专题突破(一) 探究与三角形角平分线相关的结论&第十三章 整合与提升(讲本)-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024 重庆专版）

∠ADB-∠C=98°-70°=28°.又AD是△ABC的角平 .∠DAC=90°-∠C=90°-40°=50°，∴.∠DAE=∠DAC 分线，.∠BAD=∠CAD=28°，.∠B=180°-∠BAD- ∠EAC=50°-30°=20°；(2)补全图形如图. ∠ADB=180°-28°-98°=54. EF⊥AE,∴∠AEF=90°，∴.∠AED+ 变式练习 1.C2.B3.①②③4.证明：如图 延长BP DE ∠FEC=90.:∠DAE+∠AED=90°，.∠DAE= ∠FEC,由(1)知∠DAE=20°，∴∠FEC=20°，3.解：连 交AC于点E,连接PD,并延长，·BP,CP分别平分 接BC.:∠BDC=140°，∴.∠DBC+∠DCB=180°- ∠ABD,∠ACD,∠PBA=∠PBD-G∠ABD,∠PCA ∠BDC=180°-140°=40°.又.∠BGC=110°，.∠GBC+ ∠GCB=180°-∠BGC=180°-110°=70°，.∠GBD+ =∠PCD=合∠ACD.可设∠PBA=∠PBD=x ∠GCD=70°-40°=30°.：BE,CF分别是∠ABD,∠ACD 的平分线，∴∠ABD=2∠GBD,∠ACD=2∠GCD. ∠PCA=∠PCD=y,∴.∠BEC=∠PBA+∠A=x+∠A, .∠ABD+∠ACD=2(∠GBD+∠GCD)=2X30°=60°. .∠BPC=∠BEC+∠PCA=x+∠A+y,.x+y= .∠A=180°-（∠ABD+∠ACD)-(∠DBC+∠DCB)= ∠BPC-∠A.同理可得∠BDC=x十y十∠BPC=∠BPC 180°-60°-40°=80°.4.解：(1)：AB∥CD,.∠BCD= -∠A+∠BPC=2∠BPC-∠A,.2∠BPC=∠A+ ∠B=30°，∠BAD=∠D=40°.：CE平分∠BCD,AE平分 ∠BDC,∠BPC=号（∠A+∠BDC. ∠BAD,∠DCE=∠BCD=2X30=15,∠DAE= 专题突破（一）探究与三角形角平分线相关的结论 例题导学 号∠BAD=之×40°=20.由三角形外角性质可知∠D+ 【例1】解：：∠B=25°，∠C=50°，∠BAC=180°-∠B ∠DCE=∠E+∠DAE,即40°+15°=∠E+20°，.∠E= ∠C=180°-25°-50°=105°.AD是∠BAC的平分线， 35°；(2)：CE平分∠BCD,AE平分∠BAD,∴.∠ECD= ·∠BAD=号∠BAC=号X105=52.5.:AE是BC边 ∠ECB=∠BCD,∠EAD=∠EAB=号∠BAD.由三角 上的高，.∠AEB=90°，∴.∠BAE=90°-∠B=90°-25 形外角性质可知，∠D十∠ECD=∠E十∠EAD,①∠B =65°，.∠DAE=∠BAE-∠BAD=65°-52.5°=12.5°. +∠EAB=∠E+∠ECB.②①十②，得∠D+∠ECD+ 【例2】证明：：BP,CP是△ABC的内角平分线，∴.∠ABC ∠B+∠EAB=∠E+∠EAD+∠E+∠ECB,∴.∠D+∠B =2∠PBC,∠ACB=2∠BCP.:∠ABC+∠ACB+∠A= 180°，.2∠PBC+2∠BCP+∠A=180°，∴.∠PBC+ =2∠E,∠E=合(ZD+∠B.:∠D=m,∠B=, ∠BCP=号(180-∠A)=90°-2∠A.又：∠PBC+ ∠E=”产，5解：I:AD平分∠EAC,∠EAC ∠BCP+∠BPC=180,∠BPC=180°-(90°-2∠A） =2∠EAD.∠EAC=∠ABC+∠C,又，'∠ABC=∠C, .∠EAC=2∠ABC,.∠EAD=∠ABC,∴.AD∥BC: =90+∠A.【例3】解：△ABC的内角平分线BP与 (2)26°6.证明：：BM,CM是△ABC的外角平分线， .∠EBC=2∠MBC,∠FCB=2∠MCB,∴.∠ABC=180 外角平分线CP交于点P,“∠PBC=∠AC,∠PCD -∠EBC=180°-2∠MBC,∠ACB=180°-∠FCB=180° -2∠MCB,:∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴.∠A+ ∠ACD.'∠ACD=∠A+∠ABC,∠PCD=∠PBC+ (180°-2∠MBC)+(180°-2∠MCB)=180°，∴.∠MBC+ ∠P,∴∠P=∠PCD-∠PBC=号（∠ACD-∠ABC)= ∠MCB=90+号∠A.:∠MBC+∠MCB+∠M=18O, 之∠A,即∠P=号∠A.【例4)证明：BP,CP是 .∠M=180°-（∠MBC+∠MCB)=180° (90+号∠A)=90-∠A.易证∠P=90+号∠A, △ABC的外角平分线，.∠PBC= 号∠DBC=(∠A+ ∠ACB),∠PCB= 合∠BCB=(∠A+∠ABC.又 ∴∠M+∠P=90-号∠A+90+2∠A=180,7.解： (I)=理由如下：：∠DBC=∠A十∠ACB,∠ECB=∠A :∠PBC+∠PCB+∠P=180°，∴∠P=180°-（∠PBC +∠ABC,∠ABC+∠ACB+∠A=180°，.∠DBC+ +∠PCB)=180-2(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)= ∠ECB=∠ABC+∠ACB+∠A+∠A=180°+∠A: 180-2180+∠A)=90°-号∠A (2)5°(3)∠P=90-2∠A(0∠P=180-号（∠A 十∠D).理由如下：：∠EBC=180°-∠ABC,∠FCB= 变式练习 180°-∠BCD,BP平分∠EBC,CP平分∠FCB,∴.∠PBC 1.解：∠ACB=60°，∠ADB=85°，.∠CAD=∠ADB- ∠ACB=85°-60°=25°.：AD是△ABC的角平分线， =∠EBC=(180-∠ABC)=90-÷∠ABC, 1 ∴.∠CAB=2∠CAD=2X25°=50°.CE⊥AB,∴.∠AEC =90°，.∠ACE=90°-∠CAB=90°-50°=40°，.∠BCE ∠PCB=∠FCB=合(180-∠BCD)=90 =∠ACB-∠ACE=60°-40°=20°.2.解：(1)∠C= 40°，∠B=2∠C,∴.∠B=80°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C 号∠BCD,·∠PBC+∠PCB=90-号∠ABC+90° =180°-80°-40°=60°.：AE平分∠BAC,∴∠EAC= ∠BD=180-（∠ABC+∠BCD).:在四边形 1 7∠BAC=2X60°=30.：AD⊥BC,∠ADC=90, ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°-（∠A十∠D).在 参芳答案 第2页（共47页） △PBC中，∠P=180°-（∠PBC+∠PCB)=180°- 变式练习 180°- (∠ABC+∠BCD)]-(∠ABC+∠BCD). 1.A2.证明：CE=BF,∴.CE-EF=BF-EF,即CF= CF=BE. ÷∠P=合X[360-(∠A+∠D]=180-(∠A+ BE.在△CDF和△BAE中，∠CFD=∠BEA,∴.△CDF DF=AE. ∠D). ≌△BAE(SAS).3.20°4.1<<45.解：【问题背景】 第十三章整合与提升 EF=BE十DF【探索延伸】EF=BE十DF仍然成立.理由 考点突破 如下：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG.∠B十 【例1】解：由5-3<a<5十3，得2<a<8.原式=a十1-(8 ∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，∴.∠B=∠ADG. -a)-2(a-2)=a+1-8十a-2a十4=-3.【例2】C 又BE=DG,AB=AD,.△ABE≌△ADG(SAS),∴.AE 【例3】解：设∠BAC=7x°，则∠ABC=8x°，∠C=3x ∠BAC+∠ABC+∠C=180°，即7x+8x+3x=180,解 =AG,∠BAE=∠DAG.:∠EAF=∠BAD,∠GAF 得x=10.∴.∠C=30°.AD⊥BC,BE⊥AC,∴.∠ADC= =∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF ∠AEB=90°，∠EAH=180°-∠ADC-∠C=180°-90 =∠BAD=∠EAF.又：AF=AF,.△AEF≌△AGF -30°=60°，∴.∠EHD=∠EAH+∠AEB=60°+90°= (SAS),.'.EF=GF..'FG=DG+DF=BE+DF,..EF=BE 150. OA=OC, 第十四章全等三角形 +DF. 6.解：在△AOB和△COD中，J∠AOB=∠COD, 14.1全等三角形及其性质 OB=OD. 知识梳理 .△AOB≌△COD(SAS),..AB=CD. L,完全重合2.完全重合3.全等≌全等于5.相等 第2课时用“ASA”或“AAS”判定三角形全等 相等 知识梳理 例题导学 1.夹边角边角ASA2.对边角角边AAS 【例1】解：由全等三角形的相关概念，得AB和AC,AF和 例题导学 AD,BF和CD是对应边，∠A和∠A,∠B和∠C,∠AFB 【例1】∠2 ∠CFD DF∠2DF∠CFD ASA 和∠ADC是对应角.【例2】解：：△ABC≌△ADE, 【例2】证明：：∠2=∠3，∠AFE=∠DFC,.∠E=∠C. ·∠BAC=∠DAE=(∠EAB-∠CAD)=号X120°- :∠1=∠2，∴.∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,即∠BAC= ∠C=∠E, 10)=55°，∴.∠FAB=∠BAC+∠CAD=55°+10°=65°， ∠DAE.在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE, .在△ABF中，∠AFB=180°-（∠FAB+∠B)=180°- AB=AD. (65°+25)=90°，.∠DFB=180°-∠AFB=90°， ..△ABC2△ADE(AAS). 【例3】解：(1)BD=CE.理由 .∠DGB=90°-∠D=90°-25°=65°. ∠C=∠B, 变式练习 如下：在△ADC和△AEB中，AC=AB,..△ADC2 1.CDCA∠D2.解：△ABC≌△DEF,AB,BC,AC的 ∠A=∠A, 对应边分别是DE,EF,DF:∠A,∠B,∠ACB的对应角分 △AEB(ASA),.AD=AE.又：AB=AC,∴.AB-AD= 别是∠EDF,∠E,∠F,3.A4.C5.110 AC-AE,即BD=CE;(2)OB=OC,理由如下：由(1)知BD 14.2三角形全等的判定 ∠B=∠C, 第1课时用“SAS”判定三角形全等 =CE.在△BDO和△CEO中，∠BOD=∠COE, BD=CE, 知识梳理 ∴.△BDO≌△CEO(AAS),∴.OB=OC 夹角边角边SAS 变式练习 例题导学 1.C2.103.解：(1)CB为∠ACE的平分线，∴.∠ACB 【例1】解：(1)，BE平分∠ABC,.∠ABE=∠DBE.在 ∠B=∠E, AB=DB. =∠FCE.在△ABC和△FEC中，J∠ACB=∠FCE, △ABE和△DBE中， ∠ABE=∠DBE,.△ABE≌ CA=CF, BE=BE, △ABC≌△FEC(AAS),∴.AB=FE:(2):AB∥CE, △DBE(SAS);(2):∠A=100°，∠C=50°，.∠ABC= ∴∠B=∠FCE,∴∠E=∠B=∠FCE=∠ACB.:ED⊥ 30.:BE平分∠ABC,∠ABE=∠DBE=号∠ABC= AC,即∠CDE=90°，∴.∠E+∠FCE+∠ACB=90°，即 3∠ACB=90°，∴.∠ACB=30°，..∠B=30°，.∴.∠A=1809 15°.在△ABE中，∠AEB=180°-∠A-∠ABE=180° -∠B-∠ACB=120°.4.B5.B6.6 100°-15°=65°.【例2】证明：(1)：BD,CE是△ABC的 第3课时用“SSS”判定三角形全等 高，∴.∠ADB=∠AEC=90°，∴.∠ABP+∠BAC=90°， 知识梳理 ∠QCA+∠BAC=90°，·∠ABP=∠QCA.在△ABP和 全等边边边 sss BP=CA. 例题导学 △QCA中，∠ABP=∠QCA,∴.△ABP≌△QCA(SAS), 【例1】证明：BF=DE,.BF一EF=DE-EF,即BE= AB=QC, AB=CD, .AP=AQ;(2)△ABP≌△QCA,.∠QAC=∠P. DF.在△ABE和△CDF中，AE=CF,∴△ABE≌△CDF :∠DAP+∠P=90°，∴∠QAC+∠DAP=90°，即∠QAP BE-DF. =90°，∴.AP⊥AQ.【例3】解：连接AB,CD.在△AOB和 (SSS). 【例2】解：ED⊥AB.理由如下：连接AE.在 OA=OC, AD=AC, △COD中，∠AOB=∠COD,.△AOB≌△COD(SAS), △ADE和△ACE中，JDE=CE,∴.△ADE≌△ACE(SSS), OB=OD. AE=AE, ..AB=CD. ∠ADE=∠C=90°，.ED⊥AB. 参考答案第3页（共47页）知识点2三角形外角的性质 外角∠ACF.以下结论：①AD∥BC: 【例2】如图，AD是△ABC的角平分线，若 ②∠DAC=2∠ADB;③∠ADC=90° ∠ADB=98°，∠C=70°，求∠B的度数. ∠ABD;④DB平分∠ADC.其中，正确的 【方法点拨】在三角形中求一个角时，不仅要 结论是 .(填序号) 用三角形内角、外角的关系，还要结合角平 4.如图，BP,CP分别平分∠ABD,∠ACD, 分线、补（余）角、对顶角及平行线的“三线八 它们交于点P 角”的关系来计算. 求证：∠BPC=2(∠A+∠BDC). 【变式练习】 2.∠A,∠C与△ABC的一个外角度数如图 所示，则x的值是 ( A.80 B.70 C.65 D.60 (x-5)° (x+65)° B C万 (第2题图) (第3题图) 3.如图，∠ABC=∠ACB,AD,BD,CD分 别平分△ABC的外角∠EAC,内角∠ABC, 专题突破（一） 探究与三角形角平分线相关的结论 A专题概述 ∠C=50°，AE是BC边上的高，AD是 三角形角平分线定义：三角形一个内角 ∠BAC的平分线，求∠DAE的度数： 的平分线与这个内角的对边交于一点，则这 【方法点拨】本题主要考查了三角形内角和 个内角的顶点与所交的点间的线段叫作三 定理、角平分线的定义和直角三角形两锐角 角形的角平分线， 互余，熟知相关知识是解题的关键， 主要考查了三角形的内角和定理以及 角平分线的定义等知识点，熟练掌握三角形 的内角和定理以及角平分线的性质是解题 的关键. B例题导学 类型1单角平分线 【例1】如图，已知在△ABC中，∠B=25°， ·8· 【变式练习】 类型2两内角平分线 1.如图，在△ABC中，∠ACB=60°，∠ADB= 【例2】如图，点P为△ABC的内角平分线BP 85°，AD是△ABC的角平分线，CE⊥AB 于E,求∠BCE的度数. 与CP的交点.求证：∠BPC-90+2∠A 【方法点拨】本题考查了三角形内角和定理 和角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角 和定理是解题的关键， 2.如图，在△ABC中，∠B=2∠C,AD⊥BC 于点D,AE平分∠BAC交BC于点E. (1)若∠C=40°，求∠DAE的度数； 【变式练习】 (2)若EF⊥AE,交AC于点F,请补全图 3.如图，BE是∠ABD的平分线，CF是 形，并在第(1)问的条件下，求∠FEC ∠ACD的平分线，BE与CF交于点G. 的度数。 若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A 的度数， ·9· 4.(1)如图①，∠BAD的平分线AE与 【变式练习】 ∠BCD的平分线CE交于点E, 5.如图，点E是△ABC的边BA延长线上 AB∥CD,∠D=40°，∠B=30°.求 一点，∠EAC和∠ABC的平分线交于点 ∠E的度数； D,∠ABC=∠C. (2)如图②，∠BAD的平分线AE与 (1)求证：AD∥BC; ∠BCD的平分线CE交于点E, (2)若∠BAC=76°，则∠D的度数为 ∠D=m°，∠B=n°，求∠E的度数. D C 图① 图② 类型4 两外角平分线 【例4】如图，点P是△ABC的外角平分线BP 类型3一内角一外角平分线 与CP的交点，求证：∠P=90°-2∠A 【例3】如图，点P为△ABC内角平分线BP与 【方法点拨】本题考查了三角形内角和定理和 角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定 外角平分线CP的交点.求证：∠P=7∠A. 理以及三角形的外角的性质是解题的关键， 【方法点拨】本题考查了角平分线的定义、三 角形外角的性质等知识点，外角性质的运用 是解题关键. ·10· 【变式练习】 【拓展延伸】 6.如图，点P是△ABC的内角平分线BP与 (3)如图④，在△ABC中，BP,CP分别平 CP的交点，点M是△ABC的外角平分线 分外角∠DBC,∠ECB,∠P与∠A有 BM与CM的交点.求证：∠M+∠P=180°. 何数量关系？请利用上面的结论直接 写出答案： 图④ 图⑤ 【解决问题】 (4)如图⑤，在四边形ABCD中，BP,CP 分别平分外角∠EBC,∠FCB,请利用 上面的结论探究∠P与∠A,∠D之间 的数量关系。 7.如图①，已知∠ACD是△ABC的一个外 角，我们容易证明∠ACD=∠A+∠B,即 三角形的一个外角等于与它不相邻的两 个内角的和.那么，三角形的一个内角与 它不相邻的两个外角的和之间存在怎样 的数量关系呢？ 图① 图② 图③ 【尝试探究】 (1)如图②，∠DBC与∠ECB分别为 △ABC的两个外角，则∠DBC+ ∠ECB (选填“>”“<”或 “=”)∠A十180°，并说明理由； 【初步应用】 (2)如图③，在△ABC纸片中剪去 △CED,得到四边形ABDE,∠1= 135°，∠2=100°，则∠C= (直接写出答案) ·11· 第十三章整合与提升 A 思维导图 按角分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 分类 三边都不相等的三角形 按边分 底边和腰不相等的三角形 概念 等腰三角形 等边三角形 三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 三角形与三角形有关的线段：三角形的中线、三角形的角平分线、三角形的高 内角和定理：三角形的内角和等于180° 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余 与三角形有关的角 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形 外角：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 B考点突破 考点3三角形的内角与外角 考点1 三角形的三边关系 【例3】如图，在△ABC中，∠BAC:∠ABC: ∠C=7：8：3,AD⊥BC于点D,BE⊥AC 【例1】已知△ABC的三边长分别为3,5，a, 于点E,BE与AD交于点H,求∠EHD的 化简：a+1|-|a-8-21a-2. 度数. 【方法点拨】由三角形的三边关系得出a的 取值范围，再化简. BD 【方法点拨】本题主要根据所给的三个角的 比与内角和定理列方程，求出∠C的度数， 再根据三角形外角的性质求解。 考点2三角形的三条重要线段 【例2】下列说法正确的是 A.三角形的角平分线是射线 B.过三角形的顶点，且过对边中点的直线是 三角形的一条中线 C.锐角三角形的三条高交于一点 D.三角形的高、中线、角平分线一定在三角 形的内部 ·12·