强化训练一 一元二次方程的解法(练本)-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 重庆专版）

0.6-4=0,c-3=0.解得a=6,6=4,c=3,a=2,2a 是得2x-2=0,x1=x2=1.5.B6.D7.解：(1)整理， 得9x2-16=9.移项、合并同类项，得9x2=25.方程两边同 +3b-c=2×2+3×4-3=4+12-3=13. 时除以9，得上-怎直接开平方，得=士号=号， 5 21.2.2公式法 基础过关 x= 号：2a=1,6=-3c=1.4=6-4ac=(-30-4 1C2.C3.D4解：1a=3,b=2c=子4=6-4ac ×1×1=5>0.方程有两个不等的实数根x= =2:-4X3×号=0，方程有两个相等的实数根：(2)方程 二b±4ac=二（3》±5_3±5，即1=3+5， 2a 2×1 2 2 化为20x2+8x+1=0.a=20,b=8,c=1.△=b2-4ac=82 一4×20×1=-16<0.方程无实数根；(3)方程化为3x2 =3-5:(3)移项，得3x(x-1)-2(x-1)=0.因式分解， 2 5x-3=0,a=3,b=-5,c=-3.△=b2-4ac=(-5)2-4 得(x-1)(3x-2)=0.于是得x-1=0,或3x-2=0,x1= ×3×(-3)=61>0.方程有两个不等的实数根.5.(1)C (2)B(3)k>-1且k≠06.D7.253-28.解：a 1=号 =1,b=-6,c=4.△=b2-4ac=(-6)2-4X1×4=20> 能力提升 0,方程有两个不等的实数根x=一b士y一4ac 8.B9.B10.011.解：(1)①(2x-1)(x-2)②x+ 2a 13x-2-1 ,(2)①因式分解，得(x十1)(x十3)= -(-6)±√2①=3±5，即=3+V5,x=3-5. 2×1 0.于是得x十1=0，或x十3=0，x1=-1,x2=-3:②因式 能力提升 分解，得(4x-1)(2x-3)=0.于是得4x-1=0,或2x-3 9.C10.B1L.812.解：(1)△ABC是等腰三角形.理由 =0=子= 2 如下：x=-1是方程的根，∴.(a十c)×(-1)2-2b十(a 思维拓展 -c)=0,.a+c-2b十a-c=0,∴.a-b=0,.a=b, 12.解：将方程(2024x)2-2023×2025x-1=0化为 ∴.△ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形.理由如 (2024x)2-(2024-1)×(2024+1)x-1=0,即2024x2 下：，方程有两个相等的实数根，∴.△=(2b)-4(a+c)(a -(20242-1)x-1=0,.(2024x+1)(x-1)=0,. -c)=0,.4b-4a2+4c2=0,.a2=b2+c2,∴.△ABC是 直角三角形。 2024=1,m=1.同理，由方程x2+2024x 1 思维拓展 2025=0,可得(x十2025)(x-1)=0,.x1=-2025,x2= 1B解：1)：关于x的方程22-mx+空-子=0,4 1,.n=-2025,∴.m-n=1-(-2025)=2026. 4 强化训练一一元二次方程的解法 (-m-4X1X(受-)=m-2m+1=(m-1P≥0， 1.解：(1)移项，得3x2=27.方程两边同时除以3，得x2 ∴.无论m取何值，方程总有两个实数根：(2)若四边形 9.直接开平方，得x=士3.∴x1=3,x2=-3:(2)移项，得 ABCD是菱形，则AB=BC.,'AB,BC的长是关于x的方 4(x一2)=121.方程两边同时除以4，得（红-2=直 程x-mx十受-}=0的两个实数根，∴4=(m-12 接开平方，得x一2=士号-号=-子2解： 0,解得m=1.∴.当m=1时，四边形ABCD是菱形.此时， (1)移项，得x2十6x=9.配方，得x2+6x十3=9十32，(x十 1 方程为x一x十=0，解得==之心这时菱形的边 3)2=18.由此可得x十3=士3√2，x1=-3+3√2，x2=-3 长为之：3)根据题意，将x=2代人方程r-m十受 -3,(2)二次项系数化为1，得x2+x=3.配方，得2 子=-0，得2：一2m十受-子=0，解得m=号此时，方程为 .5 合x+()=3+()(+)-铝由此可得x x2- 号x十1=0.解得=2，=是则C=合 1 4 ±x=,=-2.3.解：(1)a=3,b=-6,c 口ABCD的周长为(2+号)×2=5. =4.△=b-4ac=(-6)2-4×3×4=-12<0.方程无实 数根；(2)a=-3,b=-5,c=2.