21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系&专题突破(一) (练本)-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 重庆专版）

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 A基础过关 逐点击破 知识点2 利用根与系数的关系求相关 知识点1 利用根与系数的关系求两根 代数式的值 5.(2024·南岸区校级期中)若a,b是方程x2+ 之和与两根之积 3x-2024=0的两根，则2a一ab+2b的值 1.若x1,x2是一元二次方程x2一4x-5=0的 为 ( 两根，则x1x2的值为 ( A.-2030 B.2030 A.-5 B.5 C.-4 D.4 C.-2018 D.2018 2.若x1,x2是方程x2一6x一7=0的两个根， 6.已知m,n是一元二次方程x2+2.x一5=0的 则 ( ) 两个根，则m2十mm十2m的值为 () A.x1+x2=6 B.x1+x2=-6 A.0 B.-10 C.3 D.10 C.x1x2=6 D.C1x2=7 7.设a,b是方程x2+2x一2024=0的两个实 数根，则(a+1)(b+1)的值为 3.若x1十x2=3,x1x2=2,则以x1,x2为根的 8.设方程x2一4x十2=0的两根为x1,x2,求下 一元二次方程是 ( ) 列各式的值： A.x2-3x十2=0 B.x2+3x-2=0 (1)x1十x; C.x2+3x+2=0 D.x2-3x-2=0 (2)(x1-3)(x2-3). 4.不解方程，求下列各方程的两根之和与两根 之积 (1)x2+3.x+1=0; 知识点3 利用根与系数的关系求方程 中的参数值 (2)6x2+3x-4=0; 9.若关于x的一元二次方程3x2一2x+m=0 有两个实数根，其中一个根为x=1,则这两 根之积为 A号 B号 C.1 D.、 3 10.已知一元二次方程x2-4x十m=0的一个 (3)2x2+3=5x2十x. 根为x1=1,则另一个根x2= 11.已知x1,x2是方程2x2十x一2=0的两个 实数根，且(x1-2)(x2-2)=10,则k的值 为 13精英新课堂·数学1九年级·上册 B能力提升 整合运用 C思维拓展 学科素养 12.已知关于x的一元二次方程x2一2x一a=0 15.新考向过程性学习阅读材料： 的两根分别为x,2.若x=一1，则a一 材料1关于x的一元二次方程ax2十bx十 x一x的值为 c=0(a≠0)的两个实数根x1,x2和系数a,b, A.7 B.-7 C.6 D.-6 C有如下关系：西十，=一b, ☑2=S 13.(2024·九龙坡区校级期末)已知一元二次 方程a.x2十bx十c=0(a≠0)，下列说法中， 材料2已知一元二次方程x2一x一1=0的 正确的序号有 两个实数根分别为m,n,求mn十mm的值. ①若a十b十c=0,则ax2+bx+c=0一定 解：.m,n是一元二次方程x2-x-1=0 有一个根是1； 的两个实数根， ②若方程的两根为一1和2，则2a十c=0; .∴.m十n=1,mn=-1. ③若c是方程ax2+bx十c=0的一个根，则 .∴.m2n+mm2=mn(m+n)=-1X1=-1. 一定有ac+b+1=0成立； 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下 ④若2a+b=0,且方程有一根大于2，则另 列问题： 一根必为负数； (1)应用：一元二次方程2x2+3x-1=0的 ⑤若x。是一元二次方程ax2十bx十c=0的 两个实数根为x1,x2,则x1十x2= 根，则b2-4ac=(2ax十b)2. ,x1x2= A.①②③④⑤ B.①②③⑤ (2)类比：已知一元二次方程2x2十3x-1=0 C.①②④⑤ D.②③④⑤ 的两个实数根为m,n,求m2十n的值； 14.已知关于x的一元二次方程x2+2m.x+ (3)提升：已知实数s,t满足22十3s一1=0， m2-3m=0. 2r+31-1=0且s≠6，求的值. (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)设方程的两个实数根为x1,x2,若36 x十x号+4x1x2,求的值. 第二十一章一元二次方程14 专题突破（一）一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 类型① 根的判别式的应用 类型2利用判别式解决有关整数根的问题 1.新视角新定义对于实数a,b定义运算“☒” 5.已知关于x的一元二次方程(p一1)x2一2x十 为：a⑧b=3-ab,例如3☒2=22-3X2= p+1=0. 一2，则关于x的方程(k一3)☒x=k一1根的 (1)求出方程的根； 情况，下列说法正确的是 (2)当p为何正整数时，此方程的两个实数 A.有两个不相等的实数根 根都为正整数？ B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 2.若关于x的一元二次方程x2一3x十m=0有 两个相等的实数根，则实数m的值为( ) A.-9 B-C是 D.9 3.已知关于x的一元二次方程（年m-1)x2 x+1=0有实数根，则m的取值范围是 【变式1】若该一元二次方程没有实数根，则 m的取值范围是 【变式2】若该一元二次方程有两个不相等的实 类型3 根的判别式和根与系数关系的 数根，则m的取值范围是 综合应用 【变式3】若方程(m-1)x2-x十1=0有 6.已知关于x的一元二次方程x2-(2m十1)x+ 解，则的取值范围是 m2+m=0. 4.已知关于x的方程m.x2-(m+2)x十2=0. (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相 (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根； 等的实数根； (2)当为何整数时，方程有两个不相等的 (2)设该方程的两个实数根为a,b,若(2a十 正整数根？ b)(a+2b)=20,求m的值. 15精英新课堂·数学1九年级·上册化为a2一4a十4=0，解得a1=a2=2.当a=2时，x2一x= 2,即x2-x-2=0.因式分解，得(x-2)(x十1)=0，解得 品：方程有两个不相等的正整数根…一品为正整致，且会 x1=2,2=-1.原方程的根是x1=2,2=-1:(2)设x ≠1.又m为整数，∴m=1.5.解：(1)根据题意，得p-1 =y,则原方程可化为y+y-12=0.因式分解，得(y ≠0，解得p≠1.，a=p-1,b=-2p,c=p+1,.△=b 3)(y十4)=0.解得y1=3,2=-4.当y=3时，x2=3,解 4ac=(-2p)2-4(p-1)(p+1)=4>0,∴.x= 得x=士√3.当y=一4时，x2=一4，无实数根.∴原方程的 亚-”=片=当 2a p-1%=1: 根是x=√3，x2=一√3.6.解：①当x一1≥0时，此时x ≥1，原方程化为x2-x=0,即x(x-1)=0,解得x1=1,x2 ②)由1)知1=号=1十)号：方程的两个实数根都 =0(不符合题意，舍去)：②当x一1<0时，此时x<1,原方 程化为x2十x-2=0,即(x十2)(x-1)=0,解得x1=-2, 为正整数弓是正整数0-1=1，或一1=2解得 x2=1(不符合题意，舍去).原方程的根是x=1,x2= p=2,或p=3.即p为2或3时，此方程的两个实数根都为 2. 正整数.6.解：(1)：△=[-(2m+1)]-4(m2十m)= 4m2十4m十1-42一4m=1>0,∴.无论m取何值，方程都 *21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 有两个不相等的实数根；(2)该方程的两个实数根为a, 基础过关 b,.a+b=2m十1，ab=m2+m.:(2a+b)(a+2b)=2a2+ 1.A2.A3.A4.解：(1)x1+x2=-3,x1x2=1;(2)x 4ab+ab+262=2(a2+2ab+b)+ab=2(a+b)2+ab, +w=-=-=后 6 =一号：(3)方程可化为 .2(a十b)2+ab=20,,.2(2十1)2+m2+m=20.整理，得 3x2十x-3=0.x十m=- 3,x12= 二3=-1.5.D m2十m-2=0.解得=一2，m2=1..m的值为一2或1. 3 21.3实际问题与一元二次方程 6.A7.-20258.解：x1十x2=4,xx2=2.(1)原式= 第1课时传播问题、循环问题与数字问题 (x十x2)2-2x1x2=42-2X2=12;(2)原式=x1x2-3(x1 基础过关 十x2)+9=2-3×4+9=-1.9.D10.3311.7 1.B2.3(1十x)=1923.104.A【变式】D5.解：设 能力提升 九(2)班有x个同学.根据题意，得x(x-1)=1560.整理， 12.B13.C14.解：(1).该方程有两个实数根，.△= 得x2-x-1560=0.解得x1=40,x2=-39(不合题意，舍 (2m)2-4(m一3m)≥0，解得m≥0：(2)：'方程的两个实数 去).答：九(2)班有40个同学.6.10(x-2)十x=3x(x 根为x1,x2,∴x十x2=-21,x1x2=m2-3m,∴.x十x号十 2)7.解：设原来的两位数十位上的数字为x,则个位上的 4x1x2=(x1十x2)2+2x1x2=（-2m)2+2(m2-3m)=36, 数字为(5-x).根据题意，得(10x十5-x)[10(5-x)十x] 解得m=3,或m=一2.10，∴.m=3. =736.整理，得x2-5x十6=0.解得x1=2,x2=3.当x=2 思维拓展 时，5-x=5-2=3.当x=3时，5一x=5-3=2.答：原来 15.解：(1)-3 的两位数是23或32. 2 (2):一元二次方程2x2十3x-1 能力提升 =0的两根分别为m,n,.m十n= 2,mn= 2.m 8.B9.14410.解：(1)设每轮分裂中，平均每个有益菌 可分裂成x个有益菌.根据题意，得60x2=24000.解得x +m=(mtm-2m=(-号)-2×(-号）=是+1= =20,x2=一20（不合题意，舍去）.答：每轮分裂中，平均每 个有益菌可分裂成20个有益菌：(2)24000×20=480000 3,(3)片实数5，t满足2s2+35-1=0,2+3t-1=0,且5 (个).答：经过三轮培育后有480000个有益菌. ≠t,∴s,t是一元二次方程2x2十3x-1=0的两个实数根， 思维拓展 .s十t= ，t=-分：4-02=(4+0-4 3 11.解：1)1015(2)y=(x卫 2 1128(3)设该班共 3 (- )-x(）=号+2=-=±。 有a名女生.根据题意，得(a,D=190.化简，得a-a- 2 2 +7 380=0.解得a1=20,a2=-19(不合题意，舍去).答：该班 1-t-s 2 =士17 共有20名女生. st 第2课时平均变化率与销售问题 基础过关 专题突破（一）一元二次方程根的 1.C2.180+180(1十x)+180(1+x)=12603.10% 判别式及根与系数的关系 4.解：设该市充电桩数量的年平均增长率为x.根据题意， 1.A2.C3.m≤5且m≠4【变式1】m>5【变式2】m 得3.5(1十x)2=5.04.解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不 <5且m≠4【变式3】54.解：(1)当m=0时，方程 合题意，舍去).答：从2023年底到2025年底，该市充电桩 为一2x十2=0，此时方程有实数根；当m≠0时，△=[-(m 数量的年平均增长率为20%.5.A6.解：(1)(100+ 十2)]2-4m×2=m2-4m十4=(m-2)2≥0，此时方程有 200x)(2)根据题意，得(4-x-2)(100十200x)=300.整 两个实数根.综上所述，无论为何值，方程总有实数根； (2)原方程可变形为(x-1)(mx-2)=0,∴.=1，x2= 理，得2x-3x十1=0.解得4=之=1.当x=号时， 参芳答案 第24页（共55页）