21.2.1 配方法(讲本)-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 重庆专版）

讲本答案 1)2=25(x十1)2，直接开平方，得2(2x-1)=±5(x十1). 第二十一章 一元二次方程 .2(2x-1)=5(x十1)，或2(2x-1)=-5(x十1).解得x 21.1一元二次方程 =-1,=-子，4.A5解：1)原方程可化为x十3) 知识梳理 =7.直接开平方，得x十3=±√7..x十3=√7，或x十3= 1.整式一22.a.x2十bx十c=0≠0a.x2abx 一√7.解得x1=-3十√7，x2=-3-√7；(2)原方程可化为 bc3.相等 (x十2)2=(3-2x)2.直接开平方，得x+2=士(3-2x). 例题导学 【例1】解：(1)A(2)①由题意知I.m2-7=1,解得m= x十2=3-2x,或x十2=-（3-2).解得=子4 士2√2；Ⅱ.m2-7=0,解得m=士√7；Ⅲ.m-3=0,解得 5. 6.解：(1)观察解题过程可知，从第三步开始出现错误， =3.综上所述，当m为士2√2或士√7或3时，原方程为一 错误的原因是方程两边同时开方时，方程右边没有进行开 元一次方程；②由题意，得m一7=2且m一3≠0，解得m= 方；(2)4(2x-1)2=36.(2x-1)2=9.2x-1=±3,2x-1 一3.故当m=一3时，原方程为一元二次方程；(3)①x2十1 =3,或2x-1=-3.解得x1=2,x2=-1. =0;二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为1：②x2十 第2课时用配方法解一元二次方程 x一15=0：二次项系数为1，一次项系数为1，常数项为 知识梳理 -15.【例2】(1)D(2)3(3)0【例3】解：设每千克 1.完全平方 应涨价x元.根据题意，得(500一20x)(10十x)=6000.化 例题导学 为一般形式为x一15x十50=0.其中二次项系数为1，一次 【例1】解：(1)移项，得x2十6x=-5.配方，得x2+6x+3 项系数为-15，常数项为50. =-5十32，(x十3)2=4.由此可得x十3=士2，x1=-1,x2 变式练习 =一5；(2)移项，得x2十4x=5.配方，得x2十4x十22=5十 1.B2.C3.-34.B5.-46.-60757.1 2,(x十2)2=9.由此可得x十2=±3，x1=1,x2=-5. 【变式】-18.A9.x2-20x十19=0 【例2】解：移项，得3x2十5x=2.二次项系数化为1，得x2十 21.2解一元二次方程 21.2.1配方法 号x号配方得+号中（高）号+（）（ 第1课时 用直接开平方法解一元二次方程 知识梳理 )-铝由此可得x十号= 6 6x1= 3 ,x2=一2 1.平方根直接开平方3.一元一次方程解一元一次方程 【例3证明：5-6x+1=5(-号x）+11=5( 例题导学 【例1】解：(1)直接开平方，得x=士4..x1=4,x2=4: 号)-5x号+1=(-)广+想5(-哥)≥0， (2)移项，得x2=49.直接开平方，得x=士7.x1=7,x2= -7. 【例2】解：(1)直接开平方，得4x一2=士8.∴.4x一2 )”+>0.即代数式5以-6x+1的值位大 5(x-) =8或4一2=-8解得=号=一号：(2)直接开平 于0. 方，得x-4=士(5-2x)..x-4=5-2x,或x-4=-(5 变式练习 -2x).解得x1=3,2=1:(3)移项，得3(x-1)=9.方程 1A2.1)255(2)令(3)元号3解： 两边同时除以3，得(x-1)2=3.直接开平方，得x一1= (1)移项，得x2-2x=3.配方，得x2-2x十12=3十1，(x 土√5.x-1=3,或x-1=-√5.解得x1=3+1,x2= 1)2=4.由此可得x-1=士2，x1=3,x2=-1;(2)化简，得 一√3+1.【例3】解：(1)原方程可化为(x-2)2=16.直接 x2-6x=16.配方，得x2-6x十32=16十32，(x-3)2=25. 开平方，得x一2=士4，.x一2=4，或x-2=一4.解得x 由此可得x-3=士5，x1=8,x2=-2.4.解：移项，得2x =6,x2=一2；(2)原方程可化为(x-3)=(1-2x).直接 开平方，得x-3=士（1-2x).x-3=1-2x,或x-3= -4x=3.二次项系数化为1，得x2-2红=三，配方，得2 1-2x).解得x= 3x2=-2. 2x+1=是+1，-102=号由此可得x-1=±， 2 变式练习 1.解：(1)移项、合并同类项，得x2=25.直接开平方，得x= =1+四，=1- 2 2 。5.P<Q6.解：(1)m2+m 土5，∴1=5，=-5：(2)移项，得9x2=16.方程两边同 时除以9，得产=号直接开平方，得x=士专山=专 +1=m+m++子=(m+)+“(m+)≥ x=一3,2.D3.解：1)方程两边同时除以2，得(x十 0.(+号)+>≥是m+m十1的最小值是， (2)4-x2+2x=-x2+2x-1+5=-(x-1)2+5.-(x 5)=直接开平方，得x十5=士合十5=之或x 1 -1)20,.-(x-1)2十55，.4-x2十2x的最大值是 十5=一号解得=一号=号：(2)移项，得4(2 5;(3)a2+6a+12=a2+6a十9+3=(a+3)+3.(a+ 3)≥0，.(a十3)2+3≥3，.a2+6a十12的值一定是正数. 参考答案第1页（共55页）21.2解一元二次方程 21.2.1配方法 第1课时 用直接开平方法解一元二次方程 A知识梳理 【变式练习】 1.直接开平方法：利用 的意义 1.解下列方程： 求一元二次方程的解的方 (1)x2-21=4; 法叫做直接开平方法， 2.常见的用直接开平方法求解的方程形式： (1)x2=p(≥0)； (2)(mx十n)2=p(m≠0，p≥0)； (2)9x2-16=0. (3)x2+2m.x+m2=p(p≥0). 3.直接开平方法 般地，对于方程x2=, (1)当p>0时，根据平方根的意义，该方 程有两个不等的实数根x1=一√p, x2=√p; (2)当=0时，该方程有两个相等的实数 根x1=x2=0; 知识点2形如(mx十n)2=p(m≠0， (3)当p<0时，因为对任意实数x,都有 p≥0)的一元二次方程的解法 x≥0，所以该方程无实数根， 【例2】解下列方程： 直接开平方法的理论依据就是平方根的意 (1)(4x-2)2=64; 义，利用平方根的意义把一个一元二次方 程“降次”转化为两个 ,然 后分别 求出方程的解. B例题导学 知识点1形如x2=p(p≥0)的一元 (2)(x-4)2=(5-2x)2; 二次方程的解法 【例1】解下列方程： (1)x2=16: (3)3(x-1)2-9=0. (2)x2-49=0. ·3· 【变式练习】 【变式练习】 2.如果多项式(2x一1)2的值为9，那么x的 4.若关于x的方程25x2-(k-1)x十1=0 值为 的左边可以写成一个完全平方式，则k的 A.2 B.2或-2 值为 C.-1 D.2或-1 A.-9或11 B.-7或8 3.解下列方程： C.-8或9 D.-6或7 (1)2(x+5)2=7: 5.解下列方程： (1)x2+6x+9=7; (2)x2+4x+4=(3-2x)2. (2)4(2x-1)2-25(x+1)2=0. 6.阅读计算过程，完成下列题目. 4(2x-1)2-36=0. 解：4(2x-1)2=36.…第一步 (2x一1)2=9.…第二步 知识点3 形如x2+2mx+m2=p 2x一1=9.…第三步 (m≠0，p≥0)的一元二次方程的解法 2x=8.…第四步 【例3】解下列方程： x=4.…第五步 (1)x2-4x+4=16; (1)以上解方程的过程中从第几步开始出 现错误，错误原因是什么？ (2)请写出正确的解方程过程. (2)x2-6x+9=(1-2x)2. 4· 第2课时用配方法解一元二次方程 A知识梳理 【变式练习】 1.用配方法解方程x2一6x一8=0时，配方 1.配方法 通过配成 形式来解一元二次 结果正确的是 A.(x-3)2=17 B.(x-3)2=14 方程的方法，叫做配方法.可以看出，配方 C.(x-6)2=44 是为了降次，把一个一元二次方程转化成 D.(x-3)2=1 2.填空： 两个一元一次方程来解。 (1)x2+10x+ =(x十 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤 (2)x2-x十 =(x (1)二次项系数为1时： ①移项：使方程左边只含有二次项和 号+ =(x- 一次项，右边为常数项； 3.用配方法解下列方程： ②配方：方程两边都加上一次项系数一 (1)x2-2x-3=0; 半的平方，把原方程化为(x+n)2=p 的形式； ③若p≥0，则用直接开平方法解出； 若p<0,则原方程无实数根. (2)二次项系数不为1时： 般先将二次项系数化为1，即在方程 (2)(x+1)(x-7)=9. 两边同除以二次项系数，然后按照 “用配方法解二次项系数为1的一元 二次方程的步骤”进行求解. B例题导学 知识点①用配方法解二次项系数为 知识点2用配方法解二次项系数不 1的一元二次方程 为1的一元二次方程 【例1】用配方法解下列方程： 【例2】解方程：3x2+5x-2=0. (1)x2+6.x+5=0; (2)x2+4x-5=0. 【方法点拨】步骤：①移项，把常数项移到右 【方法点拨】步骤：①先移项，把常数项移到 边；②方程两边每一项都除以二次项系数，转 右边；②方程两边同时加上一次项系数的一 化为二次项系数为1的一元二次方程来解. 半的平方；③将方程转化成(x十n)2=p的 形式，再运用直接开平方法求解. ·5· 【变式练习】 【变式练习】 4.用配方法解方程：2x2一4x一3=0. 5.若P=a-2,Q=a2十3a(a为实数)，则P, Q的大小关系为 6.先阅读理解下面的例题，再按要求解答下 列问题： 求代数式y2+4y+8的最小值. 解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+ 2)2+4. (y十2)2≥0， .(y十2)2+4≥4， .y2+4y+8的最小值是4. 知识点3配方法的应用 (1)求代数式m+m十1的最小值； (2)求代数式4-x2+2x的最大值； 【例3】用配方法证明：代数式5.x2一6x十11 (3)说明代数式a2+6a+12的值一定是 的值恒大于0. 正数. 【方法点拨】证明一个代数式的值为非负数， 需把这个代数式整理为一个完全平方式与 一个正数的和的形式 ·6·