第十五章 轴对称 综合评价-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024 重庆专版）

22.解：∠C=100°，∠ADC=65°，∴.∠A=15°，.∠A= 对等角∠A=∠ABD BD=BC∠A十∠ABD36 ∠A=∠E, ∠E.在△ACD和△ECB中，∠C=∠C,.△ACD≌ 19.解：AB=AC,∠BAC=120°，∴∠B=∠C=(180 CD-CB. △ECB(AAS).∴.AC=CE.又CB=CD,AC-CB=CE ∠BAC)=2X(180°-120)=30AE1AB, -CD,即AB=DE=30m. .∠BAE=90°，∴.∠EAC=∠BAC-∠BAE=120°-90° 23.解：(1)由题意，得AE=ED,∠EAD=∠EDA=45°， =30°，.∠C=∠EAC,∴.EC=AE=3cm.在Rt△ABE ∠BAC=90°，∴∠BAE=∠CDE=135.:点D是AC的 中，∠B=30°，∴.BE=2AE=2X3=6(cm),.BC=BE+ 中点，∴.AC=2CD.又AC=2AB,∴.CD=AB.在△ABE和 EC=6十3=9(cm).20.解：，∠CBD是△ABC的外角， AB=DC, ∴.∠BCA=∠CBD-∠BAC=60°-30°=30°，∴.∠BCA= △DCE中， ∠BAE=∠CDE,.△ABE≌△DCE(SAS): ∠BAC,∴.BC=AB=2×40=80(n mile).在Rt△BDC中， AE=DE. :∠CBD=60.∠BCD=30,BD-2BC=2X80- (2)BE=EC,BE⊥EC,证明如下：由(1)知，△ABE≌ 40(n mile).答：当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，又航 △DCE,.BE=EC,∠AEB=∠DEC.:'∠AED=90°， 行了40 n mile. ∴.∠AEB+∠BED=90°，∴.∠DEC+∠BED=90°，即 21.解：(1)如图： ∠BEC=90°，BE⊥EC.24.解：(1)OB⊥OC, ∴.∠BOD+∠COE=90°.又：CE⊥OA,BD⊥OA, ∴.∠CEO=∠ODB=90°，∴.∠BOD+∠B=90°，∴∠COE =∠B;(2)由题意，得OC=OB=OA=17cm.由(1)，得 ∠COE=∠B,∠CEO=∠ODB=90°.在△COE和△OBD ∠CEO=∠ODB, 中。 ∠COE=∠B,.△COE≌△OBD(AAS),.OE= (2)如图，△A'B‘C即为所求：(3)点B的坐标为(2,1)： OC=BO, (4)如图，点P即为所求.22.证明：(1)AD平分 BD=8 cm.,AE=OA-OE=17-8=9(cm). 25.解： ∠BAC,∴.∠CAD=∠BAD.:DE∥AC,.∠CAD= AC=BC, ∠ADE,.∠ADE=∠BAD.BD⊥AD,.∠BAD+ (1)在△ACE和△BCD中，J∠ACE=∠BCD,∴.△ACE≌ ∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=90°，∴.∠BDE=∠ABD EC=DC. DE=BE,△BDE是等腰三角形；(2)由(1)，知∠ADE △BCD(SAS).∴.∠EAC=∠EBF,AE=BD.:∠AEC= =∠BAD,∴AE=DE.:CD∥AB,∴∠EAD=∠CDA.在 ∠BEF,.180°-∠EAC-∠AEC=180°-∠EBF ∠CAD=∠EDA, ∠BEF,即∠BFE=∠ACE=90°，.AE⊥BD;(2)(1)中结 △ACD和△DEA中，AD=DA, ..△ACD≌ 论仍然成立，证明如下：设AC与BD相交于点O, ∠CDA=∠EAD, ·∠ACB=∠ECD,.∠ACB+∠ACD=∠ECD+ △DEA(ASA),CD=AE,∴.CD=DE.由(1)，知DE= ∠ACD,即∠BCD=∠ACE.在△ACE和△BCD中， BE,.CD=BE.23.解：(1)AF平分∠BAC,∴.∠CAD AC=BC. 1 ∠ACE=∠BCD,.△ACE≌△BCD(SAS).∠CAE= =∠BAD=Z∠BAC.·BC⊥AF,∠AEC=∠AEB= EC=DC, 90°，∴.∠CAD+∠ACE=90°，∠BAD+∠ABE=90°， ∠CBD,AE=BD.∠AOD=∠BOC,∴.180°-∠CAE ∴∠ACE=∠ABE,∴.AC=AB(此处证全等也可得).