21.2.1 配方法(练本)-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 重庆专版）

21.2解一元二次方程 21.2.1配方法 第1课时 用直接开平方法解一元二次方程 A基础过关 逐点击破⑦ (3)5x2+8=3. 知识点1 形如x2=p(p≥0)的一元二 次方程的解法 1.下列方程能用直接开平方法解的是( A.x2-x=0 B.x2+2=0 C.x2+x=1 D.x2-8=1 2.方程x2一4=0的根是 () 知识点2形如(mx十n)2=p(m≠0，p≥ A.x=2 B.x1=-2,x2=2 0)的一元二次方程的解法 C.x1=0,x2=2 D.x=-2 5.一元二次方程(x十6)=16可转化为两个一 3.下列解方程正确的是 元一次方程，其中一个一元一次方程是x十 A.x2=一64的解为x=士8 6=4,则另一个一元一次方程是() B.x2十20=36移项、合并同类项，得x2= A.x-6=-4 B.x-6=4 16,解得x=4 C.x+6=4 D.x+6=-4 C.x2=7的解为x=士√7 6.若关于x的方程(ax-1)2-16=0的一个根 D.25x=1开半方，得25=士1，解待=士号 为2，则a的值为 4.解下列方程： 7.解下列方程： (1)4x2=9; (1)100(1-x)2=64: (2)2(2x-1)2-4=0. (2)0.6x2-3=0; 3精英新课堂·数学I九年级·上册 知识点3形如x2+2mx+m2=p(m≠ 13.(1)对于实数p,g,我们用符号min{p,g}表 0,p≥0)的一元二次方程的解法 示p,q两数中较小的数，如min{1,2}= 8.解下列方程： 1,因此min{-√2，-√3}= (1)x2-10x+25=5; (2)若min{(x-1)2,x2}=1,则x的值为 多少？ (2)x2-12.x+36=(4-3x)2. C思维拓展 学科素养 14.新视角新定义对任意实数a,b,规定一种新 运算“△”：a△b=a2-b2. (1)求4△3； (2)求(x+2)△5=0中x的值； B能力提升 整合运用 (3)已知直角三角形的两边长是方程3△(x 9.用直接开平方的方法解方程(2x一1)2=x2, 8)=0的两根，求该直角三角形的第三 做法正确的是 ( 边长 A.2x-1=x B.2x-1=-x C.2x-1=士x D.2x-1=±x2 10.若关于x的方程m(x十h)2+k=0(m,h,k均 为常数，m≠0)的解是x1=一3，x2=2,则方 程m(x十h一3)2十k=0的解是 ( A.x1=-6,x2=-1B.x1=0,x2=5 C.x1=-3,x2=5D.x1=-6,x2=2 11.数学思想整体思想已知(x十y十3)(x十y 3)=72,则x+y的值为 【变式】已知(x2+y2+3)(x2+y2-3)=72, 则x2十y2的值为 12.若关于x的一元二次方程ax2=b(ab>0) 的两根分别是m+1与2m一4，则式子 2a一3驰的值是 a 第二十一章一元二次方程4 第2课时用配方法解一元二次方程 A基础过关 逐点击破 知识点2 用配方法解二次项系数不为1 知识点① 用配方法解二次项系数为1 的一元二次方程 的一元二次方程 6.新考向过程性学习某数学兴趣小组四人以接 1.用配方法解方程x2一4x=6时，应该把方程 龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负 两边同时 责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现 A.加2 B.减2 有一名同学所负责的步骤是错误的，则这名 同学是 ( C.加4 D.减4 原方程 2.用配方法将一元二次方程x2十4x一1=0变 匆 乙 x2-2x-8=0 x2-2x=8 x2-2x+1=8+1 形，结果正确的是 丙 A.(x+2)2=3 B.(x-2)2=5 x-102=9→=4 C.(x+2)2=5 D.(x-2)2=3 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 3.若关于x的一元二次方程x2十6x十c=0配方 7.(2024·山东东营)用配方法解一元二次方 后得到方程(x十3)2=2c,则c的值为( 程x2-2x-2023=0,将它转化为（x+ A.-3 B.0 C.3 D.9 a)2=b的形式，则a的值为 4.用适当的数或式子填空： A.-2024 B.2024 (1)x2-4x+ =(x一 )2; C.-1 D.1 (2)x2+3x+ =(x十 )2 8.用配方法解下列方程： 5.用配方法解下列方程： (1)4x2-8x=1: (1)x2-6x=4; (2)x2+x- 30. (2)3x2-6x+1=0. 5精英新课堂·数学1九年级·上册 B能力提升 整合运用⊙ C思维拓展 学科素养 9.若方程x2+6x+2=0能配方成(x+)2+ 13.阅读理解方法型(2024·万州区期中)配方 q=0的形式，则直线y=x十q不经过的象 法在代数式求值、解方程、最值问题等都有 限是 着广泛的应用、 A.第一象限 B.第二象限 例如：①用配方法因式分解：x2十8.x一9. C.第三象限 D.第四象限 原式=x2+8x+16-9-16=(x+4)2-25= 10.欧几里得的《几何原本》中记载了形如x2一 (x+4-5)(x+4+5)=(x-1)(x+9): 2bx+4c2=0(b>2c>0)的方程根的图形解 ②若M=a2-2ab+2b-4b+10,利用配方 法：如图，画Rt△ABC,使∠ACB=90°， 法求M的最小值：M=a2-2ab+b2+b AC=2c,AB=b,以B为圆心，BC长为半径 4b+4+10-4=(a-b)2+(b-2)2+6. 画圆，交射线AB于点D,E,则该方程较大 .(a-b)2≥0，(b-2)2≥0， 的根是 .当a=b=2时，M有最小值6. A.CE的长度 请根据上述材料，解答下列问题： B.CD的长度 (1)用配方法分解因式：a2-18a-175; C.DE的长度 (2)若M=a一8a+10,求M的最小值及 D.AE的长度 M取最小值时a的值； 11.已知3x-y=3a2-6a+9,x+y=a2+6a (3)已知a2+b2+c2-ab-6b-6c+21=0, 9.若x≤y,则实数a的值为 求2a+3b-c的值. 12.新视角新定义对于符号“※”，我们做如下 规定：a※b=a2一b+2. 如：2※3=22一32+2=4一9十2=一3. (1)若（√2x)※(x-5)=1,求x的值； (2)若(2x+1)※x=10,求x的值. 第二十一章一元二次方程6练本答案 能力提升 第二十一章 一元二次方程 9.C10.B11.±9【变式】912.-1013.解：(1)-√3 21.1一元二次方程 (2)当(x-1)>x2时，得x2=1,解得x1=1(不合题意，舍 去)，x2=-1;当(x-1)2<x2时，得(x-1)2=1,解得x3= 基础过关 2,x=0(不合题意，舍去).综上所述，x的值为2或-1. 1.B2.D3.12-154.解：(1)4x2-√3x=0,二次 思维拓展 项系数为4，一次项系数为一√3，常数项为0：(2)2x2一1= 14.解：(1)由题意，得4△3=4-3=7；(2)由题意，得(x 0,二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为一1；(3)x一 十2)△5=(x十2)2-52=0，即(x十2)2=25.两边直接开平 2x一2=0，二次项系数为1，一次项系数为一2，常数项为 方，得x十2=士5，解得x1=3,x2=一7；(3)由题意，得3△ -2.5.C6.A【变式】A7.D8.C9.(x+1)2-1 (x-8)=3-(x-8)=9-(x-8)=0.解方程9-(x- =24 8)2=0,得x1=11,x4=5,当11是该直角三角形的斜边长 能力提升 时，第三边长为√11一5=4√6；当11是该直角三角形的 10.A11.D12.2 【变式】202513.解：(1)根据题 直角边长时，第三边长为√11十5=√146.综上所述，该 意，得1k-1|=2,且k一3≠0，解得k=一1.∴.当k=-1 直角三角形的第三边长为4√6或√146. 时，方程是关于x的一元二次方程；(2)当k一3=0时，解得 第2课时用配方法解一元二次方程 k=3,此时方程为一5x=2,是一元一次方程；当1k-1|=1 基础过关 时，解得=0，或k=2,方程分别为一3x一5x=2和一x一 1.C2.C3.C4.1)42(2)号5.解：1)配 5x=2,都是一元一次方程.综上所述，k的值为3或0或2. 14.解：(1)设这两个连续奇数分别为n,n十2，则有n十(n 方，得x2-6x十3=4十32，(x-3)2=13.由此可得x-3= +2)2=130,n2+2n-63=0:(2)x(x-1)=756,x2-x- 士√13，x=3十√13，x2=3-√13：(2)移项，得x2十x= 756=0;(3)设该直角三角形的一直角边长为xcm,则有x2 +(17-x)2=132,x2-17x+60=0. 是配方，得++（合）=是+（）(+) 思维拓展 1由此可得x+名=士1，=分=-三6D7.D 15.解：m是方程x2-2024x+1=0的一个根，m2 2024m+1=0,.m2-2024m=-1,m2+1=2024m. 8.解：)二次项系数化为1，得x2-2x=子配方，得x (1)m2-2024m十2025=-1十2025=2024；(2)由题意知 m≠0，将m+1=2024m的两边同时除以m,得m十1= 2z+1=+1,-1=号.曲此可得x-1=士怎a 2024. =1+号=1-与，(2)移项，得3r-6x=-1.二次项 21.2解一元二次方程 21.2.1配方法 系数化为1，得一2红=子配方，得-2+1=一号 第1课时用直接开平方法解一元二次方程 +12,(x-1)2= 导由此可得一1=士誓-1十 3 基础过关 1.D2.B3.C4.解：(1)方程两边同时除以4，得x= =19 导直接开平方，得x=士受=名，=一号：2)移 能力提升 项，得0.6x2=3.方程两边同时除以0.6，得x2=5.直接开 9.B10.D1L.312.解：(1)由题意，得（√2x)2-(x 5)2+2=1,即x2十10x-24=0.配方，得(x+5)2=49. 平方，得x=士√5..x1=√5，x2=-5;(3)移项，得5x= ∴.1=2，x2=一12；(2)由题意，得(2x十1)2-x2十2=10， 一5.方程两边同时除以5，得x2=一1.一1<0，.方程无 实数根，5.D6.号或-号7.解：1方程两边同时除 即3x+4红一7=0.二次项系数化为1，得x十号-子 31 以10，得1-x)=德直接开平方，得1-x=士号 64 0配方，得(+号)-空=1函=子 思维拓展 ∴4=号：=号：(2)移项，得2(2x-10=4.方程两边同 13.解：(1)a2-18a-175=a2-18a+81-256=(a-9)2 时除以2，得(2x-1)2=2.直接开平方，得2x-1=士√2. 162=(a-9+16)(a-9-16)=(a+7)(a-25);(2)M=a2 -8a+16-6=(a-4)2-6.(a-4)2≥0，.(a-4)2-6 西=1+2，=1一，2.8.解：1)方程可化为（红-5 2 2 ≥-6，.当a=4时，M有最小值-6；(3)：a2+6+c2 =5.直接开平方，得x-5=士√5.∴.x1=5十√5，x2=5- ab-60-6c+21=0,d-ab+8+8-6b+12+d √5：(2)方程可化为(x-6)2=(4-3x).直接开平方，得x -6=±(4-3x)..x-6=4-3x,或x-6=-(4-3x), -6c+9=0,即(a-)）+是(6-4：+(c-3)=0， 解得x=之x=一1 :(a-0)≥0，是-40≥0.c-3)≥0a-b 参考答案 第22页（共55页） 0.6-4=0,c-3=0.解得a=6,6=4,c=3,a=2,2a 是得2x-2=0,x1=x2=1.5.B6.D7.解：(1)整理， 得9x2-16=9.移项、合并同类项，得9x2=25.方程两边同 +3b-c=2×2+3×4-3=4+12-3=13. 时除以9，得上-怎直接开平方，得=士号=号， 5 21.2.2公式法 基础过关 x= 号：2a=1,6=-3c=1.4=6-4ac=(-30-4 1C2.C3.D4解：1a=3,b=2c=子4=6-4ac ×1×1=5>0.方程有两个不等的实数根x= =2:-4X3×号=0，方程有两个相等的实数根：(2)方程 二b±4ac=二（3》±5_3±5，即1=3+5， 2a 2×1 2 2 化为20x2+8x+1=0.a=20,b=8,c=1.△=b2-4ac=82 一4×20×1=-16<0.方程无实数根；(3)方程化为3x2 =3-5:(3)移项，得3x(x-1)-2(x-1)=0.因式分解， 2 5x-3=0,a=3,b=-5,c=-3.