精品解析：江西省吉安市第八中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

吉安八中2025—2026学年第一学期第一次阶段测评 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各组数中，是“勾股数”的一组是（ ） A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 6，8，10 D. 1，，2 2. 下列各式：①，②，③，④中，最简二次根式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 若的三边分别是，，，则下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. ，， 4. 如图，所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为(　　) A. 9 B. 8 C. 27 D. 45 5. 实数a、b在数轴上位置如图所示，则化简的结果（ ） A. B. C. D. 0 6. 定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．如图，在中，，，，则中边的“中偏度值”为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算：______． 8. 若，则的平方根为_________． 9. 下面的图（2）是图（1）的侧面展开图一只小昆虫沿着圆柱的侧面，从A点沿最短的距离爬到B点，则B点在图（2）中的位置是______．（请填序号） 10. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶到肚脐的长度与肚脐到足底的长度的比值是，著名的雕塑断臂的维纳斯便是如此．比较大小：______（填“”或“”）． 11. 如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为______． 12. 如图，在中，于点D，，，，点P从点C出发向点B运动，速度为每秒2个单位长度，当t为______秒时，为等腰三角形． 三．解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：． （2）如图，求出下列直角三角形中未知边的长度． 14. 解方程： （1）； （2） 15. 如图，在中，，垂足为，且．求证：是直角三角形． 16. 已知某正数的两个不同的平方根为和，的立方根为． （1）求的值； （2）求的平方根． 17. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图： （1）在图中画一条线段，使； （2）在图中画一个三边长均为无理数，且各边都不相等的直角． 四．解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． （1）求风筝的垂直高度． （2）如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 19. 如图，矩形中，，，是边上一点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上，求的长． 20. 若最简二次根式与是同类二次根式． （1）求a的平方根； （2）对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“”如下：，如：，请求的值． 五．解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 已知 （1）求； （2）若a是x的小数部分，b是y的整数部分，求的值． 22. 先阅读下列解答过程：形如的式子的化简，只要我们找到两个正数，，使，，即，，那么便有．例如：化简． 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， 所以． 请根据材料解答下列问题： （1）填空：     ； （2）填空：     ； （3）化简：． 六．解答题（本大题共1小题，共12分） 23. 如图1，中，，，，点D为斜边上动点． （1）如图2，过点D作交CB于点E，连接AE，当AE平分时，求CE； （2）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，若为等腰三角形，直接写出AD的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉安八中2025—2026学年第一学期第一次阶段测评 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各组数中，是“勾股数”的一组是（ ） A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 6，8，10 D. 1，，2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数的定义．勾股数必须满足都是正整数，同时还需满足两较小的数的平方和等于最大数的平方，据此注意判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴4，5，6，不是勾股数，不符合题意； B、，这两个数都不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意； C、∵， ∴6，8，10是勾股数，符合题意； D、不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 2. 下列各式：①，②，③，④中，最简二次根式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】利用最简二次根式的概念分析得出答案． 【详解】解：①是最简二次根式； ②=，不是最简二次根式； ③，不是最简二次根式； ④，不是最简二次根式； 最简二次根式有1个， 故选：A． 【点睛】本题考查了最简二次根式，正确理解二次根式的定义是解题的关键． 3. 若的三边分别是，，，则下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的知识，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理．据相关知识逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴A可以判定是直角三角形，不符合题意； ∵，， ∴， ∴B不能判定是直角三角形，符合题意； ∵，，， ∴，，， ∴， ∴C可以判定是直角三角，不符合题意； ∵，，， ∴，，， ∴， ∴D可以判定是直角三角；不符合题意． 故选：B． 4. 