：点 ∠AOD=180°-∠CBD-∠BOC,即∠BFA=∠BCA= D与点A关于点E对称，∴点E为AD的中点.BC⊥ 90°.∴AE⊥BD:(3)∠AFG的大小确定，∠AFG=45°.过 AD,∴BC为AD的垂直平分线，∴AC=CD,∴.AB=CD: 点C作CM⊥BD,CN⊥AE,垂足分别为M,N.:△ACE (2)∠F=∠MCD.理由如下：：'∠BAC=2∠MPC,∠BAC ≌△BCD,SANE=SaD,AE=BD.·SaE=zAE· =2∠CAD,∴.∠MPC=∠CAD.AC=CD,∴.∠CAD= ∠CDA,∴∠MPC=∠CDA,∴.∠MPF=∠CDM.:AC= CN.S-BD.CM..CM-CN.CMLBD.CNL AB,AELBC,∴.CE=BE,.AM为BC的垂直平分线 AE,.FC平分∠BFE.AE⊥BD,.∠BFE=90°， .CM=BM.:EM⊥BC,.ME平分∠CMB,∴.∠CME= ∴.∠EFC=45°，.∠AFG=45°. ∠BME.,∠BME=∠PMF,∴.∠PMF=∠CME.由三角 第十五章综合评价 形内角和定理，得180°-∠MPF-∠PMF=180° ∠CDM-∠CME,即∠F=∠MCD.24.解：(1).△BOC 1.C2.D3.B4.D5.A6.D7.C8.D9.A ≌△ADC,.OC=DC.:∠OCD=60°，△OCD是等边三 10.D1.72.113.4614.515.616是 角形：(2)△AOD是直角三角形.理由如下：：△OCD是等 17.解：DE是AC边的垂直平分线，AE=3cm,,.AD= 边三角形，.∠ODC=60°.：△BOC≌△ADC,a=150, CD,AC=2AE=2×3=6(cm).,△ABD的周长为12cm, .∠ADC=∠BOC=a=150°，.∠ADO=∠ADC ..AB+BD+AD=12 cm..'.AB+BD+CD=12 cm,.'.AB ∠ODC=150°-60°=90°，∴△A0D是直角三角形： +BC=12cm,.△ABC的周长=AB+BC+AC=12+6 (3),△OCD是等边三角形，∴∠COD=∠ODC=60°. =18(cm).18.解：(1)如图，DE即为所求作的线段AB :∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=a,.∠AOD=360° 的垂直平分线： (2)∠C=∠ABC等边 ∠A0B-∠B0C-∠C0D=360°-110°-a-60°=1901 a,∠ADO=∠ADC-∠ODC=a-60°，.∴.∠OAD=180° ∠A0D-∠AD0=180°-(190°-a)-(a-60)=50°.①当 ∠AOD=∠AD0时，190°-a=a-60°，.a=125°.@当 ∠AOD=∠0AD时，190°-a=50°，∴.a=140°.③当 ∠AD0=∠OAD时，a-60°=50°，.a=110°.综上所述，当 参考答案 第43页（共47页） a=110°或125°或140时，△AOD是等腰三角形.25.解： -∠ADE=25°；(2)设∠B=a,则∠C=3a,∠BAC=180° (1)AB=AC,∴∠B=∠C.AD=AE,.∠EDA= ∠B-∠C=180°-4a.AD平分∠BAC,∴.∠BAD= ∠DEA,∴.∠BDA=∠CEA.在△ABD和△ACE中， ∠BAC=90°-2a.DF⊥AD,.∠ADF=90, 1 ∠B=∠C, ∠BDA=∠CEA,∴△ABD≌△ACE(AAS);(2)在AB ∠AFD=90°-∠BAD=2a.:∠AFD=∠B+∠BDF, AB=AC, ∴∠BDF=a=∠B,.BF=DF.23.解：(1)等腰三角形 上截取AE=AD,连接CE.:AC平分∠BAD,∴∠EAC= 三线合一角平分线上的点到角两边的距离相等(2)有. AD-AE. 证明如下：·CA=CB,∠ACB=90°，.∠A=∠B=45° ∠DAC.在△ADC和△AEC中，∠DAC=∠EAC, OF⊥AC,OE⊥BC,∴.∠AMO=∠BNO=90°.O为 AC=AC, AB的中点，∴.AO=BO.在△AMO和△BNO中， .∴.△ADC≌△AEC(SAS),.DC=EC,∠D=∠AEC ∠AMO=∠BNO, :∠B+∠D=180°，∠CEB+∠AEC=180°，∴.∠B= ∠A=∠B, ∴.△AMO≌△BNO(AAS),..OM= ∠CEB,.CB=CE,.CD=CB;(3):EF=EB,∠EBF AO-BO, =∠EFB.△ABC是等边三角形，.∠ABC=∠C=60°， ON.24.