△=b-4ac=5-4×(-3)×2 21.2.3因式分解法 基础过关 =49>0.方程有两个不等的实数根工=二士一4a 2a 1.B2.C3.(1)x1=0,x2=4(2)x1=-2,x2=3 4.解：(1)因式分解，得x(2x一√5)=0.于是得x=0,或2x 零-告，即=2=一子4解，1因式 2×(-3) 6=0=0-9 分解，得(x-2-5)2=0,(x-7)2=0.于是得x-7=0,x ：(2)因式分解，得(3x十7)(3x-7) =x2=7;(2)移项整理，得3(x十5)十2x(x十5)=0.因式分 7 =0.于是得3x-7=0,或3x+7=0,=3=-3 解，得(x+5)(2x十3)=0.于是得x+5=0,或2x+3=0, (3)移项，得4x2一8x十4=0.因式分解，得(2x-2)2=0.于 x1=-5,x2=- 5.解：(1)设x2-x=a,则原方程可 参芳答案 第23页（共55页） 化为a2一4a十4=0，解得a1=a2=2.当a=2时，x2一x= 2,即x2-x-2=0.因式分解，得(x-2)(x十1)=0，解得 品：方程有两个不相等的正整数根…一品为正整致，且会 x1=2,2=-1.原方程的根是x1=2,2=-1:(2)设x ≠1.又m为整数，∴m=1.5.解：(1)根据题意，得p-1 =y,则原方程可化为y+y-12=0.因式分解，得(y ≠0，解得p≠1.，a=p-1,b=-2p,c=p+1,.△=b 3)(y十4)=0.解得y1=3,2=-4.当y=3时，x2=3,解 4ac=(-2p)2-4(p-1)(p+1)=4>0,∴.x= 得x=士√3.当y=一4时，x2=一4，无实数根.∴原方程的 亚-”=片=当 2a p-1%=1: 根是x=√3，x2=一√3.6.解：①当x一1≥0时，此时x ≥1，原方程化为x2-x=0,即x(x-1)=0,解得x1=1,x2 ②)由1)知1=号=1十)号：方程的两个实数根都 =0(不符合题意，舍去)：②当x一1<0时，此时x<1,原方 程化为x2十x-2=0,即(x十2)(x-1)=0,解得x1=-2, 为正整数弓是正整数0-1=1，或一1=2解得 x2=1(不符合题意，舍去).原方程的根是x=1,x2= p=2,或p=3.即p为2或3时，此方程的两个实数根都为 2. 正整数.6.解：(1)：△=[-(2m+1)]-4(m2十m)= 4m2十4m十1-42一4m=1>0,∴.无论m取何值，方程都 *21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 有两个不相等的实数根；(2)该方程的两个实数根为a, 基础过关 b,.a+b=2m十1，ab=m2+m.:(2a+b)(a+2b)=2a2+ 1.A2.A3.A4.解：(1)x1+x2=-3,x1x2=1;(2)x 4ab+ab+262=2(a2+2ab+b)+ab=2(a+b)2+ab, +w=-=-=后 6 =一号：(3)方程可化为 .2(a十b)2+ab=20,,.2(2十1)2+m2+m=20.整理，得 3x2十x-3=0.x十m=- 3,x12= 二3=-1.5.D m2十m-2=0.解得=一2，m2=1..m的值为一2或1. 3 21.3实际问题与一元二次方程 6.A7.-20258.解：x1十x2=4,xx2=2.(1)原式= 第1课时传播问题、循环问题与数字问题 (x十x2)2-2x1x2=42-2X2=12;(2)原式=x1x2-3(x1 基础过关 十x2)+9=2-3×4+9=-1.9.D10.3311.7 1.B2.3(1十x)=1923.104.A【变式】D5.解：设 能力提升 九(2)班有x个同学.根据题意，得x(x-1)=1560.整理， 12.B13.C14.解：(1).该方程有两个实数根，.△= 得x2-x-1560=0.解得x1=40,x2=-39(不合题意，舍 (2m)2-4(m一3m)≥0，解得m≥0：(2)：'方程的两个实数 去).答：九(2)班有40个同学.6.10(x-2)十x=3x(x 根为x1,x2,∴x十x2=-21,x1x2=m2-3m,∴.x十x号十 2)7.解：设原来的两位数十位上的数字为x,则个位上的 4x1x2=(x1十x2)2+2x1x2=（-2m)2+2(m2-3m)=36, 数字为(5-x).根据题意，得(10x十5-x)[10(5-x)十x] 解得m=3,或m=一2.10，∴.m=3. =736.整理，得x2-5x十6=0.解得x1=2,x2=3.当x=2 思维拓展 时，5-x=5-2=3.当x=3时，5一x=5-3=2.答：原来 15.解：(1)-3 的两位数是23或32. 2 (2):一元二次方程2x2十3x-1 能力提升 =0的两根分别为m,n,.m十n= 2,mn= 2.m 8.B9.14410.解：(1)设每轮分裂中，平均每个有益菌 可分裂成x个有益菌.根据题意，得60x2=24000.解得x +m=(mtm-2m=(-号)-2×(-号）=是+1= =20,x2=一20（不合题意，舍去）.答：每轮分裂中，平均每 个有益菌可分裂成20个有益菌：(2)24000×20=480000 3,(3)片实数5，t满足2s2+35-1=0,2+3t-1=0,且5 (个).答：经过三轮培育后有480000个有益菌. ≠t,∴s,t是一元二次方程2x2十3x-1=0的两个实数根， 思维拓展 .s十t= ，t=-分：4-02=(4+0-4 3 11.解：1)1015(2)y=(x卫 2 1128(3)设该班共 3 (- )-x(）=号+2=-=±。 有a名女生.根据题意，得(a,D=190.化简，得a-a- 2 2 +7 380=0.解得a1=20,a2=-19(不合题意，舍去).答：该班 1-t-s 2 =士17 共有20名女生. st 第2课时平均变化率与销售问题 基础过关 专题突破（一）一元二次方程根的 1.C2.180+180(1十x)+180(1+x)=12603.10% 判别式及根与系数的关系 4.解：设该市充电桩数量的年平均增长率为x.根据题意， 1.A2.C3.m≤5且m≠4【变式1】m>5【变式2】m 得3.5(1十x)2=5.04.解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不 <5且m≠4【变式3】54.解：(1)当m=0时，方程 合题意，舍去).答：从2023年底到2025年底，该市充电桩 为一2x十2=0，此时方程有实数根；当m≠0时，△=[-(m 数量的年平均增长率为20%.5.A6.解：(1)(100+ 十2)]2-4m×2=m2-4m十4=(m-2)2≥0，此时方程有 200x)(2)根据题意，得(4-x-2)(100十200x)=300.整 两个实数根.综上所述，无论为何值，方程总有实数根； (2)原方程可变形为(x-1)(mx-2)=0,∴.=1，x2= 理，得2x-3x十1=0.解得4=之=1.当x=号时， 参芳答案 第24页（共55页）强化训练一一元二次方程的解法 类型1 直接开平方法 (2)号+=2. 方法指导 形如x2=n(n≥0)或(a.x十m)2=n(a≠0，n≥0) 的一元二次方程，用直接开平方法求解。 1.用直接开平方法解下列方程： (1)3x2-27=0; 类型3 公式法 (2)4(x-2)2-121=0. 方法指导 如果一元二次方程易化为它的一般形式且系数 的绝对值较小，那么用公式法求解较简便， 求根公式：x=一b士BF-4ac 2a 3.用公式法解下列方程： (1)3.x2-6x+4=0; 类型2 配方法 方法指得 当一元二次方程的二次项系数化为1后，一次项 系数为偶数时，用配方法求解 (2)-3x2+5x+2=0. 2.用配方法解下列方程： (1)x2+6x-9=0; 11精英新课堂·数学1九年级·上册 类型④因式分解法 运用上述方法解下列方程： 方法指得 （1)(x2-x)(x2-x-4)=-4; 可化为形如(x十a)(x十b)=0的一元二次方程， (2)x4+x2-12=0. 用因式分解法求解 4.用因式分解法解下列方程： (1)(x-2)2-10(x-2)+25=0; (2)3x+15=-2x2-10x. 类型6解含绝对值的一元二次方程 类型⑤换元法 6.阅读下面的例题 方法指得 范例：解方程x2-x-2=0. 如果方程中出现一些相同的代数式，那么用换元 解：①当x≥0时，原方程化为x2一x-2=0, 法，求解的方法是：构造元和假设元 解得x=2,x2=-1(不符合题意，舍去)； 5.阅读理解方法型阅读下列材料，解答后面的 ②当x<0时，原方程化为x2十x一2=0，解 问题： 得x1=一2，x2=1(不符合题意，舍去). 为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0,我们 .原方程的根是x1=2,x2=一2. 可以将x2一1视为一个整体，然后设x2 请参照例题解方程：x2-x-1|一1=0. 1=y,则原方程可化为y2-5y十4=0，解此 方程得y1=1,y2=4. 当y=1时，x2-1=1,所以x=士√2； 当y=4时，x2-1=4,所以x=士√5. 所以原方程的解是x1=√2，x2=一√2，x3= 5,x4=-√5. 以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法 达到了降次的目的，体现了数学的转化 思想. 第二十一章一元二次方程12