第二十一章 一元二次方程 综合评价-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 重庆专版）

所以P(该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地 值为6士4√2. 21.解：1)号- :(2)由题意知，x1十 互不相同=合=号.5.解：(1)50补全的条形统计图 6 x2=- 如图：人数 72(2)画树状图如下： =5,x=是-3，则+- (x十x)P-2x=5-2X3=19 XIX2 3 :(3):实数m,”满足 2n2+4-3=0,2n2十4n-3=0,且m≠n,∴.m,n是一元 二次方程2x2十4x-3=0的两根，.n十m=一 =-2 2 篮球足球乒乓球其他项目 -3 金金泰 mn=2 3 (n-m)2=(n十m）2-4mm=(-2）2-4 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有20种，这些 ×()=10,-m=士而，-是=”- 3 结果出现的可能性相等，其中恰好选出一男一女组成混合 双打组合的结果有12种，所以P(恰好选出一男一女组成 10= 2,或1-1=-m-二-2@ 3 3 n mn 3 3 123 混合双打组合)=20=方· 2 综合评价答案 1=+20 22.解：(1)由题意，设一次函数的 3 第二十一章综合评价 关系式为y=kx十b(k≠0).又结合表格数据可知图象过 1.A2.D3.B4.B5.D6.B7.C8.B9.A (45,55),(55,45),. ,46k十b=55·解 10.C11.k<412.613.314.515.25或16 55k+b=45,1 k=1:y与x b=100. 16.11317.解：(1)移项，得2（x-5=18.方程两边 之间的函数关系式为y=一x十100：(2)由题意，得日销售 额为x(-x十100)=-x2+100x.当日销售额是2600元 同时除以号，得(x-5)=36.直接开平方，得x-5=士6. 时，2600=-x2+100x..x2-100x+2600=0,.△= (-100)-4×2600=10000-10400=-400<0,∴.此方 .x1=11,x2=-1:(2)移项整理，得3(x一2)2-x(x-2) 程无实数根，.该商品日销售额不能达到2600元. =0.因式分解，得(x-2)[3(x-2)-x]=0,(x-2)(2x 23.解：(1)设B型设备每小时铺设路面xm,则A型设备 6)=0.于是得x-2=0,或2x一6=0，x1=2,x2=3:(3)配 每小时铺设路面(2x十30)m.根据题意，得30x十30(2x十 方，得x2+6x十32=-7+3，(x十3)2=2.由此可得x十3 30)=3600.解得x=30.则2x+30=2×30+30=90.答：A =士V2,x=-3十√2，x2=-3一√2；(4)去括号，得y2-1 型设备每小时铺设的路面长度为90m:(2)根据题意，得 =2y一1.移项、合并同类项，得y2一2y=0.因式分解，得 30(30十m+25)+(90-3m)(30+m)=3600+750.整理， y(y-2)=0.于是得y=0,或y-2=0,y=0,y2=2. 得m2-10m=0.解得m1=10,2=0(不合题意，舍去). 18.解：(1)：关于x的一元二次方程kx2-(2k十4)x十k 答：m的值为10.24.解：(1)2√26cm(2):∠B=90°， 6=0有两个不相等的实数根，.△=[-(2k十4)]一4k(k ∴△BPQ是等腰三角形时，只能有BP=BQ.由题意可知 -一6)>0且k≠0，解得>一号且k≠0，即长的取值范周是 BP=(11-t)cm.点Q从点B出发，以每秒2cm的速度 沿BC向点C匀速运动，到达点C后返回点B,当点P停止 k>-号且k≠0：(2)当=1时，原方程为2-(2X1十)江 运动时，点Q才停止运动，.当0≤t≤4时，BQ=2tcm:当 十1-6=0，即x2-6x-5=0.移项，得x2-6x=5.配方， 4<t≤8时，BQ=(16-2t)cm;当8<t≤11时，BQ=(2t 得x2-6x十9=5十9，(x-3)2=14.由此可得x-3= 16cm:BP=BQ11-1=2,解得=号<4，符合题 ±√/14,1=3+√14，x2=3-W14.19.解：(1)：关于x 意；11一t=16-2t,解得t=5,符合题意；11-t=2t-16,解 的一元二次方程x2十3x十k一2=0有实数根，∴.△=3一4 得t=9,符合题意.综上所述，存在t,使得△BPQ是等腰三 ×1X(k一2)>0，解得≤子即实数长的取值范围是k≤ 角形，此时：的值为号，5或9：(3)假设存在t,使得△BPQ 号，（②）：方程r2+3x十k-2=0的两个实数根分别为， 的面积等于10cm.由(2)可知BP=(11-t)cm.当0≤t≤ x2.x1+x=-3,x1x2=k-2.(x1十1)(x2十1)=-1， 4时，BQ=2tcm:当4<t≤8时，BQ=(16-2t)cm:当8<t ∴x1x2十(x1十x2)十1=-1，∴.k-2十(-3)+1=-1，解 ≤11时，BQ-=(2-16)cm当0≤1≤4时，Sa=BP: 得=8即的值是820解：1汇-1：[2，专] BQ=号×(11-)×21=10.整理，得P-11+10=0,解得 (-1)×2-3×号=-2-1=-3：(2[2x,x-1]*[x+ 3 t=1,或t=10(不合题意，舍去).当4<t≤8时，S△Q= 1,]=0,.2x(x+1)-m(x-1)=0,.2x2+2x-1x+m 号Bp.BQ=分×1-)X(16-2)=10.整理，得f =0,.2x2+(2-m)x十m=0.:关于x的方程[2x,x 19t+78=0,解得t=6,或t=13(不合题意，舍去).当8<t 1]*[x十1，m]=0有两个相等的实数根，.△=(2一m)2 4×2m=0,即m2-12m+4=0.解得m=6士4√2.即m的 ≤11时，Sa0=2BP·BQ=7×11-t)X(21-16)= 参芳答案 第47页（共55页） 10.整理，得t-19t十98=0.：△=(-19)2-4×1×98= (3)①一4t<0②同一直角坐标系中画直线y=x,如 一31<0，∴此方程无实数根.综上所述，存在t,使得 图.易得直线y=x与函数y=x2-4|x有三个交点(5,5)， △BPQ的面积等于10cm,此时t的值为1或6. (0,0),(-3,-3).由图象可知，当-3<x<0或0<x<5 第二十二章综合评价 时，函数y=x2一4x的图象位于直线y=x的下方，.不 1.C2.D3.D4.C5.B6D7.B8.C9.D 等式x2-4|x<x的解集是-3<x<0或0<x<5. 10.D11.y=2(x+3)2+112.113.30℃14.(5,4) 22.解：(1)设y与x的函数解析式为y=kx十b.把点(8， 15.1416.1002363617.解：(1)：y= x2x+ 1 220)和点（14,160)的坐标代人，得84十6=220，解 14k+b=1600, 号=一号(z+1D+2,“顶点坐标为(-1,2).令y=0,则 2 得二100y与上的函数解析式为y=一10z+ b=3000. 一子-x十号=0，解得=-3，=1.故图象与x轴 3000;(2)设销售这种荔枝日获利为元.根据题意，得 的交点坐标为（一3,0），(1,0)；(2)如图； =(x-6-2)(-100x+3000)=-100x2+3800x- 24000=-100(x-19)十12100..-100<0，∴.抛物线 开口向下.又对称轴为直线x=19,∴.当x<19时，@随 x的增大而增大.·销售价格不高于18元/kg,即x≤18， .当x=18时，取得最大值，最大值为-100×(18-19) +12100=12000.答：当每千克荔枝的销售价格定为18元 (3)x<-3或x>1.18.解：(1)把A(-2,0),C(0,-6) 时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为12000元. 14-2b+c=0, b=-1 分别代入y=x2+bx十c,得 c=-6. 解得 23.解：(1)过点D作DG⊥BC于点G.∠ABC=90°，DG c=-6 次数的解析式为=-。一6-（一号）广- ⊥BC,AD∥BC,.由两平行线之间的距离相等，得DG= AB=6.由题意可知AE=x,则BE=6-x,BF=2x,CF= “抛物线的顶点D的坐标为（合，一算）：(2)二次函数的 10-2,△BEF的面积=号BE·BF=号(（6-)· 25 图象沿x轴向左平移号个单位长度，得y=(x十2)2 2x=-r2+6x,△DFC的面积y:=CF·DG=号10 空=0，解得x=分= 2x)×6=一6.x十30.：当其中一个动点抵达终点时，另一 令y=0,得(x+2)2 4 .1 9 个立即停止运动，则点E的运动时间最多为6÷1=6(s), >0,∴.平移后抛物线的开口向上.∴.当y<0时，x的取值 点F的运动时间最多为10÷2=5(s),y=一x2十6x,y2 范围是-号<< V .19.解：(1)抛物线y=(x+1)2十k =-6x+30,0<x<5:(2)如图②： x2+6x 当 的对称轴为直线x=-1.把C(0,一3)代入y=(x十1)2十 k,得-3=1十k,解得k=一4；(2)由(1)，得抛物线的函数 解析式为y=(x十1)2一4.令y=0,则(x十1)2-4=0，解得 x1=1,x2=-3.∴点A的坐标为(-3,0)，点B的坐标为 Ai-1--1-1 O12345678910x (1,0):(3)连接AC,交抛物线的对称轴于点P,此时PB十 y=-2.x+10 PC的值最小.易得直线AC的解析式为y=一x-3.:对 称轴为直线x=-1,xp=一1，·yp=-(-1)-3=一2， x=3时，函数有最大值9（答案不唯一）：(3)：y一3≥ ∴.点P的坐标为(-1，-2).20.解：(1)(48-2x) (2)由题意，得x(48-2x)=270,解得x=9,或x=15.当x 0∴y-子（一6x+30)≥0，整理，得≥-2z十10.只需 =9时，48-2x=30>20,不符合题意，舍去；当x=15时， 在图象中找到抛物线y1=一x2十6.x在直线y=一2x十10 48-2x=18<20,符合题意.答：当x的值为15时，围成的 上方部分对应的x的值即可.由图可知两函数的交点横坐 菜地面积为270m:(3)设菜地面积为y,则y=x(48-2x) 标约为1.5，其右侧部分y1=-x2十6x在y=一2x+10上 =-2x2+48x=-2(x-12)2+288.48-2x20,.x 方当1-3为≥0时，x的取值范围为1.5≤x<5. 14.:一2<0，.抛物线的开口向下.·对称轴为直线x=12, ∴.当x>12时，y随x的增大而减小，∴.当x=14时，y有最大 24.解：(1)：抛物线y=ax2十bx十3(a≠0)与x轴交于点 值.答：当x的值为14时，围成的菜地面积最大.2L.解： A(-1,0,B3,0)583=0解得8二1抛 (1)一4(2)描点、连线，如图： 9a+36+3=0, 1b=2. 物线的函数解析式为y=一x2十2x十3；(2)抛物线的函 数解析式为y=一x2+2x十3，.C(0,3).B(3,0),.OB =OC=3,∴.∠OBC=∠OCB=45°.过点P作PQ⊥x轴交 BC于点Q.PQ⊥x轴，∴.PQ∥y轴，∴∠PQE=∠OCB =45°.PE⊥BC,.∠EPQ=∠PQE=45°，∴EQ=PE, .PQ=√PE+EQ=√2PE,∴.PF+√2PE=PF+PQ.设 直线BC的函数解析式为y=mx十n,则0-3m十m'解得 n=3, 参芳答案 第48页（共55页）第二十一章综合评价 (时间：120分钟满分：150分) 有电 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答 案，其中只有一个是正确的) 北 1.将方程x2十8x一7=0的左边配成完全平方式后所得方程为 A.(x+4)2=23 B.(x4)2=23 C.(x+8)=1 D.以上答案都不对 2.根据下表提供的信息，一元二次方程x2一3x一5=0的一个解大概是 2 % 4 5 6 x2-3.x-5 -7 -5 -1 5 13 弥 A.0 B.3.5 C.3.8 D.4.2 3.点P的横、纵坐标恰好是方程x2一2x一15=0的两个根，则经过点P的正比例函数图象一定过 A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一象限 D.第四象限 4.李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元.若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同， 则这个平均增长率是 A.10.5% B.10% C.20% D.21% 5.若a,b是方程x2十3x一2025=0的两根，则2a一ab十2b的值为 A.-2031 B.2031 C.-2019 D.2019 封 6.若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2一10x十24=0的一个根，则该菱形ABCD的周长 为 A.16 B.24 C.16或24 D.48 7.《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各 会 行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南 走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是 A.36 B.26 C.24 D.10 6x-a≥-10， 线 8.使得关于x的不等式组 3有且只有4个整数：且关于工的元二次方程（a士 8x十2 於 4x十1=0有实数根的所有整数a的值之和为 A.35 B.30 C.26 D.21 9.已知x1,x2是方程x2一x一2025=0的两个实数根，则代数式x一2025x1+x号的值是 A.4051 B.4049 C.2025 D.1 河 10.已知F)=a2-1,G()=产3T)=+(-1)x+9.下列说法：①当b=-5时，若T().G)=0, 提 则x的值为0或3；②当a=一2时，若T(x)+F(x)=7,则关于x的方程一定有两个不相等的实数根；③若 a=1,b=2,则x=5时，F(x)一T(x)+3x+(x一3)G(x)+3有最小值8.其中，正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 第1页（共6页） 二、填空题（本大题6个小题，每小题5分，共30分） 11.若关于x的一元二次方程x2一4x十k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 12.如图，已知A,B,C是数轴上异于原点O的三个点，且点O为AB的中点，点B为AC的中点.若点B对应 的数是x,点C对应的数是x2一3x,则x的值为 13.已知关于x的方程a.x2十bx十c=3的解与(x一1)(x一4)=0的解相同，则a十b十c的值为 14.如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60m,宽为40m的矩形空地上，修建一个矩形 花圃，并将花圃四周余下的空地建成同样宽的通道.若通道所占面积是整个矩形空地面积的 冬，则此时通道的宽为 m. 15.在等腰三角形ABC中，BC=8,AB,AC的长是关于x的一元二次方程x2一10x+m=0的两个根，则m的 值是 16.任意一个三位数M,如果满足各个数位上的数字都不为零，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位 上数字的2倍，那么称这个数为“双倍快乐数”.例如：M=234,因为2十4=3×2，所以234是“双倍快乐数” 则最小的“双倍快乐数”为 ;若N=abc是一个“双倍快乐数”，且使关于x的一元二次方程ax2+2bx十 (=0有两个相等的实数根，设F()=品，若F(N)十N能被6整除，则所有满足条件的N有 个 三、解答题（本大题8个小题，每小题10分，共80分） 17.解下列方程： 1号-5)2-18=0， (2)3(x-2)2=x2-2x; (3)x2+6.x=-7; (4)(y+1)(y-1)=2y-1. 第2页（共6页） 18.已知关于x的一元二次方程kx2一(2k十4)x十k一6=0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围； (2)当k=1时，用配方法解方程. 19.已知关于x的一元二次方程x2十3.x十k一2=0有实数根. (1)求实数k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为x1,x2,若(x1十1)(x2+1)=一1，求k的值. 第3页（共6页） 20.我们规定：对于任意实数a,b,c,d,有[a,b]*[c,d]=ac一bd,其中等式右边是常用的乘法和减法运算，如： [3,2]×[5,1]=3×5-2×1=13. 1)求[-1,3][2，]的值： (2)若关于x的方程[2x,x一1]￥[x+1,m]=0有两个相等的实数根，求m的值. 21.材料： 工的一元二次方程ax2牛bx十c三0(a≠0)的两个根为，g,则十三-么，9 次方程x2一2x一1=0的两个实数根分别为x1,x2,则x1十x2=2,x1x2=一1；又如：一元二次方程3x2十 5x十1=0的两个实数根分别为x,,则十x2=一号，x=弓 5 1 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程2x2一3x一1=0的两个根分别为x1,x2,则x1十x2= C1x2= (2)已知一元二次方程x2一5x十3=0的两根分别为1，x2,求2+9的值； (3)若实数m,n满足2m2十4m一3=0,2n2+4n-3=0,且m≠n,求 1一上的值 第4页（共6页） 22.某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y(件)与每件售价x(元)之间满足一次函数关系，部分数 据如下表所示， 每件售价x/元 45 55 65 日销售量y/件 55 45 35 (1)求y与x之间的函数关系式；（不要求写出自变量x的取值范围） (2)该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由. 23.某工程队采用A,B两种设备同时对长度为3600m的公路进行施工改造.原计划A型设备每小时铺设路 面比B型设备的2倍多30m,则30h恰好完成改造任务 (1)A型设备每小时铺设的路面长度为多少米？ (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600m多了750m.在实际施工中，B型设备在铺路效率不 变的情况下，时间比原计划增加了(m十25)h,同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3mm, 而使用时间增加了mh,求m的值. 第5页（共6页） 24.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=11cm,BC=8cm,点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB向终点 B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2c的速度沿BC向点C匀速运动，到达点C后返回点B,当点 P停止运动时，点Q才停止运动，设运动时间为ts. 备用图 (1)当t=1时，P,Q两点间的距离为 (2)是否存在t,使得△BPQ是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)是否存在t,使得△BPQ的面积等于10cm?若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由. 第6页（共6页）