解：(1)DA=2AG=4,∴.AG=2,∴.DG=DA ∴.∠EBF=∠EBA+∠ABF=∠EBA+60°.：∠EFB= 十AG=4十2=6.：G为BE中点，.BG=EG.:DE∥ ∠FEC+∠C=∠FEC+60°，∴∠EBA=∠FEC.在AC上 BC,∴.∠DEG=∠CBG,∠EDG=∠BCG.在△DEG和 取一点M,使CM=CF,连接FM.∠C=60°，.△CFM ∠DEG=∠CBG, 是等边三角形，FM=CF,∠CMF=60°.：∠BAE=180 △CBG中， ∠EDG=∠BCG,∴.△DEG≌△CBG(AAS), -∠BAC=180°-60°=120°，∠EMF=180°-∠CMF= EG=BG, 180°-60°=120°，∴.∠BAE=∠EMF,在△ABE和△MEF .CG=DG=6:(2)线段DG,CF和CG之间存在的数量关 ∠BAE=∠EMF, 系为CG=DG+CF.理由如下：在CD上截取CN=CF. 中， ∠EBA=∠FEM,.△ABE≌△MEF(AAS),.AE :AB=AC,.∠ABC=∠ACB.又：∠F=∠ABC BE=EF. FC=CN, =MF..'FM=CF,.'CF=AE=1.5 cm.BC=5 cm, ∴∠ACB=∠F.在△EFC和△BCN中，∠F=∠NCB, ∴.BF=BC-CF=5-1.5=3.5(cm),即BF的长为3.5cm EF=BC. 期中综合评价 △EFC≌△BCN(SAS),∴BN=EC,∠BNC=∠ECF, 1.A2.D3.C4.D5.B6.B7.B8.A9.D ∴∠ECD=∠BNG.:∠DEF+∠BCE=180°，∠DEF+ 10.C11.15°12.(-1,3)或(-1，-1)13.414.4 ∠D+∠F=180°，∴.∠BCE=∠D+∠F=∠ECD+ 15.①②③④16.5717.解：CD平分∠ACB, ∠ACB,.∠D=∠ECD=∠BNG,ED=EC=BN.在 ∠BCD=31°，∴.∠ACD=∠BCD=31°.又∠A=68°， ∠D=∠BNG, ∴.∠ADC=180°-∠A-∠ACD=81°.18.解：(1)如图； △DEG和△NBG中，∠DGE=∠NGB,∴.△DEG≌ (2)∠ADE∠BAD∠CDE=∠BAD ED-BN, ANBG(AAS),..DG=NG,..CG=NG+CN=DG+CF. 25.解：(1)AD=DE等边三角形(2)结 论：AD=DE.证明如下：如图②，过点D作 ∠B=∠CASA19.解：连接CP,边AB,BC的垂直 DF∥AC,交AB于点F.:△ABC是等边三 平分线交于点P,∴AP=BP,BP=CP,AP=CP=BP, 角形，∴AB=BC,∠B=∠BAC=∠ACB=BD ∴.∠PAC=∠PCA,∠PBC=∠PCB.∠ACB=110°， 60°.又：DF∥AC,∴.∠BDF=∠ACB= ② ∠PCA+∠PCB=110°，∴∠PAC+∠PBC=110°， 60°，∠BFD=∠BAC=60°，.∠AFD=180°-∠BFD= ∴.∠APB=360°-∠ACB-∠PAC-∠PBC=360°-110 -110°=140°.20.解：(1)：点B为线段DE的中点， 180°-60°=120°.又∠B=60°，.△BDF是等边三角形， .BF=BD,AB-BF=BC-BD,即AF=DC.CE是 .BD=BE.又∠DBC=∠EBA,BC=BA,.△DBC≌ △EBA(SAS),.∠CDB=∠E,..CDEF:(2).CD∥ △ABC外角的平分线，∴∠ACE=合180-∠ACB)=号 EF,.∠CDF+∠DFE=180°.：∠DFE=58°，∴.∠CDF ×(180°-60°)=60，.∠DCE=∠DCA+∠ACE=60°+ =12.:DE平分∠CDF.∠CDB=号∠CDF=61, 60°=120°，.∠DCE=∠AFD.:∠ADC是△ABD的外角， ∠E=∠CDB=61°.21.解：(1)如图，△A1B1C即为 .∠ADC=∠B+∠DAF=60°+∠DAF..∠ADE=60°， 所求： C1(1,0):(2)5.5(3)如图， .∠ADC=∠ADE+∠EDC=60°+∠EDC,∴.∠DAF= ∠DAF=∠EDC, ∠EDC,在△AFD和△DCE中，AF=DC, △AFD ∠AFD=∠DCE, ≌△DCE(ASA),∴AD=DE;(3)如答图.60° [解析：·△ABC是等边三角形，.BC=AC. :BC=CD,.AC=CD.'CE平分∠ACD,易 得CE垂直平分AD,∴AE=DE.:∠ADE= 60°，.△ADE是等边三角形，.