第二十一章 一元二次方程根的判别式的综合应用 2025--2026学年人教版九年级数学上册

九年级数学（人教版）章末培优专题训练 第二十一章 一元二次方程 三、判别式的综合应用 重难点知识归纳： 判别式定义：，用于判断一元二次方程 的根的性质. 根的情况： Δ > 0：两个不等实根 Δ = 0：两个相等实根（重根） Δ < 0：无实根 进阶应用： 求参数范围（实数根、正负根、整数根条件） 证明根的存在性 与韦达定理、二次函数综合 1. 考点：判别式计算与根的性质 方程的根的情况是（ ） A.无实根 B.两个不等实根 C.两个相等实根 D.无法确定 答案：C 详解： ∴方程有两个相等实根 2. 考点：重根条件 若方程有两个相等实根，则 . 答案：9 详解： 解得 3. 考点：判别式与根的性质 判断方程的根的情况 答案：无实根 详解： ∴方程无实根. 4. 考点：参数范围与实根条件 关于 x的方程 有实根，则 m 的取值范围是（ ）。 A. B. C. D. 答案：B 详解： 解得 5. 考点：不等实根条件 若方程  有两个不等实根，则整数 k 的最小值是 . 答案： 详解： 解不等式： ∴最小整数 6. 考点：重根条件与参数求解 已知方程 有两个相等实根，求 m 的值。 答案： 详解： 解得 7. 考点：含参方程的分类讨论 若关于 x 的方程有实根，则 m的取值范围是（ ）. A. B.且 C. D.且 答案：A 详解：当方程为，有实根 当 综上， 8. 考点：判别式与三角函数综合 若方程有两个相等实根，则锐角  ______. 答案：90° 详解： 锐角 9. 考点：判别式的非负性证明 证明：关于x的方程恒有两个实根. 详解： ∴方程恒有两个实根。 10. 考点：正实根条件（判别式+韦达定理） 若关于 x 的方程  有两个正实根，则 a 的取值范围是（ ）。 A. B. C. D. 答案：A 详解： （1） （2）韦达定理： 综上， 11. 考点：含参不等实根条件 已知关于 x 的方程 有两个不等实根，求整数 k的值. 答案： 的任意整数（如 ） 详解： （二次项系数非零）， （恒成立）， ∴k为任意整数 12. 考点：根的正负分类讨论 若方程 至少有一个正实根，则 a 的取值范围是 . 答案： 详解： 当：两根同正， 当：存在正根（除外）， 综上， 13. 考点：根的正负条件 若关于 x 的方程的两根异号，则 k的取值范围是 ______。 答案： 详解：由韦达定理： 解得： 14. 考点：判别式与韦达定理综合 已知方程  的两实根为，且满足，求实数 m 的值 答案： 详解： （1） （恒有两不等实根） （2） 由 ， 解得  15. 考点：判别式应用 已知关于 x 的方程 有实根，求实数 m 的取值范围。 答案：或 详解： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学（人教版）章末培优专题训练 第二十一章 一元二次方程 三、判别式的综合应用 重难点知识归纳： 判别式定义：，用于判断一元二次方程 的根的性质. 根的情况： Δ > 0：两个不等实根 Δ = 0：两个相等实根（重根） Δ < 0：无实根 进阶应用： 求参数范围（实数根、正负根、整数根条件） 证明根的存在性 与韦达定理、二次函数综合 1. 考点：判别式计算与根的性质 方程的根的情况是（ ） A. 无实根 B.两个不等实根 C.两个相等实根 D.无法确定 2. 考点：重根条件 若方程有两个相等实根，则 . 3. 考点：判别式与根的性质 判断方程的根的情况 4. 考点：参数范围与实根条件 关于 x的方程 有实根，则 m 的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 5. 考点：不等实根条件 若方程  有两个不等实根，则整数 k 的最小值是 . 6. 考点：重根条件与参数求解 已知方程 有两个相等实根，求 m 的值. 7. 考点：含参方程的分类讨论 若关于 x 的方程有实根，则 m的取值范围是（ ）. A. B.且 C. D.且 8. 考点：判别式与三角函数综合 若方程有两个相等实根，则锐角  ______. 9. 考点：判别式的非负性证明 证明：关于x的方程恒有两个实根. 10. 考点：正实根条件（判别式+韦达定理） 若关于 x 的方程  有两个正实根，则 a 的取值范围是（ ）。 A. B. C. D. 11. 考点：含参不等实根条件 已知关于 x 的方程 有两个不等实根，求整数 k的值. 12. 考点：根的正负分类讨论 若方程 至少有一个正实根，则 a 的取值范围是 . 13. 考点：根的正负条件 若关于 x 的方程的两根异号，则 k的取值范围是 ______。 14. 考点：判别式与韦达定理综合 已知方程  的两实根为，且满足，求实数 m 的值 15. 考点：判别式应用 已知关于 x 的方程 有实根，求实数 m 的取值范围。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$