△=b2-4ac=(-5)2-4 得(x-1)(3x-2)=0.于是得x-1=0,或3x-2=0,x1= ×3×(-3)=61>0.方程有两个不等的实数根.5.(1)C (2)B(3)k>-1且k≠06.D7.253-28.解：a 1=号 =1,b=-6,c=4.△=b2-4ac=(-6)2-4X1×4=20> 能力提升 0,方程有两个不等的实数根x=一b士y一4ac 8.B9.B10.011.解：(1)①(2x-1)(x-2)②x+ 2a 13x-2-1 ,(2)①因式分解，得(x十1)(x十3)= -(-6)±√2①=3±5，即=3+V5,x=3-5. 2×1 0.于是得x十1=0，或x十3=0，x1=-1,x2=-3:②因式 能力提升 分解，得(4x-1)(2x-3)=0.于是得4x-1=0,或2x-3 9.C10.B1L.812.解：(1)△ABC是等腰三角形.理由 =0=子= 2 如下：x=-1是方程的根，∴.(a十c)×(-1)2-2b十(a 思维拓展 -c)=0,.a+c-2b十a-c=0,∴.a-b=0,.a=b, 12.解：将方程(2024x)2-2023×2025x-1=0化为 ∴.△ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形.理由如 (2024x)2-(2024-1)×(2024+1)x-1=0,即2024x2 下：，方程有两个相等的实数根，∴.△=(2b)-4(a+c)(a -(20242-1)x-1=0,.(2024x+1)(x-1)=0,. -c)=0,.4b-4a2+4c2=0,.a2=b2+c2,∴.△ABC是 直角三角形。 2024=1,m=1.同理，由方程x2+2024x 1 思维拓展 2025=0,可得(x十2025)(x-1)=0,.x1=-2025,x2= 1B解：1)：关于x的方程22-mx+空-子=0,4 1,.n=-2025,∴.m-n=1-(-2025)=2026. 4 强化训练一一元二次方程的解法 (-m-4X1X(受-)=m-2m+1=(m-1P≥0， 1.解：(1)移项，得3x2=27.方程两边同时除以3，得x2 ∴.无论m取何值，方程总有两个实数根：(2)若四边形 9.直接开平方，得x=士3.∴x1=3,x2=-3:(2)移项，得 ABCD是菱形，则AB=BC.,'AB,BC的长是关于x的方 4(x一2)=121.方程两边同时除以4，得（红-2=直 程x-mx十受-}=0的两个实数根，∴4=(m-12 接开平方，得x一2=士号-号=-子2解： 0,解得m=1.∴.当m=1时，四边形ABCD是菱形.此时， (1)移项，得x2十6x=9.配方，得x2+6x十3=9十32，(x十 1 方程为x一x十=0，解得==之心这时菱形的边 3)2=18.由此可得x十3=士3√2，x1=-3+3√2，x2=-3 长为之：3)根据题意，将x=2代人方程r-m十受 -3,(2)二次项系数化为1，得x2+x=3.配方，得2 子=-0，得2：一2m十受-子=0，解得m=号此时，方程为 .5 合x+()=3+()(+)-铝由此可得x x2- 号x十1=0.解得=2，=是则C=合 1 4 ±x=,=-2.3.解：(1)a=3,b=-6,c 口ABCD的周长为(2+号)×2=5. =4.△=b-4ac=(-6)2-4×3×4=-12<0.方程无实 数根；(2)a=-3,b=-5,c=2.△=b-4ac=5-4×(-3)×2 21.2.3因式分解法 基础过关 =49>0.方程有两个不等的实数根工=二士一4a 2a 1.B2.C3.(1)x1=0,x2=4(2)x1=-2,x2=3 4.解：(1)因式分解，得x(2x一√5)=0.于是得x=0,或2x 零-告，即=2=一子4解，1因式 2×(-3) 6=0=0-9 分解，得(x-2-5)2=0,(x-7)2=0.于是得x-7=0,x ：(2)因式分解，得(3x十7)(3x-7) =x2=7;(2)移项整理，得3(x十5)十2x(x十5)=0.因式分 7 =0.于是得3x-7=0,或3x+7=0,=3=-3 解，得(x+5)(2x十3)=0.于是得x+5=0,或2x+3=0, (3)移项，得4x2一8x十4=0.因式分解，得(2x-2)2=0.于 x1=-5,x2=- 5.解：(1)设x2-x=a,则原方程可 参芳答案 第23页（共55页）