精品解析：河南省驻马店市泌阳县部分初中联考2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025—2026学年上册阶段性评估卷一 九年级数学（RJ） 测试范围：第二十一章—第二十二章 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】根据二次函数的定义，可得答案． 解：A．是二次函数，故本选项符合题意； B．是二次函数，故本选项不符合题意； C．是一次函数，故本选项不符合题意； D．右边是分式，不是整式，y不是x的二次函数，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如（a．b．c为常数，）的函数，叫二次函数． 2. 若x＝1是方程x2﹣4x+m＝0的根，则m的值为（　　） A. ﹣3 B. ﹣5 C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解，把代入方程得到关于的一次方程，然后解此一次方程即可． 【详解】解：把代入得， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 3. 对于二次函数，下列说法不正确的是（ ） A. 当时，有最大值 B. 当时，随的增大而减小 C. 开口向下 D. 函数图象与轴交于点和 【答案】A 【解析】 【分析】先把一般式配成顶点式得到y=-（x-1）2+4，再根据二次函数的性质可对A、B、C进行判断；通过解方程-x2+2x+3=0得抛物线与x轴的交点坐标，可对D进行判断． 【详解】解：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，-1＜0， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为（1，4），故C正确，不符合； 当x≥1时，y随x的增大而减小，故B正确，不符合； 当x=1时，y有最大值4，故A错误，符合； 当y=0时，-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），故D正确，不符合； 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 4. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（ ） A. B. 2024 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查配方法，一移，二配，三变形，将方程配方后，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴， ∴； 故选C． 5. 定义新运算：，例如：．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 先根据题目所给新定义运算法则，得出，再根据“该方程有两个不相等的实数根”得出，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：C． 6. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，且设平均每月的增长率为，进而列式即可作答． 【详解】解：由题意，一月份工业产值达50亿元，平均每月的增长率为，则二月份工业产值为亿元，三月份工业产值为亿元， ∵一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元， ∴， 故选：D 7. 对于二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键． 先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，对称轴，再由当时，y随x的增大而减小，得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵，且， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴， ∴m的取值范围为． 故选：B 8. 关于的方程的两个根是等腰的两条边长，已知一个根是2，则的周长为（ ） A. 14 B. 10 C. 14或10 D. 10或12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义；由方程的解求出，解方程求出另一个根，由等腰三角形的定义即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 设另一根为， ， 解得：， 当为腰时， 此种情况不符合； 当为腰时， ， 符合题意， 的周长为：， 故选：A． 9. 抛物线开口向上，顶点为，，抛物线与x轴交于点，，，，则下列结论中，正确的结论有（ ） ①；②；③. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的系数与图像的关系是解题的关键．根据抛物线的开口方向、顶点坐标、与轴交点等性质，结合二次函数的系数关系，对三个结论逐一分析判断． 【详解】解：∵ 抛物线开口向上， ∴ ， ∵ 顶点横坐标为，即， ∴ ， ∵，， ∴， ∴ ， ∴ ，故①正确， ∵ ， ∴ ，故②正确， ∵ 抛物线与轴交于，， ∴ 当时，；当时，， ∴ ，即，，故③正确， 故选：． 10. 对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，仿照题干，正确理解一元二次方程的几何解法是解题关键．参照已知方法，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，求出大正方形的边长为10，得到，再根据小正方形的边长为，小正方形的边长的面积是4，求出，即可得到的值． 【详解】解：由题意可知，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和， ∵，小正方形的面积为， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴， ∴， ∵小正方形的边长为，即， ∵， 即， 故， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 若是一元二次方程的一个实数根，则的值是_____． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；根据一元二次方程根的定义，将代入方程得到，再代入所求表达式即可求解． 【详解】解：因为是一元二次方程的一个实数根，所以满足方程，即，则有， ∴； 故答案为2026． 12. 若点，在抛物线上，且，则a的取值范围为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握对称轴的特点，二次函数图象的性质等知识是解题的关键．由抛物线解析式得其对称轴为直线，再根据得点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，进而可得关于a的不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵点，在抛物线上，且， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴，即， ∴， 解得， 故答案为：. 13. 若实数，则的值为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，用换元法解一些复杂的方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化．设，原式化为：，解一元二次方程求得的值，从而求得． 【详解】解：设，原式化为：， 整理得，， 解得，， ， ， 故答案为：6． 14. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m-1=0，则3m-1=-m2，根据根与系数的关系得出m+n=-3，再将其代入整理后的代数式计算即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根， ∴m2+3m-1=0， ∴3m-1=-m2， ∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根， ∴m+n=-3， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程()的两根时，，．也考查了一元二次方程的解． 15. 如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D的下方），且，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键．作点关于对称轴的对称点，向下平移3个单位，得到，连接，交对称轴于点，此时的值最小，利用解析式求得、点的坐标，根据抛物线的对称性求得的坐标，进一步求得的坐标，再求解即可． 【详解】解：作点关于对称轴的对称点，向下平移3个单位，得到，连接，交对称轴于点，此时的值最小， 可得 四边形是平行四边形， ， ， 在中，令，则， 点， 令，则， 解得或， 点， 抛物线的对称轴为直线， ， ， ， 的最小值是． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用配方法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）运用配方法求解即可； （2）直接运用因式分解法求解即可； （3）运用配方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ，． 【小问2详解】 解：， ， 或， ∴，． 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ∴，． 17. 已知抛物线． （1）列表，描点，在平面直角坐标系中画出的图象． （2）若抛物线的顶点为M，抛物线与x轴的交点为A，B（A在B的右侧），求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象，二次函数与坐标轴的交点，三角形的面积，求解A，B两点坐标是解题的关键． （1）先根据y与x的关系式列表，再在坐标系中标点后连线即可画出图象； （2）由列表可知A，B两点坐标，即可求解的长，再利用三角形的面积公式计算可求解． 【小问1详解】 解：列表如下： x 0 1 2 y 5 0 图象如图所示： 【小问2详解】 解：由抛物线的图象可知，顶点坐标为， 在中， 当时，， 解得，， ∵A在B的右侧， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积为8． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：由题意得：， 则：， 无论取何值，，则， 不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． （2），方程的另一个根为 【解析】 【分析】本题围绕一元二次方程展开，（1）通过根的判别式证明方程根的情况；（2）利用根的定义和方程求解（或韦达定理）得出和另一根，核心是对一元二次方程根的相关知识（判别式、根的定义、韦达定理 ）． （1） 根的判别式应用：通过计算得：，利用平方数非负性，证明无论取何值，，以此判定方程总有两个不相等实数根，重点考查对根的判别式概念及作用的理解． （2）方程根的定义与求解：已知根，代入方程可求出的值，再回代方程求解另一根；或结合韦达定理，利用根与系数关系求另一根，考查对“方程的根满足方程”这一基本定义，以及韦达定理（根与系数关系）的运用，体现“代入求值”“方程求解”的解题思路． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入方程可得，解得， 当时，原方程为，解得：， 即方程的另一个根为． 19. 如图，公园原有一块长16m、宽12m的矩形空地．后来在这块空地中划出不同区域种植不同品种的鲜花，中间铺设同样宽度的石子路将各区域间隔开．已知各区域鲜花面积的和为，求所铺设的石子路的宽度． 【答案】所铺设的石子路的宽度为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设铺设的石子路的宽度为，根据鲜花的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合实际的值即可得出结论． 【详解】解：设所铺设的石子路的宽度为． 根据题意，得． 解得（不合题意，舍去）． 答：所铺设的石子路的宽度为． 20. 如图，点是抛物线上的一点． （1）求的值； （2）若将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度恰好经过点，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移问题，待定系数法求函数解析式等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）将代入即可求解； （2）先表示平移后的函数解析式，再代入求解即可． 【小问1详解】 解：将代入得：， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）可得二次函数的解析式为， ∴经过平移后的解析式为， ∵平移后的图象经过点， ∴， 解得． 21. 已知函数（b为常数）， （1）若图象经过点，判断图象是否经过点，并请说明理由； （2）设该函数图象的顶点坐标为，当b的值变化时，求m与n的关系式； （3）若该函数图象不经过第三象限，求b的取值范围． 【答案】（1）经过，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，求二次函数的函数值，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式，再求出自变量的值为3的函数值即可得到结论； （2）根据顶点坐标公式可得，，据此可求出m、n之间的关系式； （3）函数开口向上，且函数图象不经过第三象限，那么与y轴的交点坐标不能在y轴负半轴，据此可求出b的取值范围，进而可确定对称轴在y轴右侧，那么顶点一定不能在x轴下方，据此求解即可． 【小问1详解】 解：图象经过点，理由如下： 把点代入得：， 解得， ∴此函数表达式为， ∴当时，， ∴图象经过点． 【小问2详解】 解：∵函数（b为常数）的顶点坐标是， ∴，， ∴， 把代入得，， ∴m与n的关系式为； 【小问3详解】 解：把代入得， ∵图象不经过第三象限， ∴，即， ∵， ∴顶点坐标为， ∵， ∴当时，抛物线不经过第三象限， 解得． 22. 如图，在矩形中，，．动点从点A出发，以的速度沿着折线向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿着向终点运动，连接，，设运动时间为，的面积为． （1）当点在边上时， ， （用含的式子表示）． （2）当时，求的值． （3）连接，当时，求的值． （4）当点在边上，且时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3） （4）7 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题、列代数式、勾股定理、一元二次方程的应用等知识点，根据题意正确画出图形是解题的关键． （1）直接根据题意列代数式即可； （2）先画出图形，再求出，然后根据图形以及三角形面积公式求解即可； （3）先题意画出图形可得：， ，再根据勾股定理列方程求得，再，然后根据图形以及三角形面积公式求解即可； （4）由点在边上可得，据此画出图形，再用x表示出，，然后根据列一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵在矩形中，，． ∴ 由题意可得：，则． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：如图：当时，点P在上，点Q在上，， 所以的面积为． 【小问3详解】 解：由题意可得：， ， ∵， ∴，解得：， 如图：当时，点P在上，点Q在上，， 所以的面积为． 【小问4详解】 解：如图：∵点在边上，， ∴，， ∵， ∴， ∴，整理得：，解得：或9（不合题意、舍去）， ∴的值为7． 23. 阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）应用：一元二次方程的两个实数根为，则 ， ； （2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，则的值为 ； （3）提升：已知实数s，t满足，且，则的值 ； （4）拓展：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】（1）， （2） （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可； （3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而由，求得或，最后分类讨论分别代入求值即可； （4）根据方程有两个不相等的实数根得到，求出，然后利用根与系数的关系得到，，然后代入求出，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵一元二次方程的两根分别为m、n， ∴，， ∴ ； 【小问3详解】 解：∵实数s、t满足， ∴s、t可以看作方程的两个根， ∴，， ∵ ， ∴或， 当时， ， 当时， ， 综上分析可知，的值为或． 【小问4详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得 ∵关于的一元二次方程 ∴， ∵ ∴ ∴ 解得 综上所述，． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，完全平方公式的变形计算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年上册阶段性评估卷一 九年级数学（RJ） 测试范围：第二十一章—第二十二章 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若x＝1是方程x2﹣4x+m＝0的根，则m的值为（　　） A. ﹣3 B. ﹣5 C. 3 D. 5 3. 对于二次函数，下列说法不正确的是（ ） A. 当时，有最大值 B. 当时，随的增大而减小 C. 开口向下 D. 函数图象与轴交于点和 4. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（ ） A. B. 2024 C. D. 1 5. 定义新运算：，例如：．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（    ） A. B. C. D. 6. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 对于二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 关于的方程的两个根是等腰的两条边长，已知一个根是2，则的周长为（ ） A. 14 B. 10 C. 14或10 D. 10或12 9. 抛物线开口向上，顶点为，，抛物线与x轴交于点，，，，则下列结论中，正确的结论有（ ） ①；②；③. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 10. 对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 若是一元二次方程的一个实数根，则的值是_____． 12. 若点，在抛物线上，且，则a的取值范围为__________. 13. 若实数，则的值为__________． 14. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 15. 如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D的下方），且，则的最小值是________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）； （3）． 17. 已知抛物线． （1）列表，描点，在平面直角坐标系中画出的图象． （2）若抛物线的顶点为M，抛物线与x轴的交点为A，B（A在B的右侧），求的面积． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 19. 如图，公园原有一块长16m、宽12m的矩形空地．后来在这块空地中划出不同区域种植不同品种的鲜花，中间铺设同样宽度的石子路将各区域间隔开．已知各区域鲜花面积的和为，求所铺设的石子路的宽度． 20. 如图，点是抛物线上的一点． （1）求的值； （2）若将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度恰好经过点，求的值． 21. 已知函数（b为常数）， （1）若图象经过点，判断图象是否经过点，并请说明理由； （2）设该函数图象的顶点坐标为，当b的值变化时，求m与n的关系式； （3）若该函数图象不经过第三象限，求b的取值范围． 22. 如图，在矩形中，，．动点从点A出发，以的速度沿着折线向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿着向终点运动，连接，，设运动时间为，的面积为． （1）当点在边上时， ， （用含的式子表示）． （2）当时，求的值． （3）连接，当时，求的值． （4）当点在边上，且时，直接写出的值． 23. 阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）应用：一元二次方程的两个实数根为，则 ， ； （2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，则的值为 ； （3）提升：已知实数s，t满足，且，则的值 ； （4）拓展：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $