第十四章 全等三角形 综合评价-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024 重庆专版）

综合评价答案 ∠EDQ+∠DEO=∠A'OB+∠OQM,即∠EDQ+∠A'OB 2 第十三章综合评价 1.D2.C3.C4.B5.B6.B7.D8.D9.C =∠AO器=士2解：D:CD,BE是 10.A11.16cm12.80°13.1614.82°15.50°或 △ABC的高线，∴.∠ADC=90°，∠CEO=90°.在Rt△ACD 130°16.是54°或108°或84°17.解：(1)如图，AD和 中，∠A=60°，∠ACD=90°-∠A=30°，在Rt△COE中， AE即为所求； (2)AD⊥BC,∴.∠ADB= ∠ACD=30°，∴.∠COE=90°-∠ACD=60°，.∠BOC= 180°-∠COE=120°；(2)如图②，延长BM交AC于点H. :∠ABC=50°，∠ACB=60°，.∠A=180°-（∠ABC+ ∠ACB)=70°.：CD,BE是△ABC的高线，∴.∠ADC= 90°，∠AEB=90°，.∠ABE=90°-∠A,∠ACD=90°- 90°，∴.∠BAD=90°-∠B=90°-40°=50°.，∠ACB=∠CAD +∠ADB,∴∠CAD=120°-90°=30°.18.解：∠ABC= ∠A,.∠ABE=∠ACD=90°-∠A=20°.：∠ABE与 ∠ACD的平分线交于点M,∴.∠MBA=∠MBE= 90,BE平分∠ABC.∠CBE=号∠ABC=合×90= 2 45.:BD⊥AC,∴.∠BDC=90.:∠C=30°，∠DBC= 2∠ABE=10,∠MCA=∠McD=∠AcD=1 180°-∠BDC-∠C=60°，∴.∠DBE=∠DBC-∠CBE= .∠AHB=180°-（∠A+∠MBA)=100°，∴.∠MHC= 15.19.解：DE∥BC,∠DEB=20°，∴∠CBE= 180°-∠AHB=80°，.∠BMC=∠MHC+∠ACM=80 ∠DEB=20°.BE是△ABC的角平分线，.∠ABC= +10°=90°；(3)90°[解析：如图③，延长BM交AC于H. 设∠A=2a,由(2)，得∠ABE=∠ACD=90°-∠A=90° 2∠CBE=2×20°=40°.：'在△ABC中，∠A+∠ABC+ ∠C=180°，∠ABC=40°，∠C=80°，.∠A=180°-40°- 2a.:'∠ABE与∠ACD的平分线交于点M,∴∠MBA= 80°=60°.20.解：：(b-2)2+|c-3|=0,(b-2)≥0， ∠ABE=46°-a,∠MCA=2∠ACD=45-a, 1 c-3|≥0，.(b-2)2=0,c-3=0,.b-2=0,c-3=0, .∠AHB=180°-（∠A+∠MBA)=180°-(2a+45°-a) 解得b=2,c=3.a为方程x-4|=2的解，.a-4= =135°-a, 士2，解得a=6或2.，a,b,c为△ABC的三边长，b十c<6, .∠MHC=180°-∠AHB=180°-(135°-a)=45°+a, .a=6不符合题意，舍去，a=2,△ABC的周长为a十 ∴.∠BMC=∠MHC+∠ACM=45°+a+45°-a=90] b十c=2十2十3=7.，a=b=2,∴.△ABC是等腰三角形 21.解：由题意，得∠BAE=45°，∠EAC=30°，∠DBC= 60°，∴.∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+30°=75°.：AE∥ BD,.∠DBA=∠BAE=45.:∠DBC=60°，.∠ABC= ∠DBC-∠DBA=60°-45°=15°，.∠C=180°-∠ABC 图② 图③ -∠BAC=180°-15°-75°=90.22.解：(1)在△ABC 第十四章综合评价 中，BD是AC边上的高，.∠ADB=∠BDC=90. 又∠A=70°，.∠ABD=180°-∠ADB-∠A=180°- 1.D2.D3.C4.C5.C6.B7.B8.A9.C 90°-70°=20°；(2)：∠BEC=118°，∠BDC=90°，.∠DCE 10.D11.212.313.1114.215.①②③④ =∠BEC-∠BDC=118°-90°=28°.CE平分∠ACB, 16.135°②③④17.证明：AE⊥AB,.∠BAE=90°. ∴.∠DCB=2∠DCE=2X28°=56°，.∠ABC=180°-∠A- :△ACE≌△AFB,∴.∠CAE=∠FAB,∠C=∠F, ∠DCB=180°-70°-56=54.23.解：(1)·∠A0B=90°， ∴∠CAB+∠BAE=∠BAC+∠CAF,∴.∠CAF=∠BAE ∠OCD=50°，.∠CD0=40°，∠ACD=130°.：CE是 =90°.∠C=∠F,∠FMC=∠CAF=90°，∴.CE⊥BF. 18.解：(1)如图所示： 2)∠EDF ∠EDN ∠ACD的平分线，DF是∠CDO的平分线，∴.∠ECD= 号∠AcD=65,∠CDF=2∠CD0=20,∠F=∠ECD -∠CDF=45°；(2)不变化，∠F=45°.证明如下：：∠AOB =90°，.∠CDO=90°-∠OCD,∠ACD=180°-∠OCD. =立∠EDF∠BAM=∠EDN全等三角形对应边上的 :CE是∠ACD的平分线，DF是∠CDO的平分线， 高相等，对应边上的中线相等19.证明：过点M作MN⊥ ∴∠ECD=∠AcD=90-合∠OCD,∠CDF AD于N.∠B=90°，.BM⊥AB.AM平分∠DAB, 3∠CD0=45-∠OcD,∠F=∠ECD-∠CDF .MN=MB.M是BC的中点，∴.MC=MB,∴.MC= MN.:∠C=90°，即MC⊥CD,∴.DM平分∠ADC. 45°.24.解：(1)∠A∠B平角的定义(2)：MN∥ 20.证明：：BF=EC,.BF+FC=FC+EC,即BC=EF HQ,.∠OMN=∠OHQ=48°.又：∠OQH=100°，根据 :∠A=∠D=90°，∴△ABC和△DEF都是直角三角形，在 三角形内角和为180°，.∠AOB=180°-100°-48°=32°： BC=EF, (3)二器的值不变，为子由三角形外角的性质，得 R△ABC和R△DEF中，{AB=DE.六R△ABC≌ Rt△DEF. 21.解：(1)EF∥AB,.∠A=∠CEF.在 ∠OEF=∠A'OB+∠ONE,∠ONE=∠NQM+∠NMQ. ∠A=∠CEF, .QM平分∠OQH,∴.∠OQM=∠MQH.又：MN∥HQ, △ACD和△EFC中， AD=EC, ∴.△ACD≌ ∴.∠NMQ=∠MQH,∴.∠NQM=∠NMQ,∴.∠ONE= ∠ADC=∠ECF, 2∠OQM.∴.∠OEF=∠A'OB+2∠OQM,又：ED平分 △EFC(ASA):(2)由(1)，得△ACD≌△EFC,∴.DC=CF, ∠OEF,∴.∠OEF=2∠DEO..2∠DEO=∠A'OB+ ∴.∠CDF=∠CFD.:∠ADC=∠ACB=100°，∠ACD= 2∠OQM,∴.∠A'OB=2(∠DEO-∠OQM).设DQ与OA' 30°，.∠DCF=∠ACB-∠ACD=70°.：∠CDF+∠CFD 交于点K,∴∠DKE=∠OKQ.由三角形内角和为180°，得 +∠DCF=180°，.2∠CDF+70°=180°，.∠CDF=55. 参芳答案 第42页（共47页） 22.解：∠C=100°，∠ADC=65°，∴.∠A=15°，.∠A= 对等角∠A=∠ABD BD=BC∠A十∠ABD36 ∠A=∠E, ∠E.在△ACD和△ECB中，∠C=∠C,.△ACD≌ 19.解：AB=AC,∠BAC=120°，∴∠B=∠C=(180 CD-CB. △ECB(AAS).∴.AC=CE.又CB=CD,AC-CB=CE ∠BAC)=2X(180°-120)=30AE1AB, -CD,即AB=DE=30m. .∠BAE=90°，∴.∠EAC=∠BAC-∠BAE=120°-90° 23.解：(1)由题意，得AE=ED,∠EAD=∠EDA=45°， =30°，.∠C=∠EAC,∴.EC=AE=3cm.在Rt△ABE ∠BAC=90°，∴∠BAE=∠CDE=135.:点D是AC的 中，∠B=30°，∴.BE=2AE=2X3=6(cm),.BC=BE+ 中点，∴.AC=2CD.又AC=2AB,∴.CD=AB.在△ABE和 EC=6十3=9(cm).20.解：，∠CBD是△ABC的外角， AB=DC, ∴.∠BCA=∠CBD-∠BAC=60°-30°=30°，∴.∠BCA= △DCE中， ∠BAE=∠CDE,.△ABE≌△DCE(SAS): ∠BAC,∴.BC=AB=2×40=80(n mile).在Rt△BDC中， AE=DE. :∠CBD=60.∠BCD=30,BD-2BC=2X80- (2)BE=EC,BE⊥EC,证明如下：由(1)知，△ABE≌ 40(n mile).答：当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，又航 △DCE,.BE=EC,∠AEB=∠DEC.:'∠AED=90°， 行了40 n mile. ∴.∠AEB+∠BED=90°，∴.∠DEC+∠BED=90°，即 21.解：(1)如图： ∠BEC=90°，BE⊥EC.24.解：(1)OB⊥OC, ∴.∠BOD+∠COE=90°.又：CE⊥OA,BD⊥OA, ∴.∠CEO=∠ODB=90°，∴.∠BOD+∠B=90°，∴∠COE =∠B;(2)由题意，得OC=OB=OA=17cm.由(1)，得 ∠COE=∠B,∠CEO=∠ODB=90°.在△COE和△OBD ∠CEO=∠ODB, 中。 ∠COE=∠B,.△COE≌△OBD(AAS),.OE= (2)如图，△A'B‘C即为所求：(3)点B的坐标为(2,1)： OC=BO, (4)如图，点P即为所求.22.证明：(1)AD平分 BD=8 cm.,AE=OA-OE=17-8=9(cm). 25.解： ∠BAC,∴.∠CAD=∠BAD.:DE∥AC,.∠CAD= AC=BC, ∠ADE,.∠ADE=∠BAD.BD⊥AD,.∠BAD+ (1)在△ACE和△BCD中，J∠ACE=∠BCD,∴.△ACE≌ ∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=90°，∴.∠BDE=∠ABD EC=DC. DE=BE,△BDE是等腰三角形；(2)由(1)，知∠ADE △BCD(SAS).∴.∠EAC=∠EBF,AE=BD.:∠AEC= =∠BAD,∴AE=DE.:CD∥AB,∴∠EAD=∠CDA.在 ∠BEF,.180°-∠EAC-∠AEC=180°-∠EBF ∠CAD=∠EDA, ∠BEF,即∠BFE=∠ACE=90°，.AE⊥BD;(2)(1)中结 △ACD和△DEA中，AD=DA, ..△ACD≌ 论仍然成立，证明如下：设AC与BD相交于点O, ∠CDA=∠EAD, ·∠ACB=∠ECD,.∠ACB+∠ACD=∠ECD+ △DEA(ASA),CD=AE,∴.CD=DE.由(1)，知DE= ∠ACD,即∠BCD=∠ACE.在△ACE和△BCD中， BE,.CD=BE.23.解：(1)AF平分∠BAC,∴.∠CAD AC=BC. 1 ∠ACE=∠BCD,.△ACE≌△BCD(SAS).∠CAE= =∠BAD=Z∠BAC.·BC⊥AF,∠AEC=∠AEB= EC=DC, 90°，∴.∠CAD+∠ACE=90°，∠BAD+∠ABE=90°， ∠CBD,AE=BD.∠AOD=∠BOC,∴.180°-∠CAE ∴∠ACE=∠ABE,∴.AC=AB(此处证全等也可得).：点 ∠AOD=180°-∠CBD-∠BOC,即∠BFA=∠BCA= D与点A关于点E对称，∴点E为AD的中点.BC⊥ 90°.∴AE⊥BD:(3)∠AFG的大小确定，∠AFG=45°.过 AD,∴BC为AD的垂直平分线，∴AC=CD,∴.AB=CD: 点C作CM⊥BD,CN⊥AE,垂足分别为M,N.:△ACE (2)∠F=∠MCD.理由如下：：'∠BAC=2∠MPC,∠BAC ≌△BCD,SANE=SaD,AE=BD.·SaE=zAE· =2∠CAD,∴.∠MPC=∠CAD.AC=CD,∴.∠CAD= ∠CDA,∴∠MPC=∠CDA,∴.∠MPF=∠CDM.:AC= CN.S-BD.CM..CM-CN.CMLBD.CNL AB,AELBC,∴.CE=BE,.AM为BC的垂直平分线 AE,.FC平分∠BFE.AE⊥BD,.∠BFE=90°， .CM=BM.:EM⊥BC,.ME平分∠CMB,∴.∠CME= ∴.∠EFC=45°，.∠AFG=45°. ∠BME.,∠BME=∠PMF,∴.∠PMF=∠CME.由三角 第十五章综合评价 形内角和定理，得180°-∠MPF-∠PMF=180° ∠CDM-∠CME,即∠F=∠MCD.24.解：(1).△BOC 1.C2.D3.B4.D5.A6.D7.C8.D9.A ≌△ADC,.OC=DC.:∠OCD=60°，△OCD是等边三 10.D1.72.113.4614.515.616是 角形：(2)△AOD是直角三角形.理由如下：：△OCD是等 17.解：DE是AC边的垂直平分线，AE=3cm,,.AD= 边三角形，.∠ODC=60°.：△BOC≌△ADC,a=150, CD,AC=2AE=2×3=6(cm).,△ABD的周长为12cm, .∠ADC=∠BOC=a=150°，.∠ADO=∠ADC ..AB+BD+AD=12 cm..'.AB+BD+CD=12 cm,.'.AB ∠ODC=150°-60°=90°，∴△A0D是直角三角形： +BC=12cm,.△ABC的周长=AB+BC+AC=12+6 (3),△OCD是等边三角形，∴∠COD=∠ODC=60°. =18(cm).18.解：(1)如图，DE即为所求作的线段AB :∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=a,.∠AOD=360° 的垂直平分线： (2)∠C=∠ABC等边 ∠A0B-∠B0C-∠C0D=360°-110°-a-60°=1901 a,∠ADO=∠ADC-∠ODC=a-60°，.∴.∠OAD=180° ∠A0D-∠AD0=180°-(190°-a)-(a-60)=50°.①当 ∠AOD=∠AD0时，190°-a=a-60°，.a=125°.@当 ∠AOD=∠0AD时，190°-a=50°，∴.a=140°.③当 ∠AD0=∠OAD时，a-60°=50°，.a=110°.综上所述，当 参考答案 第43页（共47页）第十四章综合评价 三，解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分） 雪 17.如图，已知AE⊥AB,△ACE≌△AFB,CE与AB,BF分别交于点 (时间：120分钟满分：150分) D,M.求证：CE⊥BF. 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1.如图，若图中的两个三角形全等，则∠α等于 (第8题图) (第9题图) (第10题图) A.50 B.71 C.58 D.59 9.如图.在△ADE和△ABC中，AD=AB,DE=BC,EA=CA,过点A作 AF⊥DE,垂足为F,过点A作AH LBC,垂足为H,DE交CB的延长线于 点G,连接AG四边形DGBA的面积为12，AF■4，则FG的长是( ) 30 A.2 B.2.5 C.3 号 (第1题图) (第2题图) (第3题图) 10.如图，在R△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BE和∠BAC 18.学习了全等三角形后，小明进行了拓展研究.他发现，全等三角形对 2.如图，OP平分∠AOB,PC⊥OA,PDLOB,垂足分别是C,D,下列结 的邻补角∠CAQ的平分线AD相交于点P.过点P作PF⊥AD交AC 应角的平分线相等，他的解题思路是通过证明对应线段所在的两个 论错误的是 的延长线于点H,交BC的延长线于点F,连接AF并延长交DH于点 三角形全等.请根据他的思路完成以下作图与填空： 弥 A.PC-PD B.OC-OD G.则下列结论：①∠APB=45:②PF=PA:③DG=AP+GH: (1)用直尺和圆规，作∠EDF的平分线交EF于点N:(只保留作图 C.∠CPO=∠DPO D.OC=PC ④BD一AH=AB.其中，正确的是 ( 痕迹，不写作法) A.②③①B.①②③① C.①②③ D.①②① 3.如图，为了测量点B到河对岸的目标A之间的距离，在与点B同侧 (2)如图，△ABC≌△DEF,AM平分∠BAC,DN平分∠EDF,求 的河岸上选择了一点C,测得∠ABC=65°，∠ACB=30°，然后在点M 二，填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11.如图，△ABD2△AEC,且AB=8,BD=7,AD=6,则BC的长为 证：AM=DN 处立了标杆，使∠CBM=65°，∠MCB=30°，测得MB的长是20m, 证明：，△ABC≌△DEF BC的长是30m,则A,B两点间的距离为 ,∴.∠B=∠E,AB=DE,∠BAC A.10m B.15m C.20m D.30m .AM平分∠BAC,DN平分∠EDF 4.如图，已知AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.下列结论不正确的 ·∠BAM= 2∠BAC, 是 ( ) A.∠BAD=∠CAE B.△ABD≌△ACE (第11题图》 (第12题图 12.如图，在R1△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，任意长为半径画 ∴.△ABMa△DEN. C.AB-BC D.BD-CE 弧，分别交AC,AB于点M,N,再分别以点M,V为圆心，以大于 ..AM-DN. 乞MN的长为半径画弧，两弧交于点O,作射线AO交BC于点D,若 小明继续深人研究发现了全等三角形对应边上的高及其中线也存 在一定的数量关系.你认为全等三角形对应边上的高和中线有何数 CD=3,P为AB上一动点，则PD的最小值为 量关系？ .(语言叙述要完整，不完整 13,一个三角形的三条边长分别为6,7，x,另一个三角形的三条边长分 (第4题图) (第5题图) (第6题图) 不得分) 别为y,6,4,若这两个三角形全等，则x十y= 5.如图，AB⊥CD,且AB=CD.E,F是AD上两点，CE⊥AD,BF⊥ 14.如图，AB∥CD.O为∠BAC,∠ACD的平分线的交点，OE LAC于 AD.若CE=5,BF=3,EF=2,则AD的长为 点E,且OE一1，则AB与CD之间的距离等于 A.4 B.5 C.6 D.7 6.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,2)，△AOB为等腰直 角三角形，∠AOB=90°，则点B的坐标为 四，解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分） A.(2,3) B.(-2.3) C.(-3.2) D.(-1.5.3) 19.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，AM平分∠DAB. 7.如图，已知四边形ABCD中，∠BCD=90,BD平分 第14题图) (第15题图) (第16题图) 求证：DM平分∠ADC. ∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,DE⊥AB于点E,则四 15.如图，AD是△ABC的中线，E,F分别是AD和AD延长线上的点， 且DE=DF,连接BF,CE.下列说法：①CE=BF:②△ABD和 边形ABCD的面积是 △ACD的面积相等：③BF∥CE:④△BDF2△CDE.其中，正确的 8 A.24 B.30 是 .(填序号) C.36 D.42 16.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O,且AC⊥BD,AB= 8.如图，在AB,AC上各取一点E,D,使AE=AD,连接BD,CE相交于 AC=BD,点E是∠ABD和∠CAB平分线的交点，连接ED,EC,则 点O,再连接AO,BC.若∠1=∠2，则图中全等三角形共有( ∠AEB= :下列结论：①AD=DC,②∠ACE-∠ABE: A.5对 B.6对 C.7对 D.8对 ③BE⊥EC:①SAm=SAx.其中，正确的是 (填序号). 第1页（共6页） 第2页（共6页） 第3页（共6页） 20.如图，∠A=∠D=90°，AB=DE.BF=EC 23.如图，在R:△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB,点D是AC的中点. 25.【问题情境】在△ABC和△DEC中，AC=BC,DC=EC,∠ACB= 求证：R1△ABC≌Rt△DEF. 将一块锐角为45的直角三角尺如图放置，使三角尺斜边的两个端 ∠DCE=90°. 点分别与A,D重合，连接BE,EC (1)【初步探究】如图①，当点A,C,D在同一条直线上时，连接BD, (1)求证：△ABE≌△DCE: AE,延长AE交BD于点F,则AE与BD之间有什么关系？ (2)试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想 2)【类比探究】如图②，当点A,C,D不在同一条直线上时，连接AE 交DC于点H,连接BD交AE于点F,(1)中结论是否仍然成 立，为什么？ (3)【衍生拓展】如图③，在(2)的条件下，连接CF并延长CF交AD 于点G,∠AFG的大小确定吗？若确定，求出∠AFG的度数：若 不确定，请说明理由 21,如图，在△ABC中，点D在边AB上，且∠ADC=∠ACB.在CA边 上截取CE=AD,过点E作EF∥AB交BC于点F. (1)求证：△ACD2△EFC: (2)连接DF,若∠ADC=100°，∠ACD=30°，求∠CDF的度数 24.【实践主题】从数学角度探究钟摆运动过程中的规律 【素材准备】实验支架，细绳，小球，卷尺等 【实践操作】在支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可 以自由摆动，如图①，点A表示小球静止时的位置.小明将小球从 OA摆到OB的位置，并向右推动小球，OC是小球在摆动过程中某 22.学习完全等三角形相关知识后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸 一瞬间的位置，且OB与OC恰好垂直，点A,B,O,C在同一平面上， A,B两点间距离”这一问题，设计了如下方案. 【数学建模】如图②是小球摆动过程的示意图，OB⊥OC,过点B作 课题 测量河两岸A,B两点间距离。 BD⊥OA于点D.过点C作CE⊥OA于点E. 测量工具测童角度的仪器，皮尺等， 【数据测量】BD=8cm,OA=17cm, 【问题解决】 测量方案 (1)求证：∠COE=∠B: 示意图 B (2)求AE的长. 一E ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D,使得燕 A,B,C在一条直线上，且CD=BC: 测量步骤②测得∠DCB=100°，∠ADC=65: ③在CD的延长线上取点E,使得∠BEC=15°： ④测得DE的长度为30m. 请你根据以上方案求出A,B两点间的距离AB. 第4页（共6页） 第5页（共6页》 第6页（共6页）