如图，所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为(　　) A. 9 B. 8 C. 27 D. 45 【答案】A 【解析】 【分析】设正方形D的面积为x，根据图形得出方程2+4=x-3，求出即可． 【详解】∵正方形A、B、C的面积依次为2、4、3， ∴根据图形得：2+4=x−3． 解得：x=9． 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理，根据图形推出四个正方形的关系是解决问题的关键． 5. 实数a、b在数轴上位置如图所示，则化简的结果（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了利用二次根式的性质化简，实数与数轴之间的对应关系，解题关键是根据a，b在数轴上的位置判断各数的符号以及绝对值的大小．首先结合数轴确定，易得，然后再根据运算法则进行计算，即可获得答案． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴ ， 故选：A． 6. 定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．如图，在中，，，，则中边的“中偏度值”为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考察了勾股定理，解答本题的关键是明确题意，求出边上的高和该边上的中点到高的距离．根据题意和题目中的数据，可以计算出中边上的高和该边上的中点到的距离，再求它们的比值即可． 【详解】解：作于点D，为的中线， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵为斜边上的中线，， ∴， ∴， 即点到的距离为， ∴中边的“中偏度值”为：， 故选：A． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算：______． 【答案】2 【解析】 【详解】解：． 8. 若，则的平方根为_________． 【答案】##3和##和3 【解析】 【分析】根据非负数的性质可解得，，即可解得，然后根据平方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴，， 解得，， ∴， ∴的平方根为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质以及求平方根的知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 9. 下面的图（2）是图（1）的侧面展开图一只小昆虫沿着圆柱的侧面，从A点沿最短的距离爬到B点，则B点在图（2）中的位置是______．（请填序号） 【答案】③ 【解析】 【分析】要求小昆虫爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解：如图所示：从A点沿最短的距离爬到B点，则B点在图（2）中③的位置． 故答案为：③ 【点睛】此题主要考查圆柱的特征，灵活运用“两点之间线段最短”，是解答本题的关键． 10. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶到肚脐的长度与肚脐到足底的长度的比值是，著名的雕塑断臂的维纳斯便是如此．比较大小：______（填“”或“”）． 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算和比较大小，正确判断的范围是求解本题的关键． 通过比较与的大小，利用算术平方根性质得出，推出，进而得出结论． 【详解】解：∵， ∴，即 ． ∴，即 ∴． 故答案为：． 11. 如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为______． 【答案】20米## 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是能够将圆柱体的侧面展开，并分析出每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形． 根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形，如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， 底面周长约为6米，柱身高约16米， ， ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 故答案为：20米． 12. 如图，在中，于点D，，，，点P从点C出发向点B运动，速度为每秒2个单位长度，当t为______秒时，为等腰三角形． 【答案】或3或 【解析】 【分析】本题考查了的等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是根据等腰三角形的性质进行分类讨论． 根据题意进行分类讨论：①当时，②当时，③当时，即可解答． 【详解】解：①当时， ； ②当时， ∵，，， ∴， 则， ∴； ③当时， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， 综上：t为秒或3秒或秒， 故答案为：或3或． 三．解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：． （2）如图，求出下列直角三角形中未知边的长度． 【答案】（1）0；（2） 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，勾股定理． （1）先将立方根和算术平方根化简，再进行计算即可； （2）根据勾股定理即可解答． 【详解】解：（1） ； （2）根据勾股定理可得：． 14. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查利用开平方和开立方解方程， （1）移项后开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． （2）移项后开立方即可得出一个一元一次方程，求出方程的解即可． 【小问1详解】 解： ∴ ∴ ∴ 解得：或 【小问2详解】 解： ∴ ∴ 解得： 15. 如图，在中，，垂足为，且．求证：是直角三角形． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵，，． ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．先利用勾股定理求出和，得到，再利用勾股定理的逆定理进行证明． 【详解】略 16. 已知某正数的两个不同的平方根为和，的立方根为． （1）求的值； （2）求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根与立方根、一元一次方程的应用、代数式求值等知识，熟练掌握平方根与立方根的性质是解题关键． （1）根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数建立方程，解方程可得的值，再根据立方根的性质即可得的值； （2）将的值代入可得的值，再根据平方根的性质即可得． 【小问1详解】 解：∵正数的两个不同的平方根是和， ， 解得， 的立方根为， ， 解得， ． 【小问2详解】 解：由（1）已得：， ∴， ∴的平方根为． 17. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图： （1）在图中画一条线段，使； （2）在图中画一个三边长均为无理数，且各边都不相等的直角． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，勾股定理逆定理，实数的运算． （1）根据勾股定理，则只需构造一个以1和4为直角边的直角三角形，则斜边即为； （2）根据正方形的性质，则只需构造两条分别是和的对角线，即得到一个三边长均为无理数的直角三角形． 【小问1详解】 解：如图，线段即为所求； 由勾股定理，得：． 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 由勾股定理，得， ∴， ∴为三边均为无理数的直角三角形． 四．解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． （1）求风筝的垂直高度． （2）如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）如图，在上取点，使米，根据勾股定理求出，再计算即可； 【小问1详解】 解：根据题意得：米，米，米， 在中，米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴风筝的垂直高度为米； 【小问2详解】 如图，在上取点，使米，连接， ∴（米）， 在中，（米），（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：他应该往回收线米． 19. 如图，矩形中，，，是边上一点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】利用矩形的性质，轴对称的性质和勾股定理求得，设，则，在中，利用勾股定理列出方程解答即可． 【详解】解：四边形是矩形，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上， ，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 20. 若最简二次根式与是同类二次根式． （1）求a的平方根； （2）对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“”如下：，如：，请求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，求平方根，新定义下的实数运算,二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的定义及二次根式的化简是解题的关键． （1）根据同类二次根式的定义得出，求出a，再根据平方根的定义求出a的平方根即可； （2）先根据新运算求出，再根据新运算求出的值即可． 【小问1详解】 最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得， 的平方根是； 【小问2详解】 ， ， ． 五．解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 已知 （1）求； （2）若a是x的小数部分，b是y的整数部分，求的值． 【答案】（1）10 （2） 【解析】 【分析】（1）先代入，再根据二次根式的性质进行分母有理化，从而解决此题． （2）先化简确定a与b，再代入求解． 【小问1详解】 ∵， ∴ ＝ ＝ ＝4﹣ ＝10． 【小问2详解】 ∵， ∴a＝，b＝2． ∴ ＝ ＝ ＝ ＝． 【点睛】本题主要考查分母有理化，熟练掌握二次根式的性质是解决本题的关键． 22. 先阅读下列解答过程：形如的式子的化简，只要我们找到两个正数，，使，，即，，那么便有．例如：化简． 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， 所以． 请根据材料解答下列问题： （1）填空：     ； （2）填空：     ； （3）化简：． 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）直接根据阅读材料进行变换化简即可； （2）根据例题把，变成，然后根据阅读材料进行化简； （3）先根据阅读材料将分母进行化简，然后分母有理化，再合并同类二次根式化为最简形式． 【小问1详解】 解：∵，，即，， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 解：首先把化为，这里，， ∵，，即，， ∴． 故答案为：； 【小问3详解】 ． 【点睛】本题是一道阅读理解题，主要考查了二次根式的性质与化简，解答本题的关键是掌握题目中告知问题的解题思路与方法，然后利用这种解题方法解决新问题． 六．解答题（本大题共1小题，共12分） 23. 如图1，中，，，，点D为斜边上动点． （1）如图2，过点D作交CB于点E，连接AE，当AE平分时，求CE； （2）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，若为等腰三角形，直接写出AD的值． 【答案】（1）7.5；（2）15或12.5或18 【解析】 【分析】（1）由△ACE≌△ADE（AAS），推出CE=DE，AC=AD=15，设CE=x，则BE=20-x，BD=25-15=10，在Rt△BED中根据勾股定理即可解决问题； （2）分两种情形分别求解即可解决问题； 【详解】解：（1）∵AC⊥CB，AC=15，AB=25 ∴BC=20， ∵AE平分∠CAB， ∴∠EAC=∠EAD， ∵AC⊥CB，DE⊥AB， ∴∠EDA=∠ECA=90°， ∵AE=AE， ∴△ACE≌△ADE（AAS）， ∴CE=DE，AC=AD=15， 设CE=x，则BE=20-x，BD=25-15=10 在Rt△BED中 ∴x2+102=（20-x）2， ∴x=7.5， ∴CE=7.5． （2）①当AD=AC时，△ACD为等腰三角形 ∵AC=15， ∴AD=AC=15． ②当CD=AD时，△ACD为等腰三角形 ∵CD=AD， ∴∠DCA=∠CAD， ∵∠CAB+∠B=90°， ∠DCA+∠BCD=90°， ∴∠B=∠BCD， ∴BD=CD， ∴CD=BD=DA=12.5， ③当CD=AC时，△ACD为等腰三角形， 如图1中，作CH⊥BA于点H， 则AB•CH=AC•BC， ∵AC=15，BC=20，AB=25， ∴CH=12， 在Rt△ACH中，AH==9， ∵CD=AC，CH⊥BA， ∴DH=HA=9， ∴AD=18． 综上所述：AD的值为15或12.5或18． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $