精品解析：天津市蓟州区第一中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试卷

2025~2026学年度第一学期第一次学习质量调查 高一年级数学学科 一、选择题（共14小题，每题4分，共56分） 1. 下列五个写法：①；②；③；④；⑤，其中错误写法的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 6. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，那么 D. 若，则 9. 满足关系{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5}的集合的个数是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 10. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 11. 已知，且，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 使不等式成立的一个充分不必要条件是 A. B. C. 或 D. 13. 已知命题“”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 14. 已知，且不等式对任意恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 15. 已知，若集合，则的值为____________. 16. 已知命题为真命题，则实数的取值范围是____________. 17. 已知集合，且，则实数的值为_______. 18. 对于数集M､N，定义，，若集合，则集合中所有元素之和为___________. 19. 设，若恒成立，则的最大值为______________. 20. 已知，且，则的最小值为______，此时______． 三、解答题（共4小题，共40分） 21. 已知全集为R，集合. （1）求，； （2）若，求的取值范围. 22. 已知集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若是真命题，求实数的取值范围. 23. 已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立. （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若和中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围. 24. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期第一次学习质量调查 高一年级数学学科 一、选择题（共14小题，每题4分，共56分） 1. 下列五个写法：①；②；③；④；⑤，其中错误写法的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系及交集的概念依次判断即可. 【详解】对于①，因为是集合，是集合，且，， 所以，故①错误； 对于②，因为是集合中的元素，所以，故②正确； 对于③，因为是任何集合的子集，所以，故③错误； 对于④，因为不含任何元素，所以，故④错误； 对于⑤，因为是一个元素，是一个集合，而交集运算只有集合与集合之间，故⑤错误； 综上，①③④⑤错误，故错误写法的个数为4. 故选：D 2. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求全集，进而求，最后根据集合的交集运算即可求解. 【详解】依题意得，，，所以． 故选：C. 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题求解即可. 【详解】命题“”的否定是：. 故选：D 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】化简不等式，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】不等式，不等式， 而集合是集合的真子集， 所以“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B 5. 已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分不必要条件可得集合的包含关系，即可得到答案. 【详解】根据题意，或， 是的充分不必要条件， 所以且， 则. 故选：D 6. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由判别式小于0可得解. 【详解】由中，，可得解集为. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的求解，属于基础题. 7. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用绝对值的定义以及充分条件必要条件的定义判断即可. 【详解】若，，满足，但是不满足， 所以“”是“”的不充分条件； 若，则当时，因为，所以， 当， ，所以， 所以“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 8. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，那么 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断． 【详解】对A，当时，，A错； 对B，例如时，，B错； 对C，例如，满足，但，C错； 对D，若，则，所以，D正确． 故选：D． 9. 满足关系{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5}的集合的个数是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】 根据{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5}列举求解. 【详解】因为{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5}， 所以A={1，2}，A={1，2，3}，A={1，2，4}，A={1，2，5}，A={1，2，3，4}， A={1，2，3，5}，A={1，2，4，5}，A={1，2，3，4，5}，共8个， 故选：C 10. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集求出参数、的值，再利用二次不等式的解法可得出所求不等式的解集. 【详解】因为不等式的解集为，所以， 则方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，解得， 所以，不等式即为，解得或， 因此，不等式的解集为或. 故选：C. 11. 已知，且，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，从而得到，解得即可. 【详解】因为，，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 即， 因为恒成立，可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 12. 使不等式成立的一个充分不必要条件是 A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先解出不等式，因为是不等式成立的一个充分不必要条件，所以满足是不等式的真子集即可． 【详解】因为，所以或，需要是不等式成立的一个充分不必要条件，则需要满足是的真子集的只有A,所以选择A 【点睛】本题主要考查了解不等式以及命题之间的关系，属于基础题． 13. 已知命题“”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据原命题为假，则否命题为真，写出否命题，由题意列不等式求解即可. 【详解】命题“”为假命题， 则其否定为：“”真命题， 所以，解得. 故选：B 14. 已知，且不等式对任意恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式恒成立可得出，再利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】解：因为不等式对任意恒成立， 所以，， 因为，对称轴为，在上单调递减， 所以，当时，有最小值， 所以， 所以， 当且仅当且时等号成立，即时等号成立，满足. 所以的最大值为. 故选：C 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 15. 已知，若集合，则的值为____________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据集合中元素完全相同进行分类讨论求出的值即可. 【详解】由集合中元素特征可知，又，所以，因此； 可知，所以， 因此，解得或； 经检验可知时，不满足元素互异性，舍去； 当时，两集合为. 因此. 故答案为：1 16. 已知命题为真命题，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，转化为在上恒成立，分和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由命题为真命题，即在上恒成立， 当时，不等式即为，显然不恒成立； 当时，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 17. 已知集合，且，则实数的值为_______. 【答案】或或 【解析】 【分析】计算出集合后，分及进行讨论即可得. 【详解】，解得或，则， 当时，，则，符合要求； 当时，由，则有或，即或； 综上所述：的值为或或. 故答案为：或或. 18. 对于数集M､N，定义，，若集合，则集合中所有元素之和为___________. 【答案】##11.5 【解析】 【分析】根据定义分别求出中对应的集合的元素即可得到结论． 【详解】,， ,,,3,， ,3,4,1,， 元素之和为， 故答案为：. 19. 设，若恒成立，则的最大值为______________. 【答案】 【解析】 【分析】由，利用基本不等式即可求得结果. 【详解】，， （当且仅当，即时取等号）， ，即的最大值为. 故答案为：. 20. 已知，且，则的最小值为______，此时______． 【答案】 ①. 12 ②. 或1 【解析】 【分析】由代入目标式，应用基本不等式求目标式的最小值，并确定取值条件. 【详解】由题设，则， 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 此时，可得，故或时等号成立. 综上，或时目标式取最小值为12. 故答案为：12；或1 三、解答题（共4小题，共40分） 21. 已知全集为R，集合. （1）求，； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）；或 （2）或 【解析】 【分析】（1）利用补集与并集的概念运算即可. （2）根据交集的概念分类讨论计算即可. 【小问1详解】 由题意易知，或， 所以或； 【小问2详解】 显然，要使，需使或， 综上，的取值范围为或. 22. 已知集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若是真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）由可得，解出集合后分及讨论即可得； （2）由题意可得，则可先计算出的取值范围再取其补集即可得. 【小问1详解】 由可得，即， 由可得， 则当时，有，解得； 当时，有，解得； 综上所述：实数的取值范围为或； 【小问2详解】 由是真命题，则； 当时，若，则由（1）中得； 当时，有或， 解得或； 故时，或； 则当时，有. 23. 已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立. （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若和中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由不等式恒成立得关于的不等式，解之可得； （2）根据真假和假真分类讨论，然后综合可得． 【小问1详解】 时，， 不等式恒成立，则，解得； 【小问2详解】 由（1）知真时，， 时，，真时，，， 真假时， ，所以， 假真时，，所以， 综上，的范围是． 24. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式： 【答案】（1） （2） 当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，的解集为. 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可； （2）因式分解得到，根据a的不同取值范围分类讨论即可. 【小问1详解】 不等式的解集为，即恒成立； 当时，的解集不为，不合题意； 当时，恒成立，则， 解得，所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 由题意得， 当时，解得； 当时，是开口向上的抛物线，两根分别为和， 当，即时，的解为或， 当，即时，的解为， 当，即时，的解为或； 当时，是开口向下的抛物线，两根分别为和，且， 此时的解为； 综上，当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $