D． 10．（2024·天津河东·二模）下列说法中正确的是（   ） A．具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本的中心，则 B．数据3，4，2，8，1，5，8，6的中位数为5 C．将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差变大 D．若甲、乙两组数据的相关系数分别为和0.89，则甲组数据的线性相关性更强 11．（2024·天津·模拟预测）下列说法正确的序号是（    ） ①在回归直线方程中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.8个单位； ②利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得最小的原理； ③已知X，Y是两个分类变量，若它们的随机变量的观测值k越大，则“X与Y有关系”的把握程度越小； ④已知随机变量服从正态分布，且，则. A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①②④ 12．（2024·天津·二模）有人通过调查统计发现，儿子成年时的身高与父亲的身高呈线性相关，且儿子成年时的身高（单位：）与父亲的身高（单位：）的经验回归方程为，根据以上信息，下列判断正确的为（    ）． A．儿子成年时的身高与父亲的身高的样本相关系数 B．父亲的身高为，儿子成年时的身高一定在到之间 C．父亲的身高每增加，儿子成年时的身高平均增加 D．儿子在成年时的身高一般会比父亲高 13．（2024·天津·一模）已知变量x和y满足经验回归方程，且变量x和y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（    ） 6 8 10 12 7 4 3 A．变量x和y呈负相关 B．当时， C． D．该经验回归直线必过点 14．（2024·天津河西·一模）随着居民家庭收入的不断提高，人们对居住条件的改善的需求也在逐渐升温．某城市统计了最近5个月的房屋交易量，如下表所示： 时间 1 2 3 4 5 交易量（万套） 0.8 1.0 1.2 1.5 若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则下列说法错误的是（    ） A．根据表中数据可知，变量与正相关 B．经验回归方程中 C．可以预测时房屋交易量约为（万套） D．时，残差为 15．（2025·天津北辰·三模）下列命题中 ①根据经验回归方程所得到的预报值就是响应变量的精确值 ②若随机变量满足，则 ③两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 ④设且，则 其中错误命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2024·天津北辰·模拟预测）下列命题中，不正确的是（   ） A．若随机变量，则 B．若随机变量，且，则 C．若，，则的最小值为 D．两个随机变量的相关系数越大，两个变量的线性相关性越强 2．（2023·天津和平·三模）下列说法中，正确的个数为（    ） ①样本相关系数的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度； ②用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好； ③随机变量服从正态分布，若，则； ④随机变量服从二项分布，若方差，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2023·天津和平·三模）①一组数据的第三四分位数为8； ②若随机变量，且，则； ③具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本的中心，则； ④如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有180种不同的着色方法. 以上说法正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2025·上天津·二模）植物社团的同学观察一株植物的生长情况，为了解植物高度（单位：厘米）与生长期（单位：天）之间的关系，随机统计了某4天的植物高度，并制作了如下对照表： 生长期 3 9 11 17 植物高度 2.4 3.4 3.8 5.2 由表中数据可得回归方程中，试预测生长期是30天时，植物高度约为 厘米. 5．（2025·全国·模拟预测）害虫防控对于提高农作物产量具有重要意义.已知某种害虫产卵数（单位：个）与温度（单位：）有关，测得一组数据，可用模型进行拟合，利用变换得到的线性回归方程为.若，则的值为 . 6．（2025·天津·模拟预测）一只红铃虫产卵数和温度有关，现测得一组数据，可用模型拟合，设，其变换后的线性回归方程为，若，，为自然常数，则 . 7．（2024·全国·模拟预测）某种新型产品用于推广营销的费用x（单位：万元）与该产品的销售收入y（单位：万元）在某个销售周期内的统计数据如下表： 推广营销费用x 2 3 4 5 6 销售收入y 14 18 32 37.5 41 根据上表可得到y关于x的线性回归方程，则当该产品的销售收入为80万元时，用于推广营销的费用约为 万元．（结果精确到0.01） 8．（2025·天津·二模）用模型拟合一组数据，若，，设，得变换后的线性回归方程为，则ak= . 9．（2024·天津·三模）已知某种商品的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 50 60 70 根据上表可得回归方程，其中，据此估计，当投入10万元广告费时，销售额为 万元； 10．（2025·天津·调研）下列说法正确的是 ①设回归方程为，则变量增加一个单位时，平均增加3个单位； ②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1； ③随机变量服从二项分布，则； ④若，则； ⑤， 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $