第二十一章 一元二次方程 整合与提升（练本）-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 重庆专版）

10%,x2=1.9(不合题意，舍去).答：该商品每次降价的百 分率是10%；(2)设第一次降价售出a件，则第二次降价售 出(20一a)件.根据题意，得[60×(1一10%)一40]a十(48.6 -40)X(20-a)≥20.解得a≥5员.：a为非负整数，a 的最小值是6.答：第一次降价至少售出6件后，方可进行 第二次降价.5.解：(1)设每个玩具的售价为x元.根据 x60, 题意，得 g50一3X6≤686。解得56区60.答3 每个玩具售价的取值范围是56x60:(2)由(1)知每个 玩具的最低售价为56元，对应销售量为50-3×5650= 0.5 14(个).根据题意，得[56(1十a%)一49]×14×(1-2a%) =147.令1=a%,整理，得32r-12十1=0.解得4=， h=日，即a%=或a%-令a=25,或a=12.5 专题突破（三）一元二次方程与 分式方程的综合应用 1.解：(1)设该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份x元， 则第二次购进毛肚的进价为每份(x一5)元.根据题意，得 00=三00，解得x=25.经检验，x=25是原方程的 x 解，且符合题意.答：该火锅店第一次购进毛肚的进价为每 份25元；(2)设降价m元，该店毛肚每日销售额为15000 元，则降价后每份毛肚的实际售价为(40一m)元，每日销量 为(480十2m)份.根据题意，得(40一m)(480十2m)= 15000.整理，得m2十2001-2100=0.解得1=10,2= 一210（不合题意，舍去）.40-m=40-10=30.答：降价后 每份毛肚的实际售价为30元.2.解：(1)设救丙手办的单 价为x元，则哪吒手办的单价为1.3x元.根据题意，得 2210_1000=14.解得x=50.经检验，x=50是原方程的 1.3x 解，且符合题意.1.3x=1.3×50=65(元).答：哪吒手办的 单价为65元，敖丙手办的单价为50元：(2)由(1)可得计划 购买数丙手办100-20（个），哪E手办20+14=34（个）。 根据题意，得(65一3m)(34十2m)十(50一m)(20十2)= 2210十1000十100.解得=1,2=0（不合题意，舍去）. 答：m的值为1.3.解：(1)设甲队计划x天到达目的地， 则乙队计划（红一2）天到达目的地，根据题意，得1200=号 X,6,解得x=6,经检验，x=6是原方程的解，且符合题 意.x-2=6-2=4.答：甲队计划6天到达目的地，乙队计 划4天到达目的地：(2)根据题意，得135×4×(8+m)十 (300-30m)×6×(8十m)=18720.整理，得m2一5m=0. 解得1=5,2=0（不合题意，舍去），答：m的值为5， 4.解：(1)设2022年每套“幸福牌”亲子装的进价为x元，则 2024年每套“幸福牌”亲子装的进价为(x一11)元.根据题 意，得10500=9400.解得x=105.经检验，x=105是原 分式方程的解，且符合题意.答：2022年每套“幸福牌”亲子 装的进价为105元；(2)由(1)可得2022年销售“幸福牌”亲 参考答案第 子装所获利润为(10500÷105)×(130-105)=2500（元）， 2024年销售“幸福牌”亲子装所获利润为[9400÷(105 11)]×[130-(105-11)]=3600(元).设年增长率是. 根据题意，得2500(m十1)2=360.解得m=号-20%， m=一号（不合题意，舍去）.答：年增长率是20%。 第二十一章整合与提升 高频考点突破 1.A2.B3.C4.45.解：(1)移项，得x2一2x=49.配 方，得x2一2x十1=49十1，(x-1)2=50.由此可得x-1 =±5√2，x1=1十5√2，x2=1-5√2；(2)a=1,b=-7,c= -1.△=b2-4ac=(-7)2-4×1×(-1)=53>0.方程有 两个不等的实数根x=二b士-4a=-（-7)士V愿 2a 2×1 =7±，即=7十)，，=7：(3)移项整理， 2 2 2 得2(y十5)2-(y十5)(y-5)=0.因式分解，得(y十5)[2(y +5)-(y-5)]=0,(y+5)(y+15)=0.于是得y十5=0， 或y十15=0，M=-5,y2=-15.6.C7.D8.-1 9.3010.解：(1)-1(2)对于方程x2-(2m-3)x十m -4m-5=0,△=[-(2m-3)]2-4(m2-4m-5)=4m+ 29.:该方程为“快乐方程”，∴.4m十29为完全平方数，又 5<m<22,∴.49<4m+29<117..4m+29=64或81或 10.当4m十29=64时解得m=草当m+29=81时，解 得m=13.当4m+29=10时，解得m=朵：m为整数， .m=13..原方程为x2-23x十112=0，其根为x1=7,x2 =16,符合题意.其“快乐数”为F(1,一23,112)= 4×1×112-(-23)281 4×1 4.11.1+x十x2=73 12.解：(1)设每件甲款羊毛衫的进价为x元，则每件乙款羊 毛衫的进价为(x十40)元.根据题意，得8000-=+0·解 x 得x=320.经检验，x=320是原方程的解，且符合题意.x +40=320十40=360.答：每件甲款羊毛衫的进价为320 元，每件乙款羊毛衫的进价为360元：(2)设每件甲款羊毛 衫的售价为m元.根据题意，得(m一320)[30十2(370一 m)]十15×(420一360)=3000.整理，得m2一705m十 124250=0.解得1=355,2=350，：为更大程度让利顾 客，∴=350.答：每件甲款羊毛衫的售价为350元时，商 家日盈利可达到3000元. 常考题型演练 1.C2.D3.C4.500(1-x)2=4055.解：(1)p1 (2)a+m=p,xm=1,+1=十=上= XI x2 xIx2 :关于x的一元二次方程x2一px十1=0(p为常数)有两 个不相等的实数根x1和x2,x一px1十1=0，.x一p十 =x+工能·姿美明豫兰与￥甲(8)4三T十x附·0=T x p,x1x2=1.,i+xi=2p+1,.(x十x2)2-2x1x2=2p 十1，.p2-2=2p+1,解得p1=3,p2=-1.当p=3时，△ =p2-4=32-4=9-4=5>0.当p=-1时，4=p2-4= 6页（共55页） (-1)2-4=1-4=-3<0,不合题意，舍去.∴.p=3. 6.解：(1)设P,Q同时出发，经过xs,使S△o心=8cm,则 AP=xcm,CQ=2xcm,.CP=(6-x)cm.∠C=90°， Sae=CpCQ26-)…2x=8∴x-6x+8 =0,解得x=2,x2=4.经检验，它们都符合要求.∴点P, Q从A,C同时出发，经过2s或4s,使S△orc=8cm; (2)设点P出发ts时，S△ac=4cm,则点Q运动的时间 (t-2)s,.AP=t cm,CQ=2(t-2)cm,.CP=(6- 0m:∠C=90,Saec=2Cp.CQ.号(6-) 2(t-2)=4,∴.t2-8t十16=0，解得i=t2=4.经检验，符 合题意.∴.点P出发4s时，S△ac=4cm;(3)设经过ys, 使PQ=BQ,则AP=ycm,CQ=2ycm,∴.CP=(6 y)cm,PQ=BQ=(8-2y)cm.在Rt△PCQ中，由勾股定 理，得CP2+CQ=PQ,即(6-y)+(2y)=(8-2y).整 理，得y2+20y-28=0.解得y1=-10+8√2,2=-10 8√2（不合题意，舍去）.∴.经过(-10十82)s,使PQ=BQ. 第二十二章二次函数 22.1二次函数的图象和性质 22.1.1二次函数 基础过关 1.B2.(1)-1(2)≠23.是-0.54-3是 -20-6是-110不是01-14.114 m+m=2.解得/m*1, 5解：由题意，得m-1≠0， m=-2或m=1. ÷m=-2.6C7.D8y=号2-合x是9解： (1)y=(x十8)(x十6)-6×8=x2+14x:(2)由题意，得x2 十14x=32.解得x1=2,x2=一16（不合题意，舍去）.答：长 和宽应该都增加2m 能力提升 10.C11.y=2x2-4x十4112.解：(1)由题意，得y= (n+2)(n十3)=n2十5n十6：(2)由题意，得n2十5n十6= 506.解得n1=20,=-25(不合题意，舍去).∴.n的值为 20;(3)不存在黑瓷砖与白瓷砖相等的情形.理由如下：在第 n个图形中，白瓷砖有n(n十1)块，黑瓷砖有n2十5n十6 n(n十1)=4n十6（块）.若相等，则n(n十1)=4n十6.整理， 得2一3n-6=0.因为此方程无整数解，所以不存在黑瓷 砖与白瓷砖相等的情形. 思维拓展 13.解：(1)实数对(x,y)所对应的点及y关于x的函数图 象如图所示；万件 (2)由(1)可设y关于x的 8米 6 t111 045678x/元 函数解析式为y=kx十b.把(4,8)，(5,6)代入，得 4k十b=8, 解得二2y关于x的函数解析式为y 5k+b=6, b=16. 参考答案第 一2x十16(2x8):(3)①由题意，得P=(x-2)y=(x 2)(-2x十16)=-2x2+20x-32..P关于x的函数解析 式为P=-2x2+20x-32;②由题意，得x≤2×200%，即x ≤4.由题意，得-2x2十20x-32=10.解得x1=3,x2= 7(不合题意，舍去)，∴x=3.答：此时的销售单价应定为 3元. 22.1.2二次函数y=a.x2的图象和性质 基础过关 1.A2B3A4A5A6号向上0,0)y轴 增大7.a>18.解：(1)把点(-2,8)代入y=ax2,得4a =8,解得a=2.y=2x(2y=-十.9.D10.解： 由题意，得八=3x+4, 解得心=4，=一1， y=x2. .直线y= y=16,y=1. 3x十4与抛物线y=x2的交点坐标为(4,16)和(-1,1).如 图， ,1y=3x+4A(4,16),B(-1,1),连接AO,B0.易知 点C0,4),则OC=4.Sam=Sam十5r=0C· (1x+1m)=号×4X(4+1)=10. 能力提升 11.B12.D13.B14.解：(1)根据题意，得k十2≠0且 k2十k-4=2,解得k1=-3,k2=2.:当x<0时，y随x的 增大而增大，∴二次函数的图象开口向下，即k十2<0，∴k <-2,k=-3:(2)由(1)，得y=一x2,顶点坐标为(0， 0),对称轴为y轴. 思维拓展 15.解：(1)：直线y=kx十b过点A(2,0),B(1,1), /2k+6=0, 1.解得（二21，“直线AB的函数解析式为y k+b=1, =一x十2.抛物线y=ax过点B(1,1),∴a=1,.抛物 线的函数解析式为y=x;图象如图所示： (2)存在点D.连接OB,OC.由题意，得V=1十2， 解得 y=x2. =一2，=1：点C的坐标为(-2,4).又：点B的 y1=4,y2=1. 坐标为1,1D,点A的坐标为2,0)∴Sac=号×2X4= 4.S.oX2X11.5sow-Ssaw-Sao-4-1- 3.设点D的纵坐标为n,则b≥0，Saw=号0A·0 =号×2如=30=3，把%=3代人y=,得1=3 解得xp=士3.∴点D的坐标为(W3,3)或(-√3,3). 7页（共55页）第二十一章 乡高频考点突破。 考点1一元二次方程的有关概念 1.下列方程：①ax2+bx十c=0;②3x(x一4)=0： ③r+y-3=0,④2+x=2:⑤x-3x+8= 0;⑥x2-5x+7=0;⑦(x-2)(x+5)=x2-1. 其中，一定是一元二次方程的有 () A.2个 B.3个C.4个 D.5个 2.若关于x的方程x2十4kx十2k2=4的一个 解是一2，则的值为 A.2或4 B.0或4 C.-2或0 D.-2或2 考点2一元二次方程的解法 3.用配方法解方程x2一2x=2时，配方后正确 的是 ( A.(x+1)2=3 B.(x+1)2=6 C.(x-1)2=3 D.(x-1)2=6 4.数学思想整体思想若(m2十n2)2一2(m2十 n2)-8=0,则代数式m2十n2的值为 5.用适当的方法解下列方程： (1)x2-2x-49=0; (2)x2-7x-1=0; 整合与提升 (3)2(y+5)2+25=y2. 考点3一元二次方程根的判别式及根 与系数的关系 6.新视角新定义将4个数a,b,c,d排成2行、 a b 2列，两边各加一条竖线，记成 ,并规 2 定 =ad-bc.例如： =2×3 1 4×1=2.则 一3的根的情况 为 A.只有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 7.新视角新定义定义新运算：m※n=mn2 2mn-1.例如：4※2=4×22-2×4×2-1= 一1.若关于x的方程a※x=0有实数根，则 a的取值范围为 ) A.-1≤a≤0 B.-1≤a<0 C.a≥0或a≤-1 D.a>0或a≤-1 8.