第十七章 因式分解 综合评价-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024 重庆专版）

15.-216.8141182317.解：(1)原式=-2a3b- ②平方差公式用错(2)原式=4x(1一4x2)=4x(1一 3a3b+3a=-5a3b+3a;(2)原式=ab-4a2+4a2-14ab+ 2x)(1+2x).19.解：(1)原式=(29+6-25)×202.5=10 6ab-21b=-7ab-21b2.18.解：原式=(200+2)2- ×202.5=2025;(2)原式=10×(91-92)=10×(91十9) (200-3)×(200+3)=2002+2×200×2+22-(200 ×(91-9)=10×100×82=82000.20.证明：(m十1)2- 32)=2002+800+4-2002十9=813.19.解：(1)原式= (m-3)2=(m+1+m-3)[m十1-(m-3)]=(2-2)×4 (4a2-9b2-4a+4ab-b)÷(-4b)=(-10b2+4ab)÷ =8(m-1).:m为整数，.8(m一1)能被8整除， (-40)=号6-a.当a=号，6=-1时，原式=号×(-1) ∴.(m十1)2-(m-3)能被8整除.21.解：(1)令a-2b= M,则原式=M-6M+9=(M-3)2,将M还原，则原式= 5 -2=-5:(2)原式=4x2-9-4x+12x+x2-4红十4= (a-2b-3)2;(2)令ab-4a=M,则原式=M(M-2)+1 =一2M+1=(M-1)2,将M还原，则原式=(a2b一4a x2+8x-5..x2十8x-2025=0,,.x2十8x=2025,.原 -1)2≥0，∴.无论a,b取何值，(ab2-4a)(ab2-4a-2)十 式=2025-5=2020.20.解：任务一：①单项式乘单项 1的值一定是非负数.22.解：(1)a-b2=(a十b)(a-b) 式及单项式乘多项式②四2x与x不是同类项，不能合 (2).a2-2ab+b2=20,ab=6,.(a-b)2=20,.(a+b) 并任务二：原式=6x2-(4x2-x)=6x2-4x2十x=2x2十 =(a-b)2十4ab=20+4×6=44,..a十b=士/44= x.本题的正确结果为2x2十x21.解：(1)：(a)'=a°， (a)2÷a=a3,.a=a,a2r÷a=a2-y=a3,∴.xy=6, 士2√11；(3)由图形表示可知ab=12.由中间正方形边长 2x-y=3;(2)4x2+y2=(2x-y)2+4xy=32+4×6=9+ 的不同表示方式列出等式：a一5=5-b,整理，得a十b= 24=33. 22.解：(1)长方形游泳池的面积为a(a一2b) 10.∴.长方形ABCD的面积为(5十b)(5+a)=25十5(a十 =a2-2ab(m),长方形空地的面积为(3a-5b)(a-b)= b)+ab=25+5×10+12=87.23.解：(1)原式=(m2 2m2)-(4m-8)(分成两组)=m(m-2)-4(m-2)(直接 3a2-3ab-5ab十5b=3a2-8ab十5b2(m),∴.休息区的面 提公因式)=(m一4)(m一2)（直接运用公式）=(m十 积为(3a2-8ab+5b2)-(a2-2ab)=3a2-8ab+5-a2+ 2)(m-2)2;(2)原式=(x2-4xy十4y2)-1(分成两组)= 2ab=2a2-6ab+5b(m):(2)当a=25,b=5时，原式=2 ×252一6×25×5+5×52=625(m2),.休息区的面积为 (x-2y)2-1(直接运用公式)=(x-2y十1)(x-2y-1). 625m,23.解：(1)-22(2)(3a+1,a-2)☒(a+2,a- 24.解：1)号(2)原式=x2-4y+4y2-y2=(x-2y) 3)=(3a+1)(a-3)-(a-2)(a+2)=3a-9a+a-3- -y=(x-2y十y)(x-2y-y)=(x-y)(x-3y);(3)M= (a2-4)=3a2-9a+a-3-a2+4=2a2-8a+1.a2-4a +1=0,..a2=4a-1,.(3a+1,a-2)☒(a十2，a-3)= 子x2+2x-1=x+2x+4-5=(x+2）°-5 2(4a-1)-8a十1=-1.24.解：(1)24±264 (2)依题意，设AB=AD=a,AG=AE=b,其中a>b.BG :(合x+2)≥0（合x+2)-5≥-5…M的最小值 =AB+AG=10,.a十b=10..正方形ABCD,AEFG面 是-5.25.解：(1)1(2)设多项式x2+3x2-3x十k的另 积之和为52，a+62=52.同(1)可得a=6,b=4,.AB= 一个因式为x2+ax十b,.x3+3x2-3x十k=(x十1)(x2+ AD=6,AG=AE=4,.DE=AD-AE=6-4=2,.S阴影 a.x十b)=x3+(a+1)x2+(a+b)x+b,.a+1=3,a+b= =2DE·AB=×2X6=6.25.解：【归纳】a-0 一3，b=k,解得a=2,b=-5,k=-5,.另一个因式为x 十2x一5；(3)：zx十m.x3十nx一4中次数最高的项的次数 【应用】(1)令a=2,b=1,n=2026,则(2-1)(22025+22024 为4，.设多项式x4十mx3十n.x-4=(x十1)(x-2)(ax2十 十22023十…十22十2+1)=222m一1，.所求式子的值为 bx十c)=(x2一x-2)(ax2十bx十c),.x的系数为1，常数 22026-1:(2)令a=3,b=-1,n=21,则(3+1)(320-3"十 项为-4，.a=1,-2c=-4,.c=2,∴.(x2-x-2)(ax2十 38-37+…-33十32-3十1)=321-(-1)1=31+1， bx十c)=(x2-x-2)(x2+bx十2)=x十 30-3”+3“-31”+…-3+32-3+1=3+1, (b-1)x3-bx2-(2+2b)x-4,:原多项式不含有x项， 4 .-b=0,.b=0,.x4十(b-1)x2-bx2-(2+2b)x-4= (3)(a-b)(a"-l十a"-2b+…+ab"-2+b-1)=a”-b", x-x3-2x-4,.m=-1,n=-2. ∴.[a-(-b)][a"-l-a-2b+…+a(-b)"-2+(-b)m-1] 第十八章综合评价 =a”-(-b)”.当n=2024时，[a-(-b)](a2023-a2022b十 1.C2.C3.C4.A5.A6.B7.C8.D9.B10.B …十ab202-b2023)=a2024-(-b)2024=a2024-62024 11.3ac12.113.1114.-x+215.916.24 (a十b)·P=a2021-b024,∴P=a2023-a2622b十…十 b(a+b) a(a-b) ab202-623.当n=2025时，[a-(-b)](a2024-a223b十 12017.解：1)原式=a20(a+6+(a+b(a-b+ … ab2023十b2024)=a2025-(-b)2025=a2025十b025. 2ab abtbitai abt2aba++2ab (a十b)·Q=a2025十b025,.Q=a2024-a2023b+… (a+b)(a-b) (a-b)(a+b) (a-b)(a+b) ab2023十b024=a(a2023-a2022b十…-b2023)十024，∴.Q ap+6224 云8会(2)原式-2· (a+b)2 (x+1)2 x+2· 第十七章综合评价 x十1= 1 2-x x+1 18.解：方程两边乘(x十2)(x一2)，得 1.B2.C3.B4.B5.C6.D7.B8.D9.A 2(x十2)十6x=3(x一2).解得x=-2.检验：当x=-2时， 10.D11.2x十112.a2+2ab+b2=(a+b)213.70 (x十2)(x一2)=0，因此x=一2不是原分式方程的解.所 14.a(a十5)(a-5)15.105010(答案不唯一)16.26 以，原分式方程无解。19.解：任务一：一1漏乘了(x十 1317.解：(1)原式=-2a(a2-6a+9)=-2a(a-3)2: 1)任务二：该题的正确解题过程如下：方程两边乘(x十 (2)原式=a(x-y)-16(x-y)=(x-y)(a2-16)=(x y)(a十4)(a-4).18.解：(1)①提取负号后，负号丢失 1),得(x+1)· 2 x中=(x+1)·千+(x+1).2=x+ 参芳答案 第45页（共47页）第十七章综合评价 二，填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 18.阅读下列材料： 11.多项式4m-m与多项式4x+4x+1的公因式为 分解因式：4x-162, (时间：120分钟满分：150分) 12.利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的长方形 小天的做法： 小朵的败法： 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 可拼成一个正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式： 原式=16x3-4r……① 原式=4x(1一4x2)…① 1.下列等式从左到右的变形是因式分解的是 =4x(4x2-1)…② =4(1-4x)(1十4r).…② A.-6a=2ab·(-3ab) =4.x(2x-1)(2x+1).…③ B.9a2-4b=(3a+2b)(3a-2b) 口00- 请根据上述材料解答下列问题： C.ma一mb+c=m(a-b)十c D.(a+b)=a+2ab+b (第12题图) (第13题图) (1)小天的解题过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 13.如图，长为a,宽为b的长方形的周长为14，面积为10，则ab+ab :小朵的解题过程从第 步开始 2.多项式-4a+12a-8ae的公因式是 出现错误，错误的原因是 A.-4a c B.-ab C.-4ab D.-4a26c 的值为。 14.对于非零的两个实数a,b,规定a⊙b=a3一ab,那么将a⑧25进行分 (2)若都不正确，请你写出正确的解题过程. 弥 3.下列分解因式64一x正确的是 ( 解因式的结果为 A.(8-x) B.(8-x)(8+x) 15.在日常生活中如取款、上网等都需要密码.有一种用“因式分解”法 C.(x-8)(x+8) D.(32+x)(32-x) 产生的密码，方便记忆.其原理是：如对于多项式x一y,因式分解 4.下列各式能用平方差公式分解因式的有 的结果是(x-y)(x+y)(x+y),若取x=9,y=9时，则各个因式 ①r+y:@r-y:@-x+:①-r-y:回1-6：@r+4. 的值是：x-y=0,x+y=18,x2+y2=162,于是就可以把“018162" 四，解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 作为一个六位数的密码.对于多项式9x一4xy,取x=10,y=10 5.把8a3一8a2+2a进行因式分解，结果正确的是 时，用上述方法产生的密码是： ,(写出一个 19.利用因式分解计算： A.2a(4a2-4a+1) B.8a2(a-1) 即可) (1)29×202.5+6×202.5-25×202.5: C.2a(2a-1) D.2a(2a+1) 16.一个正整数能够写成两个正整数a与b的差与它们的乘积之和，即 6.将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a十1的是 x=a-b+ab,那么x叫作“成长数”.例如7=4-1+4×1,46=6一 8+6×8,所以7与46都是“成长数”.若a十b=10,则满足条件的 A.a2-1 B.a'+a “成长数”中最大的数是：若1≤a≤9,1≤b≤9，a<b,取a,b中 C.(a+2)2-2(a+2)+1 D.a2-2a+1 较大的数为个位数字，较小的数为十位数字组成的两位数记为M, 7.某同学粗心大意，分解因式时，把等式x一■=(x十4)(x+2)(x一 将M的个位数字与十位数字交换后形成的新两位数记为N.记 (2)10×91=-10×9 ▲)中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以 F(M)-12一M,GN)=N-14,若F(MD+G(N)为完全平方数，且 是 2F(M0一G(N)能被17整除，则满足条件的“成长数”x的值为一 A.8,1 B.16,2 C.24,3 D.64,8 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）》 8.不论x,y为何有理数，x2+y一12x+4y十40的值均为 ( 17.将下列各式分解因式： A.正数 B.零 C.负数 D.非负数 (1)-2a3+12a2-18a: 9.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整 数为“宏帆数”.如：因为8=3-1,16=5-3，所以8,16均为“宏帆 20.已知m为整数，求证：(m十1)2-(m-3)2能被8整除. 数”，在不超过800的正整数中，所有的“宏帆数”之和为() A.40400B.40401C.40201D.40200 10.已知多项式M-x2-4y+a和N-y+4x+b(a,b为常数)，以下结 (2)a(x-y)+16(y-x). 8 论：①当a+b=一8时，x十y=0:②当a=b=0时，M·N所得的结 果中不含一次项和常数项：③若a=b,M一N=16,且，y为正整数 时，则x+y=8:①若a十b=10时，则M什V的最小值为2.其中，正 确的是 () A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③① 第1页（共6页） 第2页（共6页》 第3页（共6页） 21.【阅读材料】因式分解：x十4xy十4y一16. 23.观察“探究性学习”小组的甲，乙两名同学进行因式分解： 25.【例题讲解】因式分解：x一1. 解：x2+4xy+4y2=(x+2y), 甲：x2一xy+4r-4y=(x2-xy)十(4x一4y)(分成两组】 “,x一1为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项 .将x+2y看成整体，今x十2y=M, =x(x一y)十4(r-y)(直接提公因式) 式和一个二次多项式的乘积.故我们可以猜想：x一1可以分解成 则原式=F一16=(M+4)(M-4), =(x-y)(x十4). (x-1)(x2+ax+b),展开等式右边，得x2+(a一1)x+(b-a)x一b, 将M还原，则原式=(x十2y+4)(x+2y-4). 乙：a-6-2+2bc=a-(6+c2-2bc)(分成两组) .x2-1=x23+(a-1).x2+(b-a)x一b恒成立. 上述解题过程用到的是“整体思想”，请用“整体思想”解答以下 =a”一(b一c)(直接运用公式) 1a-1=0, 问题： =(a+b-c)(a-b+c). 由等式两边多项式的同类项的对应系数相等，得b一4=0。解得a=1, 1b=1, -b=-1, 【数学理解】 请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解： .x2-1=(x-1)(x2+x+1). (1)分解因式：(a一2b)F一6(a一2b)十9： (1)m2-2m2-4m+8: 【方法归纳】 【拓展探索】 (2).x2-4xy+4y2-1. 设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒 (2)证明：无论a,b取何值，(a6-4a)(a6-4a一2)十1的值一定 等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值， 是非负数， 这种方法叫待定系数法 【学以致用】 (1)若x2一mx一12=(x十3)(x一4)，则m= (2)若x2+3.x-3.x十k有一个因式是x十1，求k的值及另一个因式： (3)若多项式x十mx+nx一4分解因式的结果中含有因式x十1和 x一2，求m,n的值. 24.把代数式通过配，凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关计算 和解题，这种解题方法叫作配方法 22.(1)如图①，从边长为a的正方形纸片内剪掉一个边长为b 如：①用配方法分解因式：a十6a十8. 的小正方形，然后剩余部分刚好拼成一个长方形（图②），上述操 解：原式=a2+6a十9-1=(a+3)-1=(a+3-1)(a十3+1)= 作所能验证的公式是 (a+2)(a+4). (2)已知a2一2ab+b=20,ab=6.求a+b的值： ②M=a一2ab十2b一2b+2,利用配方法求M的最小值 (3)如图③，长方形ABCD由三个正方形，两个长方形组成（两个正 解：a-2ab+2b-2h+2=a-2ab+∥+片-2h+1+1=(a-b)°+ 方形X,和两个长方形Z分别全等).若正方形X的边长为5，长 (b-1)2+1. 方形Z的面积为12，求长方形ABCD的面积。 ,(a-b)≥0，(b-1)2≥0， ∴.(a-b)2+(6-1)2+1≥1， .M的最小值是⊥ 请根据上述材料，解答下列问题： 图① 图② 图③ ()在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：一号x十 (2)用配方法因式分解：x一4xy十3y: (3)已知M=}+2x-1,求M的最小值 第4页（共6页） 第5页（共6页） 第6页（共6页）