精选母题第4讲：角平分线的性质与判定——2025-2026学年苏科版八年级上学期数学精选母题系列

2025—2026学年八年级上学期数学精选母题系列 精选母题第4讲：角平分线的性质与判定 母题1：利用角平分线性质求线段长 如图，是的角平分线，若，，，则 ． ▋▎名师点拨 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】此题考查了角平分线的性质定理、三角形的面积等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是关键．作，垂足分别为点，由角平分线的性质定理得到，进一步根据三角形面积公式即可得到，即可得到答案． 【详解】解：作，垂足分别为点， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∵， ∴， 故答案为： 1．如图，在中，平分于点，，，，则的长是 ． 2．如图，中，的垂直平分线交的平分线于点D，过D作于点E，若，，则 ． 3. 如图，在中，，，，平分交于点，则的长是 ． 4. 如图，中，平分，且平分，于，于． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 母题2：角平分线求解点到线的距离 如图，是的角平分线，于点，的面积是10，若，则点到的距离是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 ▋▎名师点拨 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：作于， ∵是中的角平分线，，， ∴， ∵的面积是10，若， ∴， ∴， ∴，即点到的距离是4， 故选：C． 1．如图，已知，以点为圆心，任意长为半径画弧，交 于点 ，交 于点，再分别以点，为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点 ，作射线 ，点为上一点，，垂足为点， 若，则点到 的距离为（   ） A． B． C． D． 2．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是 ． 3. 如图，在中，，，．平分交于点D，则点D到的距离为 ． 4. 如图，O为内角平分线交点，过点O的直线交、于M、N，已知，，则点O到的距离为 ． 母题3：借助角平分线求解图形面积 在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，，则的面积是（   ） A． B． C． D． ▋▎名师点拨 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点作于点，再利用角平分线的性质求解即可． 【详解】解：根据题意可得：为的角平分线， 过点作于点，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 1．如图，的面积为，平分，且于点，则的面积是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是的平分线，是边上的中线，如果的面积是，，，则的面积是（  ） A．10 B．8 C．6 D．4 3．（1）如图，请作出中的角平分线，交于D．(保留作图痕迹即可)； （2）点D到的距离为m，到的距离为n，则m____n．(填“>”或“<”或“=”) （3）在（1）、（2）题的条件下，如果，的面积为18，求的面积． 4．如图，在四边形中，，平分，，垂足为点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 母题4：利用角平分线的判定求角度 如图，为内部的一点，连接，过点分别作于点，于点，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． ▋▎名师点拨 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】此题考查了角平分线的判定定理，三角形内角和定理等知识点． 根据题意得到平分，，进而求解即可． 【详解】∵，，且，， ∴平分，， ∴． 故选：C． 1．如图，点D是的边上一点，连接，与的面积比是，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．嘉嘉和琪琪两位同学给出两种画角平分线的方法： 嘉嘉：如图：两把相同的直尺，一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线 琪琪：按如图所示做个仪器，其中，，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点，画一条射线，就是的平分线 对于两人的画法，下列说法正确的是（   ） A．两人都对 B．两人都不对 C．嘉嘉对，琪琪不对 D．嘉嘉不对，琪琪对 3．如图，已知点在的外部、的内部．若点到，的距离相等，则下列关于点位置的说法最准确的是（   ） A．点在的平分线上 B．点在的平分线上 C．点在的平分线上 D．是的平分线的交点 4．如图，是内一点，于点，于点，于点，且，若，则 . 母题5：利用角平分线判定证明平分 如图，于，于，若，． (1)求证：平分； (2)已知，，求的长． ▋▎名师点拨 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理的逆定理；运用角平分线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明，得到，从而得出结论； （2）先求出的长度，然后证明，得出，求解即可； 【详解】（1）证明：∵， 在和中 ∴ 平分 （2）解： 在和中 1．已知：如图，在中，，，是角平分线，与相交于点F，，，垂足分别为M，N． (1)求证：F在的角平分线上； (2)求证：． 2. 如图，在四边形中，，为的中点，平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 3．如图，过的边的垂直平分线上的点，作的另外两边，所在直线的垂线，垂足分别为，，，作射线；求证：平分． 4．如图，在中，，，，垂足分别为，，，相交于点求证：平分． 母题6：角平分线在实际中实际应用 尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)如图①，要在河边l修建一个水泵站M，使．水泵站M要建在什么位置？ (2)如图②，三条公路两两相交，现计划修建一个油库P，要求油库P到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库P的位置？（请作出符合条件的一个） ▋▎名师点拨 【知识点】角平分线性质的实际应用、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质和画法得出即可； （2）根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，分别作出两个内角的平分线、相邻两个外角的平分线，共有四个点（作一个点即可）． 【详解】（1）如图1所示：M点即为所求．    （2）如图2所示（答案不唯一）．    【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质与画法，角平分线的性质的应用，熟练掌握相关性质是解题关键． 1．如图，电信部门要在公路，之间的区域修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到区域内的两个城镇的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等．发射塔应建在什么位置？（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论） 2．如图，直线，，表示三条公路的位置．若在这三条公路的旁边修建一个加油站，使得这个加油站到这三条公路的距离相等，这样的位置有（   ） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 3．如图两条笔直的公路、相交于点O，公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知，，C村到公路的距离为，则C村到公路的距离是（    ） A． B． C． D． 4．如图是某校的局部平面图，学校有三条小路和，已知与相交．学校计划修建一个亭子，使其到小路的距离均相等，则亭子可以选择的修建位置有（   ） A．4处 B．3处 C．2处 D．1处 母题7：角平分线与尺规作图的问题 如图，有一块五边形草坪，现要在草坪内部修建一处便民活动中心，使得便民活动中心到边、边的距离相等，且便民活动中心到点的距离与便民活动中心到点的距离相等，请你找出便民活动中心的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ▋▎名师点拨 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查角平分线的性质与作图，垂直平分线的性质与作图，根据便民活动中心到边、边的距离相等得到平分，再根据便民活动中心到点的距离与便民活动中心到点的距离相等得到点在的垂直平分线上，则点为的垂直平分线与的角平分线的交点，再根据尺规作图的步骤作图即可． 【详解】解：分别作的垂直平分线和的角平分线， 如图，交点即为所求便民活动中心的位置， 1．商朝第一名相、有“烹调之圣”美称的伊尹，晚年曾隐居在连云港市灌云县伊芦山，大小伊山也因他而得名，后人为了纪念他准备建造一座伊尹雕像．经过实地考察与测量，决定将雕像建造在两条伊尹路内部，并且在两条路所构成的角的平分线上，另外又考虑到周边两个小区的人们都可以方便过来瞻仰，让两个小区，到雕像的距离也相等，请依据上述信息，在右图中利用无刻度的直尺和圆规标出伊尹雕像点的位置．（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．） 2．用圆规与直尺作图 (1)如图，A、B、C是新建的三个居民小区，政府要在与三个居民小区距离相等的地方修建了一所学校，要求学校到三个小区的距离相等，请在图中作出学校的位置M． (2)如图，有两条国道相交于O点，在的内部有两村庄C、D，现要修建一加油站P，使点P到、的距离相等，且使，用尺规作图，作出加油站P的位置（不写作法）． 3．尺规作图题 (1)图1，校园一角的形状如图所示，其中，，表示围墙，小亮通过作角平分线在图示的区域中找到了一点P，使得点P到三面墙的距离都相等，请你用尺规作图法帮小亮画出P点．(保留作图痕迹，作图痕迹要清晰) (2)图2，已知一个点O，请用尺规作图作一个以点O为顶点的直角．(保留作图痕迹，作图痕迹要清晰) 4．阅读理解: 借助一些巧妙的工具，我们可以解决一些几何问题． (1)如图1是一种用四根木条钉成的平分角的仪器，其中，，相邻两根木条的连接处是可以转动的，在如图2的几种用法中，能作出的平分线的有 (填写序号) (2)同学们在探究的过程中，发现利用勾尺可以解决一个尺规作图不可能完成的三等分角问题如图3是小瑞设计出的三等分角的仪器--勾尺． 勾尺的直角顶点为P， (“宽臂”的宽度) ，勾尺的另一边为，且满足M，N，Q三点共线（所以）小瑞利用手中的勾尺，通过下列步骤将三等分； 第一步：如图4，画直线使，且这两条平行线的距离等于； 第二步：如图5，移动勾尺到合适位置，使顶点P落在上，使边经过点B，同时让点R落在的边上； 第三步：如图6，标记此时点Q和点P所在位置，作射线和射线． 然后小瑞利用图6，证明射线和射线是的三等分线，请补全证明过程； 证明：垂直平分线段． ∴ ∵， ∴． (请继续完成后面的证明过程) 母题8：角平分线的性质判定综合题 如图①，在四边形中，已知，，，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图②，若是的边上的高，已知，求四边形的面积． ▋▎名师点拨 【知识点】与余角、补角有关的计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、补角的性质等知识点 ，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据同角的补角相等即可得证； （2）证明，即可得出， （3）由得出，再由等边对等角可得，进而可得，过点A作，垂足为点M．由角平分线的性质定理可得．再由直角三角形的性质可得．从而推出，最后再结合全等三角形的性质以及三角形的面积公式计算即可得解． 【详解】（1）证明：如图①，∵，， ∴； （2）证明：在与中， ， ∴． ∴； （3）解：如图，过点A作，垂足为点M． 由（2）可知 ∴，， ∴， ∴，即平分， ∵，，， ∴． ∵，， ∴， ∵，， ∴M为的中点． ∴． ∴． 又， ∴． 1．如图，，点E是的中点．平分． (1)求证：是的平分线； (2)已知，，求四边形的面积． 2．如图，中，点D在BC边上， 的平分线交AC于点E，过点E作 垂足为F，且 连接DE． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，且 求 的面积． 3．在八年级上册数学课本中，我们学习了三角形边和角关系以及三角形中常见的线段． (1)小民同学利用“三角形的任意两边之和大于第三边”这一知识点发现，若P是内的一点，连接，则，请你证明这个结论． (2)接着小民又发现，如果分别是和的平分线，连接，则是的角平分线，小民的发现正确吗？请说明你的理由． (3)就的面积问题，小民和小兴两位同学产生了分歧，在（2）的条件下，已知的周长为18，点P到的距离为．小民认为仅知道周长无法求出的面积，而小兴认为可以．你同意谁的看法？若同意小民，请说明理由．若同意小兴，请求出的面积． 4．某班数学活动课上，老师提出以下问题：如图①，在锐角中，，是的平分线，，分别是，的高，点是边上一点，且，点是边上一动点（不包括两端点），连接，．老师安排了两个不同的任务． 【问题提出】 （1）填空：______；（填“>”“=”或“<”） 【问题探究】 （2）任务一：如图②，若．求证：； （3）任务二：如图③，，，，若，试说明．此时，点关于的对称点落在边上，连接，求的面积． 2 / 2 ★学科网•数学梦工厂★精心打造，祝您梦想成真★ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年八年级上学期数学精选母题系列 精选母题第4讲：角平分线的性质与判定 母题1：利用角平分线性质求线段长 如图，是的角平分线，若，，，则 ． ▋▎名师点拨 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】此题考查了角平分线的性质定理、三角形的面积等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是关键．作，垂足分别为点，由角平分线的性质定理得到，进一步根据三角形面积公式即可得到，即可得到答案． 【详解】解：作，垂足分别为点， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∵， ∴， 故答案为： 1．如图，在中，平分于点，，，，则的长是 ． 【答案】5 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】本题围绕三角形面积与角平分线性质展开，掌握利用角平分线性质得到点到两边的距离相等，结合三角形面积公式计算边长是解题的关键． 通过角平分线的性质得到到的距离，再根据三角形面积公式，结合已知的面积、长度等，求出的长． 【详解】解：过点作，垂足为， 平分，，， ， ， ， ． 故答案为：5． 2．如图，中，的垂直平分线交的平分线于点D，过D作于点E，若，，则 ． 【答案】3 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】连接、，作于，由角平分线的性质得出．证明，得出，同理，得出，进而得出答案． 【详解】解：连接、，作于，如图所示： 点在的垂直平分线上， ， 点在的平分线上，，， ， 在和中， ， ， ， 同理可证， ， ， ， ，   ， ； 故答案为：3． 【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形． 3. 如图，在中，，，，平分交于点，则的长是 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和角平分线的性质是解题的关键． 由勾股定理得，过点作于，再由角平分线的性质得，然后证明，得到，设，则，然后由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：过点作于， ∵，，， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得， 即的长为， 故答案为：． 如图，中，平分，且平分，于，于． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确找出全等三角形是解题关键． （1）连接、，先证出，，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，再设，根据线段的和差建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接、， 且平分， ， 平分，于，于， ，， 在与中， ， ∴， ． （2）解：平分，于，于， ，， 在与中， ， ∴， ， 由（1）已证：， 设， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴． 母题2：角平分线求解点到线的距离 如图，是的角平分线，于点，的面积是10，若，则点到的距离是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 ▋▎名师点拨 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：作于， ∵是中的角平分线，，， ∴， ∵的面积是10，若， ∴， ∴， ∴，即点到的距离是4， 故选：C． 1．如图，已知，以点为圆心，任意长为半径画弧，交 于点 ，交 于点，再分别以点，为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点 ，作射线 ，点为上一点，，垂足为点， 若，则点到 的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查作角平分线，角平分线的性质． 作于点，由角平分线的性质，可得，即可得点到 的距离． 【详解】解：作于点， 由作图可知，平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴点到 的距离为． 故选：D． 2．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是 ． 【答案】4 【知识点】两直线平行同旁内角互补、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了两直线平行同旁内角互补，角平分线的性质定理． 过点作于点，由可得，由两直线平行同旁内角互补可得，于是可得，则，由角平分线的性质定理可得，，进而可得，结合，可得，于是得解． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 和分别平分和，且，，， ，， ， 又， ， ， 故答案为：． 3. 如图，在中，，，．平分交于点D，则点D到的距离为 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质、三角形的面积，作于点E，作于点F，根据角平分线的性质可以得到，再根据的面积的面积的面积，即可得到和的长，从而可以得到点D到的距离，本题得以解决． 【详解】解：作于点E，作于点F， ∵平分， ∴， ∵在中，，，． ∴， 即， 解得：， ∴点D到的距离为， 故答案为：． 4. 如图，O为内角平分线交点，过点O的直线交、于M、N，已知，，则点O到的距离为 ．    【答案】 【知识点】角平分线的性质定理、三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理，过点N作于点D，过点O分别作三边的垂线，垂足分别为点E、F、G，根据三线合一得出，再根据勾股定理求出，即可求出，再根据结合角平分线到两边距离相等，即可求解． 【详解】解：过点N作于点D，过点O分别作三边的垂线，垂足分别为点E、F、G， ∵，， ∴, 根据勾股定理可得：, ∴, ∵O为内角平分线交点， ∴, 设， ∵, ∴， 即， 解得：， ∴, 故答案为： 母题3：借助角平分线求解图形面积 在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，，则的面积是（   ） A． B． C． D． ▋▎名师点拨 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点作于点，再利用角平分线的性质求解即可． 【详解】解：根据题意可得：为的角平分线， 过点作于点，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 1．如图，的面积为，平分，且于点，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长交于点，根据角平分线和垂直可得到，然后利用全等三角形的性质可得，从而可得，，进而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如图，延长交于点， 平分，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ． 故选：B． 2．如图，在中，是的平分线，是边上的中线，如果的面积是，，，则的面积是（  ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求面积、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了三角形的角分线的性质、中线的性质，三角形的面积． 先求出点D到、的距离，然后再根据三角形的中线的性质即可得结论． 【详解】解：如图，过点D作，垂足分别为F、G， 是角平分线， ，设 ， ， ， ， 解得：， ， 是的中线， ． 故选：A． 3．（1）如图，请作出中的角平分线，交于D．(保留作图痕迹即可)； （2）点D到的距离为m，到的距离为n，则m____n．(填“>”或“<”或“=”) （3）在（1）、（2）题的条件下，如果，的面积为18，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）=；（3）面积为27 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了基本作图，角平分线的判定和性质，掌握基本的尺规作图和三角形的面积公式是解题的关键． （1）根据作角平分线的基本作法作图； （2）过D作，，根据角平分线的性质得到即可求解； （3）根据三角形的面积公式求解． 【详解】解：（1）如图：即为所求； （2）过D作，， ∵平分， ， ∵点D到的距离为m，到的距离为n， ∴． 故答案为：= ； （3）， 的面积=． 4．如图，在四边形中，，平分，，垂足为点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质． （1）由平分，可知，可证，即可得到； （2）求出，证明，得到，由得到，进而可求四边形的面积． 【详解】（1）证明：平分，． ． ， ． ； （2）解：， ． ， 且， ． ． ， ． ， ∴． 母题4：利用角平分线的判定求角度 如图，为内部的一点，连接，过点分别作于点，于点，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． ▋▎名师点拨 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】此题考查了角平分线的判定定理，三角形内角和定理等知识点． 根据题意得到平分，，进而求解即可． 【详解】∵，，且，， ∴平分，， ∴． 故选：C． 1．如图，点D是的边上一点，连接，与的面积比是，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的判定，三角形面积公式．设D到和的距离分别为和，先根据三角形的面积公式得到，即点D到和的距离相等，然后根据角平分线的判定定理得到平分，即可得出结论． 【详解】解：设D到和的距离分别为和， ∵， ∴， ∴， 即点D到和的距离相等， ∴平分， ∴， 故选：B． 2．嘉嘉和琪琪两位同学给出两种画角平分线的方法： 嘉嘉：如图：两把相同的直尺，一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线 琪琪：按如图所示做个仪器，其中，，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点，画一条射线，就是的平分线 对于两人的画法，下列说法正确的是（   ） A．两人都对 B．两人都不对 C．嘉嘉对，琪琪不对 D．嘉嘉不对，琪琪对 【答案】A 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、角平分线的判定定理 【分析】根据角平分线判定（角内部到角两边距离相等的点在角平分线上）判断嘉嘉的画法是否正确．由，，为公共边，证，得，即平分．进而判断琪琪的画法是否正确．本题主要考查角平分线判定及全等三角形判定与性质，熟练掌握角平分线判定（角内部到角两边距离相等的点在角平分线上 ）和全等三角形判定（ ）是解题关键． 【详解】解：嘉嘉的画法： 直尺宽度相等，即点到、的距离等于直尺宽度，即点到、距离相等， ∴射线是角平分线，故嘉嘉画法正确 ． 琪琪的画法： ，， 即是平分线，琪琪画法正确 ． 综上，两人都对， 故选： ． 3．如图，已知点在的外部、的内部．若点到，的距离相等，则下列关于点位置的说法最准确的是（   ） A．点在的平分线上 B．点在的平分线上 C．点在的平分线上 D．是的平分线的交点 【答案】D 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的判定，根据到角两边相等的点在角的角平分线上，进行判断即可． 【详解】解：∵点到，的距离相等， ∴点在的平分线上，在的平分线上，在角平分线上， ∴是的平分线的交点； 故选D． 4．如图，是内一点，于点，于点，于点，且，若，则 . 【答案】/度 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的判定，三角形内角和定理的应用；根据题意可得平分，平分，进而根据三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】，，，且， 平分，平分 ∴， ， ， ， ． 故答案为：． 母题5：利用角平分线判定证明平分 如图，于，于，若，． (1)求证：平分； (2)已知，，求的长． ▋▎名师点拨 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理的逆定理；运用角平分线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明，得到，从而得出结论； （2）先求出的长度，然后证明，得出，求解即可； 【详解】（1）证明：∵， 在和中 ∴ 平分 （2）解： 在和中 1．已知：如图，在中，，，是角平分线，与相交于点F，，，垂足分别为M，N． (1)求证：F在的角平分线上； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）作于点，根据角平分线的性质，推出，即可得证； （2）证明，即可得证． 【详解】（1）证明：连接，作于点， ∵是角平分线，与相交于点F，，， ∴， ∴， ∴F在的角平分线上； （2）∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 2. 如图，在四边形中，，为的中点，平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，全等三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）作，垂足为，根据角平分线的性质定理以及判定定理即可证明． （2）证明得，同理可证，则题目可证． 【详解】（1）证明：作，垂足为， 平分，，， ， ， ， ，， 平分； （2）证明：由（1）可知：， 在和中， ， ， ，同理可证： ，即． 3．如图，过的边的垂直平分线上的点，作的另外两边，所在直线的垂线，垂足分别为，，，作射线；求证：平分． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的判定定理、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查角平分线的判定定理、线段垂直平分线的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的判定定理、线段垂直平分线的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；连接，；由题意易得，然后可得，则有，进而问题可求证． 【详解】证明：连接，， ∵点在的垂直平分线上， ． ，， ． 在和中， ∴， ． 又，， 点在的平分线上，即平分． 4．如图，在中，，，，垂足分别为，，，相交于点求证：平分． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定．利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据到角两边距离相等的点在角平分线上可证结论成立． 【详解】证明： ， ， 在 和 中 ， ， ， 又 ，， 点在 的平分线上， 即平分 ． 母题6：角平分线在实际中实际应用 尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)如图①，要在河边l修建一个水泵站M，使．水泵站M要建在什么位置？ (2)如图②，三条公路两两相交，现计划修建一个油库P，要求油库P到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库P的位置？（请作出符合条件的一个） ▋▎名师点拨 【知识点】角平分线性质的实际应用、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质和画法得出即可； （2）根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，分别作出两个内角的平分线、相邻两个外角的平分线，共有四个点（作一个点即可）． 【详解】（1）如图1所示：M点即为所求．    （2）如图2所示（答案不唯一）．    【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质与画法，角平分线的性质的应用，熟练掌握相关性质是解题关键． 1．如图，电信部门要在公路，之间的区域修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到区域内的两个城镇的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等．发射塔应建在什么位置？（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论） 【答案】见解析，分别作出公路夹角的角平分线和线段的中垂线，他们的交点为，则点就是修建发射塔的位置 【知识点】角平分线性质的实际应用、作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线、作垂线(尺规作图) 【分析】由线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，所以发射塔在线段AB的垂直平分线上，再利用尺规作线段AB的垂直平分线，由角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，所以发射塔在两条公路夹角的角平分线上，再利用尺规作公路夹角的角平分线，则这两条线的交点即为点，从而可得答案. 【详解】解：分别作出公路夹角的角平分线和线段的中垂线，他们的交点为，则点就是修建发射塔的位置． 【点睛】本题考查的是利用尺规作角的平分线，作线段的垂直平分线，理解题意，再确定作图目的是解题的关键. 2．如图，直线，，表示三条公路的位置．若在这三条公路的旁边修建一个加油站，使得这个加油站到这三条公路的距离相等，这样的位置有（   ） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 【答案】D 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找加油站的位置即可． 【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处， ∴加油站可选择的点共有四处． 故选：D． 3．如图两条笔直的公路、相交于点O，公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知，，C村到公路的距离为，则C村到公路的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、角平分线性质的实际应用 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 证明，可得，根据角平分线的性质，即可得C村到公路的距离． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴为的角平分线， ∴点到的距离与点到的距离相等， ∵C村到公路的距离为， ∴C村到公路的距离是． 故选：D． 4．如图是某校的局部平面图，学校有三条小路和，已知与相交．学校计划修建一个亭子，使其到小路的距离均相等，则亭子可以选择的修建位置有（   ） A．4处 B．3处 C．2处 D．1处 【答案】C 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等成为解题的关键． 由角平分线的交点到角边的距离相等，则两同旁内角平分线的交点满足条件；据此作图即可解答． 【详解】解：如图所示： ∵和的平分线的交点到距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∵和的平分线的交点到AB、MN、PQ距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∴满足这条件的点有2个． 故选：C． 母题7：角平分线与尺规作图的问题 如图，有一块五边形草坪，现要在草坪内部修建一处便民活动中心，使得便民活动中心到边、边的距离相等，且便民活动中心到点的距离与便民活动中心到点的距离相等，请你找出便民活动中心的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ▋▎名师点拨 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查角平分线的性质与作图，垂直平分线的性质与作图，根据便民活动中心到边、边的距离相等得到平分，再根据便民活动中心到点的距离与便民活动中心到点的距离相等得到点在的垂直平分线上，则点为的垂直平分线与的角平分线的交点，再根据尺规作图的步骤作图即可． 【详解】解：分别作的垂直平分线和的角平分线， 如图，交点即为所求便民活动中心的位置， 1．商朝第一名相、有“烹调之圣”美称的伊尹，晚年曾隐居在连云港市灌云县伊芦山，大小伊山也因他而得名，后人为了纪念他准备建造一座伊尹雕像．经过实地考察与测量，决定将雕像建造在两条伊尹路内部，并且在两条路所构成的角的平分线上，另外又考虑到周边两个小区的人们都可以方便过来瞻仰，让两个小区，到雕像的距离也相等，请依据上述信息，在右图中利用无刻度的直尺和圆规标出伊尹雕像点的位置．（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．） 【答案】图见解析 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了作图一应用与设计作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． 连接，作线段的垂直平分线，作的角平分线交于点，点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求． 2．用圆规与直尺作图 (1)如图，A、B、C是新建的三个居民小区，政府要在与三个居民小区距离相等的地方修建了一所学校，要求学校到三个小区的距离相等，请在图中作出学校的位置M． (2)如图，有两条国道相交于O点，在的内部有两村庄C、D，现要修建一加油站P，使点P到、的距离相等，且使，用尺规作图，作出加油站P的位置（不写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】此题主要考查了角平分线、线段垂直平分线的性质的应用以及作法，关键是熟练掌握角平分线、线段垂直平分线的基本作图方法． （1）连接，，分别作出，的垂直平分线交点即为所求； （2）作的平分线，再作线段的垂直平分线，两线的交点P就是所求点． 【详解】（1）解：如图所示：M点即为所求． （2）解：如图所示：P点即为所求． 3．尺规作图题 (1)图1，校园一角的形状如图所示，其中，，表示围墙，小亮通过作角平分线在图示的区域中找到了一点P，使得点P到三面墙的距离都相等，请你用尺规作图法帮小亮画出P点．(保留作图痕迹，作图痕迹要清晰) (2)图2，已知一个点O，请用尺规作图作一个以点O为顶点的直角．(保留作图痕迹，作图痕迹要清晰) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线 【分析】此题考查了尺规作角平分线和垂直平分线，角平分线的性质定理， （1）分别作、的角平分线、，与的交点即为满足条件的点P； （2）首先过点O作直线l，以点O为圆心，适当长度为半径画弧交l于点A，C，然后作出的垂直平分线，然后在垂直平分线上取点B，连接，即可得到直角． 【详解】（1）如图所示，点P即为所求； （2）如图所示，直角即为所求； 4．阅读理解: 借助一些巧妙的工具，我们可以解决一些几何问题． (1)如图1是一种用四根木条钉成的平分角的仪器，其中，，相邻两根木条的连接处是可以转动的，在如图2的几种用法中，能作出的平分线的有 (填写序号) (2)同学们在探究的过程中，发现利用勾尺可以解决一个尺规作图不可能完成的三等分角问题如图3是小瑞设计出的三等分角的仪器--勾尺． 勾尺的直角顶点为P， (“宽臂”的宽度) ，勾尺的另一边为，且满足M，N，Q三点共线（所以）小瑞利用手中的勾尺，通过下列步骤将三等分； 第一步：如图4，画直线使，且这两条平行线的距离等于； 第二步：如图5，移动勾尺到合适位置，使顶点P落在上，使边经过点B，同时让点R落在的边上； 第三步：如图6，标记此时点Q和点P所在位置，作射线和射线． 然后小瑞利用图6，证明射线和射线是的三等分线，请补全证明过程； 证明：垂直平分线段． ∴ ∵， ∴． (请继续完成后面的证明过程) 【答案】(1)①③ (2)见解析；， 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、线段垂直平分线的性质 【分析】（1）利用全等三角形的判定和性质一一判断即可； （2）设与交于点J，与交于点T，过点P作于H，由角平分线的判定定理可得，由等腰三角形的性质可求，即可求解． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴， ∴， ∴是的平分线．符合题意； ②∵，， ∴垂直平分， ∴不能证明是的平分线．不符合题意； ③∵，，， ∴， ∴， ∴是的平分线．符合题意； 故答案为：①③； （2）解：如图6，设与交于点J，与交于点T，过点P作于H， ∵，，， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴射线和射线是的三等分线， 故答案为：，． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，垂直平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 母题8：角平分线的性质判定综合题 如图①，在四边形中，已知，，，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图②，若是的边上的高，已知，求四边形的面积． ▋▎名师点拨 【知识点】与余角、补角有关的计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、补角的性质等知识点 ，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据同角的补角相等即可得证； （2）证明，即可得出， （3）由得出，再由等边对等角可得，进而可得，过点A作，垂足为点M．由角平分线的性质定理可得．再由直角三角形的性质可得．从而推出，最后再结合全等三角形的性质以及三角形的面积公式计算即可得解． 【详解】（1）证明：如图①，∵，， ∴； （2）证明：在与中， ， ∴． ∴； （3）解：如图，过点A作，垂足为点M． 由（2）可知 ∴，， ∴， ∴，即平分， ∵，，， ∴． ∵，， ∴， ∵，， ∴M为的中点． ∴． ∴． 又， ∴． 1．如图，，点E是的中点．