已知关于x的一元二次方程x一2(1-m)x十 m2=0的两实数根为x1,x2.若x1x2=1,则 m的值为 5x+2>a, 9.若关于x的不等式组 ，有且仅 x+14≥3x+6 有3个整数解，且关于x的一元二次方程 x2一(2a一1)x十a2-8=0没有实数根，则符 合条件的整数a的和为 第二十一章一元二次方程26 10.阅读理解方法型阅读材料： 若关于x的一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠ 0,a,b,c为常数)的根均为整数，则称该方程 为“快乐方程”.我们发现任何一个“快乐方 程”的判别式△=一4c一定为完全平方 数.规定F(a,b.c)=4ac一：为该“快乐方程” Aa 的“快乐数”.例如：“快乐方程”x2一2x一3 0的两根均为整数，其判别式△=（一2）2一 4×1×(一3)=16=42，其“快乐数”F(1, -2,-3)=4X1X(一3)-（-2)=-4. 4×1 (1)“快乐方程”x2一4x十3=0的“快乐数” 为 (2)若关于x的一元二次方程x2-(2m 3)x十m2-4m-5=0(m为整数，且5< m<22)是“快乐方程”，求其“快乐数”. 考点4一元二次方程的实际应用 11.(2024·一中定时练习)某校“自然之美”研 究小组在野外考察时发现一种植物的生长 规律，即植物的1个主干上长出x个枝干， 每个枝干又长出x个小分支.现在一株植 物上有主干、枝干、小分支数量之和为73， 根据题意，请列出方程为 27精英新课堂·数学I九年级·上册 12.社会热点网购(2024·江津区校级期中)网 购已经成为了一种新的购物方式，越来越 多的人熟悉和喜欢网购.双十一，某网站一 店铺购进一批甲、乙两款羊毛衫，已知每件 乙款羊毛衫的进价比甲款羊毛衫的进价多 40元，用8000元购进甲款羊毛衫和用 9000元购进乙款羊毛衫的数量相同. (1)每件甲、乙款羊毛衫的进价各为多少元？ (2)甲款羊毛衫每件的售价为370元，每天 可卖出30件；乙款羊毛衫每件的售价 为420元，每天可卖出15件.在销售过 程中为了增大甲款羊毛衫的销量，商家 决定对甲款羊毛衫进行降价销售，在现 有售价的基础上，每降价1元，可多售 出2件.为更大程度让利顾客，每件甲 款羊毛衫的售价为多少元时，商家日盈 利可达到3000元？ 冒常考题型演练。 1.(2024·巴南区月考)若矩形相邻两边的长 为一元二次方程x2一7x十12=0的两根，则 该矩形的对角线长为 ( A.3 B.4 C.5 D.6 2.如果关于x的一元二次方程(1一a)x2一8.x 2=0有两个不相等的实数根，关于y的分式 方程+2=一己的解为非负整数解，那 么所有满足条件的a的值的和为( A.16 B.15 C.13 D.12 3.新视角新定义(2024·长寿区校级期中)定 义：我们把关于x的一元二次方程M:a.x2十 bx十c=0与N:cx2+bx十a=0(a≠c,ac≠ 0)称为一元二次方程的一对“颠倒方程”.如 x2一4x+3=0的“颠倒方程”是3x2-4x十 1=0,则下列结论不正确的是 A.若方程M有实数根，则方程N也有实数根 B.若6是方程M的一个根，则方程N一定 有一个根是后 C.若方程M和方程N有一个相同的根，则 这个根一定是1 D.若a十c=b,则方程M与方程N都有实 数根一1 4.(2024·巴南区月考)“双11”购物节，某电 商平台的一款智能电饭煲经过了两次降 价，售价由原来的500元降到405元，设平 均每次降价的百分率为x,那么可列方程为 5.(2024·四川内江)已知关于x的一元二次 方程x2一x十1=0(p为常数)有两个不相 等的实数根x1和x2. (1)填空：x1十x2= x1x2= (2求++ (3)已知x+x号=2p+1,求p的值 6.新考法化动为静法)如图，在△ABC中，∠C= 90°，AC=6cm,BC=8cm,点P从点A出 发，沿AC边向点C以1cm/s的速度移动 在点C处停止，点Q从点C出发，沿CB边向 点B以2cm/s的速度移动，在点B处停止. (1)如果点P,Q分别从点A,C同时出发，经 过几秒钟，使S△oPc=8cm? (2)如果点P从点A先出发2s,点Q再从点C 出发，点P出发几秒钟时，S△ac=4cm? (3)如果点P,Q分别从点A,C同时出发，经 过几秒钟，使PQ=BQ? 第二十一章一元二次方程28