专题突破(一) 探究与三角形角平分线相关的结论(练本)-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024 重庆专版）

专题突破（一） 探究与三角形角平分线相关的结论 类型1单角平分线 类型2两内角平分线 1.如图，AD是△ABC的角平分线，CE是 3.如图，∠A=70°，P是△ABC内一点，BP平 △ABC的高，∠BAC=50°，∠BCE=30°. 分∠ABC,CP平分∠ACB,则∠BPC的度 (1)求∠ACE的度数； 数为 ( (2)求∠ADB的度数 A.1059 B.115 C.125° D.135° 4.如图，在△ABC中，AD是高，AE,BF是角 平分线，它们相交于点O,∠BAC=50°， ∠C=70°，求∠DAC,∠BOA的度数. 2.如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线， 点E在AC上，DE∥BC.若∠A=62°， ∠B=74°，求∠EDC的度数， 5.如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D 作DE∥BC,交AC于点E,DP平分 ∠ADE,交∠ACB的平分线于点P,CP与 DE相交于点G,∠ACF的平分线CQ与DP 相交于点Q. (1)若∠A=50°，∠B=60°，则∠DPC的度 数为 ,∠Q的度数为： 第十三章三角形10 (2)若∠A=50°，当∠B的度数发生变化时， (3)如图③，在(2)的条件下，过点B作BM⊥ ∠DPC,∠Q的度数是否发生变化？请 CE于M,∠BFC=2∠ABM.若5∠ABC= 说明理由. 4∠E,求∠E的度数， 友1 图② ☒③ 类型3一内角一外角平分线 6.如图，在△ABC中，BO, CO分别平分∠ABC, ∠ACB交于点O,CE为后 外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE 于点E.以下结论：①∠OCE=90°；②∠1= 2∠2：③∠B0C=90+3∠1：④∠B0C= 3∠2.其中，正确的是 (填序号) 7.在△ABC中，点D在CB的延长线上，CA 的延长线与∠ABD的平分线BE相交 于点E. (1)如图①，求证：∠BAC=∠ACB+2∠E; (2)如图②，∠ECB的平分线CF交BE于点 F,求∠BFC与∠BAC之间的数量关系； 11【数学[八年级上册 类型4两外角平分线 ②如图③，BD,CD分别是△ABC的一 8.(1)【情境引入】如图①，BD,CD分别是 个内角∠ABC和一个外角∠ACE的 △ABC的内角∠ABC,∠ACB的平分 平分线.BD,CD交于点D,探究∠D 线，说明∠D=90°+2∠A的理由： 与∠A之间的等量关系，并说明理由； 0 12 图③ 图① (2)【深入探究】 ①如图②，BD,CD分别是△ABC的两 个外角∠EBC,∠FCB的平分线，探究 ∠D与∠A之间的等量关系，并说明 理由； (3)【拓展应用】请用以上结论解决下列问 题：如图④，在△ABC中，BD,CD分别 图② 平分∠ABC,∠ACB.M,N,Q分别在 DB,DC,BC的延长线上，BE,CE分别 平分∠MBC,∠BCN,BF,CF分别平分 ∠EBC,∠ECQ.若∠A=80°，则∠F的 度数是 图④ 第十三章三角形12∠2=∠A+∠AEF+∠A十∠AFE.又：∠A+∠AEF+ ∠AFE=180°，.∠1+∠2=∠A+180°，(3)∠1+∠2= ∠ACP+∠ACQ=2∠ACB+2∠ACF=（∠ACB+ 2∠A.理由如下：△EFP是由△EFA折叠得到的， ∴∠AFE=∠PFE,∠AEF=∠PEF,∴.∠1=180° ∠ACF)=X180=90.∠Q=∠DPC-∠PCQ=15 2∠AFE,∠2=180°-2∠AEF,∴.∠1+∠2=360° 一90°=25°.∴.当∠B的度数发生变化时，∠DPC,∠Q的 2(∠AFE+∠AEF).又∠AFE+∠AEF=180°-∠A, 度数不发生变化.6.①②③7.解：(1)BE平分 ∴.∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A. ∠ABD,∠ABE=∠DBE=Z∠ABD.∠DBE= 思维拓展 12.解：(1)130°(2)外角∠MBC,∠NCB的平分线交于 ∠ACB+∠E,∠BAC=∠ABE+∠E,.∠BAC=∠ACB +∠E+∠E=∠ACB十2∠E:(2)由(1)，得∠BAC= 点Q,∴∠QBC= ∠MBC,∠QCB=∠NCB.∴∠Q= ∠ACB+2∠E.,CF平分∠ACB,∴：∠BCF=∠ECF= 180°-（∠QBC+∠QCB)=180°-号（∠MBC+∠NCB) ∠ACB:∠BFC=∠E+∠BCR,∠BFC=∠E+ =180°- 合(180°-∠ABC+180-∠ACB)=(∠ABC ∠ACB-(∠ACB+2∠E,∠BC-号∠BAC +∠ACB)=号(180°-∠A)=90°-2∠A.:BP,CP分 (3)由5∠ABC=4∠E,设∠E=5x,则∠ABC=4x.由 别平分∠ABC,∠ACB,∠PBC=∠ABC.∠PCB ∠BFC=2∠ABM,∠BFC=号∠BAC,设∠ABM=,则 有∠BFC=2y,∠BAC=4y,设∠BCF=∠ECF=a.:BM z∠ACB.·∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB)=180° ⊥EC,∴.∠BMA=90°.∠BAC=∠ABM+∠BMA,即 4y=y+90°，解得y=30°，.∠ABM=30°，∠BFC=60°， 合（∠ABC+∠ACB)=180-2(180-∠A)=90+ ∠BAC=120°.在Rt△BMC中，∠BMC=90°，∴.∠MBC+ ∠BCM=90°，即30°+4x十2a=90°，∴.4x十2a=60°.① 号∠A,∠Q+∠BPC=180,(3)延长BC至R.CQ为 由(1)，得∠BAC=∠ECB+2∠E,.120°=2a+10x.② △ABC的外角∠NCB的平分线，∴.CE是△ABC的外角 ∠ACF的平分线，∴.∠ACF=2∠ECF.:BE平分∠ABC, 联立8和女b解E==n ∴.∠ABC=2∠EBC.:∠ECF=∠EBC+∠E,∴.2∠ECF 8.解：(1)：BD,CD分别是∠ABC,∠ACB的平分线， =2∠EBC+2∠E,即∠ACF=∠ABC+2∠E.又·∠ACF ∴∠1=号∠ABC,∠2=合∠ACB,∠1+∠2 =∠ABC+∠A,∴∠A=2∠E.∠Q=4∠E,∴∠Q= 2∠A由(2)知，∠Q=90-合∠A,∴2∠A=90-∠A, 合（∠ABC+∠ACB.:∠A+∠ABC+∠ACB=1SO, .∠A=36° ∠1+∠2+∠D=180°，.∠ABC+∠ACB=180°-∠A, 专题突破（一）探究与三角形角平分线相关的结论 ·∠D=180°-∠1-∠2=180°-（∠ABC+∠ACB)= 1.解：(1)CE是△ABC的高，∴∠AEC=90°，∴.∠ACE +∠BAC=90°.：∠BAC=50°，∴∠ACE=40°；(2)：AD 180°-(180-∠A0=90+2∠A:(2)①∠D与∠A之 是△ABC的角平分线，：∠DAC=号∠BAC=号X50 1 间的等量关系是∠D=90”-号∠A.理由如下：BD,CD 25°..∠ACE=40°，∠BCE=30°，..∠ACD=∠ACE+ 分别是△ABC的两个外角∠EBC,∠FCB的平分线， ∠BCE=40°+30°=70°，∴.∠ADB=∠DAC+∠ACD= 25°+70°=95°.2.解：：∠A=62°，∠B=74°，∴.∠ACB ∴∠DBC=∠EBC.∠DCB=∠FCB.:∠EBC- =180°-∠A-∠B=180°-62°-74°=44°.：CD是 ∠ACB+∠A,∠FCB=∠A+∠ABC,∠A+∠ABC+ ∠ACB的平分线∠BCD=合∠ACB=号X41=22. ∠ACB=180°，∴.∠D=180°-∠DBC-∠DCB=180° DE∥BC,∴∠EDC=∠BCD=22°.3.C4.解：：AD 3∠EBC-合∠FCB=180-名（∠EBC+∠FCB)- 是高，∠ADC=90°.∠C=70°，.∠DAC=90°-∠C= 90°-70°=20°.在△ABC中，∠ABC=180°-∠BAC-∠C 180°-号（∠ACB+∠A+∠A+∠ABC)=180 =180°-50°-70°=60°.：AE,BF是角平分线，∴.∠OAB 7∠BAC=2X50=25∠0BA=∠ABC=名× 1 号180+∠0=90°-∠A:②∠D与∠A之间的等量 60°=30°..∠B0A=180°-∠OAB-∠OBA=180°-25 关系是∠D=合∠A.理由如下：BD,CD分别是△ABC -30°=125.5.解：(1)115°25°(2)∠DPC,∠Q的度 的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线， 数不发生变化.理由如下：：∠A=50°，.∠ACB十∠B= ∴.∠ABC=2∠DBC,∠ACE=2∠DCE.·∠A+∠ABC= 180°-∠A=180°-50°=130°.：DE∥BC,∴.∠ADE= ∠ACE,∴.∠A+2∠DBC=2∠DCE,又∠DCE=∠D+ ∠B,∠PGD=∠PCB.:DP平分∠ADE,CP平分 ∠DBC,.∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC,∴∠A= ∠ACB,·∠PDE=3∠ADE=∠B,∠PCB 2∠D,即∠D=号∠A,(3)12.5[解析：由(1，得∠D=90 2∠ACB=∠PGD.·∠DPC=180°-（∠PDE+∠PGD) +7∠A,:∠A=80,∠D=90+2X80=130,由 =180-号（∠B+∠ACB)=180-号×130=115 (2)0,得∠E=90°-号∠D=90°-号×130°=25.由(2) CQ平分∠ACF,·∠ACQ=号∠ACF,∠PCQ= ②，得∠F=2∠E,∠F=令×25-12.5门 参芳答案 第19页（共47页）