强化训练一 三角形中角度计算的常见类型&数学活动(练本)-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024 重庆专版）

强化训练一三角形中角度计算的常见类型 类型1 利用三角形的内、外角性质求角度 5.如图，在△ABC中，BE平分∠ABC,CF平 1.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC 分△ABC的外角∠ACD交BE的延长线于 于点D,∠B=30°，∠ADC=70°，则∠C的度 点F,直线CF与直线AB交于点P. 数是 A.50° B.60° C.70° D.80 图① 图② (1)当∠BAC>90°，如图①，已知∠CEF+ ∠P=90° (第1题图) (第2题图) (第3题图) ①当∠P=48°，∠ACB=28°时，求∠ABC 2.如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=70°，AD 的度数； 平分∠BAC,过点D作DE⊥AB于点E,则 ②探究∠ABC与∠ACB的数量关系，并 ∠ADE的度数是 ( 说明理由； A.45°B.50° C.60° D.70° (2)当∠BAC<90°时，如图②，已知∠CEF 3.如图，已知DE分别交△ABC的边AB,AC ∠P=90°.请问(1)中探究的∠ABC与 于点D,E,交BC的延长线于点F.若∠B ∠ACB的数量关系还成立吗？若成立， 67°，∠ACB=74°，∠AED=48°，则∠BDF 请证明；若不成立，请说明理由. 的度数为 4.如图，∠CBF,∠ACG是△ABC的外角， ∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC, ∠CBF的平分线BD,BE交于点D,E. (1)求∠DBE的度数； (2)若∠A=70°，求∠D的度数， 13数学[八年级上册 类型2借助平行线的性质求角度 (3)在(2)的条件下，若MN与CD交于点 6.如图，a∥b,∠1+∠2=75°，则∠3+∠4的 O,且∠DON=15°，∠PEB=30°，求∠N 度数为 的度数 4 27 一b B (第6题图) (第7题图) 7.如图，CE平分∠ACD,F为CA延长线上一 点，FG∥CE交AB于点G,∠ACD=100°， ∠AGF=20°，则∠BAC的度数为一， ∠B的度数为 8.如图，已知AB∥CD,现将一个Rt△PMN 放入图中，其中∠P=90°，PM交AB于点 E,PN交CD于点F. (1)当△PMN所放位置如图①所示时，求 ∠PFD与∠AEM的数量关系； 类型3“飞镖”型角度的计算 9.如图，∠BOC是钝角，∠A,∠B,∠C都是锐 角.求证：∠BOC=∠A+∠B+∠C. 图① (2)当△PMN所放位置如图②所示时，求 证：∠PFD-∠AEM=90°； 图② 第十三章三角形14 10.【材料阅读】如图①所示的图形，像我们常 类型4借助折叠的性质寻找角之间的 见的学习用品一一圆规.我们不妨把这样 关系 的图形叫作“规形图” 11.(1)如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，使 【解决问题】 点A落在四边形BCED内部点A'的位 置.试写出∠A与∠1+∠2之间的关 系，并说明理由； (2)如图②，如果把△ABC纸片沿DE折 叠，使点A落在四边形BCED外部点 图① 图② 图③ (1)观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A, A'的位置，直接写出∠A与∠1，∠2之 ∠B,∠C之间的数量关系，并说 间的数量关系是 明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下两个 问题： ①如图②，把一块三角尺DEF放置在 图① 图② △ABC上，使三角尺的两条直角边DE, DF恰好经过点B,C.若∠A=40°，则 ∠ABD十∠ACD的度数为 ②如图③，BD平分∠ABP,CD平分 ∠ACP.若∠A=40°，∠BPC=130°， 求∠BDC的度数. 15数学[八年级上册 类型5“8字”型角度的计算 13.【模型】 12.如图①，线段AB,CD相交于点O,连接 如图①，AD,BC交于点O,则∠D十∠C= AD,CB. ∠A+∠B; (1)求证：∠A+∠D=∠B+∠C: 【模型应用】 (2)如图②，延长AD,CB交于点E,分别在 (I)如图②，∠BAD和∠BCD的平分线交 CD,AB的延长线上取点F,G,连接 于点E FG,分别交AE,CE于点M,N.求 ①若∠D=30°，∠B=40°，则∠E的度 ∠A+∠C+∠G+∠E+∠F的度数； 数是 (3)若将图②中的每个角都截去，如图③， ②直接写出∠E与∠D,∠B之间的数 则∠A十∠B十∠C十∠D十∠E+∠F+ 量关系是 ∠G+∠H+∠M+∠N= 【类比应用】 (2)如图③，∠BAD的平分线AE与 ∠BCD的平分线CE交于点E.若 ∠D=m°，∠B=n°(m<n),求∠E的 图① 图② 图③ 度数.（用含有m,n的式子表示） 友1 图③ 第十三章三角形16 数学活动 1.“转化”是数学中的一种重要思想方法，同学5.（教材Pg活动2变式) 们在研究多边形（边数大于3）的内角和度数 时，通常是将多边形的内角和转化为三角形 的内角和来解决，从而化陌生的问题为熟悉 图① 图② 的情境来解决问题.现从某n边形(n>3)一 (1)要用三角形内角和定理证明四边形的内 边上的一点（不包含端，点）出发，依次连接多 角和等于360°，只要将四边形分成几个 边形的各个顶点，分割得到的所有三角形的 三角形即可. 内角和是1080°，则n的值为 如图①，连接对角线AC,则四边形ABCD A.5 B.6 C.7 D.8 被分成△ABC,△ACD两个三角形， 2.用六根长度相等的火柴棒搭等边三角形，最 由此可得∠BAD十∠B+∠BCD+∠D= 多搭成 个 ∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D 3.在同一平面内，用若干根同样长的火柴棒搭 (∠2+∠B+∠4)+（∠1+∠3+∠D). 4个同样大小的等边三角形，至少需要火柴 .∠2+∠B+∠4=180°，∠1+∠3+ 棒 根 ∠D=180°， 4.按如图所示方法搭等边三角形： .∠BAD+∠B+∠BCD+∠D=360°. △ 这个问题运用的数学思想是 1个 2个 (2)继续推导五边形和六边形的内角和各是 (1)搭5个三角形需多少根火柴棒？ 多少？从五边形、六边形其中一个顶点 (2)搭n个三角形需多少根火柴棒？ 出发可以把多边形分成若干个三角形， 从而得到各自的内角和，这里运用的数 学思想是 (3)如图②，从五边形一个顶点出发，可以作 2条对角线，它们将五边形分成3个三角 形，五边形内角和等于180°×3；从六边 形一个顶点出发，可以作3条对角线，它 们将六边形分成4个三角形，六边形内 角和等于180°×4；那么从n边形一个顶 点出发，可以作 条对角线，它们 将n边形分成 个三角形，n边 形内角和等于180°× .这里运 用的数学思想是 17数学[八年级上册强化训练一三角形中角度计算的常见类型 =∠3+∠4，即∠BOC=∠BAC+∠B+∠C.10.解： 1.C2.C3.87°4.解：(1)BD,BE分别为∠ABC, (1)如图①， 连接AD并延长至点F,根据外角 ∠CBF的平分线，∴.∠DBG= 3∠ABC,∠EBG= 1 ∠CBF,.∠DBE=∠DBG+∠EBG=Z（∠ABC+ 的性质，可得∠BDF=∠BAD十∠B,∠CDF=∠C+ ∠CBF)=2X180=90,(2):∠ACG是△ABC的外角， ∠CAD,∴.∠BDC=∠BDF+∠CDF=∠BAD+∠B+ ∴∠ACG-∠ABC=∠A=70.:BD,CD分别为∠ABC, ∠C+∠CAD.又：∠BAC=∠BAD+∠CAD,∴∠BDC =∠BAC+∠B+∠C,即∠BDC=∠A+∠B+∠C: ∠ACG的平分线，·∠DBG=号∠ABC,∠DCG= (2)①50°②由(1)，可得∠BPC=∠A+∠ABP+ ∠ACP,∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD,.∠ABP+ 3∠AcG,∠D=∠DCG-∠DBG=(∠AcG ∠ACP=∠BPC-∠A=130°-40°=90°.又：BD平分 ∠ABC)=X70=35°，5.解：(1)①：∠CEF+∠P= ∠ABP,CD平分∠ACP,∠ABD=号∠ABP,∠ACD= 90°，且∠P=48°，∴∠CEF=90°-48°=42.：∠CEF= ∠ACP.∴∠ABD+∠ACD=(∠ABP+∠ACP)= 1 ∠CBE+∠ACB,且∠ACB=28°，.∠CBE=42°-28°= 14°.：BE平分∠ABC,.∠ABC=2∠CBE=28°； 号×90=45，∠BDC=40+45=85.1山.解：1根 ②∠ABC=∠ACB.理由如下：设∠CBE=x,∠ACB=y. 据翻折的性质，得∠ADE=∠A'DE,∠AED=∠A'ED, BE平分∠ABC,∴.∠ABC=2∠CBE=2x.:∠CEF= ∠CBE+∠ACB,∴∠CEF=x+y.∠CEF+∠P=90°， ÷∠ADE=(180°-∠1D,∠AED=号(180°-∠2). ·∠P=90°-x-y.:∠PCD=∠P+∠ABC,∴.∠PCD =90°-x-y+2x=90°+x-y.:∠ACB+∠ACD=180°， :∠A+∠ADE+∠AED=180,∠A+号(180°-∠1) .∠ACD=180°-y.:CF平分∠ACD,∴.∠PCD= +号(180°-∠2)=180.整理，得2∠A=∠1十∠2： ∠ACD=号180-，则90+x-y=(180°- 1 (2)2∠A=∠1-∠212.解：(1)：∠A+∠D+∠AOD= ∴.y=2x,即∠ACB=2∠CBE=∠ABC;(2)∠ABC 180°，∠C+∠B+∠BOC=180°，∠AOD=∠BOC,.∠A ∠ACB仍然成立.证明如下：设∠CBE=m,∠ACB=n, +∠D=∠B十∠C:(2)如图②， C 连接AC. :BE平分∠ABC,∴.∠ABC=2∠CBE=2m.:∠CEF= B ∠CBE+∠ACB,∴.∠CEF=m十n.:∠CEF-∠P=90°， G ∴∠P=m+n-90°，：∠ABC+∠PBC=180°，∴.∠PBC =180°-2m.:∠ACB+∠ACD=180°，.∠ACD=180° :∠F+∠G+∠FOG=180°，∠OAC+∠OCA+∠AOC= 180°，∠AOC=∠FOG,.∠F+∠G=∠OAC+∠OCA. n.:CF平分∠ACD,∠ACF=∠ACD=号(180 :∠EAC+∠ECA十∠E=180°，∠EAC=∠EAO+ ∠OAC,∠ECA=∠ECO+∠OCA,∴.∠EAO+∠OAC+ m.:∠BCF=∠ACB+∠ACF,∠BCF=I+2(I80 ∠ECO+∠OCA+∠E=∠EAO+∠ECO+∠F+∠G+ ∠E=180°.即∠A+∠C+∠G+∠E+∠F=180°； -)=90+m:∠BCF=∠P+∠PBC,·∠BCF=m (3)1080°13解：(1)①35[解析：如图②，设CE与AD 十n-90+180°-2m=90-m+,则90+2a=90°-n 交于点M,BC与AE交于点N,易证∠D十∠MCD=∠E +∠MAE,∠B+∠NAB=∠E+∠NCE,∴.∠D+ +n,∴.n=2m,即∠ACB=2∠CBE=∠ABC,6.105 ∠MCD+∠B+∠NAB=2∠E+∠MAE+∠NCE. 7.70°30°8.解：(1)如图①，过点P作PH∥AB.AB :CE,AE分别是∠BCD和∠BAD的平分线，∴·∠MCD= ∥CD,.PH∥CD∥AB,·∠PFD=∠FPH,∠AEM= ∠NCE,∠NAB=∠MAE,∴.∠D+∠B=2∠E,则∠E ∠HPM.:∠MPN=90°，.∠FPH+∠HPM=90°， 合（∠D+∠B)=7×(30+40)=35门@∠E- ∴.∠PFD十∠AEM=90°；(2)如图②，设PN与AB相交 于点H.AB∥CD,∠PHB=∠PFD.:∠PHB是 合（∠D十∠B)(2)如图③，延长BC交AD于点F △PEH的外角，·∠PHB=∠P+∠PEH.又：'∠P= :∠BFD=∠B+∠BAD,∴.∠BCD=∠BFD+∠D= 90°，∠AEM=∠PEH,∴.∠PFD=90°+∠AEM,即 ∠B十∠BAD+∠D.:CE平分∠BCD,AE平分∠BAD, ∠PFD-∠AEM=90°；(3)由(2)，得∠PFD=∠PHB= 90°+∠PEB=90°+30°=120°，.∠OFN=∠PFD=120°， ·∠ECD=∠ECB=号∠BCD,∠EAD=∠EAB= .∠V=180°-∠D0N-∠0FN=180°-15°-120°=45. 合∠BAD,易得∠E+∠BCB=∠B十∠EAB,∠E= ∠B+∠EAB-∠ECB=∠B+∠BAD-号∠BCD= ∠B+合∠BAD-合（∠B+∠BAD+∠D)=合（∠B 图① 图② ∠D).∠D=m°，∠B=n°，∴∠E= (n 9.证明：如图， 连接AO并延长.，∠3是 △ABO的外角，.∠1十∠B=∠3.①，∠4是△AOC的外 角，.∠2十∠C=∠4.②①+②，得∠1+∠B+∠2+∠C 图② 图3 参考答案 第20页（共47页） 数学活动 +∠MEN+∠ANE=360°，∴.∠MEN=360°-∠DME 1.C2.83.94.解：(1)搭1个三角形，需3根火柴棒： ∠AVE-360°-100°-140°=120°；(2)结论：∠DEB=1809 搭2个三角形，需5=3十2根火柴棒；搭3个三角形，需7= 2∠BQD.理由如下：延长CD交BQ于点K,在QD的延 5十2=3十2×2根火柴棒：.搭5个三角形需3十4×2= 长线上取一点P.:DQ是∠CDE的平分线所在直线，BQ 11(根)火柴棒：(2)由(1)得出，搭n个三角形需3十2(n 是∠ABE的平分线，∴.设∠CDP=∠EDP=x,∠ABK= 1)=2十1（根）火柴棒.5.(1)转化思想(2)类比思想 ∠EBK=y.同法可证∠DEB=360°-∠KDE-∠ABE= (3)(n-3)(n-2)(n-2)从特殊到一般 360°-(180°-2x)-2y=180°-2(y-x),:CK∥AB, 第十三章整合与提升 ∴∠CKB=∠ABK=y,∠KDQ=∠CDP=x,:∠CKB= 高频考点突破 ∠BQD+∠KDQ,.∠BQD=∠CKB-∠KDQ=y-x, 1.A2.B3.C4.D5.稳定性6.D7.8或16 .∠DEB=180°-2∠BQD:(3):∠EAI:∠BA1=1:2, 1 .可设∠EAI=x,则∠BAI=2x,∠EAB=∠EAI十 &.解：(1)S△e=之BC·AF=2X10×6=30: ∠BAI=x+2x=3x.又：'∠EDK+∠DKE+∠DEK= (2)Sam=7AC·BG,AC=29C-2X30-12: 180°，∠KAI+∠I+∠AKI=180°，∠DKE=∠AKI BG 5 ∴.∠EDK+∠DEK=∠KAI+∠I.:∠AED=26°，即 (3):AD为△ABC的中线，∴.SAABD=S△cD, 9.B ∠DEK=26°，∠I=22°，∴∠EDK+26°=x+22°， 10.100°11.解：(1)BF是△ABC的角平分线， ∴∠EDK=x-4°.DI平分∠EDC,∴.∠CDE=2∠EDK ·∠ABF=∠CBF=2∠ABC=2X40=20.·∠AFB =2x-8.:AB∥CD,.∠EHC=∠EAB=∠AED+ ∠CDE,即3x=26°+2x-8°，解得x=18°..∠EDK=18 =∠CBF+∠C=20°+60°=80°：(2).AE是△ABC的角 -4°=14°，..∠EKD=180°-∠EDK-∠DEK=180° 平分线，∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-40°-60°= 14°-26°=140°. 80,∠BAE=∠CAE=∠BAC=号X80=40, 第十四章全等三角形 .∠AEC=∠ABC+∠BAE=40°+40°=80°.：OD⊥BC, 14.1全等三角形及其性质 ∴.∠DOE=90°-∠AEC=90°-80°=10°.12.解： 基础过关 (1)∠AFB的大小不发生变化.当直线MN与直线PQ垂 1.A2.D3.C4.2∠A'∠A'B'C∠CAB与 直时，∠AOB=90°，∴∠BAO+∠ABO=90°，：AF,BF分 A'B',BC与B'C',AC与A'C'5.C6.100° 7.2 别是∠BAO和∠ABO的平分线，∠BAF=∠BAO, 8.5或49.解：(1)：△ACF≌△DBE,∴∠E=∠F= 40°，∠D=∠A=50°，∴.∠EBD=180°-40°-50°=90°： ∠ABF=∠ABO.:∠BAF+∠ABF-合（∠BAO+ (2)△ACF≌△DBE,AC=DB,.AC-BC=DB- ∠ABO)=45°..∠AFB=180°-（∠BAF+∠ABF)= BC,AB-CD,:'AB-AD BC-1610-3. 2 2 180°-45°=135°：(2)：∠ABO+∠BAO=∠MOQ,∠PAB 能力提升 =180°-∠BAO,∠MBA=180°-∠ABO,AD,BC分别是 10.D11.4812.解：(1).△ABC≌△ADE,.∠BAC= ∠BAP和∠ABM的平分线，∴.∠FAB十∠FBA= ∠DAE,∴.∠CAE=∠BAD.∠CAE+∠BAD=∠CAD 2(∠PAB+∠MBA)=[I80°-∠BAO)+(180 -∠BAE=80°，.∠CAE=∠BAD=40°；(2)'AD=10, BE=CE=4.5,△ABC≌△ADE,.AB=AD=10,BC= ∠AB0)]=180°- 2（∠BA0+∠ABO)=180 DE=BE+CE=9,∴.△ADF与△BEF的周长和为AD+ DF+AF+BF+EF+BE-AD+(DF+EF)+(AF+BF) 2∠MOQ.∠F=180°-（∠FAB+∠FBA)= +BE=AD+DE+AB+BE=10+9+10+4.5=33.5. ∠MOQ:(3)DE,CE分别平分∠ADC,∠BCD, 13.解：(1)四边形ABCD≌四边形AEFG,△AFG≌ △FAE≌△ACD≌△CAB;(2),△FAE≌△ACD,.AF ∴.∠ADC=2∠CDE,∠BCD=2∠DCE.在△CDF中， =AC,∠FAE=∠ACD.,四边形ABCD是长方形， ∠FDC+∠FCD+∠F=180°，∴.180°-∠ADC+180° .∠ADC=90°，.∠ACD+∠CAD=90°，.∠FAE+ ∠BCD+∠F=180°，.(180°-2∠CDE)+(180° ∠CAD=90°，即∠FAC=90°，∴.△AFC是等腰直角三角形 2∠DCE)+∠F=180.·∠CDE+∠DCE=90+7∠F 思维拓展 14.解：(1)BD=DE十CE.理由如下：，△BAD≌△ACE, 由(2)知∠F=号∠M0Q,·∠CDE+∠DCE=90°+ .BD=AE,AD=CE.,.BD=AE=AD十DE=CE十DE, 即BD=DE十CE:(2)△ABD满足∠ADB=90°时，BD∥ ∠M0Q∴∠CED-180-(∠CDE+∠DCE)=180' CE.理由如下：：BD∥CE,∴∠E=∠BDE.△BAD≌ △ACE,∴∠ADB=∠E,∠ADB=∠BDE.:∠ADB+ (90+4∠M0Q)=90°-4∠M0Q.∴∠CED+∠F= ∠BDE=180°，即2∠ADB=180°，.∠ADB=90°. 90°-∠M0Q+∠M0Q=90+∠M0Q. 14.2三角形全等的判定 第1课时用“SAS”判定三角形全等 常考题型演练 基础过关 1C2.号3.-a+6+3c4.解：(1)如图，D M 1.D2.AD=AE(答案不唯一)3.证明：∠BAE= G ∠CAD,∴.∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE,即∠BAC AB=AE, A NF B =∠EAD.在△ABC和△AED中，∠BAC=∠EAD, 过点E作EJ∥CD.:AB∥CD,EJ∥CD,.EJ∥AB, AC=AD, .∠DME+∠JEM=180°，∠ANE+∠JEN=180°， .△ABC≌△AED(SAS).4.C5.90°6.证明：B是 .∠DME+∠JEM+∠JEN+∠ANE=360°，∴.∠DME AD的中点，.AB=BD..BC∥DE,.∠ABC=∠D.在 参考答案 第21页（共47页）