∠AED=60] 答图 点P即为所求.22.解：(1)∠C=3∠B,∠C=75°， .∠B=25°，∠BAC=180°-∠B-∠C=80°.AD平 第十六章综合评价 分∠BAC,·∠BAD=号∠BAC=40,∠ADE=∠BAD 1.C2.C3.B4.C5.C6.A7.B8.B9.C 14.22 +∠B=65°.AE⊥BC,∴.∠AED=90°，∴.∠DAE=90° 10.B11.x≠-202512.-之13.2号 参芳答案 第44页（共47页）第十五章综合评价 A.CE垂直平分AD B.CE平分∠ACD 三，解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分） C.△ABD是等腰三角形 D.△ACD是等边三角形 (时间：120分钟满分：150分) 17.如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E, 7.如图，在R△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，BD=2cm: 连接AD.若AE=3cm,△ABD的周长为12cm,求△ABC的周长， 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 则AB的长为 1.第七届重庆市运动会于9月29日在合川闭幕.我区体育健儿在本届 A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm 市运会上奋力拼搏，取得优异成绩，圆满谢幕.下列体育运动图案是 轴对称图形的是 才品胃片 (第7题图) (第8题图) (第9题图) 8.如图，△ABC与△DCE都是等边三角形，B,C,E三点在同一条直线 18.如图，在△ABC中，AB=AC>BC. 上.若AB=3,∠BAD=150°，则DE的长为 (1)求作AB边的垂直平分线DE,交AB于点E,交AC于点D,连 2.如图，将长方形沿对称轴折叠，在对称轴处剪掉一块，余下部分的展 A.3 B.4 C.5 D.6 接BD(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)： 9.如图，在△ABC中，边AB,AC的垂直平分线交于点O.若∠BOC= 开图为 80°，则∠A的度数为 (2)若AD=BC,求∠A的度数，请根据以下的思路完成下列填空 A.40 B.45 C.54 D.50 解：：AB=AC, ). 10.如图，在△ABC中，AB=20cm,AC=12cm,点P 又，DE是AB的垂直平分线， 从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点 AD=BD(垂直平分线的性质) Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运 (等边对等角) 3.如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为 动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.当 9 .AD=BC. 垂足，DE交AC于点E,且AC=8,BC=5,则 △APQ是以∠A为顶角的等腰三角形时，运动的时问是() (等量代换). A.2.5s △BEC的周长是 B.3s C.3.5sD.4s .∠C=∠BDC 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） A.12 B.13 C.14 D.15 :∠BDC= =2∠A 11.在平面直角坐标系中，点M(a,b)与点N(3,一1)关于x轴对称，则 4.如图，直线【是一条河，P,Q是两个村庄，欲在！上的某处像建一个水 2a十b的值是 .∠C=∠ABC=2∠A, 泵站M,分别向P,Q两村供水.现有如下四种铺设方案，图中实线表示 ∴∠A十∠C+∠ABC=5∠A=180(三角形的内角和为180)， I2.一个等腰三角形的底角为15，腰长是2cm,则腰上的高为cm. 铺设的管道，则所需管道最短的方案是 13.如图，在△ABC中，AB=AC,D是AC上一点，且BC=BD.若 ∠A= ∠CBD=45,则∠A的度数为 D 5.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=30°，直线a∥b,顶点C在直线b 上，直线a交AB于点D,交AC于点E.若∠1=145°，则∠2的度数 (第13题图) (第14题图) (第15题图) 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分） 是 14.如图，在△ABC中，BC=5cm,BP,CP分别是∠ABC,∠ACB的平 19.如图，在△ABC中，AB=AC,AE⊥AB交BC于点E,∠BAC A.40 B.45 C.50 D.35 分线，且PD∥AB.PE∥AC,则△PDE的周长是cm. 120°，AE=3cm,求BC的长 15.如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点C,D分别落在点C',D 的位置，连接CC,DD',CC=2DD'=8.若四边形CCD'D的周长为 24,则CD的长为 16.如图，在平面直角坐标系中，点A(a,0)(a<0)在轴 8 负半轴上，点B在y轴正半轴上，设AB=(b>0),且 (第5题图) (第6题图 b+2a=0,点C与点A关于y轴对称.点E为C的 6.如图，在钝角三角形ABC中，∠ABC为钝角，以点B为圆心，AB长 中点，连接BE,过点B作∠CBF=∠AEB,且BF 为半径画弧：再以点C为圆心，AC长为半径画弧：两弧交于点D,连 接AD,与CB的延长线交于点E.下列结论错误的是 BE,连接AF交BC于点P,则部的值为 第1页（共6页） 第2页（共6页》 第3页（共6页） 20.如图，一艘轮船以40 n mile/h的速度沿正北方向航行，在A处测得23.如图，AF平分∠BAC,BC⊥AF,垂足为点E,点D与点A关于点E25.【阅读材料】证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形成等 灯塔C在北偏西30°方向上，轮船航行2h后到达B处，在B处测得 对称，PB分别与线段CF,AF相交于点P,M. 腰三角形的性质，如果两条线段不在同一个三角形中，且所在三角 灯塔C在北偏西60方向上.当轮船到达灯塔C的正东方向D处 (1)求证：AB=CD: 形明显不全等，此时就需要添加糯助线来构造全等三角形。 时，又航行了多少海里？ (2)若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说 (1)【理解应用】如图①，在等腰三角形ABC中，AB=AC,D为BC 明理由。 上一点，且CD>BD,连接AD,小明对△ABC进行了如下操作： 在CD上取一点E,使得AE一AD,连接AE,则可证明△ABD≌ △ACE,请补充小明操作过程的证明： (2)【类比探究】如图②，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD,∠B+ ∠D=180°.求证：CD=CB: (3)【拓展应用】如图③，已知△ABC是边长为5cm的等边三角形， 点E在CA的延长线上，且AE=1.5cm,连接EB,在线段BC上取 点F,连接EF,使得EB=EF,求BF的长. 21.在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形 (顶点是网格线的交点的三角形)ABC的顶点A,C的坐标分别为 (-4,5),(-1,3). (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系： (2)请作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C': (3)写出点B的坐标： (4)在y轴上找一点P,使得PB+PC的值最小. 24.如图，点O是等边三角形ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB= 110°，∠BC=a,△BC≌△ADC,∠OCD=60°，连接OD (1)求证：△COCD是等边三角形： (2)当a=150时，试判断△AOD的形状，并说明理由： (3)探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形. 22.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,过点B作AD的垂线，垂足为 点D,DE∥AC,交AB于点E,CD∥AB. 求证：(1)△BDE是等腰三角形： (2)CD=BE. 第4页（共6页） 第5页（共6页》 第6页（共6页）