平分． (1)求证：是的平分线； (2)已知，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定、全等三角形的性质与判定，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）作于点，根据角平分线的性质得到，结合中点的定义得到，再根据角平分线的判定即可证明； （2）利用证明和，得到，，进而得到，利用三角形面积公式得到的面积，再利用即可解答． 【详解】（1）证明：如图，作于点， ∵平分，，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， 又∵，， ∴是的平分线； （2）解：∵，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形的面积为12． 2．如图，中，点D在BC边上， 的平分线交AC于点E，过点E作 垂足为F，且 连接DE． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，且 求 的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定定理和三角形的面积计算，由角的平分线上的点到角的两边的距离相等，得出是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质求出，根据补角的定义计算，得到答案； （2）过点E作，垂足分别为G，H，根据角平分线的性质得到，，等量代换得到，根据角平分线的判定定理证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ； （2）证明：如图，过点E作，垂足分别为G，H． ∵， ∴． ∵平分，， ∴． ∴． ∵， ∴平分． （3）解：， 即 ， 解得 ， ∴的面积． 3．在八年级上册数学课本中，我们学习了三角形边和角关系以及三角形中常见的线段． (1)小民同学利用“三角形的任意两边之和大于第三边”这一知识点发现，若P是内的一点，连接，则，请你证明这个结论． (2)接着小民又发现，如果分别是和的平分线，连接，则是的角平分线，小民的发现正确吗？请说明你的理由． (3)就的面积问题，小民和小兴两位同学产生了分歧，在（2）的条件下，已知的周长为18，点P到的距离为．小民认为仅知道周长无法求出的面积，而小兴认为可以．你同意谁的看法？若同意小民，请说明理由．若同意小兴，请求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)小民的发现正确，理由见解析 (3)同意小兴， 【知识点】三角形三边关系的应用、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查三角形三边关系，角平分线的性质定理和判定定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）延长交于点D，在和中，根据三角形三边关系列不等式，即可求解； （2）过点P作于点D,于点E,于点F，根据角平分线的性质定理及判定定理即可求解； （3）根据角平分线的性质定理，可得点P到，的距离也是，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：如图，延长交于点D， 在中，①， 在中，②， 得：， ∴， 即； （2）解：小民的发现正确，理由如下： 过点P作于点D,于点E,于点F, ∵是的平分线，，， ∴， 同理∵是的平分线，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线； （3）解：同意小兴的看法， ∵点P到的距离为，分别是，，的平分线， ∴点P到，的距离也是， ∴ ． 4．某班数学活动课上，老师提出以下问题：如图①，在锐角中，，是的平分线，，分别是，的高，点是边上一点，且，点是边上一动点（不包括两端点），连接，．老师安排了两个不同的任务． 【问题提出】 （1）填空：______；（填“>”“=”或“<”） 【问题探究】 （2）任务一：如图②，若．求证：； （3）任务二：如图③，，，，若，试说明．此时，点关于的对称点落在边上，连接，求的面积． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）理由见解析；或 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）由角平分线的性质定理可得与的数量关系； （2）过点作于点，证明，再证明，即可得证； （3）延长交的延长线于点，证明得，从而得，再由角平分线的判定可得．分两种情况讨论：和时，分别画出图形，求出和，得的面积． 【详解】（1）解：∵，分别是，的高， ∴，， 又∵平分， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图1，过点作于点， ∵是的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又由（1）知：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即； （3）解：如图2，延长交的延长线于点， ∵， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴平分， ∴； 当时，如图3，在线段上取点， ∵点关于的对称点落在边上，，，， ∴， 过点作于点， 由（2）知：，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； 当时，如图4，延长交的延长线于点，在线段上取点， ∵点关于的对称点落在边上，，，， ∴， 由前面结论可得：，，，， ∴， 又∵， ∴平分， 又∵，， ∴， ∴∴， 又∵，， ∴， 又∵， ∴； 综上所述，的面积为或。． 2 / 2 ★学科网•数学梦工厂★精心打造，祝您梦想成真★ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $